vetores

1. Funciones vectoriales
Facultad de Ingenierı́a
Funciones vectoriales 1 / 48

2. Recorrido
1 Funciones vectoriales
Funciones con valores vectoriales
Lı́mite y continuidad
Derivación de funciones vectoriales
Integración de funciones vectoriales
Longitud de arco
Vector tangente unitario
Curvatura
Vectores normal unitario principal y binormal
Funciones vectoriales 2 / 48

3. Recorrido
1 Funciones vectoriales
Funciones con valores vectoriales
Lı́mite y continuidad
Derivación de funciones vectoriales
Integración de funciones vectoriales
Longitud de arco
Vector tangente unitario
Curvatura
Vectores normal unitario principal y binormal
Funciones vectoriales 3 / 48

4. Funciones con valores vectoriales
Definición
Una función con valores vectoriales es una función del tipo
r : [a, b] → Rn
/ t → r(t) = (f1(t), f2(t), · · · , fn(t)).
Funciones vectoriales 4 / 48

5. Funciones con valores vectoriales
Definición
Una función con valores vectoriales es una función del tipo
r : [a, b] → Rn
/ t → r(t) = (f1(t), f2(t), · · · , fn(t)).
Las funciones f1, f2, · · · , fn son las funciones componentes de la función r y
cada una es una función escalar.
Funciones vectoriales 4 / 48

6. Funciones con valores vectoriales
Definición
Una función con valores vectoriales es una función del tipo
r : [a, b] → Rn
/ t → r(t) = (f1(t), f2(t), · · · , fn(t)).
Las funciones f1, f2, · · · , fn son las funciones componentes de la función r y
cada una es una función escalar.
Funciones vectoriales 4 / 48

7. Ejemplos de funciones vectoriales
Ejemplo
1. r(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2π].
Funciones vectoriales 5 / 48

8. Ejemplos de funciones vectoriales
Ejemplo
1. r(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2π].
Funciones vectoriales 5 / 48

9. Ejemplos de funciones vectoriales
Ejemplo
2. r(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π].
Funciones vectoriales 6 / 48

10. Ejemplos de funciones vectoriales
Ejemplo
2. r(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π].
Funciones vectoriales 6 / 48

11. Ejemplos de funciones vectoriales
Ejemplo
3. r(t) = (t2, t2), t ∈ R.
4. r(t) = (t, t2), t ∈ R.
5. r(t) = (t3, t2), t ∈ R.
Funciones vectoriales 7 / 48

12. Recorrido
1 Funciones vectoriales
Funciones con valores vectoriales
Lı́mite y continuidad
Derivación de funciones vectoriales
Integración de funciones vectoriales
Longitud de arco
Vector tangente unitario
Curvatura
Vectores normal unitario principal y binormal
Funciones vectoriales 8 / 48

13. Lı́mite y continuidad
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial, t0 ∈ [a, b] y
L = (L1, ..., Ln) ∈ Rn.
Funciones vectoriales 9 / 48

14. Lı́mite y continuidad
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial, t0 ∈ [a, b] y
L = (L1, ..., Ln) ∈ Rn.
Entonces lı́m
t→t0
r(t) = L si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo
t ∈ [a, b], si 0 < |t − t0| < δ, entonces kr(t) − Lk < ε.
Funciones vectoriales 9 / 48

15. Lı́mite y continuidad
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial, t0 ∈ [a, b] y
L = (L1, ..., Ln) ∈ Rn.
Entonces lı́m
t→t0
r(t) = L si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo
t ∈ [a, b], si 0 < |t − t0| < δ, entonces kr(t) − Lk < ε.
Teorema
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial tal que
r = (f1, ..., fn), t0 ∈ [a, b] y L = (L1, ..., Ln) ∈ Rn.
Funciones vectoriales 9 / 48

16. Lı́mite y continuidad
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial, t0 ∈ [a, b] y
L = (L1, ..., Ln) ∈ Rn.
Entonces lı́m
t→t0
r(t) = L si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo
t ∈ [a, b], si 0 < |t − t0| < δ, entonces kr(t) − Lk < ε.
Teorema
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial tal que
r = (f1, ..., fn), t0 ∈ [a, b] y L = (L1, ..., Ln) ∈ Rn.
lı́m
t→t0
r(t) = L si y solo si lı́m
t→t0
fi (t) = Li , i = 1, ..., n.
Funciones vectoriales 9 / 48

17. Lı́mite y continuidad
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial, t0 ∈ [a, b] y
L = (L1, ..., Ln) ∈ Rn.
Entonces lı́m
t→t0
r(t) = L si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo
t ∈ [a, b], si 0 < |t − t0| < δ, entonces kr(t) − Lk < ε.
Teorema
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial tal que
r = (f1, ..., fn), t0 ∈ [a, b] y L = (L1, ..., Ln) ∈ Rn.
lı́m
t→t0
r(t) = L si y solo si lı́m
t→t0
fi (t) = Li , i = 1, ..., n.
SIN DEMOSTRAR
Funciones vectoriales 9 / 48

18. Lı́mite y continuidad
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial y t0 ∈ [a, b] .
Funciones vectoriales 10 / 48

19. Lı́mite y continuidad
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial y t0 ∈ [a, b] .
Entonces r es continua en t0 si lı́m
t→t0
r(t) = r(t0).
Funciones vectoriales 10 / 48

20. Lı́mite y continuidad
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial y t0 ∈ [a, b] .
Entonces r es continua en t0 si lı́m
t→t0
r(t) = r(t0).
Teorema
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial tal que
r = (f1, ..., fn) y t0 ∈ [a, b].
Funciones vectoriales 10 / 48

21. Lı́mite y continuidad
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial y t0 ∈ [a, b] .
Entonces r es continua en t0 si lı́m
t→t0
r(t) = r(t0).
Teorema
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial tal que
r = (f1, ..., fn) y t0 ∈ [a, b].
r es continua en t0 si y solo si fi es continua en t0, i = 1, ..., n.
Funciones vectoriales 10 / 48

22. Lı́mite y continuidad
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial y t0 ∈ [a, b] .
Entonces r es continua en t0 si lı́m
t→t0
r(t) = r(t0).
Teorema
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial tal que
r = (f1, ..., fn) y t0 ∈ [a, b].
r es continua en t0 si y solo si fi es continua en t0, i = 1, ..., n.
DEMOSTRAR
Funciones vectoriales 10 / 48

23. Lı́mite y continuidad
DEMOSTRACIÓN:
Supongamos primero que r = (f1, · · · , fn) es continua en t0 ∈ [a, b]. Sea i
un ı́ndice entre 1 y n y veamos que fi es continua en t0.
Funciones vectoriales 11 / 48

