Este documento presenta varios problemas y ejercicios matemáticos relacionados con álgebra, ecuaciones y funciones. Incluye preguntas sobre precipitaciones, temperaturas, intereses compuestos, gráficas de funciones y más. También introduce conceptos clave de álgebra lineal como vectores, matrices, espacios vectoriales y transformaciones lineales.

1. Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

2. Análisis de la situación ¿ es posible que el agua de lluvia cubra todas las montañas del mundo? Como podría una erupción y un tsunami haber causado una inundación en el medio oriente?

3. Trabajo individual Si se condensara el vapor de agua contenido en una columna de aire atmosférico de 1 m cubico ¿ que altura alcanzaría la capa de agua?

4. Trabajo colectivo 1 de donde proviene el agua de lluvia? ¿ hay un máximo de precipitación? 2 porque en lluvias usuales el agua alcanza distintas alturas en sitios diferentes? 3 si lloviera simultáneamente en todo el planeta, ¿ que altura alcanzaría el agua?

5. Situación didáctica Un almacén informa que apartar de la siguiente semana aumentara 10% el precio de una computadora portátil, al tiempo que anuncia una rebaja de 10% en todos los artículos para estos días.

6. Utiliza magnitudes y números reales

7. Temperaturas en Europa. La tabla muestra las temperaturas (°C) mínima (enero) y máxima (julio) en las capitales de algunos países europeos

8. Hora local de arribo Saliste alas 7:35 a.m. en avión, de Tijuana a Campeche. ¿ cual fue la hora local de arribo a esta ciudad , situ viaje registro los tiempos mostrados en la tabla?

9. Afluencia turística La erogación de los turistas en una zona de playa durante los 7 días de la semana santa. Para esta semana un hotel previo alimentos para 1,200 huéspedes, pero la ocupación disminuyo 7% sobre lo anticipado.

10. Tarjeta aurea Deseas elaborar una tarjeta de cumpleaños para una amiga. Si la construyes de modo que la razón de sus lados sea igual ala del modelo, obtendrás una targetacon proporción aurea, muy agradable ala vista

11. Realiza sumas y sucesiones de números

12. Apertura de un restaurante La grafica muestra la proyección de las ganancias anuales que en una década producirá un restaurante a partir de su inauguración. El valor contable del mobiliario puede calcularse para cada ano con el modelo

13. Pulseras artesanales: para elaborar pulseras de jade, un artesano cobra una tarifa Cn=+1.2, según el numero de piedras (n = 10,…,30) que tengan. ¿ cuanto costara una pulsera con 20 piedras? dibuja una grafica que relacione el costo de la pulsera con numero de piedras que posee. Determina en la grafica el costo de una pulsera con 28 piedras. Obtén el costo con el modelo algebraicos.

14. Una sucesión se representa como a1, a2 …, an … Las a son números o cantidades, distintas entre sí o no; a1 es el primer término, a2el segundo, y así sucesivamente. Si el último término aparece en la expresión, es una sucesión finita; si no aparece es infinita. Una sucesión es definida o establecida si y sólo si existe una regla dada que determina el término n-ésimo correspondiente a un n entero positivo; esta regla puede estar dada por la fórmula del término n-ésimo. Por ejemplo, todos los números enteros positivos, en su orden natural, forman una secuencia infinita definida por la fórmula an=n. La fórmula an = n2 define la sucesión 1, 4, 9, 16 … La regla de empezar con 0 y 1 y calcular cada término como la suma de los dos términos anteriores define la sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …; que se conoce como sucesión de Fibonacci.

15. Entre los tipos más importantes de sucesiones se encuentran las sucesiones aritméticas (también conocidas como progresiones aritméticas), en las que la diferencia entre dos términos sucesivos es constante; y las sucesiones geométricas (también conocidas como progresiones geométricas), en las que la razón entre dos términos sucesivos es constante. Un ejemplo de sucesiones se encuentra al intentar calcular los intereses de un cierto capital. Si el dinero se invierte al interés simple del 8%, entonces en n años la cantidad de dinero inicial P se ha convertido en an = P + n × (0,08)P. El mismo producto (0,08)P se añade cada año, por lo que las cantidades an forman una progresión aritmética. Si el interés es compuesto, las cantidades ahorradas forman una progresión geométrica, gn = P × (0,08)n. En ambos casos, está claro que an y gn llegarán a ser mayores que cualquier número entero imaginable.

