Estructuras cristalinas y sus propiedades

Estructuras cristalinas
¿Cuál es la forma más
económica desde el punto de
vista energético y monetario
para diseñar un proceso de
conformado?
Metalurgia Física I- Unidad 3

Otros ejemplos donde de la
textura presenta importancia
Textura magnética favorable
Textura es un factor decisivo sobre
conductividad eléctrica
Efecto mecánico desfavorable

Problema tecnológico: Efecto de la corrosión de piezas
Micrografía de una muestra de acero AISIn316L por MET
en la zona resaltada se muestra la presencia de un
precipitado con su patrón de difracción

Cristal de hielo
Cristal de esmeralda
Cristal de pirita
¿Cómo se forman los CRISTALES de los
minerales?
Como Se Forman los Diamantes
Rosas, Rubí, Esmeraldas y
Diferentes Minerales
https://www.youtube.com/watch?v=tpWrmTwQ2NU
https://www.youtube.com/watch?v=sufy_v9vE-w
Cristal de halita

Arreglos diferentes de puntos de red
respecto de la figura anterior.
En ambos casos la redes son similares desde
cualquier punto de la red, donde se ha
definido diferentes motivos base.
Vectores base: vector a define la celda
elemental.
Base: grupo de puntos que forman la
estructura de la red
Ref. Basic elements of crystallography, N. Gonzalez Szwacki, T. Szwacka- Pan Stanford Publishing Ltd. (2010)
Tres diferentes configuraciones
unidimensionales de nodos de una red

Nodos: puntos donde convergen los vectores que
definen la red.
Parámetros de red: se corresponde con la magnitud de
los ejes cristalográficos 𝑎1, 𝑎2 y 𝑎3 (vectores base)
acorde con los ángulos ,  y  , que definen la celda
unidad.
Vector de traslación de la red, : especifica las
posiciones de cada punto en la red en relación a los
vectores base. Los números n1, n2 y n3 son enteros. Metalurgia Física I- Unidad 3

Celda Elemental: Porción de la red que por repetición o traslación genera la red
completa (sus aristas son traslaciones de la red)
Celda primitiva: la unidad más pequeña que
contiene un único punto de red.
Celda múltiple: contiene más de un punto de red
Multiplicidad: número de puntos (nudos o nodos)
que posee la celda unidad

Arreglo bidimensional periódico
Celda unidimensional:
conformada por dos
pares no paralelos de
rectas paralelas
Arreglo periódico de celdas bidimensionales

La celda elegida puede no ser única, existen muchas posibilidades. Pero
¿cómo seleccionar la correcta?

Elementos de simetría
 Ángulo de rotación: ∅𝑛 = 2𝜋
𝑛
 Eje principal de rotación: eje de mayor n
Notación: Cn (Schoenflies) ó n (Hermannn Mauguin)
∅1: rotación identidad 𝐶1 ó E
Contiene el eje principal de simetría: 𝜎𝑣
Operaciones de simetría
• Rotación alrededor de un eje fijo

• Reflexión en un plano
Elementos de simetría:
 Plano de reflexión: normal al eje principal de rotación - 𝜎ℎ ó ℎ
contiene al eje principal de rotación - 𝜎𝑣
Notación: σ Schoenflies – m Herman Mauguin

Punto: centro de simetría
Notación: I (Schoenflies)
• Inversión en un punto
Asociada a un centro de simetría O, tal que un punto
𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 se transforma, respecto de es punto O en P 𝑥, 𝑦 , 𝑧 de manera tal que 𝑥1 = -x ;
𝑦1 = −𝑦 ; 𝑧1= -z

• Rotación- Reflexión o Rotación inversa
 Ángulo de rotación:∅𝒏
 Plano de reflexión:𝝈𝒉 ; 𝝈𝒗
Notación: 𝑺𝒏 = 𝝈𝒉 𝑪𝒏 Schoenflies

(a)Dos letras a superpuestas, luego
de una rotación en 180°
(b)Giro de 180°
(c)Traslación de una a queda como
se muestra en el lado derecho.
(d) combina rotación y traslación
(e)El motivo es una combinación de
los casos anteriores.

