Axioma de los números reales y sus teoremas.pdf

1/1/24, 10:32 ✅Axioma de los números reales y sus teoremas - Ciencias Básicas
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1. Axioma De Los números
Reales
34 minutos de lectura
Tal vez uno de los mayores problemas que travesaron los matemáticos
desde antes de 1900 es la correcta definición de los números reales ya que
los números irracionales como eran tan inimaginables como intentar
definir lo que se entendía por el concepto de punto o peor aún, intentar
definir el color azul para un niño de 5 años.
La teoría axiomática fue unos de los intentos (mas no el primero) en lograr
definir los números reales pero resulta ser una teoría incompleta, por poner
un ejemplo, para demostrar los teoremas de la teoría exponentes para una
exponente real no suficientes con los axiomas de campo y de orden, pero
sirve de base para definir otras teorías que desarrollaremos en secciones
posteriores y junto con todas ellas serán condiciones necesarias para definir
correctamente el concepto de número real (sobre todo los irracionales) y
demostrar propiedades que si bien son insuficientes únicamente con la
teoría axiomática pero suficientes con el axioma del supremo.
√2
POR: SERGIO COHAGUILA
Amor a la física y matemáticas


Dicho esto, comencemos con la teoría axiomática que fue desarrollado por
el físico y matemático David Hilbert.
CONCEPTOS PREVIOS (OPCIONAL)
INTRODUCCIÓN DE LAS RELACIONES BINARIAS
LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA
Los conceptos que verán a continuación son puramente opcionales,
algunas terminologías que usaremos no muy a menudo en el tema
central de la sección son explicadas con detalle en este acordeón,
pero puedes pasar de largo y seguir con el tema central sin perjudicar
la lógica del desarrollo de la teoría.

TABLA DE CONTENIDO
Definición Axiomática de los números reales
Construcción de los números reales
Clasificación de los números
Números naturales
Números enteros
Números racionales
Números reales
Axiomas de campo
I. Axiomas de la adición
II. Axiomas de la multiplicación
III. Axioma de la distribución respecto a la suma
IV. Axioma de igualdad
V. Axiomas de orden
Introducción al Axioma del supremo y otras
construcciones de los números reales
Teoremas de los números reales
I. Teorema de la adición
II. Teoremas de la multiplicación
III. Teoremas sobre las relaciones de orden
Fin de la sección actual
Referencias
Definición Axiomática de los números reales
Llamamos sistema de números reales al conjunto
denotado por el símbolo y cumple con dos
operaciones internas llamadas adición y
multiplicación, junto con el axioma de distribución
de la multiplicación respecto a la suma, axiomas de
igualdad, axioma de orden y el axioma del
supremo.
R

Si quitásemos el axioma del supremo, podríamos definir el mismo concepto
para los racionales , sí, además quitamos el concepto de división a los
racionales, la operación interna de la multiplicación no tendría un inverso
multiplicativo y se reduciría únicamente a los enteros , si quitásemos el
concepto de diferencia o resta en los reales, no existiría un inverso aditivo y
los reales se reduciría únicamente a los naturales .
Esto explica que existe una serie de condiciones necesarias y suficientes
para que cada campo numérico tenga una peculiaridad única y que
cumplan unas propiedades especificas según sea su campo. Lo interesante
aquí es que una propiedad en el campo numérico contiene a la otra.
Ahora veamos cada una de estas condiciones que definen axiomáticamente
a los números reales.
Construcción de los números reales
La teoría axiomática de los números reales como los axiomas de la suma y
multiplicación, mas conocidos como los axiomas de campo y los axiomas de
orden representan posiblemente una manera de explicar los números
racionales, sin embargo, no indica ninguna diferencia con los números
irracionales ni explica su existencia, es por ellos que hace falta un ultimo
axioma, se le conoce como el axioma del supremo o de completitud que
explicaremos brevemente mas adelante.
Este axioma es capaz de darle sentido en toda su extensión a los números
reales tal que los racionales e irracionales descansan sin ningún problema
lógico en un único conjunto.
Bajo esta consideración, si representamos el conjunto de los números
reales, racionales e irracionales por los símbolos , y , significa que
, otro punto a considerar aquí es que los números racionales e
irracionales son dos conjuntos totalmente diferentes y no tienen elementos
en común, esto implica simbólicamente que , en otras palabras,
y son conjuntos disjuntos. También se pueden clasificar alternativamente
Q
Z
N
R I Q
R = I ∪ Q
I ∩ Q = ϕ I
Q