24. Lı́mite y continuidad
DEMOSTRACIÓN:
Supongamos primero que r = (f1, · · · , fn) es continua en t0 ∈ [a, b]. Sea i
un ı́ndice entre 1 y n y veamos que fi es continua en t0.
Como fi es una función definida en [a, b] y tiene valores reales, por lo
aprendido en AM1, sabemos que habremos probado que fi es continua en
t0 si probamos que lı́m
t→t0
fi (t) = fi (t0).
Funciones vectoriales 11 / 48

25. Lı́mite y continuidad
DEMOSTRACIÓN:
Supongamos primero que r = (f1, · · · , fn) es continua en t0 ∈ [a, b]. Sea i
un ı́ndice entre 1 y n y veamos que fi es continua en t0.
Como fi es una función definida en [a, b] y tiene valores reales, por lo
aprendido en AM1, sabemos que habremos probado que fi es continua en
t0 si probamos que lı́m
t→t0
fi (t) = fi (t0).
Por hipótesis sabemos que r es continua en t0 y, según la definición de
continuidad, esto significa que lı́m
t→t0
r(t) = r(t0); a su vez, esto implica que
lı́m
t→t0
(f1(t), · · · , fn(t)) = (f1(t0), · · · , fn(t0)).
Funciones vectoriales 11 / 48

26. Lı́mite y continuidad
DEMOSTRACIÓN:
Supongamos primero que r = (f1, · · · , fn) es continua en t0 ∈ [a, b]. Sea i
un ı́ndice entre 1 y n y veamos que fi es continua en t0.
Como fi es una función definida en [a, b] y tiene valores reales, por lo
aprendido en AM1, sabemos que habremos probado que fi es continua en
t0 si probamos que lı́m
t→t0
fi (t) = fi (t0).
Por hipótesis sabemos que r es continua en t0 y, según la definición de
continuidad, esto significa que lı́m
t→t0
r(t) = r(t0); a su vez, esto implica que
lı́m
t→t0
(f1(t), · · · , fn(t)) = (f1(t0), · · · , fn(t0)). Por el teorema anterior,
tenemos que
lı́m
t→t0
f1(t), · · · , lı́m
t→t0
fn(t)
= (f1(t0), · · · , fn(t0)).
Funciones vectoriales 11 / 48

27. Lı́mite y continuidad
DEMOSTRACIÓN:
Supongamos primero que r = (f1, · · · , fn) es continua en t0 ∈ [a, b]. Sea i
un ı́ndice entre 1 y n y veamos que fi es continua en t0.
Como fi es una función definida en [a, b] y tiene valores reales, por lo
aprendido en AM1, sabemos que habremos probado que fi es continua en
t0 si probamos que lı́m
t→t0
fi (t) = fi (t0).
Por hipótesis sabemos que r es continua en t0 y, según la definición de
continuidad, esto significa que lı́m
t→t0
r(t) = r(t0); a su vez, esto implica que
lı́m
t→t0
(f1(t), · · · , fn(t)) = (f1(t0), · · · , fn(t0)). Por el teorema anterior,
tenemos que
lı́m
t→t0
f1(t), · · · , lı́m
t→t0
fn(t)
= (f1(t0), · · · , fn(t0)).
En particular, lı́m
t→t0
fi (t) = fi (t0), con lo cual fi es continua en t0.
Funciones vectoriales 11 / 48

28. Lı́mite y continuidad
DEMOSTRACIÓN:
Supongamos ahora que cada una de las funciones componentes f1, · · · , fn,
son continuas en t0. Según la definición, habremos probado que r es
continua en t0 si probamos que lı́m
t→t0
r(t) = r(t0).
Funciones vectoriales 12 / 48

29. Lı́mite y continuidad
DEMOSTRACIÓN:
Supongamos ahora que cada una de las funciones componentes f1, · · · , fn,
son continuas en t0. Según la definición, habremos probado que r es
continua en t0 si probamos que lı́m
t→t0
r(t) = r(t0).
Ahora bien, lı́m
t→t0
r(t) =
lı́m
t→t0
f1(t), · · · , lı́m
t→t0
fn(t)
de acuerdo a la
propiedad anterior; ası́
Funciones vectoriales 12 / 48

30. Lı́mite y continuidad
DEMOSTRACIÓN:
Supongamos ahora que cada una de las funciones componentes f1, · · · , fn,
son continuas en t0. Según la definición, habremos probado que r es
continua en t0 si probamos que lı́m
t→t0
r(t) = r(t0).
Ahora bien, lı́m
t→t0
r(t) =
lı́m
t→t0
f1(t), · · · , lı́m
t→t0
fn(t)
de acuerdo a la
propiedad anterior; ası́
lı́m
t→t0
r(t) =
lı́m
t→t0
f1(t), · · · , lı́m
t→t0
fn(t)
= (f1(t0), · · · , fn(t0)), ya que cada
una de las funciones fi son continuas en t0 por hipótesis;
Funciones vectoriales 12 / 48

31. Lı́mite y continuidad
DEMOSTRACIÓN:
Supongamos ahora que cada una de las funciones componentes f1, · · · , fn,
son continuas en t0. Según la definición, habremos probado que r es
continua en t0 si probamos que lı́m
t→t0
r(t) = r(t0).
Ahora bien, lı́m
t→t0
r(t) =
lı́m
t→t0
f1(t), · · · , lı́m
t→t0
fn(t)
de acuerdo a la
propiedad anterior; ası́
lı́m
t→t0
r(t) =
lı́m
t→t0
f1(t), · · · , lı́m
t→t0
fn(t)
= (f1(t0), · · · , fn(t0)), ya que cada
una de las funciones fi son continuas en t0 por hipótesis; pero
(f1(t0), · · · , fn(t0)) = r(t0) y la prueba ha concluido.
Funciones vectoriales 12 / 48

32. Recorrido
1 Funciones vectoriales
Funciones con valores vectoriales
Lı́mite y continuidad
Derivación de funciones vectoriales
Integración de funciones vectoriales
Longitud de arco
Vector tangente unitario
Curvatura
Vectores normal unitario principal y binormal
Funciones vectoriales 13 / 48

33. Derivación de funciones vectoriales
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial y t0 ∈ (a, b) .
Funciones vectoriales 14 / 48

34. Derivación de funciones vectoriales
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial y t0 ∈ (a, b) .
Se define la derivada de r con respecto a t en t0 por
Funciones vectoriales 14 / 48

35. Derivación de funciones vectoriales
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial y t0 ∈ (a, b) .
Se define la derivada de r con respecto a t en t0 por
r0
(t0) = lı́m
∆t→0
r(t0 + ∆t) − r(t0)
∆t
,
Funciones vectoriales 14 / 48