Operaciones combinadas

APBA
Por construcción los triángulos QBCC y
Son rectángulos, por
tanto

Redes planas posibles

Redes espaciales
Número de nodos de la red:

La red tridimensional podría
plantearse como: tres conjuntos
de planos equidistantes
paralelos que se interceptan
definiendo una red.
La red consiste en un conjunto
de puntos (negros) , donde se
resaltan además tres familias de
planos (rojos, celestes y azules)

Ángulo
de 120°
2 Ángulos de
rotación
2 reflexiones
Ángulo
de 90°
2 Ángulos de
rotación
3 planos de
reflexión
Elementos de simetría tridimensional

Triclínico
Ortorómbico
Hexagonal
Trigonal
Monoclínico
Redes espaciales y sus simetrías

Cúbico
Tetragonal

Nomenclatura

Sistemas cristalinos
Sistemas
cristalinos
Redes de
Bravais

Cúbico Octaedro truncado
Dodecaedro rómbico
Monocristal de
granate –
Tongbei, China

Sistema Ejemplo
Triclínico Turquesa [CuAl6 (PO4 )4 . (OH)8 . 5H2O],Rodonita [Mn(SiO3 )],
Wollastonita [Cu(SiO3 )]
Monoclínico Yeso (CaSO4 . 2H2O), Volframita [(Fe, Mn)WO4 ], Moscovita [KAl2
(AlSi3O10)(OH)2 ], Arsenopirita (FeAsS), sacarosa, ácido tartárico
Trigonal Hematita (Fe2O3 ), Dolomita [CaMg(CO3 )2 ], Sulfuro de níquel (NiS),
Corindón (Al2O3 ), Calcita (CaCo3 ), Siderita (FeCO3 )
Tetragonal Circón (ZrSiO4 ), Calcopirita (CuFeS2 ), Rutilo (TiO2 ), Pirolusita (MnO2 )
Hexagonal Grafito, Sulfuros de cadmio (SCd) y de zinc (SZn),Cincita (ZnO), berilos
como la Esmeralda [(Be3Al2 )(Si6O18)]
Ortorrómbico Aragonito (CaCO3 ), Olivino [(Mg, Fe)2SiO4 ], crisoberilo (BeAl2O4 ),
topacio [Al2 (SiO4 )(F, OH)2 ]
Cúbico Cloruros de sodio, de cesio y de potasio, sulfuro de plomo (SPb), nitrato
de calcio [Ca2 (NO3 )2 ], óxidos como MnO y CuO2 , diamante, metales
como Fe, Au, Ag, Cu

Planos cristalinos
Índices de Miller: son los menores números enteros (hkl) que expresan
la inversa de las intersecciones de un plano con los ejes del cristal
Zona: refiere a un conjunto de planos que comparten
una dirección común, que se denomina eje de zona. Ej.:
los planos (111), (110) y (112) pertenecen a la misma
Zona cuyo eje es 1 1 0
ℎ𝑘𝑙 plano más cercano a
plano que pasa por el
origen
ℎ𝑘𝑙 plano que pasa por
el origen

Ejercicios

Cristales hexagonales – índices de Miller

ESPACIADO INTERPLANAR: Distancia que existe entre los planos de una familia.
Es un valor constante y característico de cada familia de planos (hkl) y se simboliza
por 𝑑ℎ𝑘𝑙
Los índices de 𝑀𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 (hkl). Es decir, que las
intersecciones con los ejes 𝑂𝐴 =
𝑎1
ℎ
; 𝑂𝐵 =
𝑎2
𝑘
; 𝑂𝐶 =
𝑎3
𝑙
respectivamente.
La ecuación del plano situado a una distancia
perpendicular al origen 𝑑ℎ𝑘𝑙 está dado por:
El espaciado se determina experimentalmente
por rayos x o por difracción de neutrones Metalurgia Física I- Unidad 3

Distancia interplanar

Modelo de esferas rígidas
Uniones de átomos en un metal
no direccional
Empaquetamiento compacto de esferas rígidas e
impenetrables

El centro de la esfera
de la primera capa,
tanto como la de la
segunda capa, define
una red hexagonal
bidimensional.
La red de la segunda
capa se traslada en la
magnitud del vector t
Apilamiento hexagonal compacto
Capa B
Capa A
Capa A
Las esferas de la tercer capa están
directamente arriba de la primera
Centro de la primera
capa de esferas
Proyección del centro de la
segunda capa de esferas Metalurgia Física I- Unidad 3

Apilamiento cúbico centrado en el cuerpo
Capa A
Capa C
Capa B
Capa A
Las esferas de la
cuarta capa están
directamente encima
de la primera