los números reales como trascendentes y algebraicos desde otro contexto,
pero esto lo desarrollaremos en secciones posteriores.
Los números reales comprende otras clasificaciones que lo veremos en
breve y cumple los axiomas que que mencionaremos mas adelante.
Clasificación de los números
Números naturales
Nace por la necesidad de contar, siguen un orden creciente desde la unidad
y tiene un precedente muy bien definido, pero esto requiere una definición
simbólicamente más adecuada que no haremos aquí en este momento. Se
representa informalmente por y satisface el principio
de inducción.
Números enteros
Era necesario añadir los números negativos y nace por la necesidad de
hacer mediciones como por ejemplo la temperatura por debajo de los
0 grados Celsius. Su representaron informal está determinado por el
conjunto:
Números racionales
Era el más explotado por los pitagóricos entre otras escuelas del saber de
aquellas épocas. Se creía que los números racionales representaba a todos
los números conocidos y sin conocer, nace por la necesidad de indicar
porciones de una cantidad definida, como repartir una misma manzana en
diferentes partes o dividir un segmento por otro segmento como el
conocidísimo teorema de Thales donde implicaba proporcionalidad entre
segmentos no paralelos dividido entre 3 segmentos paralelos impartidos en
los cursos de geometría elemental. Los pitagóricos consideraban los
números y las razones como la esencia de la realidad.
Números reales
N = {0, 1, 2, 3, 4, ⋯}
Z = {⋯ − 5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ⋯}

Estos números nacieron no solo por necesidad, también vino con mucho
dolor, porque si bien era fácil comprender el significado de un número
racional, los pitagóricos no sabían cómo catalogar los números irracionales
como por ejemplo donde pensaron que era otro
número racional, pero no lo pudieron demostrar y se catalogaron en
conmensurables e inconmensurables.
Desde entonces se intentó de buscar maneras de definir correctamente un
número real y lo lograron, pero esto se verá en secciones posteriores.
Axiomas de campo
Sea un campo que representa a las operaciones habituales de adición y
multiplicación y para todo par de números reales , y , se cumplen los
siguientes axiomas de adición y multiplicación:
I. Axiomas de la adición
Sea un operador llamada suma simbolizado por “ ” y definido sobre los
números reales , entonces decimos que la suma es una ley de
composición interna u operación interna tal que las
componentes de la terna cumple los siguientes
axiomas de la adición:
I . Cerradura de la adición.
Esta ley se le conoce como la propiedad de cerradura de la adición, sin
embargo, este axioma queda implícito en , ya que resulta ser
una aplicación (o función) y obliga que sea único, para que me
entiendas mejor, mira el titulo Ley de composición interna y el concepto de
aplicación en el acordeón.
1
2
+ 1
2
= x
2
x = √2
∗
x y z
+
R
+ : R × R → R
(x, y, z) ∈ (R × R) × R
0
Para todo par de números e que pertenecen a ,
existe un único elemento llamado suma y denotado
por pertenecer a .
x y R
x + y R
∀x, y ∈ R|x + y ∈ R
+ : R × R → R
x + y

I . Ley conmutativa de la adición.
Esta ley se llama propiedad conmutativa de la adición.
I . Ley asociativa de la adición.
Esta ley la llamaremos propiedad asociativa de la adición.
I . Ley del elemento neutro de la adición.
Esta ley la llamaremos propiedad del elemento neutro aditivo.
I . Ley del elemento opuesto de la adición.
1
Para todo par de números reales e , se cumple
, es decir:
x y
x + y = y + x
∀x, y ∈ R|x + y = y + x
2
Para cualquier terna de números reales , y , se
cumple , esto es:
x y z
(x + y) + z = x + (y + z)
∀x, y, z ∈ R|(x + y) + z = x + (y + z)
3
Para todo número , existe un numero llamado
cero y denotado por tal que , esto es:
x ∈ R
0 x + 0 = x
∀x ∈ R∃!0 ∈ R|x + 0 = x
4