36. Derivación de funciones vectoriales
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial y t0 ∈ (a, b) .
Se define la derivada de r con respecto a t en t0 por
r0
(t0) = lı́m
∆t→0
r(t0 + ∆t) − r(t0)
∆t
,
si el lı́mite existe.
Funciones vectoriales 14 / 48

37. Derivación de funciones vectoriales
Definición
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial y t0 ∈ (a, b) .
Se define la derivada de r con respecto a t en t0 por
r0
(t0) = lı́m
∆t→0
r(t0 + ∆t) − r(t0)
∆t
,
si el lı́mite existe.
Funciones vectoriales 14 / 48

38. Derivación de funciones vectoriales
Teorema
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial tal que
r = (f1, ..., fn) y t0 ∈ (a, b).
Funciones vectoriales 15 / 48

39. Derivación de funciones vectoriales
Teorema
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial tal que
r = (f1, ..., fn) y t0 ∈ (a, b).
Entonces r0(t0) = (f 0
1(t0), ..., f 0
n(t0)).
Funciones vectoriales 15 / 48

40. Derivación de funciones vectoriales
Teorema
Supongamos que r : [a, b] → Rn es una función vectorial tal que
r = (f1, ..., fn) y t0 ∈ (a, b).
Entonces r0(t0) = (f 0
1(t0), ..., f 0
n(t0)).
DEMOSTRACIÓN DEJADA COMO TAREA
Funciones vectoriales 15 / 48

41. Curva suave
Definición
Una función vectorial r definida en [a, b] es una curva suave si r0 es
continua y r0(t) 6= 0 para todo t ∈ [a, b].
Funciones vectoriales 16 / 48

42. Curva suave
Definición
Una función vectorial r definida en [a, b] es una curva suave si r0 es
continua y r0(t) 6= 0 para todo t ∈ [a, b].
Por otra parte, se dice que r define una curva suave por partes si es la
unión de un número finito de curvas suaves unidas de manera continua
(por sus extremos).
Funciones vectoriales 16 / 48

43. Curva suave
Ejemplos (analice si es suave cada una de las siguientes curvas)
Funciones vectoriales 17 / 48

44. Curva suave
Ejemplos (analice si es suave cada una de las siguientes curvas)
r(t) = (t, t), t ∈ R;
Funciones vectoriales 17 / 48

45. Curva suave
Ejemplos (analice si es suave cada una de las siguientes curvas)
r(t) = (t, t), t ∈ R; r0(t) = (1, 1);
Funciones vectoriales 17 / 48

46. Curva suave
Ejemplos (analice si es suave cada una de las siguientes curvas)
r(t) = (t, t), t ∈ R; r0(t) = (1, 1);
r(t) = (t2, t2), t ∈ R;
Funciones vectoriales 17 / 48

47. Curva suave
Ejemplos (analice si es suave cada una de las siguientes curvas)
r(t) = (t, t), t ∈ R; r0(t) = (1, 1);
r(t) = (t2, t2), t ∈ R; r0(t) = (2t, 2t);
Funciones vectoriales 17 / 48

48. Curva suave
Ejemplos (analice si es suave cada una de las siguientes curvas)
r(t) = (t, t), t ∈ R; r0(t) = (1, 1);
r(t) = (t2, t2), t ∈ R; r0(t) = (2t, 2t);
r(t) = (t3, t3), t ∈ R;
Funciones vectoriales 17 / 48

49. Curva suave
Ejemplos (analice si es suave cada una de las siguientes curvas)
r(t) = (t, t), t ∈ R; r0(t) = (1, 1);
r(t) = (t2, t2), t ∈ R; r0(t) = (2t, 2t);
r(t) = (t3, t3), t ∈ R; r0(t) = (3t2, 3t2);
Funciones vectoriales 17 / 48

50. Curva suave
Ejemplos (analice si es suave cada una de las siguientes curvas)
r(t) = (t, t), t ∈ R; r0(t) = (1, 1);
r(t) = (t2, t2), t ∈ R; r0(t) = (2t, 2t);
r(t) = (t3, t3), t ∈ R; r0(t) = (3t2, 3t2);
r(t) = (t3, t2), t ∈ R.
Funciones vectoriales 17 / 48

51. Curva suave
Ejemplos (analice si es suave cada una de las siguientes curvas)
r(t) = (t, t), t ∈ R; r0(t) = (1, 1);
r(t) = (t2, t2), t ∈ R; r0(t) = (2t, 2t);
r(t) = (t3, t3), t ∈ R; r0(t) = (3t2, 3t2);
r(t) = (t3, t2), t ∈ R. r0(t) = (3t2, 2t).
Funciones vectoriales 17 / 48

52. Curva suave
Ejemplos (analice si es suave cada una de las siguientes curvas)
r(t) = (t, t), t ∈ R; r0(t) = (1, 1);
r(t) = (t2, t2), t ∈ R; r0(t) = (2t, 2t);
r(t) = (t3, t3), t ∈ R; r0(t) = (3t2, 3t2);
r(t) = (t3, t2), t ∈ R. r0(t) = (3t2, 2t).
Funciones vectoriales 17 / 48

53. Interpretación fı́sica
Si r es el vector posición de una partı́cula que se mueve a lo largo de una
curva suave en el espacio, entonces
1 La velocidad es la derivada de la posición: v(t) = r0(t).
2 La rapidez es la magnitud de la velocidad: Rapidez=kvk.
3 La aceleración es la derivada de la velocidad: a(t) = v0(t) = r00(t).
4 Si v 6= 0, el vector unitario v
kvk es la dirección del movimiento en el
instante t.
Funciones vectoriales 18 / 48

54. Reglas de derivación de funciones vectoriales
Reglas de derivación de funciones vectoriales: demostrar alguna en clase,
todas en casa. La del producto vectorial está incompleta en el libro.
Teorema
Sean u y v funciones vectoriales derivables de t, C un vector constante, c
un escalar y f una función escalar de una variable real derivable.
Función constante dC
dt = 0
Múltiplos escalares d
dt [cu(t)] = cu0(t)
d
dt [f (t)u(t)] = f 0(t)u(t) + f (t)u0(t)
Suma y resta d
dt [u(t) ± v(t)] = u0(t) ± v0(t)
Producto punto d
dt [u(t) · v(t)] = u0(t) · v(t) + u(t) · v0(t)
Producto vectorial d
dt [u(t) × v(t)] = u0(t) × v(t) + u(t) × v0(t)
Regla de la cadena d
dt [u(f (t)] = f 0(t)u0(f (t))
Funciones vectoriales 19 / 48

55. Derivada del producto vectorial
Producto vectorial:
Funciones vectoriales 20 / 48

56. Derivada del producto vectorial
Producto vectorial:
sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) funciones vectoriales y probemos
que d
dt [u × v] = u0 × v + u × v0.
Funciones vectoriales 20 / 48

