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Curso de Titulación Modelado y Análisis de Sistemas Eléctricos bajo Condiciones de Operación no Senoidales ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier. http://scfie.fie.umich.mx/~jrincon/apuntes.htm

Series de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Preámbulo ,[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Funciones Periódicas ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Funciones Periódicas ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Funciones Periódicas ,[object Object],Series de Fourier. T 0 50 100 150 200 -3 -2 -1 0 1 2 3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24 

Funciones Periódicas ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Funciones Periódicas ,[object Object],Series de Fourier. 0 5 10 15 20 25 30 -2 -1 0 1 2 f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t) t f(t)

Funciones Periódicas ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Serie Trigonométrica de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Serie Trigonométrica de Fourier ,[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Serie Trigonométrica de Fourier ,[object Object],Series de Fourier. a n b n  n

Serie Trigonométrica de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Componentes y armónicas ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Componentes y armónicas ,[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Componentes y armónicas ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier. 0 50 100 150 200 -3 -2 -1 0 1 2 3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24 

Componentes y armónicas ,[object Object],Series de Fourier. Tiene tantas partes arriba como abajo de 1 por lo tanto, su componente de cd es 1. 0 50 100 150 200 -3 -2 -1 0 1 2 3 f(t)= 1+ cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24 

Ortogonalidad de senos y cosenos ,[object Object],Series de Fourier.

Ortogonalidad de senos y cosenos ,[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Ortogonalidad de senos y cosenos ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Ortogonalidad de senos y cosenos ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Ortogonalidad de senos y cosenos ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Cálculo de los coeficientes de la Serie ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Cálculo de los coeficientes de la Serie ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Cálculo de los coeficientes de la Serie ,[object Object],[object Object],Series de Fourier. 1 f(t) t . . . -T / 2 0 T / 2 T . . . -1

Cálculo de los coeficientes de la Serie ,[object Object],Series de Fourier.

Cálculo de los coeficientes de la Serie ,[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Cálculo de los coeficientes de la Serie Series de Fourier. -1 -0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 C omponentes de la Serie de Fourier t C omponentes S uma fundamental tercer arm ó nico quinto arm ó nico septimo arm ó nico

Cálculo de los coeficientes de la Serie ,[object Object],Series de Fourier. -6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Senoidal rectificada de media onda t f(t)

Funciones Pares e Impares ,[object Object],Series de Fourier.

Funciones Pares e Impares ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Funciones Pares e Impares ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Funciones Pares e Impares ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Funciones Pares e Impares ,[object Object],[object Object],Series de Fourier. 1 f(t) t . . . -T / 2 0 T / 2 T . . . -1

Simetría de Media Onda ,[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Simetría de Cuarto de Onda ,[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Simetría de Cuarto de Onda ,[object Object],Series de Fourier.

Simetría de Cuarto de Onda ,[object Object],Series de Fourier. f(t) t

Simetrías y Coeficientes de Fourier Series de Fourier. Simetría Coeficientes Funciones en la serie Ninguna Senos y cosenos Par b n =0 únicamente cosenos Impar a n =0 únicamente senos media onda Senos y cosenos impares

Simetrías y Coeficientes de Fourier Series de Fourier. Simetría Coeficientes Funciones en la serie Ninguna Senos y cosenos ¼ de onda par a n =0 (n par) b n =0 Sólo cosenos impares ¼ de onda impar a n =0 b n =0 (n par) Sólo senos impares

Simetrías y Coeficientes de Fourier ,[object Object],[object Object],Series de Fourier. 1 f(t) t . . . -T / 2 0 T / 2 T . . . -1

Fenómeno de Gibbs ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Fenómeno de Gibbs Series de Fourier.

Forma Compleja de la Serie de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Forma Compleja de la Serie de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Forma Compleja de la Serie de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Forma Compleja de la Serie de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier. 1 f(t) t . . . -T / 2 0 T / 2 T . . . -1

Forma Compleja de la Serie de Fourier ,[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Forma Compleja de la Serie de Fourier ,[object Object],Series de Fourier.