Esta ley la llamaremos propiedad del elemento opuesto o inverso aditivo.
II. Axiomas de la multiplicación
Sea un operador llamada multiplicación simbolizado por “ ” (si, un punto) y
definido sobre los números reales , entonces decimos que la
multiplicación es una ley de composición interna u operación interna
tal que las componentes de la terna
cumple los siguientes axiomas de multiplicación:
II . Cerradura para la multiplicación.
Esta ley la llamaremos propiedad de la cerradura para la multiplicación. De
la misma manera como la operación interna de la adición, la propiedad de la
cerradura está incluida en la propiedad interna .
II . Ley conmutativa de la multiplicación.
Para todo número , existe un único opuesto
denotado por tal que , es decir:
x ∈ R
−x x + (−x) = 0
∀x ∈ R, ∃ − x ∈ R|x + (−x) = 0
⋅
R
⋅ : R × R → R (x, y, z) ∈ (R × R) × R
0
Para todo par de números e que pertenecen a ,
existe un único elemento llamado producto y
denotado por pertenecientes a . A partir de
ahora, el producto la escribiremos así .
x y R
x ⋅ y R
x ⋅ y xy
∀x, y ∈ R|xy ∈ R
⋅ : R × R → R
1
Para todo par de números e , se cumple ,
es decir:
x y xy = yx

Esta ley la llamaremos la propiedad conmutativa de la multiplicación.
II . Ley asociativa para la multiplicación.
También la llamaremos como la propiedad asociativa de la multiplicación
II . Ley del elemento neutro para la multiplicación.
Esta ley se llama existencia del elemento neutro multiplicativo.
II . Ley del opuesto o inverso multiplicativo.
∀x, y ∈ R = xy = yx
2
Para cualquier terna de números , y se cumple
, en otras palabras:
x y z
(x, y)z = x(yz)
∀x, y, z ∈ R|(x, y)z = x(yz)
3
Para todo número , existe un número llamado
unidad denotado por tal que donde ,
simbólicamente:
x ∈ R
1 1 ≠ 0 x ⋅ 1 = x
∀x ∈ R, ∃!1 ∈ R|x ⋅ 1 = x
4
Para todo número , existe un opuesto
denotado por tal que , es decir:
x ≠ 0
1/x x(1/x) = 1

Llamaremos a esta ley existencia del elemento opuesto o inverso
multiplicativo.
III. Axioma de la distribución respecto a la suma
Este axioma es muy usado para demostrar las propiedades de productos
notables del curso de álgebra elemental que ya hemos publicado en una
sección exclusiva de la enseñanza media. La propiedad dice que para
cualquier terna de números reales , y se cumple que:
Esta ley se llama propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la
suma.
IV. Axioma de igualdad
Estos axiomas son, en otro ámbito, definiciones en la sección de relaciones
binarias, pero cuando digo “definiciones “, significa que las relaciones
binarias no siempre cumplen estas propiedades, pero para el caso de los
números reales, estas propiedades son inevitables e indemostrablemente
ciertas, veamos.
IV . Propiedad exclusiva de la igualdad.
El símbolo en forma de triángulo se usa para representan a la disyunción
exclusiva.
∀x ∈ R, ∃(1/x) ∈ R|x(1/x) = 1
x y z
(x + y)z = xz + yz
0
Para todo , y , se cumple que o o ,
simbólicamente:
x y z x = y x ≠ y
∀x, y ∈ R|x = y △ x ≠ y
△

IV . Propiedad reflexiva de la igualdad.
Esta ley se llama propiedad reflexiva de los números reales.
IV . Propiedad simétrica de la igualdad.
Esta propiedad sirve para elegir con que valor trabajar, llamamos a esta ley
propiedad simétrica.
IV . Propiedad transitiva de la igualdad.
Muy útil para realizar sustituciones, esta ley se llama propiedad transitiva.
1
Para todo número real , cumple que .
Simbólicamente:
x x = x
∀x ∈ R|x = x
2
Para todo par de números reales e , cumple que
si , entonces . Simbólicamente:
x y
x = y y = x
∀x, y ∈ R|x = y ⇔
3
Para cualquier terna de números reales , y
cumple que sí y , entonces .
Simbólicamente:
x y z
x = y y = z x = z
∀x, y, z ∈ R|x = y ∧ y = z ⇔ x = z