57. Derivada del producto vectorial
Producto vectorial:
sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) funciones vectoriales y probemos
que d
dt [u × v] = u0 × v + u × v0.
d
dt
[u × v] =
d
dt
(u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1)
=
d
dt
(u2v3 − u3v2),
d
dt
(u3v1 − u1v3),
d
dt
(u1v2 − u2v1)
= u0
2v3 + u2v0
3 − u0
3v2 − u3v0
2, u0
3v1 + u3v0
1 − u0
1v3 − u1v0
3,
u0
1v2 + u1v0
2 − u0
2v1 − u2v0
1
= u0
2v3 − u0
3v2, u0
3v1 − u0
1v3, u0
1v2 − u0
2v1
+ u2v0
3 − u3v0
2, u3v0
1 − u1v0
3, u1v0
2 − u2v0
1
=u0
× v + u × v0
.
Funciones vectoriales 20 / 48

58. Funciones vectoriales de magnitud constante
Teorema
Funciones vectoriales de magnitud constante:
Si r : [a, b] → Rn es una función de magnitud constante (i.e. |r(t)| = cte
en [a, b]), entonces r(t) es ortogonal a r0(t) en todo t ∈ [a, b].
Funciones vectoriales 21 / 48

59. Funciones vectoriales de magnitud constante
Teorema
Funciones vectoriales de magnitud constante:
Si r : [a, b] → Rn es una función de magnitud constante (i.e. |r(t)| = cte
en [a, b]), entonces r(t) es ortogonal a r0(t) en todo t ∈ [a, b].
DEMOSTRAR
Funciones vectoriales 21 / 48

60. Derivación de funciones vectoriales
Demostración:
Supongamos que la curva en cuestión está parametrizada por
r(t), a ≤ t ≤ b y que |r(t)| = c.
Funciones vectoriales 22 / 48

61. Derivación de funciones vectoriales
Demostración:
Supongamos que la curva en cuestión está parametrizada por
r(t), a ≤ t ≤ b y que |r(t)| = c. Entonces, para cualquier t ∈ [a, b],
|r(t)|2 = c2.
Funciones vectoriales 22 / 48

62. Derivación de funciones vectoriales
Demostración:
Supongamos que la curva en cuestión está parametrizada por
r(t), a ≤ t ≤ b y que |r(t)| = c. Entonces, para cualquier t ∈ [a, b],
|r(t)|2 = c2. Luego r(t) · r(t) = c2.
Funciones vectoriales 22 / 48

63. Derivación de funciones vectoriales
Demostración:
Supongamos que la curva en cuestión está parametrizada por
r(t), a ≤ t ≤ b y que |r(t)| = c. Entonces, para cualquier t ∈ [a, b],
|r(t)|2 = c2. Luego r(t) · r(t) = c2. Ası́, aplicando la propiedad de derivada
del producto escalar, tenemos:
Funciones vectoriales 22 / 48

64. Derivación de funciones vectoriales
Demostración:
Supongamos que la curva en cuestión está parametrizada por
r(t), a ≤ t ≤ b y que |r(t)| = c. Entonces, para cualquier t ∈ [a, b],
|r(t)|2 = c2. Luego r(t) · r(t) = c2. Ası́, aplicando la propiedad de derivada
del producto escalar, tenemos:
r0
(t) · r(t) + r(t) · r0
(t) = 2r(t) · r0
(t) = 0,
Funciones vectoriales 22 / 48

65. Derivación de funciones vectoriales
Demostración:
Supongamos que la curva en cuestión está parametrizada por
r(t), a ≤ t ≤ b y que |r(t)| = c. Entonces, para cualquier t ∈ [a, b],
|r(t)|2 = c2. Luego r(t) · r(t) = c2. Ası́, aplicando la propiedad de derivada
del producto escalar, tenemos:
r0
(t) · r(t) + r(t) · r0
(t) = 2r(t) · r0
(t) = 0,
lo cual prueba que r(t) y r0(t) son ortogonales para todo t ∈ [a, b].
Funciones vectoriales 22 / 48

66. Recorrido
1 Funciones vectoriales
Funciones con valores vectoriales
Lı́mite y continuidad
Derivación de funciones vectoriales
Integración de funciones vectoriales
Longitud de arco
Vector tangente unitario
Curvatura
Vectores normal unitario principal y binormal
Funciones vectoriales 23 / 48

67. Integración de funciones vectoriales
Definición
Una función vectorial derivable R es una antiderivada de una función
vectorial r en un intervalo I si R0(t) = r(t) para todo t ∈ I.
Funciones vectoriales 24 / 48

68. Integración de funciones vectoriales
Definición
Una función vectorial derivable R es una antiderivada de una función
vectorial r en un intervalo I si R0(t) = r(t) para todo t ∈ I.
La integral indefinida de r con respecto a t en I es el conjunto de todas
las antiderivadas de r en I y se denota por
Z
r(t)dt. Si R es cualquier
antiderivada de r, entonces
Z
r(t)dt = R(t) + C,
donde C es un vector constante arbitrario.
Funciones vectoriales 24 / 48

69. Integración de funciones vectoriales
Definición
Una función vectorial derivable R es una antiderivada de una función
vectorial r en un intervalo I si R0(t) = r(t) para todo t ∈ I.
La integral indefinida de r con respecto a t en I es el conjunto de todas
las antiderivadas de r en I y se denota por
Z
r(t)dt. Si R es cualquier
antiderivada de r, entonces
Z
r(t)dt = R(t) + C,
donde C es un vector constante arbitrario.
Si las funciones componentes de r(t) = (f (t), g(t), h(t)) son integrables
en [a, b], entonces r es integrable en [a, b] y la integral definida de r en
[a, b] es
Z b
a
r(t)dt =
Z b
a
f (t)dt,
Z b
a
g(t)dt,
Z b
a
h(t)dt
.
Funciones vectoriales 24 / 48

70. Integración de funciones vectoriales
Ejemplo: antiderivar r(t) = (cos t, t2, et + 1), t ∈ R.
Funciones vectoriales 25 / 48

71. Integración de funciones vectoriales
Ejemplo: antiderivar r(t) = (cos t, t2, et + 1), t ∈ R.
Z
(cos t, t2
, et
+ 1) dt = (sen t,
t3
3
, et
+ t) + (c1, c2, c3).
Funciones vectoriales 25 / 48

72. Integración de funciones vectoriales
Ejemplo: antiderivar r(t) = (cos t, t2, et + 1), t ∈ R.
Z
(cos t, t2
, et
+ 1) dt = (sen t,
t3
3
, et
+ t) + (c1, c2, c3).
Ejemplo: calcule
Z π
0
r(t)dt.
Funciones vectoriales 25 / 48

