Respuesta Transitoria de un Reactor, Modelo Depredador - Presa

1. Métodos Numéricos
Usos Reales: Respuesta Transitoria de
un Reactor. Modelos Depredador-
Presa y Caos
Ing. Elina Ávila
Marzo - Agosto 2022 Integrantes:
● Juliana Abril
● Camila Granda
● Mateo Once

2. Uso de las EDO para
analizar la respuesta de
un reactor.
Reactor completamente mezclado: Tanque cuyo
objetivo es realizar una mezcla completa, de
manera que sea una mezcla uniforme.
● Acumulacion: Cambio de mas en el reactor
por un cambio en el tiempo.
● V: Volumen
● c: Concentración [mg/m^3]
● Acumulacion: entradas - salidas
● 𝓠 = Caudal [m^3/min]
● entradas = 𝓠cen
● salidas = 𝓠c
Reactor completamente mezclado.

3. Ejemplo
● V1=50 m^3
● V2=20 m^3
● V3=40 m^3
● V4=80 m^3
● V5=100 m^3
● t=0→c=0
● Condiciones iniciales: t=0→c=0
● Límites de integración 0 y 60
● h=10

4. Ejemplo
Método de Runge-Kutta de cuarto
orden

5. Modelo Depredador -
Presa y Caos. ● Las poblaciones de un animal depredador y
su presa son directamente proporcionales.
● Las ecuaciones de Lotka - Volterra son un
modelo biomatemático que responde a
cuestiones prediciendo la dinámica de las
poblaciones de presa y depredador bajo una
serie de hipótesis.

6. ● Los modelos Depredador - Presa se utilizan en
el estudio de ciclos de nutrientes y
contaminantes tóxicos.
● En cambio, los modelos de caos son
ecuaciones obtenidas de la dinámica de
fluidos, que se utilizan para simular la
atmósfera.
● Los modelos Depredador - Presa se
desarrollaron de manera independiente en la
primera parte del siglo XX, gracias al trabajo
del matemático italiano Vito Volterra y del
biólogo estadounidense Alfred J. Lotka.

7. Ecuaciones de Lotka - Volterra
El ejemplo más simple es el siguiente sistema de EDO:
Donde:
● x y y = número de presas y depredadores, respectivamente.
● a = razón de crecimiento de la presa.
● c = razón de muerte del depredador
● b = razón que caracteriza el efecto de la interacción depredador-presa sobre la muerte de la presa
● d = razón de crecimiento del depredador.
Los términos que se multiplican (es decir, los que involucran xy) hacen que las ecuaciones sean no
lineales.

8. Ecuaciones de Lorenz
Un ejemplo de un modelo sencillo son las ecuaciones de Lorenz, desarrolladas por el meteorólogo
estadounidense Edward Lorenz:
Lorenz desarrolló esas ecuaciones para relacionar la intensidad del movimiento de fluido atmosférico,
x, con las variaciones de temperatura y y z en las direcciones horizontal y vertical, respectivamente.

9. Ejemplo: Use métodos numéricos para obtener las soluciones de estas ecuaciones. Grafique
los resultados para visualizar cómo las variables dependientes cambian en el tiempo. Además, grafique
las variables dependientes una contra otra para observar si surge algún patrón interesante.
Utilizamos los siguientes valores de los parámetros para la simulación depredador-presa: a = 1.2, b =
0.6, c = 0.8 y d = 0.3, condiciones iniciales x = 2 y y=1. Usaremos el método RK de cuarto orden con
doble precisión para obtener las soluciones. Y se obtiene el siguiente gráfico.

10. Utilizando las ecuaciones de Lorenz
Ahora, utilicemos el mismo procedimiento para investigar el comportamiento de las ecuaciones de
Lorenz con los siguientes valores de los parámetros: σ = 10, b = 2.666667 y r = 28, como condiciones
iniciales x = y = z = 5 en t = 0, desde t = 0 hasta 20. De nuevo, usaremos el método RK de cuarto orden
con doble precisión para obtener las soluciones. Obteniendo la siguiente gráfica:
La variable x parece experimentar un patrón casi aleatorio de oscilaciones, rebotando de valores
negativos a positivos. Sin embargo, aun cuando los patrones parecen aleatorios, la frecuencia de la
oscilación y las amplitudes parecen bastante consistentes.

11. Gráficas Estado - Espacio
● Se muestran las proyecciones en los planos
xy y xz. La solución forma órbitas alrededor
de lo que parecen ser puntos críticos.
● A las soluciones del tipo que hemos
explorado en las ecuaciones de Lorenz se les
conoce como soluciones caóticas.
● Actualmente, el estudio del caos y de los
sistemas no lineales representa una
interesante área del análisis que tiene
implicaciones tanto en las matemáticas como
en la ciencia y en la ingeniería.
Aplicación Online: Modelo Depredador-Presa Sistema de
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Gráficas de las
Funciones y Fases – GeoGebra

12. Bibliografía
● TDEF.dvi (javeriana.edu.co)
● Modelo Depredador-Presa de Lotka-Volterra (ull.es)
● https://prezi.com/khfvgoqos8y4/ecuaciones-de-lotka-volterra-modelo-presa-depredador/
● https://vicmat.com/evolucion-poblaciones-modelo-predador-presa-lotka-volterra/
● Runge-Kutta_methods_for_ODE_integration_in_Julia (crans.org)