Este documento describe la transformada de Fourier y la serie de Fourier. La transformada de Fourier representa una función en el dominio del tiempo como una suma de funciones sinusoidales en el dominio de la frecuencia. La serie de Fourier expresa una función periódica como una suma de funciones sinusoidales con diferentes frecuencias múltiplos de una frecuencia fundamental. Se explican conceptos como la ortogonalidad de funciones seno y coseno y cómo calcular los coeficientes de la serie de Fourier para representar una función dada.

1. Transformada deTransformada de
FourierFourier

2. f(t) F(w)
LA TRANSFORMADA DE FOURIER

4. Los 4 tipos de transformacionesLos 4 tipos de transformaciones
de Fourier :de Fourier :

7. La propiedad de convolucion enLa propiedad de convolucion en
los cuatro casos :los cuatro casos :

8. Teorema de Parseval en losTeorema de Parseval en los
cuatro casos :cuatro casos :

13. Concepto de OrtogonalidadConcepto de Ortogonalidad
Ortogonalidad de las funciones seno y cosenoOrtogonalidad de las funciones seno y coseno
SerieSerie trigonométrica detrigonométrica de FourierFourier
Cálculo de los coeficientes de la Serie de FourierCálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier
Simetrías en señales periódicasSimetrías en señales periódicas
Forma Exponencial Compleja de la Serie deForma Exponencial Compleja de la Serie de
FourierFourier
Espectros de frecuencia discretaEspectros de frecuencia discreta
Potencia y Teorema de ParsevalPotencia y Teorema de Parseval
De la serie a la Transformada de FourierDe la serie a la Transformada de Fourier

14. OrtogonalidadOrtogonalidad
0g(t)f(t)
b
=∫ dt
a
Se dice que dos funciones f(t) y g(t) sonSe dice que dos funciones f(t) y g(t) son ortogonalesortogonales
en el intervalo a<t<b si se cumple que:en el intervalo a<t<b si se cumple que:
( )0=⋅gfaeEquivalent


15. Ejemplo: las funciones t y tEjemplo: las funciones t y t22
son ortogonales en elson ortogonales en el
intervalo –1< t <1 :intervalo –1< t <1 :
0
4
t
dttdttt
1
141
1
3
1
1
2
==∫=∫
−−−

16. Ejemplo: Las funciones sen t y cos t sonEjemplo: Las funciones sen t y cos t son
ortogonales en el intervalo –ortogonales en el intervalo –ππ
< t << t <ππ
::
0
2
tsen
sentcostdt
2
==∫
π−
ππ
π−

17. Norma de una funciónNorma de una función
dtNorma
a
∫=
b
f(t)f(t)}f(t){
Se define la norma de la función f(t) en el intervalo
a<t<ba<t<b como:

18. Ortogonalidad de un conjunto deOrtogonalidad de un conjunto de
funcionesfunciones
Se dice que las funciones fSe dice que las funciones fkk(t) son(t) son
ortogonalesortogonales en el intervalo a<t<b si dosen el intervalo a<t<b si dos
funciones cualesquiera ffunciones cualesquiera fmm(t), f(t), fnn(t) de dicho(t) de dicho
conjunto cumplenconjunto cumplen



=
≠
=∫
nmparar
nmpara0
dt(t)(t)ff
n
b
a
nm

19. Conjunto ortonormal de funcionesConjunto ortonormal de funciones



=
≠
=∫ nmpara
nmpara
dt
a
1
0
(t)(t)ff
b
nm
Se dice que las funciones fSe dice que las funciones fkk(t) son(t) son
ortonormalesortonormales en el intervalo a<t<b si dosen el intervalo a<t<b si dos
funciones cualesquiera ffunciones cualesquiera fmm(t), f(t), fnn(t) de dicho(t) de dicho
conjunto cumplenconjunto cumplen