73. Integración de funciones vectoriales
Ejemplo: antiderivar r(t) = (cos t, t2, et + 1), t ∈ R.
Z
(cos t, t2
, et
+ 1) dt = (sen t,
t3
3
, et
+ t) + (c1, c2, c3).
Ejemplo: calcule
Z π
0
r(t)dt.
Z π
0
(cos t, t2
, et
+ 1) dt =
Z π
0
cos t dt,
Z π
0
t2
dt,
Z π
0
(et
+ 1) dt
Funciones vectoriales 25 / 48

74. Integración de funciones vectoriales
Ejemplo: antiderivar r(t) = (cos t, t2, et + 1), t ∈ R.
Z
(cos t, t2
, et
+ 1) dt = (sen t,
t3
3
, et
+ t) + (c1, c2, c3).
Ejemplo: calcule
Z π
0
r(t)dt.
Z π
0
(cos t, t2
, et
+ 1) dt =
Z π
0
cos t dt,
Z π
0
t2
dt,
Z π
0
(et
+ 1) dt
= (sen t, t3
3 , et + t)
π
0
Funciones vectoriales 25 / 48

75. Integración de funciones vectoriales
Ejemplo: antiderivar r(t) = (cos t, t2, et + 1), t ∈ R.
Z
(cos t, t2
, et
+ 1) dt = (sen t,
t3
3
, et
+ t) + (c1, c2, c3).
Ejemplo: calcule
Z π
0
r(t)dt.
Z π
0
(cos t, t2
, et
+ 1) dt =
Z π
0
cos t dt,
Z π
0
t2
dt,
Z π
0
(et
+ 1) dt
= (sen t, t3
3 , et + t)
π
0
= (0, π3
3 , eπ + π − 1).
Funciones vectoriales 25 / 48

76. Recorrido
1 Funciones vectoriales
Funciones con valores vectoriales
Lı́mite y continuidad
Derivación de funciones vectoriales
Integración de funciones vectoriales
Longitud de arco
Vector tangente unitario
Curvatura
Vectores normal unitario principal y binormal
Funciones vectoriales 26 / 48

77. Longitud de arco
Supongamos que r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, parametriza la curva C.
Funciones vectoriales 27 / 48

78. Longitud de arco
Supongamos que r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, parametriza la curva C.
Funciones vectoriales 27 / 48

79. Longitud de arco
Supongamos que r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, parametriza la curva C.
Una partición de [a, b], P = {a = t0, t1, ..., tn = b}, induce una partición
en C.
Funciones vectoriales 27 / 48

80. Longitud de arco
Supongamos que r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, parametriza la curva C.
Una partición de [a, b], P = {a = t0, t1, ..., tn = b}, induce una partición
en C.
Asumiendo que el camino desde A hasta B se recorre una sola vez cuando
t varı́a desde t = a hasta t = b, sin volverse sobre sı́ mismo o retroceder,
una aproximación a la longitud del arco AB es la suma de las longitudes
Lk.
Funciones vectoriales 27 / 48

81. Longitud de arco
Supongamos que r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, parametriza la curva C.
Una partición de [a, b], P = {a = t0, t1, ..., tn = b}, induce una partición
en C.
Asumiendo que el camino desde A hasta B se recorre una sola vez cuando
t varı́a desde t = a hasta t = b, sin volverse sobre sı́ mismo o retroceder,
una aproximación a la longitud del arco AB es la suma de las longitudes
Lk. Sumaremos las longitudes de los segmentos Lk, con extremos en los
puntos Pk−1 = r(tk−1) y Pk = r(tk), para k = 1, ..., n.
Funciones vectoriales 27 / 48

82. Longitud de arco
Aproximaremos la longitud de cada subarco por medio de la longitud del
segmento Lk:
Lk =
q
(∆xk)2 + (∆yk)2
Si las funciones componentes de r, x
y y (funciones de t) satisfacen (cada
una) las hipótesis del Teorema del
Valor Medio en el intervalo [tk−1, tk],
entonces existen puntos t∗
k y t∗∗
k en
(tk−1, tk) tales que
∆xk = x(tk) − x(tk−1) = x0
(t∗
k )(tk − tk−1) = x0
(t∗
k )∆tk
∆yk = y(tk) − y(tk−1) = y0
(t∗∗
k )(tk − tk−1) = y0
(t∗∗
k )∆tk
Ası́
Lk =
q
(x0(t∗
k )∆tk)2 + (y0(t∗∗
k )∆tk)2
Funciones vectoriales 28 / 48

83. Longitud de arco
Ya que en cada subarco tenemos
Lk =
q
(x0(t∗
k ))2 + (y0(t∗∗
k ))2∆tk,
la longitud de arco de la curva suave L se aproxima por
n
X
k=1
Lk =
n
X
k=1
q
(x0(t∗
k ))2 + (y0(t∗∗
k ))2∆tk.
Aunque esta no es una suma de Riemann, si las funciones x0 y y0 son
continuas en [a, b], el lı́mite para kPk → 0 es la integral. Por esto:
Longitud de arco de una curva suave
La longitud de arco de una curva suave (plana o en el espacio) dada por
r(t), a ≤ t ≤ b, que se recorre una vez cuando t crece de a a b, es
Funciones vectoriales 29 / 48

84. Longitud de arco
Ya que en cada subarco tenemos
Lk =
q
(x0(t∗
k ))2 + (y0(t∗∗
k ))2∆tk,
la longitud de arco de la curva suave L se aproxima por
n
X
k=1
Lk =
n
X
k=1
q
(x0(t∗
k ))2 + (y0(t∗∗
k ))2∆tk.
Aunque esta no es una suma de Riemann, si las funciones x0 y y0 son
continuas en [a, b], el lı́mite para kPk → 0 es la integral. Por esto:
Longitud de arco de una curva suave
La longitud de arco de una curva suave (plana o en el espacio) dada por
r(t), a ≤ t ≤ b, que se recorre una vez cuando t crece de a a b, es
L =
Z b
a
|r0
(t)|dt.
Funciones vectoriales 29 / 48

85. Función longitud de arco
Definición
Dada una curva suave por r, a ≤ t ≤ b, se define la función longitud de
arco (con punto base r(a)) para cada t ∈ [a, b] por
s(t) =
Z t
a
|r0
(τ)|dτ.
Observación: debe notarse que por ser suave la curva se satisfacen las
hipótesis del T.F. del cálculo. Luego se tiene que s es derivable en cada
t ∈ [a, b] y
s0
(t) = |r0
(t)|.
Además, ds = |r0(t)|dt.
Funciones vectoriales 30 / 48

86. Longitud de arco y parametrización natural
Dada r(t) = (t2, t2), 1 ≤ t ≤ 3, ¿es suave?
Funciones vectoriales 31 / 48

87. Longitud de arco y parametrización natural
Dada r(t) = (t2, t2), 1 ≤ t ≤ 3, ¿es suave? r0(t) = (2t, 2t);
|r0(t)| = 2
√
2t.
Funciones vectoriales 31 / 48