La relación de igualdad simbolizado por “ “ definida sobre los números
reales para las 3 ultimas propiedades IV , IV y IV mencionadas
anteriormente cumple lo que llamamos relación de equivalencia.
IV . Ley de unicidad de la adición.
Algunos autores (peruanos) intentan demostrar este axioma, sin embargo,
el procedimiento no resulta tan riguroso como se espera por lo que opté
cogerlo como axioma. Esta ley la podemos llamar unicidad de la adición.
IV . Ley de unicidad de la multiplicación.
Como en el caso anterior, esta ley la podemos llamar unicidad de la
multiplicación. La razón de llamarlo unicidad es porque cualquier valor real
que sumemos a los dos miembros, no resulta ser “no iguales “, es decir, son
lo mismo y únicos.
V. Axiomas de orden
Vamos a definir unos subconjuntos de los números reales y que a su vez son
disjuntos, comencemos por los reales positivos .
Definición de números reales positivos
=
R 1 2 3
4
Para cualquier terna de números reales , y , si
, entonces . Simbólicamente:
x y z
x = y x + z = y + z
∀x, y, z ∈ R|x = y ⇔ x + z = y + z
5
Para cualquier número real , y , si ,
entonces . Simbólicamente:
x y z x = y
xz = yz
∀x, y, z ∈ R|x = y ⇔ xz = yz
R
+

Y para los negativos, lo definiremos de la siguiente manera:
Definición de números reales negativos
De implica que que representan a los
reales positivos, de aquí se deduce que , como los reales
positivos, negativos y el conjunto no tiene elementos en común, suele
escribirse para los números reales así .
Ahora podemos definir los símbolos referentes a las desigualdades de la
siguiente manera.
Definición de desigualdades
Llamaremos números reales positivos denotado por
y además tal que cumple los siguientes
axiomas:
V : , tenga en
cuenta que lo opuesto no se cumple.
V : , el triángulo refiere
a la disyunción exclusiva.
V : .
R
+
R
+
⊊ R
0 ∀x, y ∈ R
+
⇒ x + y ∈ R
+
∧ xy ∈ R
+
1 ∀x ≠ 0|x ∈ R
+
△ −x ∈ R
+
△
2 0 ∉ R
+
Llamaremos números reales negativos denotado
por tal que:
R
−
R
−
= R– R
+
– {0}
R
−
= R– R
+
– {0} R
+
= R– R
−
– {0}
R = R
+
∪ R
−
∪ {0}
{0}
R = R
+
+ R
−
+ {0}

Los axiomas de orden son suficientes para demostrar incluso la ley de
tricotomia que generalmente se cataloga como axiomas entre otros
axiomas que lo presentaremos como teoremas, veamos las mas principales
aquí.
Algunos teoremas de orden que se presentan en
otros texto como axiomas.
Demostración: la demostración es inmediata, tomando la condición 1 de la
de la definición de desigualdad y haciendo queda demostrado el
teorema. Cuando decimos que es positivo.
Demostración: de la primera condición de la definición de la desigualdad,
haciendo, tenemos:
Llamaremos menor que al símbolo “ ” y mayor que
al símbolo “ ”, menor o igual que “ ” y mayor o
igual que “ ” tal que cumple las siguientes
condiciones:
<
> ≤
≥
✓ x < y ⇔ y − x ∈ R
+
✓ ∀x, y ∈ R|y > x ⇔ x < y
✓ ∀x, y ∈ R|x ≤ y ⇔ x < y △ x = y
✓ ∀x, y ∈ R|x ≥ y ⇔ x
Teorema 1: si y solo si .
0 < y y ∈ R
+
x = 0
y ∈ R
+
y
Teorema 2: Si , entonces .
x < 0 x ∈ R
−
x < 0 ↔ 0– x ∈ R
+
⇔ x < 0 ↔– x ∈ R
+