20. Ortogonalidad de senos y cosenosOrtogonalidad de senos y cosenos
El conjunto infinito de funciones seno y cosenoEl conjunto infinito de funciones seno y coseno
forman un conjunto ortogonal de funciones en elforman un conjunto ortogonal de funciones en el
intervalo -intervalo -TT
//22<t<<t< TT
//22..
1,cos1,cosωω00t, cos2t, cos2ωω00t,cos3t,cos3ωω00t,...,t,...,
sensenωω00t,sen2t,sen2ωω00t,sen3t,sen3ωω00t,...t,...
ωω00==22ππ
//TT

21. Ortogonalidad de senos y cosenosOrtogonalidad de senos y cosenos
0
m
)(msen2
m
T/2)(msen2
m
t)(msen
t)dtcos(m
00
0
2/T
2/T
0
0
2/T
2/T
0 =
ω
π
=
ω
ω
=
ω
ω
=∫ ω
−−

22. Ortogonalidad de senos y cosenosOrtogonalidad de senos y cosenos
2.- f(t)=1 Vs. sen(m2.- f(t)=1 Vs. sen(mωω00t):t):
3.- cos(m3.- cos(mωω00t) Vs. cos(nt) Vs. cos(nωω00t):t):
0T/2)]m(cos-T/2)m[cos(
m
1
m
t)(mcos
t)dtsen(m
00
0
2/T
2/T
0
0
2/T
2/T
0
=ωω
ω
−
=
=
ω
ω−
=∫ ω
−−



≠=
≠
=∫ ωω
− 0nmpara2/T
nmpara0
t)dtt)cos(ncos(m
2/T
2/T
00

23. Ortogonalidad de senos y cosenosOrtogonalidad de senos y cosenos
4.- sen(m4.- sen(mωω00t) Vs. sen(nt) Vs. sen(nωω00t):t):
5.- sen(m5.- sen(mωω00t) Vs. cos(nt) Vs. cos(nωω00t):t):
n,mcualquierpara0t)dtt)cos(nsen(m
2/T
2/T
00 =∫ ωω
−



≠=
≠
=∫ ωω
− 0nmpara2/T
nmpara0
t)dtt)sen(nsen(m
2/T
2/T
00

24. Las integrales se pueden obtener con lasLas integrales se pueden obtener con las
identidades trigonométricas:identidades trigonométricas:
cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]
sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)]sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)]
sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]
sensen22
θθ = ½ (1-cos2= ½ (1-cos2θθ))
coscos22
θθ = ½ (1+cos2= ½ (1+cos2θθ))

25. Serie Trigonométrica de FourierSerie Trigonométrica de Fourier
Sea f(t) una función periódica con período T :Sea f(t) una función periódica con período T :

26. Serie Trigonométrica de FourierSerie Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ af(t) = ½ a00 + a+ a11cos(cos(ωω00t)+at)+a22cos(2cos(2ωω00t)+...t)+...
+ b+ b11sen(sen(ωω00t)+bt)+b22sen(2sen(2ωω00t)+...t)+...
ωω00=2=2ππ/T./T.
])tn(senb)tncos(a[a)t(f
1n
0n0n02
1
∑ ω+ω+=
∞
=

27. Cálculo de los coeficientes de laCálculo de los coeficientes de la
SerieSerie
])tn(senb)tncos(a[a)t(f
1n
0n0n02
1
∑ ω+ω+=
∞
=

28. Multiplicando ambos miembros por cos(nMultiplicando ambos miembros por cos(nωω00t) e integrandot) e integrando
de –T/2 a T/2 :de –T/2 a T/2 :
multiplicando por sen(nmultiplicando por sen(nωω00t) e integrando de –T/2 a T/2 :t) e integrando de –T/2 a T/2 :
integrando de –T/2 a T/2:integrando de –T/2 a T/2:
,...3,2,1,0ndt)tncos()t(fa
2/T
2/T
0T
2
n =∫ ω=
−
,...3,2,1ndt)tn(sen)t(fb
2/T
2/T
0T
2
n =∫ ω=
−
∫=
−
2/T
2/T
T
2
0 dt)t(fa

30. El intervalo de integración no necesita ser simétricoEl intervalo de integración no necesita ser simétrico
respecto al origen.respecto al origen.
Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno noComo la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no
solo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquiersolo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier
intervalo que cubra un periodo completointervalo que cubra un periodo completo
de tde t00 a ta t00+T, con t+T, con t00 arbitrarioarbitrario
las fórmulas anteriores pueden calcularse en cualquierlas fórmulas anteriores pueden calcularse en cualquier
intervalo que cumpla este requisito.intervalo que cumpla este requisito.