88. Longitud de arco y parametrización natural
Dada r(t) = (t2, t2), 1 ≤ t ≤ 3, ¿es suave? r0(t) = (2t, 2t);
|r0(t)| = 2
√
2t.
a) hallar la longitud de arco desde t = 1 hasta t = 3:
Funciones vectoriales 31 / 48

89. Longitud de arco y parametrización natural
Dada r(t) = (t2, t2), 1 ≤ t ≤ 3, ¿es suave? r0(t) = (2t, 2t);
|r0(t)| = 2
√
2t.
a) hallar la longitud de arco desde t = 1 hasta t = 3:
L =
R 3
1 |r0(t)|dt = 8
√
2.
Funciones vectoriales 31 / 48

90. Longitud de arco y parametrización natural
Dada r(t) = (t2, t2), 1 ≤ t ≤ 3, ¿es suave? r0(t) = (2t, 2t);
|r0(t)| = 2
√
2t.
a) hallar la longitud de arco desde t = 1 hasta t = 3:
L =
R 3
1 |r0(t)|dt = 8
√
2.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = 1:
Funciones vectoriales 31 / 48

91. Longitud de arco y parametrización natural
Dada r(t) = (t2, t2), 1 ≤ t ≤ 3, ¿es suave? r0(t) = (2t, 2t);
|r0(t)| = 2
√
2t.
a) hallar la longitud de arco desde t = 1 hasta t = 3:
L =
R 3
1 |r0(t)|dt = 8
√
2.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = 1:
s(t) =
R t
1 |r0(τ)|dτ
Funciones vectoriales 31 / 48

92. Longitud de arco y parametrización natural
Dada r(t) = (t2, t2), 1 ≤ t ≤ 3, ¿es suave? r0(t) = (2t, 2t);
|r0(t)| = 2
√
2t.
a) hallar la longitud de arco desde t = 1 hasta t = 3:
L =
R 3
1 |r0(t)|dt = 8
√
2.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = 1:
s(t) =
R t
1 |r0(τ)|dτ=
√
2(t2 − 1),
Funciones vectoriales 31 / 48

93. Longitud de arco y parametrización natural
Dada r(t) = (t2, t2), 1 ≤ t ≤ 3, ¿es suave? r0(t) = (2t, 2t);
|r0(t)| = 2
√
2t.
a) hallar la longitud de arco desde t = 1 hasta t = 3:
L =
R 3
1 |r0(t)|dt = 8
√
2.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = 1:
s(t) =
R t
1 |r0(τ)|dτ=
√
2(t2 − 1), 0 ≤ s ≤ 8
√
2.
Funciones vectoriales 31 / 48

94. Longitud de arco y parametrización natural
Dada r(t) = (t2, t2), 1 ≤ t ≤ 3, ¿es suave? r0(t) = (2t, 2t);
|r0(t)| = 2
√
2t.
a) hallar la longitud de arco desde t = 1 hasta t = 3:
L =
R 3
1 |r0(t)|dt = 8
√
2.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = 1:
s(t) =
R t
1 |r0(τ)|dτ=
√
2(t2 − 1), 0 ≤ s ≤ 8
√
2.
c) reparametrizar la curva dada por r, usando como parámetro la longitud
de arco; verificar.
Funciones vectoriales 31 / 48

95. Longitud de arco y parametrización natural
Dada r(t) = (t2, t2), 1 ≤ t ≤ 3, ¿es suave? r0(t) = (2t, 2t);
|r0(t)| = 2
√
2t.
a) hallar la longitud de arco desde t = 1 hasta t = 3:
L =
R 3
1 |r0(t)|dt = 8
√
2.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = 1:
s(t) =
R t
1 |r0(τ)|dτ=
√
2(t2 − 1), 0 ≤ s ≤ 8
√
2.
c) reparametrizar la curva dada por r, usando como parámetro la longitud
de arco; verificar.
Despejando t en s =
√
2(t2 − 1) (lo cual es posible si s(t) es biyectiva), la
nueva parametrización es
u(s) = r(t(s)) =
s
√
2
+ 1,
s
√
2
+ 1
, 0 ≤ s ≤ 8
√
2
¿En qué difieren r y u?
Funciones vectoriales 31 / 48

96. r(t) = (t2
, t2
), 1 ≤ t ≤ 3, y u(s) =
s
√
2
+ 1,
s
√
2
+ 1
, 0 ≤ s ≤ 8
√
2.
r(1) = (1, 1) u(0) = (1, 1)
r(2) = (4, 4) u(
√
2) = (2, 2)
r(3) = (9, 9) u(2
√
2) = (3, 3)
Funciones vectoriales 32 / 48

97. Parámetro longitud de arco
Dada r(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π,
Funciones vectoriales 33 / 48

98. Parámetro longitud de arco
Dada r(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π,
a) hallar la longitud de arco desde t = π hasta t = 2π: L =
√
2π.
Funciones vectoriales 33 / 48

99. Parámetro longitud de arco
Dada r(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π,
a) hallar la longitud de arco desde t = π hasta t = 2π: L =
√
2π.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = π:
Funciones vectoriales 33 / 48

100. Parámetro longitud de arco
Dada r(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π,
a) hallar la longitud de arco desde t = π hasta t = 2π: L =
√
2π.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = π:
s(t) =
R t
π |r0(τ)|dτ
Funciones vectoriales 33 / 48

101. Parámetro longitud de arco
Dada r(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π,
a) hallar la longitud de arco desde t = π hasta t = 2π: L =
√
2π.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = π:
s(t) =
R t
π |r0(τ)|dτ=
√
2(t − π), 0 ≤ t ≤ 2π.
Funciones vectoriales 33 / 48

102. Parámetro longitud de arco
Dada r(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π,
a) hallar la longitud de arco desde t = π hasta t = 2π: L =
√
2π.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = π:
s(t) =
R t
π |r0(τ)|dτ=
√
2(t − π), 0 ≤ t ≤ 2π.
c) reparametrizar la curva dada por r, usando como parámetro la longitud
de arco; verificar.
Funciones vectoriales 33 / 48

103. Parámetro longitud de arco
Dada r(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π,
a) hallar la longitud de arco desde t = π hasta t = 2π: L =
√
2π.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = π:
s(t) =
R t
π |r0(τ)|dτ=
√
2(t − π), 0 ≤ t ≤ 2π.
c) reparametrizar la curva dada por r, usando como parámetro la longitud
de arco; verificar.
Despejando en s(t) =
√
2(t − π), tenemos t = s
√
2
+ π y ası́:
Funciones vectoriales 33 / 48