Centrémonos en , por la condición 2 de la definición de los reales
positivos donde solo es posible que o o , pero como
es verdadera, entonces es falsa o su equivalente ,
aquí jugaremos con los conceptos de los conjuntos. De la definición de los
reales negativos , despejando implica ,
remplazando en , tenemos:
Su equivalente sería:
Desde el inicio de la demostración usamos la condición
, donde dice que por lo que su opuesto
queda descartado de la proposición anterior quedando.
Para lograr que , recuerden la elección original , hay un
teorema que demostraremos luego y está implícito en los axiomas de
campo ya expuestas y dice que , si elegimos para la elección,
queda:
Por lo que resulta ser una contradicción ya que la definición de los reales
positivos de la condición 3 que dice lo cual queda descartado,
entonces la proposición se reduce a ya que
implica que .
Por tanto, queda demostrado que si implica que . Decimos
entonces que es negativo.
−x ∈ R
+
x ∈ R
+
−x ∈ R
+
−x ∈ R
+
x ∈ R
+
x ∉ R
+
R
−
= R– R
+
– {0} R
+
R
+
= R– R
−
– {0}
x ∉ R
+
x ∉ R– R
−
– {0}
∼ (x ∈ R– R
−
– {0})
∼ (x ∈ R ∧ R
−
+ {0})
x ∉ R ∨ x ∈ − + {0}
x ∉ R ∨ x ∈ R
−
∨ x ∈ {0}
∀x, y ∈ R|x < y ⇔ y − x ∈ R
+
x ∈ R
x ∉ R
x ∈ R
−
∨ x ∈ {0}
x ∉ 0 −x ∈ R
+
−0 = 0 x = 0
−0 ∈ R
+
⇔ 0 ∈ R
+
0 ∉ R
+
x ∈ R
−
∨ x ∈ {0} x ∈ R
−
x ∈ {0} x = 0
x < 0 x ∈ R
−
x

Nota: esta demostración no lo vas a ver (tal vez) en
ningún libro ya que solo es posible desde la
definición de los reales positivos, definición que
extraje del libro de Apostol, Calculus I.
Demostración: partiendo de y de la condición 2 de la definición de
los reales positivos , por las propiedades de lógica,
implica lo siguiente:
Trabajando con cómo , remplazando,
tenemos:
Descomponiendo, resulta:
o su equivalente:
Comencemos a simplificar, de la proposición es falsa ya que desde
un inicio habíamos establecido que ya que , quedando:
ó
Teorema 3: , es decir es
equivalente a .
∀x ∈ R
+
⇔ −x ∈ R
−
∀x ∈ R
+
−x ∈ R
−
x ∈ R
+
x ∈ R
+
△ −x ∈ R
+
(x ∈ R
+
) ∧ (x ∈ R
+
△ −x ∈ R
+
)
∼ (– x ∈ R
+
) R
+
= R– R
−
– {0}
∼ (– x ∈ R– R
−
– {0})
∼ (−x ∈ R ∧ −x ∉ R
−
+ {0})
−x ∉ R ∧ −x ∈ R
−
+ {0}
−x ∉ R
x ∈ R
+
R
+
⊊ R
−x ∈ R
−
+ {0}
−x ∈ R
−

Como hemos partiendo de y de la definición de números reales
positivos, la condición 3, nos dice que , nuestra proposición queda
reducida a:
Finalmente queda demostrado que . De la misma manera
se demuestra que también , esta propiedad nos ayudará
a demostrar el siguiente teorema:
Demostración: de la condición 2 de la definición de los números reales
positivos:
Como o lo que es lo mismo ,
remplazando en la proposición anterior demostramos finalmente que:
Demostración: La demostración es inmediata, partiendo de la definición de
los reales negativos:
Aquí nos dice evidentemente que , por tanto . Una manera mas
formal sería:
Entonces:
x ∈ R
+
x ≠ 0
−x ∈ R
−
x ∈ R
+
↔ x ∈ R
−
x ∈ R
−
⇔ −x ∈ R
+
Teorema 4: Para todo , se cumple que:
x ≠ 0
x ∈ R
+
△ x ∈ R
−
∀x ≠ 0|x ∈ R
+
△ −x ∈ R
+
x ∈ R
−
⇔ −x ∈ R
+
x ∈ R
−
≡ −x ∈ R
+
∀x ≠ 0|x ∈ R
+
△ x ∈ R
−
Teorema 5: Si , entonces .
x ∈ R
−
x ≠ 0
R
−
= R– R
+
– {0}
0 ∉ R
−
x ∉ 0
x ∈ R
−

