Este documento introduce conceptos matemáticos relacionados con la derivación e integración de funciones de varias variables, incluyendo límites, derivadas parciales, matrices jacobianas, extremos relativos, teoremas de integración múltiple y aplicaciones de estos conceptos. Explica estas ideas a través de definiciones, ejemplos y recomendaciones de recursos adicionales.

1. Eldiceth Lira
28462137

2. Introduccion
El modelo matemático adecuado para expresar
una derivación en función de otras variables es
la integración de varias variables. Igual que
ocurría con las funciones de una variable,
algunas de las herramientas asociadas a este
modelo nos permiten abordar y expresar
muchos aspectos interesantes de la relación
existente en espacios tridimensionales. Nos
centraremos en las herramientas mas sencillas:
teoremas. planos y ejemplos de los mismos.
2

3. Límite y continuidad de una función en el
Espacio R3
> En matemática, el concepto de límite es una
noción topológica que formaliza la noción
intuitiva de aproximación hacia un punto
concreto de una sucesión o una función, a
medida que los parámetros de esa sucesión o
función se acercan a determinado valor.
> Es decir: para calcular el límite se sustituye en la
función el valor al que tienden las x.
3

4. Límite y continuidad de una función en el
Espacio R3
> En cálculo infinitesimal (especialmente en
análisis real y matemático) este concepto se
utiliza para definir los conceptos fundamentales
de convergencia, continuidad, derivación,
integración, entre otros. Si bien, el concepto de
límite parece intuitivamente relacionado con el
concepto de distancia, en un espacio euclídeo,
es la clase de conjuntos abiertos inducidos por
dicha métrica, lo que permite definir
rigurosamente la noción de límite.
4

5. Límite y continuidad de una función en el
Espacio R3
5

6. Ejemplo
6

7. Continuidad
7

8. Condiciones
8

9. Derivación de funciones de varias variables (en
el Espacio R3 )
> Una derivada parcial de una función de
diversas variables, es la derivada respecto a
cada una de esas variables manteniendo las
otras como constantes. Las derivadas parciales
son útiles en cálculo vectorial, geometría
diferencial, funciones analíticas, física,
matemática, etc.
9

10. Derivación de funciones de varias variables (en
el Espacio R3 )
> La derivada parcial de una función f respecto a la
variable x se representa con cualquiera de las
siguientes notaciones equivalentes:
> Donde a es la letra “d” redondeada, conocida
como la “d de Jacobi”. También se puede
representar como D1f(x1,x2,…,xn) que es la
primera derivada respecto a la variable x y así
sucesivamente
10

11. Interpretación geométrica de derivadas
parciales
> Si f está una función de x y y, el proceso de tomar la derivada
parcial ∂f/∂x y evaluarla a (a, b) es nada más que tomar
constante y a y = b y calcular la razón de cambio de f en el
punto x = a. Entonces, la derivada parcial es el pendiente de
la recta tangente en el punto donde x = a y y = b, a lo largo
del plano que pasa por y = b.
11

12. Derivadas Parciales de Orden Superior
12

13. Diferencial total
Estudia lo que pasa a la función cuando todas las
variables independientes de la función cambian al mismo
tiempo.
Por ejemplo: si una función diferenciable
entonces el diferencial total de z es:
13

14. Gradientes
El gradiente de una función f, que se denota como дf, es
la colección de todas las derivadas parciales en forma de
vector.
14

15. Divergencia
15
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y
el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie
que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo
tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene
"sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia
mide la rapidez neta con la que se conduce la materia al
exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia
idénticamente igual a cero, describe al
flujo incompresible del fluido.

16. Rotacional
16
> En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador
vectorial sobre campos vectoriales definidos en un abierto
de ѓ3 que muestra la tendencia de un campo vectorial a
inducir rotación alrededor de un punto.
> Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de
la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la
que se integra se reduce a un punto:

17. Plano Tangente
17

18. Recta Normal
18
Se llama recta normal a una superficie a la recta que
pasa por un punto P y es perpendicular al plano
tangente.