104. Parámetro longitud de arco
Dada r(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π,
a) hallar la longitud de arco desde t = π hasta t = 2π: L =
√
2π.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = π:
s(t) =
R t
π |r0(τ)|dτ=
√
2(t − π), 0 ≤ t ≤ 2π.
c) reparametrizar la curva dada por r, usando como parámetro la longitud
de arco; verificar.
Despejando en s(t) =
√
2(t − π), tenemos t = s
√
2
+ π y ası́:
u(s) = r(t) = r(
s
√
2
+ π) = (cos(
s
√
2
+ π), sen(
s
√
2
+ π),
s
√
2
+ π),
Funciones vectoriales 33 / 48

105. Parámetro longitud de arco
Dada r(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π,
a) hallar la longitud de arco desde t = π hasta t = 2π: L =
√
2π.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = π:
s(t) =
R t
π |r0(τ)|dτ=
√
2(t − π), 0 ≤ t ≤ 2π.
c) reparametrizar la curva dada por r, usando como parámetro la longitud
de arco; verificar.
Despejando en s(t) =
√
2(t − π), tenemos t = s
√
2
+ π y ası́:
u(s) = r(t) = r(
s
√
2
+ π) = (cos(
s
√
2
+ π), sen(
s
√
2
+ π),
s
√
2
+ π),
−
√
2π ≤ s ≤
√
2π.
Funciones vectoriales 33 / 48

106. Parámetro longitud de arco
Dada r(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π,
a) hallar la longitud de arco desde t = π hasta t = 2π: L =
√
2π.
b) definir la función longitud de arco con punto inicial t = π:
s(t) =
R t
π |r0(τ)|dτ=
√
2(t − π), 0 ≤ t ≤ 2π.
c) reparametrizar la curva dada por r, usando como parámetro la longitud
de arco; verificar.
Despejando en s(t) =
√
2(t − π), tenemos t = s
√
2
+ π y ası́:
u(s) = r(t) = r(
s
√
2
+ π) = (cos(
s
√
2
+ π), sen(
s
√
2
+ π),
s
√
2
+ π),
−
√
2π ≤ s ≤
√
2π.
Observación: el punto de la curva, (−1, 0, π), corresponde a r(π) y a u(0).
Funciones vectoriales 33 / 48

107. Recorrido
1 Funciones vectoriales
Funciones con valores vectoriales
Lı́mite y continuidad
Derivación de funciones vectoriales
Integración de funciones vectoriales
Longitud de arco
Vector tangente unitario
Curvatura
Vectores normal unitario principal y binormal
Funciones vectoriales 34 / 48

108. Vector tangente unitario
Definición
Dada r definida en [a, b], se define
T(t) :=
r0(t)
|r0(t)|
si r0(t) 6= 0.
Funciones vectoriales 35 / 48

109. Vector tangente unitario
Definición
Dada r definida en [a, b], se define
T(t) :=
r0(t)
|r0(t)|
si r0(t) 6= 0.
Funciones vectoriales 35 / 48

110. Vector tangente unitario
Definición
Dada r definida en [a, b], se define
T(t) :=
r0(t)
|r0(t)|
si r0(t) 6= 0.
Observación: ¿Qué pasarı́a si r0(t) = 0 para algún valor de t?
Funciones vectoriales 35 / 48

111. Recorrido
1 Funciones vectoriales
Funciones con valores vectoriales
Lı́mite y continuidad
Derivación de funciones vectoriales
Integración de funciones vectoriales
Longitud de arco
Vector tangente unitario
Curvatura
Vectores normal unitario principal y binormal
Funciones vectoriales 36 / 48

112. Curvatura
Motivación de la definición:
r(t) = (t cos(t), t sen(t)), 0 ≤ t ≤ 2π.
Funciones vectoriales 37 / 48

113. Curvatura
Motivación de la definición:
r(t) = (t cos(t), t sen(t)), 0 ≤ t ≤ 2π.
Funciones vectoriales 38 / 48

114. Curvatura
Motivación de la definición:
r(t) = (t cos(t), t sen(t)), 0 ≤ t ≤ 2π.
Funciones vectoriales 39 / 48

115. Curvatura
Se define la curvatura en un punto de una curva suave como κ := dT
ds .
Funciones vectoriales 40 / 48

116. Curvatura
Se define la curvatura en un punto de una curva suave como κ := dT
ds .
Fórmula de cálculo:
κ =
dT
dt
dt
ds
=
|T0(t)|
|r0(t)|
.
Funciones vectoriales 40 / 48

117. Curvatura
Se define la curvatura en un punto de una curva suave como κ := dT
ds .
Fórmula de cálculo:
κ =
dT
dt
dt
ds
=
|T0(t)|
|r0(t)|
.
Observación: por la definición de s(t) =
R t
t0
|r0(τ)|dτ, si r es suave se
puede aplicar el T.F.Cálculo y se tiene que s0(t) = |r0(t)|, lo cual permite
escribir
ds
dt
= |r0
(t)|;
dt
ds
=
1
|r0(t)|
.
Funciones vectoriales 40 / 48

118. Curvatura
Ejemplo: recta.
Dada una recta por r(t) = (a + dt, b + et, c + ft), t ∈ R,
Funciones vectoriales 41 / 48

119. Curvatura
Ejemplo: recta.
Dada una recta por r(t) = (a + dt, b + et, c + ft), t ∈ R, la curvatura en
un punto se puede calcular haciendo κ(t) = |T0(t)|
|r0(t)| :
r0
(t) = (d, e, f ); |r0
(t)| =
p
d2 + e2 + f 2;
Funciones vectoriales 41 / 48

120. Curvatura
Ejemplo: recta.
Dada una recta por r(t) = (a + dt, b + et, c + ft), t ∈ R, la curvatura en
un punto se puede calcular haciendo κ(t) = |T0(t)|
|r0(t)| :
r0
(t) = (d, e, f ); |r0
(t)| =
p
d2 + e2 + f 2;
T(t) =
1
√
d2 + e2 + f 2
(d, e, f ) = cte; T0
(t) = (0, 0, 0); κ(t) = 0.
Funciones vectoriales 41 / 48

121. Curvatura
Ejemplo: circunferencia.
Dada una circunferencia por r(t) = (a + R cos t, b + R sen t), 0 ≤ t ≤ 2π,
(R 0),
Funciones vectoriales 42 / 48

122. Curvatura
Ejemplo: circunferencia.
Dada una circunferencia por r(t) = (a + R cos t, b + R sen t), 0 ≤ t ≤ 2π,
(R 0), la curvatura en un punto se puede calcular haciendo
κ(t) = |T0(t)|
|r0(t)| :
r0
(t) = (−R sen t, R cos t); |r0
(t)| = R;
Funciones vectoriales 42 / 48