31. EjemploEjemplo: Encontrar la Serie de Fourier para: Encontrar la Serie de Fourier para
la siguiente función de periodo T:la siguiente función de periodo T:
1
f(t)
t
. . . -T
/2
0 T
/2
T . . .
-1



<<
<<−−
=
2
T
2
T
t0para1
0tpara1
)t(f

32. CoeficientesCoeficientes aann:: ∫ ω=
−
2/T
2/T
0T
2
n dt)tncos()t(fa




∫ ω+∫ ω−=
−
2/T
0
0
0
2/T
0T
2
dt)tncos(dt)tncos(








ω
ω
+ω
ω
−=
− 0
2/T
0
02/T
0
0
0
T
2
)tn(sen
n
1
)tn(sen
n
1
0npara0 ≠=

33. CoeficienteCoeficiente aa00:: ∫=
−
2/T
2/T
T
2
0 dt)t(fa




∫+∫−=
−
2/T
0
0
2/T
T
2
dtdt








+−=
− 0
2/T
2/T
0
T
2
tt
0=

34. Coeficientes bCoeficientes bnn:: ∫ ω=
−
2/T
2/T
0T
2
n dt)tn(sen)t(fb




∫ ω+∫ ω−=
−
2/T
0
0
0
2/T
0T
2
dt)tn(sendt)tn(sen








ω
ω
−ω
ω
=
− 0
2/T
0
02/T
0
0
0
T
2
)tncos(
n
1
)tncos(
n
1
[ ])1)n(cos())ncos(1(
n
1
−π−π−
π
=
[ ] 0npara))1(1
n
2 n
≠−−
π
=

35. Finalmente la Serie de Fourier queda comoFinalmente la Serie de Fourier queda como
[ ]...)t5(sen)t3(sen)t(sen
4
)t(f 05
1
03
1
0 +ω+ω+ω
π
=

36. ωω00==ππ, T=2, T=2

37. -1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Serie con 1 armónico

38. -1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Serie con 3 armónicos

39. -1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Serie con 5 armónicos

40. -1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Serie con 7 armónicos

41. -1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Serie con 13 armónicos

42. -1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Serie con 50 armónicos

43. -1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Serie con 100 armónicos

44. Serie Trigonométrica de FourierSerie Trigonométrica de Fourier
Forma compactaForma compacta
[ ]∑
∞
=
θ−ω+=
1n
n0n0 )tncos(CC)t(f
2
n
2
nn baC +=






=θ −
n
n1
n
a
b
tan

45. Una función periódica f(t) se puede escribir como la sumaUna función periódica f(t) se puede escribir como la suma
dede componentes sinusoidalescomponentes sinusoidales de diferentes frecuenciasde diferentes frecuencias
ωωnn=n=nωω00..
A la componente sinusoidal de frecuencia nA la componente sinusoidal de frecuencia nωω00::
CCnncos(ncos(nωω00t+t+θθnn) se le llama la) se le llama la enésima armónicaenésima armónica de f(t).de f(t).
A la primera armónica (n=1) se le llama laA la primera armónica (n=1) se le llama la componentecomponente
fundamentalfundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)y su periodo es el mismo que el de f(t)
A la frecuenciaA la frecuencia ωω00=2=2ππff00=2=2ππ/T se le llama/T se le llama frecuenciafrecuencia
angular fundamentalangular fundamental..

46. Componentes y armónicasComponentes y armónicas
A la componente de frecuencia cero CA la componente de frecuencia cero C00, se le llama, se le llama
componente de corriente directacomponente de corriente directa (cd) y corresponde al(cd) y corresponde al
valor promedio de f(t) en cada periodo.valor promedio de f(t) en cada periodo.
Los coeficientes CLos coeficientes Cnn y los ángulosy los ángulos θθnn son respectiva-menteson respectiva-mente
laslas amplitudesamplitudes y losy los ángulos de faseángulos de fase de las armónicas.de las armónicas.