19. 19

20. Ejemplo
20

21. Regla de la cadena
> La derivación por regla de cadena se aplica cuando
buscamos derivar una composición de funciones.
21

22. Ejemplo
22

23. Matriz Jacobiana
> Es una matriz formada por las derivadas parciales de
primer orden de una función.
> También se la conoce como diferencial
jacobiana o aplicación lineal jacobiana.
23

24. Ejemplo
> Halla la matriz Jacobiana en el punto (0,-2) de la siguiente
función vectorial con 2 variables:
La función tiene dos variables y dos funciones escalares,
por lo que la matriz Jacobiana será una matriz cuadrada de
tamaño 2×2:
24

25. Ejemplo
> Una vez hemos calculado la expresión de la matriz
Jacobiana, la evaluamos en el punto (0,-2):
> Y, finalmente, realizamos las operaciones y obtenemos el
resultado:
25

26. Extremos Relativos
> La función f(x) presenta un máximo relativo en xo ,
cuando existe un entorno E(xo) tal que:
> La función f(x) presenta un mínimo relativo en xo ,
cuando existe un entorno E(xo) tal que:
> Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es
la mayor o la menor (máximo - mínimo) de todas las imágenes
“de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos
"alejados" de xo cuya imagen sea mayor o menor que f(xo).
26

27. Teorema
> Condición necesaria para la existencia de extremos
27

28. Multiplicadores de Lagrange
> El método de los multiplicadores de Lagrange, llamados
así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un
procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de
funciones de varias variables sujetas a restricciones.
> Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-
dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0,
k=1,...,s, y se observa (si las restricciones son satisfechas)
que:
>
28

29. Multiplicadores de Lagrange
> Se procede a buscar un extremo para h
> lo que es equivalente a
> Los multiplicadores desconocidos λk se determinan
a partir de las ecuaciones con las restricciones y
conjuntamente se obtiene un extremo para h que al
mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. gk=0),
lo que implica que f ha sido optimizada.
29

30. Ejemplo
30

31. Integración de funciones de varias variables
31

32. 32

33. Integral Doble
> Sea f(x,y) una función continua para los valores de x,y que
pertenecen a R. Para un y fijo obtenemos la función
F(x)=f(x,y) que también es continua y por tanto integrable
en [a,b], por tanto, la función obtenida, G(y), es continua y
por tanto integrable en [c,d] de tal forma que podemos
definir la integral doble de la función f(x,y) el rectángulo
R=[a,b]x[c,d] como:
33

34. Ejemplo
> Calcular la integral doble ∫∫xy dxdy en el rectángulo R=
[0,1]x[0,2].
34

35. Integral triple
> Si f es una función acotada y, existe el
los entonces se dice que f es integrable, y
al valor de este límite se le llama integral triple
sobre R, y se representa
35

36. Integral triple
> Se cumplen las mismas propiedades
que en la integral doble.
> 1. Toda función continua es integrable
> 2. Linealidad, monotonía y aditividad
> 3. Teorema de Fubini para integrales
triples por el cual toda integral triple se
puede hallar por integración reiterada.
36

37. Teorema de Gauss
> Todo numero racional, de la forma p/q, es raíz de un
polinomio con coeficientes enteros, de forma tal que,
p es divisor del termino independiente (ao), y q, es
divisor del termino principal.
> Es un método analítico, que bajo ciertas condiciones,
permite factorear.
37

38. Teorema de Ampere
> La ley de Ampère determina que la circulación del
campo magnético a lo largo de una línea cerrada es
equivalente a la suma algebraica de las intensidades
de la corrientes que atraviesan la superficie
delimitada por la línea cerrada, multiplicada por la
permisividad del medio.
38

39. Teorema de Stoke
> Establece la relación que existe entre una integral de
línea con una integral de superficie. Además, este
teorema generaliza varios teoremas del cálculo
vectorial. Permite convertir una integral de curva en
una integral de superficie.
39

40. Teorema de Green
> Establece la relación entre una integral de línea a
nivel de una curva cerrada simple C y una integral de
tipo doble sobre la región plana D la cual es limitada
por C.
> Dentro de este postulado se afirma que, “Sean C una
curva cerrada simple positivamente orientada
diferenciable por trozos en el plano, D la región
limitada por C y F= (P,Q) un campo vectorial en el
plano. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas
en una región abierta que contiene D”.
40

41. Teorema de Green
41

42. Recomendaciones
> https://youtu.be/yMFrFNj4bPI
> https://youtu.be/RdxXv3lFjls
> https://youtu.be/ppI4NKTScxw
42

43. Conclusión
> La importancia de la utilización de la derivación e
integración de funciones de varias variables radica
en que gracias a ellas podemos describir cualquier
variación o cambio de una ecuación. Es necesario
para explicar diferentes procesos vectoriales, el
conocimiento previo de los teoremas vistos, ya que
nos facilitan la actividad.
43

44. Bibliografía
https://prezi.com/p/cm0x2nqsromj/derivacion-e-integracion-de-
funciones-de-varias-variables/
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial
https://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html
http://diccionario.sensagent.com/Diferencial%20total/es-es/
https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/05/11-Vector-Normal-y-
Plano-Tangente.pdf
https://www.matricesydeterminantes.com/matrices/matriz-jacobiana-
jacobiano/
https://sites.google.com/site/matematica2papaprocesada/contenido/mul
tiplicadores-de-lagrange
44

45. ¡Gracias por su
atención!