123. Curvatura
Ejemplo: circunferencia.
Dada una circunferencia por r(t) = (a + R cos t, b + R sen t), 0 ≤ t ≤ 2π,
(R 0), la curvatura en un punto se puede calcular haciendo
κ(t) = |T0(t)|
|r0(t)| :
r0
(t) = (−R sen t, R cos t); |r0
(t)| = R;
T(t) = (− sen t, cos t); T0
(t) = (− cos t, − sen t); κ(t) =
1
R
.
Funciones vectoriales 42 / 48

124. Curvatura
Ejemplo: circunferencia.
Dada una circunferencia por r(t) = (a + R cos t, b + R sen t), 0 ≤ t ≤ 2π,
(R 0), la curvatura en un punto se puede calcular haciendo
κ(t) = |T0(t)|
|r0(t)| :
r0
(t) = (−R sen t, R cos t); |r0
(t)| = R;
T(t) = (− sen t, cos t); T0
(t) = (− cos t, − sen t); κ(t) =
1
R
.
La curvatura en cada punto es la misma y depende del radio de la
circunferencia.
Funciones vectoriales 42 / 48

125. Otra fórmula de cálculo
La siguiente fórmula es de mucha utilidad. Véase el ejercicio 29 del TP 1.
Funciones vectoriales 43 / 48

126. Otra fórmula de cálculo
La siguiente fórmula es de mucha utilidad. Véase el ejercicio 29 del TP 1.
La curvatura de una curva suave r(t) = x(t)i + y(t)j, t ∈ [a, b], donde las
funciones x = x(t) y y = y(t) son dos veces derivables, está dada por la
fórmula
κ =
|ẋÿ − ẏẍ|
(ẋ2 + ẏ2)3/2
,
(un punto indica derivada primera y dos puntos indican derivada segunda,
ambas con respecto a t).
Funciones vectoriales 43 / 48

127. Recorrido
1 Funciones vectoriales
Funciones con valores vectoriales
Lı́mite y continuidad
Derivación de funciones vectoriales
Integración de funciones vectoriales
Longitud de arco
Vector tangente unitario
Curvatura
Vectores normal unitario principal y binormal
Funciones vectoriales 44 / 48

128. Vector normal unitario principal
Recordemos:
|T| = 1; T0
(t) · T(t) = 0.
El vector dT
ds es, por la regla de la cadena, dT
ds = dT
dt
dt
ds : es múltiplo de
dT
dt = T0(t) y es ortogonal a T.
Funciones vectoriales 45 / 48

129. Vector normal unitario principal
Recordemos:
|T| = 1; T0
(t) · T(t) = 0.
El vector dT
ds es, por la regla de la cadena, dT
ds = dT
dt
dt
ds : es múltiplo de
dT
dt = T0(t) y es ortogonal a T.
Definición
En un punto de una curva suave donde κ 6= 0, se define N :=
dT
ds
κ .
Funciones vectoriales 45 / 48

130. Vector normal unitario principal
Recordemos:
|T| = 1; T0
(t) · T(t) = 0.
El vector dT
ds es, por la regla de la cadena, dT
ds = dT
dt
dt
ds : es múltiplo de
dT
dt = T0(t) y es ortogonal a T.
Definición
En un punto de una curva suave donde κ 6= 0, se define N :=
dT
ds
κ .
Fórmula de cálculo:
Funciones vectoriales 45 / 48

131. Vector normal unitario principal
Recordemos:
|T| = 1; T0
(t) · T(t) = 0.
El vector dT
ds es, por la regla de la cadena, dT
ds = dT
dt
dt
ds : es múltiplo de
dT
dt = T0(t) y es ortogonal a T.
Definición
En un punto de una curva suave donde κ 6= 0, se define N :=
dT
ds
κ .
Fórmula de cálculo:
N =
dT
ds
κ
Funciones vectoriales 45 / 48

132. Vector normal unitario principal
Recordemos:
|T| = 1; T0
(t) · T(t) = 0.
El vector dT
ds es, por la regla de la cadena, dT
ds = dT
dt
dt
ds : es múltiplo de
dT
dt = T0(t) y es ortogonal a T.
Definición
En un punto de una curva suave donde κ 6= 0, se define N :=
dT
ds
κ .
Fórmula de cálculo:
N =
dT
ds
κ
=
dT
dt
dt
ds
dT
dt
dt
ds
Funciones vectoriales 45 / 48

133. Vector normal unitario principal
Recordemos:
|T| = 1; T0
(t) · T(t) = 0.
El vector dT
ds es, por la regla de la cadena, dT
ds = dT
dt
dt
ds : es múltiplo de
dT
dt = T0(t) y es ortogonal a T.
Definición
En un punto de una curva suave donde κ 6= 0, se define N :=
dT
ds
κ .
Fórmula de cálculo:
N =
dT
ds
κ
=
dT
dt
dt
ds
dT
dt
dt
ds
=
T0(t)
|T0(t)|
.
El plano determinado por los vectores T y N se llama plano osculador;
contiene al vector aceleración.
Funciones vectoriales 45 / 48

134. Vector binormal
El vector binormal en un punto de una curva suave donde κ 6= 0 se define
por B = T × N.
Funciones vectoriales 46 / 48

135. Vector binormal
El vector binormal en un punto de una curva suave donde κ 6= 0 se define
por B = T × N.
Observación: |B| =?
Funciones vectoriales 46 / 48

136. Vector binormal
El vector binormal en un punto de una curva suave donde κ 6= 0 se define
por B = T × N.
Observación: |B| =?
Marco TNB
Funciones vectoriales 46 / 48

137. Vector binormal
El vector binormal en un punto de una curva suave donde κ 6= 0 se define
por B = T × N.
Observación: |B| =?
Marco TNB
Funciones vectoriales 46 / 48

138. Componentes tangencial y normal de la aceleración
Recordar que en una curva suave, tenemos que
T =
r0(t)
|r0(t)|
=
dr/dt
ds/dt
=
dr
ds
; luego
dr
dt
=
dr
ds
ds
dt
= T
ds
dt
.
a =
dv
dt
=
d
dt
T
ds
dt
=
ds
dt
T0
(t) +
d2s
dt2
T
=
ds
dt
2
dT
ds
+
d2s
dt2
T
=
ds
dt
2
κN +
d2s
dt2
T
a(t) = |r0
(t)|2
κN +
d
dt
|r0
(t)|T
Funciones vectoriales 47 / 48

139. Componentes tangencial y normal de la aceleración
a(t) =
ds
dt
2
κN +
d2s
dt2
T
a(t) = |r0
(t)|2
κN +
d
dt
|r0
(t)|T
Regla de cálculo:
De |a|2 = a · a = a2
T + a2
N,
aN =
q
|a|2 − a2
T
Funciones vectoriales 48 / 48