Factor de empaquetamiento: es el volumen ocupado por las esferas
𝐹𝐸 =
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎
Celda fcc
Celda hcp Celda bcc
Calculamos el factor de empaquetamiento para otras estructuras
Según imagen, la diagonal de una cara

Intersticios
octaédricos y
tetraédricos dentro
de la estructura
hexagonal
Dos intersticios tetraédricos y
uno octaédrico en una celda fcc
Sitios intersticiales

Ejercicios
Sitios octaédricos
Sitios tetraédricos
El plano a considerar será:
El empaquetamiento superficial:

La estabilidad en las estructuras iónicas depende del número de iones de signo
contrario que se encuentran en contacto. Esto puede conducir a tres situaciones
bien diferenciadas, nótese que los iones son de mayor tamaño de que los
aniones.
La eficacia del empaquetamiento dependerá lógicamente de la diferencia
de tamaño de los iones implicados. Si A y B son los iones constituyente de
una estructura iónica y B es el de mayor tamaño, entonces la relación entre
los radios determina el número de coordinación de A:

Relación de radios Número de
coordinación (z)
Tipo de
coordinación
Poliedro de
coordinación
0 < 𝑥 < 0.155 2 Lineal
0.155 < 𝑥 < 0.225 3 Triangular
0.225 < 𝑥 < 0.414 4 Tetraédrica
0.414 < 𝑥 < 0.732 6 Octaédrica
0.732 < 𝑥 < 1 8 Cúbica
𝑥 = 1 12 Cuboectaédrica

Cloruro de Sodio
Red espacial + motivo atómico = Estructura cristalina
Cloruro de Cesio
Sulfuro de Zinc
Incorporar calculo de huecos
planos compactos direcciones
compactas

Determinación de estructura cristalina
Haz incidente Haz difractado
La diferencia de caminos
entre los haces incidentes y
reflejados (1 y 2),
segmentos SQ + QT
La distancia interplanar en
cristales cúbicos
Finalmente

Producción de rayos X

Métodos de producción de rayos X

Patrón de intensidades para una muestra de Plomo
Registro de la difracción

Reflexión de luz visible Difracción de rayos X
La reflexión de luz visible ocurre a nivel
superficial
Los rayos difractados por un cristal se conforma
con los rayos dispersados por los átomos del
cristal que se encuentran en el camino del haz
incidente
La reflexión de luz visible se produce
para cualquier ángulo de incidencia
La difracción de rayos X monocromáticos por un
cristal ocurre para aquellos ángulos que
satisfacen la ley de Bragg
La reflexión de luz visible por espejos
perfectos es de aproximadamente 100%
La intensidad de los rayos X difractados es muy
baja comparada con la correspondiente al haz
incidente

Aspectos característicos de la ley de Bragg
 La ley de Bragg es una consecuencia de la periodicidad de la red espacial.
 La ley no refiere al arreglo de átomos cada punto de red a partir de un conjunto de planos
paralelos.
 La composición del motivo atómico (base) determina la intensidad relativa de varios órdenes de
difracción.
 La ley de Bragg, puede ocurrir solamente para longitudes de onda < 2𝑑
 Para el mismo orden y espaciado, el ángulo disminuye a medida que la longitud de onda
disminuye.
λ

¿Qué sucede si los átomos de la red no son todos iguales?

Geometría de la difracción
¿Cómo se interpreta el
diagrama de difracción?

Recordando que estamos trabajando en una red (que representa un potencial
periódico- Teorema de Bloch), siendo la autofunción (solución de la ecuación de
Schroedinger ξ 𝑇 .
Entonces las funciones de onda para la traslación en un cristal periódico infinito
será
Los vectores traslación de la red directa se escribe mediante
En la periodicidad de la red como
T asume valores discretos debe
ser:

Los vectores que representan cada uno de los puntos del diagrama de difracción
deberán, son los vectores base de la Red Recíproca y se escriben como:

Propiedades

Es decir, un punto del diagrama de difracción es un nodo de la red recíproca
ℎ, 𝑘, 𝑙 y representa una familia de planos reticulares de la red real.
Entonces, el nodo siguiente 2ℎ, 2𝑘, 2𝑙 corresponde a una familia de planos de
espaciamiento 𝑑ℎ𝑘𝑙 = 2
𝑑ℎ𝑘𝑙

La red recíproca de una red recíproca es la red directa.
Ejemplos: redes F e I con sus respectivas recíprocas

Observemos que:

Ejemplo: el cloruro de sodio puede representarse como dos redes fcc
interpenetradas en medio parámetro de red una de Sodio y otra de cloro . La
ubicación de los átomos de Cl será ( ½ , ½, ½).
El factor de estructura para cada red individual es igual a la de una red fcc.
Como 𝑒𝑖𝜋𝑛
= −1 𝑛
La intensidad de la radiación dispersada será:
Finalmente,

Otro ejemplo:

Además la cristalografía es útil pues, la estructura de los materiales cristalinos se puede
caracterizar por:
• La estructura cristalina que especifica el tipo y posisión de los átomos en la celda unidad de una
red cristalina ideal.
• La estructura de las fases específica los tamaños, formas y arreglo de monofases dentro de
materiales polifásicos.
• La estructura de granos específica, el tamaño, forma, orientaciones cristalinas y arreglos de
átomos en un cristal monofásico.
La subestructura especifica el tipo,
cantidad, arreglo cristalográfico de los
defectos, i.e. todas las desviaciones del
cristal ideal tales como defectos
puntuales, dislocaciones, fallas de
apilamiento, bordes de grano y de fase,
superficie, deformaciones elásticas,
magnetización, polarización eléctrica,
etc.

Amorfos significa sin estructura cristalina, las posiciones atómicas carecen de
orden periódico paro puede definirse un orden de corto alcance.
Los metales amorfos son estructuralmente y químicamente homogénea, que le da
propiedades isotrópicas atractivas para muchas aplicaciones, como resistencia a la
corrosión. Por otra parte la isotropía de las propiedades magnéticas son
importantes en materiales para transformaciones de polvos y componentes
inductivas.
La estructura de los vidrios metálicos difieren de los vidrios que son redes
covalentes al azar de óxido de Silicio. Los metales amorfos carecen de orden
direccional.

• Los cuasi cristales tienen orden de largo alcance pero no periodicidad traslacional en el espacio
(3D) y con simetría que no responde a los 32 grupos cristalogáficos puntuales.
• La intensidad dispersada modula con una periodicidad que es una fracción irracional o múltiplo de
la periodicidad que subyace, luego resulta en una súper red.
• El patrón de difracción de los cuasi cristales muestra picos agudos con otros órdenes de simetría.
• Los principios matemáticos necesarios para describir los
patrones de difracción incluyen. El uso de funciones quasi
periódicas para la descripción de las densidades atómicas
y sus transformadas de Fourier
Cuasi cristales – Dan Shcechtman (1982)
Patrón de difracción de electrones de un cuasicristal de Zn-
Mg. La estructura presenta simetría de rotación de orden 5
pero no de traslación.
Propiedades:
Duros
Resistentes a la
deformación
Antiadherente
Malos conductores
de la electricidad

Un nanocristal es un material cristalino con dimensiones medidas en nanómetros.
Estos materiales son de enorme interés tecnológico puesto que muchas de sus
propiedades eléctricas y termodinámicas muestran una fuerte dependencia del tamaño y pueden por
lo tanto ser controladas por medio de procesos de fabricación cuidadosos.
Los nanocristales también son de interés porque a menudo proporcionan sistemas cristalinos de un
solo dominio que pueden ser estudiados para proporcionar información que puede ayudar a explicar el
comportamiento de muestras macroscópicas de materiales similares, sin la presencia de las
complicaciones de los bordes de granos y de otros defectos.
Los nanocristales semiconductores en el rango de los sub 10 nm de tamaño son frecuentemente
referidos como puntos cuánticos.
Nanocristales
En la industria
farmaceútica
https://interestingengineering.com/nanotechnology

Bibliografía
 La relación estructura-simetría-propiedades en cristales y policristales Ma. E. Fuentes Montero. Editorial
Reverté (2008)
 Introducción a la cristalografía, D. Sands. EditorialReverté (1993)
 Introducción a la ciencia e ingeniería de materiales para ingenieros- 4° edición. J. Shackelford, A. Guemes.
Prentice Hall (1998)
 Ciencia y diseño de materiales para Ingeniería 1° Edición. Schaffer, A. Saxena. S. Antolovich, T. Sanders Jr.
Y S. Warner . CECSA, Mexico (2000)
 Principles of Engineering Physics vol. 2. Md. Khan, S. Panigrahi. Cambridge University Press (2016)
 Structure of Materials. An Introduction to Crystallography, diffraction and symmetry , Marc de Graef,
Michael, Mc Henry. Cambridge University Press (2007)

Estructuras cristalinas y sus propiedades

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