16. Transformaciones algebraicas

17. El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales , y sus transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.

18. La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión

19. Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un espacio formado por vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones de uso. Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma un espacio vectorial .

20. La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar, es decir, si es mayor o menor de 1), junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si es mayor o menor de 0). Las funciones de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes con la operaciones básicas para todo par de vectores y todo escalar : Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio que son las matrices de números reales de tamaño . El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.

21. Contexto general De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa). Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad: A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de escalares, sino que pueden ser elementos de un conjunto cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial sobre un campo fijo). Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un par de los mismos...

22. Vectores en Rn Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R2 , que son famosos por representar las coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...

23. Suma de Vectores Téngase 2 vectores que se desean sumar . ejemplo vector 1 =vi v1=(3,4,-8) v2=(5,2,4) (3, 4, -8) + (5,2,4) = (3+5, 4+2, -8+4) = (8,6,-4

24. Matrices mxn Está formado por las arreglos numéricos, cuyas dimensiones se representan m filas por n columnas. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el álgebra lineal y son bastantes usados en las ciencias e ingeniería

25. Espacio vectorial de polinomios en una misma variable Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x. Ejemplos de tales polinomios son: La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no excede a 2: (3x2 − 5x + 1) + (4x − 8) = 3x2 − x − 7 El campo de escalares es naturalmente el de los números reales, y es posible multiplicar un número por un polinomio: donde el resultado nuevamente es un polinomio (es decir, un vector). Un ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada polinomio el resultado de derivarlo: D(3x2 − 5x + 7) = 6x − 5.

26. Generalización y temas relacionados Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por otras áreas de la matemática: en la teoría de módulos, que remplaza al cuerpo en los escalares por un anillo; en el álgebra matrilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor; en la teoría del espectro de los operadores de control de matrices de dimensión infinita, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es puramente algebraica. En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.

27. Ecuaciones lineales

28. Los métodos para resolver ecuaciones datan de los tiempos de los babilonios (2000 a.C.).La forma que tenemos de enunciar que dos cantidades o expresiones son iguales es mediante una ecuación (o igualdad). p.ej. 2x - 3 = x + 5 que se denomina ecuación en x

29. MÉTODO : - Eliminamos paréntesis - Eliminamos denominadores - Agrupamos términos semejantes - Despejamos la variable - Comprobamos la solución

30. No se permite la división por cero, x=2 no es una solución, por tanto la ecuación dada no tiene soluciones. El m.c.m. es (2x-4)(x+3), luego los números 2 y -3 si aparecen en la solución no serían válidos, pero no es el caso.

31. Ecuación de primer grado Saltar a navegación, búsqueda Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales. Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es:

32. Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y). Las ecuaciones en las que aparece el término (llamado rectangular) no son consideradas lineales. Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

33. Formas de ecuaciones lineales Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.

34. Ecuación general Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.

35. Ecuación segmentaria o simétrica Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente. Forma paranéfrica Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.

36. Casos especiales: Un caso especial es la forma estándar donde y . El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje. Otro caso especial de la forma general donde y . El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E. En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y. Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: . Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones pfd

37. Ecuaciones cuadráticas

38. ¿Qué es una ecuación cuadrática? Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones

39. Tipos de soluciones: Reales e imaginarias Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber: Dos raíces reales distintas Una raíz real (o dos raíces iguales) Dos raíces imaginarias distintas El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como: D = b2 - 4.a.c Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número. Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas. 5.- Ejemplos. Verificación de las soluciones A continuación se resolverán algunos ejemplos que mostrarán todos los casos posibles ya mencionados. 5.1.- Resolver: - 5x2 + 13x + 6 = 0 Se identifican las letras, cuidando de que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5 ; b = 13 ; c = 6. Se aplica la fórmula:

40. Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9. La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería -4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros. El área de un triángulo es base por altura sobre 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es A = 12 . 5 / 2 = 30 m2. El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.