47. EjercicioEjercicio: Encontrar la serie de Fourier para: Encontrar la serie de Fourier para
la siguiente señal senoidal rectificada dela siguiente señal senoidal rectificada de
media onda de periodo 2media onda de periodo 2ππ..
-6 -4 -2 0 2 4 6
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Senoidal rectificada de media onda
t
f(t)

48. Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se diceUna función (periódica o no) se dice
función parfunción par (o con simetría par) si su(o con simetría par) si su
gráfica es simétrica respecto al eje vertical,gráfica es simétrica respecto al eje vertical,
es decir, la función f(t) es par sies decir, la función f(t) es par si
f(t) = f(-t)f(t) = f(-t)
π 2π
f(t)
t
−π−2π

49. Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
En forma similar, una función f(t) se diceEn forma similar, una función f(t) se dice
función imparfunción impar o con simetría impar, si suo con simetría impar, si su
gráfica es simétrica respecto al origen, esgráfica es simétrica respecto al origen, es
decir, si cumple lo siguiente:decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)-f(t) = f(-t)
π 2π
f(t)
t
−π−2π

50. Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
EjemploEjemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o: ¿Las siguientes funciones son pares o
impares?impares?
f(t) = t+1/tf(t) = t+1/t
g(t) = 1/(tg(t) = 1/(t22
+1)+1)
Solución:Solución:
f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar.f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar.
g(-t)=1/((-t)g(-t)=1/((-t)22
+1) = 1/(t+1) = 1/(t22
+1)=g(t), por lo tanto g(t) es+1)=g(t), por lo tanto g(t) es
función par.función par.

51. Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
EjemploEjemplo: ¿La función h(t)=f(1+t: ¿La función h(t)=f(1+t22
) es par o) es par o
impar?, donde f es una función arbitraria.impar?, donde f es una función arbitraria.
Solución:Solución:
Sea g(t)= 1+tSea g(t)= 1+t22
, Entonces h(t)=f(g(t)), Entonces h(t)=f(g(t))
Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),
Pero g(-t)=1+(-t)Pero g(-t)=1+(-t)22
= 1+t= 1+t22
=g(t),=g(t),
finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t)finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t)
es función par, sin importar como sea f(t).es función par, sin importar como sea f(t).

52. Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
EjemploEjemplo: De acuerdo al ejemplo anterior,: De acuerdo al ejemplo anterior,
todas las siguientes funciones son pares:todas las siguientes funciones son pares:
h(t) = sen (1+th(t) = sen (1+t22
))
h(t) = exp(1+th(t) = exp(1+t22
)+5/ (1+t)+5/ (1+t22
))
h(t) = cos (1+th(t) = cos (1+t22
)+1)+1
h(t) = (1+th(t) = (1+t22
)-(1+t)-(1+t22
)1/2)1/2
etc...etc...
Ya que todas tienen la forma f(1+tYa que todas tienen la forma f(1+t22
))

53. Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
Como la función sen(nComo la función sen(nωω00t) es una función impart) es una función impar
para todo npara todo n≠≠0 y la función cos(n0 y la función cos(nωω00t) es unat) es una
función par para todo n, se tiene que:función par para todo n, se tiene que:
Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendráSi f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá
términos seno, por lo tanto btérminos seno, por lo tanto bnn= 0 para todo n= 0 para todo n
Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendráSi f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá
términos coseno, por lo tanto atérminos coseno, por lo tanto ann= 0 para todo n= 0 para todo n

54. Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
PorPor ejemploejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un, la señal cuadrada, ya analizada en un
ejemplo previo:ejemplo previo:
Es una función impar, por ello su serie de Fourier noEs una función impar, por ello su serie de Fourier no
contiene términos coseno:contiene términos coseno:
1
f(t)
t
. . . -T
/2
0 T
/2
T . . .
-1
[ ]...)t5(sen)t3(sen)t(sen
4
)t(f 05
1
03
1
0 +ω+ω+ω
π
=