Forma Compleja de la Serie de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier. -6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Senoidal rectificada de media onda t f(t)

Espectros de Frecuencia Discreta ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Espectros de Frecuencia Discreta ,[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Espectros de Frecuencia Discreta ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier. 1 f(t) t . . . -T / 2 0 T / 2 T . . . -1

Espectros de Frecuencia Discreta ,[object Object],[object Object],Series de Fourier. -30 -20 -10 0 10 20 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Espectro de Amplitud de f(t) n  Cn  Frecuencia negativa (?) Frecuencia

Espectros de Frecuencia Discreta ,[object Object],Series de Fourier.

Potencia y Teorema de Parseval ,[object Object],Series de Fourier. 1 f(t) t h=Altura promedio T Area=Th

Potencia y Teorema de Parseval ,[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Potencia y Teorema de Parseval ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Potencia y Teorema de Parseval ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Potencia y Teorema de Parseval ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier. 1 f(t) t . . . -T / 2 0 T / 2 T . . . -1

De la Serie a la Transformada de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

De la Serie a la Transformada de Fourier ,[object Object],Series de Fourier. 1 f(t) t . . . -T -T / 2 0 T / 2 T . . . p -p / 2 p / 2

De la Serie a la Transformada de Fourier ,[object Object],[object Object],Series de Fourier.

De la Serie a la Transformada de Fourier ,[object Object],Series de Fourier.

De la Serie a la Transformada de Fourier ,[object Object],Series de Fourier. t -20 -10 0 10 20 0 0.5 1 1.5 p=1, T=2 t f(t) -20 -10 0 10 20 0 0.5 1 1.5 p=1, T=5 f(t) -20 -10 0 10 20 0 0.5 1 1.5 p=1, T=10 t f(t) -20 -10 0 10 20 0 0.5 1 1.5 p=1, T=20 t f(t)

De la Serie a la Transformada de Fourier ,[object Object],[object Object],Series de Fourier. -20 -10 0 10 20 0 0.5 1 1.5 p=1, T=  t f(t)

De la Serie a la Transformada de Fourier Series de Fourier. -50 0 50 -50 0 50 -50 0 50 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 p=1, T=5 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 p=1, T=10 -50 0 50 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 p=1, T=20 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 p=1, T=2  =n  0 c n

De la Serie a la Transformada de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

De la Serie a la Transformada de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier. Identidad de Fourier Transformada De Fourier

De la Serie a la Transformada de Fourier ,[object Object],[object Object],Series de Fourier. -p / 2 0 p / 2 1 f(t) t

De la Serie a la Transformada de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier. u(t) 0 1 t

La Transformada Rápida de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

La Transformada Rápida de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

La FFT y la Serie de Fourier ,[object Object],[object Object],Series de Fourier. 1 f(t) t . . . -T -T / 2 0 T / 2 T . . . p -p / 2 p / 2

La FFT y la Serie de Fourier ,[object Object],Series de Fourier. 0 1 2 0 0.5 1 1.5 32 muestras de f(t), de 0 a T k f(k)

La FFT y la Serie de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

La FFT y la Serie de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier. n 1 2 3 4 ... 16 17 18 19 ... 32 F(n) c 0 c 1 c 2 c 3 ... c 15 c -16 c -15 c -14 ... c -1

La FFT y la Serie de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier. n 1 ... 13 14 15 16 17 18 19 ... 32 F(n) c -16 ... c -3 c -2 c -1 c 0 c 1 c 2 c 3 ... c 15

La FFT y la Serie de Fourier ,[object Object],Series de Fourier. 0 10 20 30 0 0.2 0.4 0.6 Para el tren de pulsos p=1, T=2 n | F(n) | Espectro de Amplitud |F(n)|

La FFT y la Serie de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier. -50 0 50 0 0.2 0.4 0.6 para el tren de pulsos, p=1,T=2 w |F(w)| Espectro de Amplitud |F(n)|

La FFT y la Serie de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier. n 1 3 5 7 9 11 13 15 a n 0.6346 -0.2060 0.1169 -0.0762 0.0513 -0.0334 0.0190 -0.0062 b n -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625

La FFT y la Serie de Fourier ,[object Object],Series de Fourier. 0 10 20 30 -0.5 0 0.5 1 Coeficientes b n Coeficientes a n a 0

La FFT y la Serie de Fourier ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Medidores Digitales ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Series de Fourier.

Medidores Digitales ,[object Object],Series de Fourier.

Medidores Digitales ,[object Object],[object Object],Series de Fourier.

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