55. Simetría de Media OndaSimetría de Media Onda
Una función periodica de periodo T se diceUna función periodica de periodo T se dice simétrica desimétrica de
media ondamedia onda, si cumple la propiedad, si cumple la propiedad
Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejoEs decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo
de las positivas pero desplazadas medio periodo:de las positivas pero desplazadas medio periodo:
)t(f)Tt(f 2
1
−=+
f(t)
t

56. Simetrías y Coeficientes de FourierSimetrías y Coeficientes de Fourier
SimetríaSimetría CoeficientesCoeficientes
FuncionesFunciones
en la serieen la serie
NingunaNinguna
Senos ySenos y
cosenoscosenos
ParPar bbnn=0=0
únicamenteúnicamente
cosenoscosenos
ImparImpar aann=0=0
únicamenteúnicamente
senossenos
mediamedia
ondaonda
Senos ySenos y
cosenoscosenos
imparesimpares
∫ ω=
2/
0
0
4
)cos()(
T
Tn dttntfa
∫ ω=
2/
0
0
4
)()(
T
Tn dttnsentfb





ω
=
∫ imparndttntf
parn
a
T
T
n
2/
0
0
4
)cos()(
0





ω
=
∫ imparndttnsentf
parn
b
T
T
n
2/
0
0
4
)()(
0
∫−
ω=
2/
2/
0
2
)cos()(
T
T
Tn dttntfa ∫−
ω=
2/
2/
0
2
)()(
T
T
Tn dttnsentfb

57. Simetrías y Coeficientes de FourierSimetrías y Coeficientes de Fourier
PorPor ejemploejemplo, la señal cuadrada, ya, la señal cuadrada, ya
analizada en un ejemplo previo:analizada en un ejemplo previo:
Es una función impar, por ello su serie deEs una función impar, por ello su serie de
Fourier sólo contiene términos seno deFourier sólo contiene términos seno de
frecuencia impar:frecuencia impar:
1
f(t)
t
. . . -T
/2
0 T
/2
T . . .
-1
[ ]...)t5(sen)t3(sen)t(sen
4
)t(f 05
1
03
1
0 +ω+ω+ω
π
=

58. Forma Exponencial Compleja de laForma Exponencial Compleja de la
Serie de FourierSerie de Fourier

59. Sea f(t) una función periodica con periodo T=2Sea f(t) una función periodica con periodo T=2ππ//ωω00..
A partir de la forma trigonométrica de la Serie de Fourier:A partir de la forma trigonométrica de la Serie de Fourier:
Por identidades de Euler:Por identidades de Euler:
])tn(senb)tncos(a[a)t(f
1n
0n0n02
1
∑ ω+ω+=
∞
=
)ee()tn(sen
)ee()tncos(
tjntjn
j2
1
0
tjntjn
2
1
0
00
00
ω−ω
ω−ω
−=ω
+=ω

60. ])ee(b)ee(a[a)t(f
1n
tjntjn
j2
1
n
tjntjn
2
1
n02
1 0000
∑
∞
=
ω−ωω−ω
−+++=
]e)jba(e)jba([a)t(f
1n
tjn
nn2
1tjn
nn2
1
02
1 00
∑
∞
=
ω−ω
++−+=
)(),(, 2
1
2
1
02
1
0 nnnnnn jbaFjbaFaF +=−== −

61. )()(
1
0
00
∑
∞
=
−
−++=
n
tjn
n
tjn
n eFeFFtf ωω
∑∑
−∞
−=
∞
=
++=
11
0
00
)(
n
tjn
n
n
tjn
n eFeFFtf ωω
∑
∞
−∞=
=
n
tjn
neFtf 0
)( ω

62. A la expresión obtenida se le llamaA la expresión obtenida se le llama
Forma exponencial compleja de laForma exponencial compleja de la
serie de Fourierserie de Fourier
∑
∞
−∞=
=
n
tjn
neFtf 0
)( ω