De aquí implica que quedando demostrado el teorema. Tenga
en cuenta que si , entonces .
Demostración: Del teorema 4 se ha demostrado que si entonces:
Es decir, si , solo una de las dos proposiciones es verdadera:
En caso contrario, si los dos enunciados , resulta ser falsa,
debemos demostrar que , en efecto, partiendo de:
Como el símbolo representa la disyunción inclusiva, el lado izquierdo de la
equivalencia se escribiría así:
Este enunciado siempre es verdadero ya que el valor de debe estar en uno
de los 3 enunciados separados por la disyunción inclusiva, pero como
indicamos que , deben ser falsas, por los principios de lógica
proposicional, se cumple de manera obligatoria que:
Esto prueba que y de esta manera queda probado la primera ley de la
tricotomía.
x ∈ R– R
+
– {0}
x ∈ R ∧ x ∉ R
+
∧ x ∉ {0}
x ∉ {0} x ∉ 0
R
−
= R– R
+
– {0} 0 ∉ R
−
Ley de tricotomía para los números reales (Teorema
6): Es verdadera una y solo una de las siguientes
relaciones:
x = 0, x ∈ R
+
, x ∈ R
−
x ∉ 0
x ∉ R
+
△ x ∈ R
−
x ∉ 0
x ∈ R
+
, x ∈ R
−
x ∈ R
+
x ∈ R
−
x = 0
x ∈ R ⇔ x ∈ R
+
+ R
−
+ {0}
+
x ∈ R
+
∨ x ∈ R
−
∨ x {0}
x
x ∈ R
+
x ∈ R
−
x ∈ {0}
x = 0

Introducción al Axioma del supremo y otras
construcciones de los números reales
Este axioma nos dice que:
También llamado axioma del extremo superior o axioma de completitud. No
indicaremos que significa “acotado superiormente”, “supremo”, entre otros
términos relacionados, tema que ya esta publicada y que puedes ver en el
barra lateral de esta publicación o al final si estas en móvil.
Ley transitiva para la relación de orden (Teorema
7): Propiedad transitiva. Para todo número real ,
y se cumple que y , entonces .
x y
z x < y y < z x < z
Teorema 8: Si , para todo se cumple que
.
x < y x ∈ R
x + z < y + z
Teorema 9: Si , para todo se cumple que
.
x < y z ∈ R
+
xz < yz
Teorema 10: Si , para todo se cumple
que .
x < y z ∈ R
−
xz > yz
Todo subconjunto de , de números reales
acotado superiormente tiene un supremo.
S ≠ ϕ

Lo único que haremos es un simple esbozo del curso, para comprender esta
situación, partiremos de un problema pitagorico en el siguiente apartado
El limite de los racionales
Los pitagóricos creían que los racionales era la esencia de la realidad, pero
en un triángulo rectángulo encontraron que donde no
era racional, era fácil demostrar su falta de racionalidad de este resultado
suponiendo que donde y son enteros positivos sin ningún factor
en común, o como comúnmente se dice, primos entre sí.
Al realizar el remplazo en siempre existía un factor en común entre
y donde hace suponer que es un número par donde es otro
entero, esto hacía que a su vez el número sea también par, esto implicaba
que los enteros y no son primos entre sí.
Esto demostraba que no era un número racional. En el álgebra elemental
podríamos encontrar otras situaciones como por ejemplo o
donde era fácil demostrar como en el caso anterior que no era racional.
Mucho menos si queremos intentar encontrar solución de la ecuación
, si hacemos para y , resultando , lo cual resulta
absurdo, pues, solo es posible la igualdad de ecuaciones exponenciales de
exponente entero con bases iguales, entre otros ejemplos similares.
Tenga en cuenta que muchos números irracionales no se puede demostrar
con tan solo igualar a la hipótesis de una fracción irracional irreductible,
muchos de ellos resulta ser muy complejos, pero eso es un tema aparte que
veremos en otra oportunidad.
El problema de fue tan impactante para los griegos que resolver el
valor de paso en un primer plano, incluso llegaron sacar una tabla de
valores lograr una aproximación de , como sigue:
1
2
+ 1
2
= x
2
x
2
= 2
x =
a
b
a b
x
2
= 2 a
b a a = 2k k
b
a b
x
x
3
= 5 x
2
=
2
5
x
10
x
= 7 x =
a
b
a b 10
a
= 7
b
x
2
= 2
x
√2
x y ≃ √2
x
y
1 1 1
2 3 1, 5

La importancia de la construcción de los números
reales
Este inconveniente suscito una construcción urgente de los números reales
donde los irracionales tengan un significado apropiado.
Si le damos una mirada histórica, los irracionales fueron conocido
antiguamente como números inconmensurables, llamado así porque
mientras se intentaba realizar una aproximación con números racionales,
desde el ángulo decimal, estos números eran cada vez más grandes y
aperiódicos como acabamos de ver hace un momento.
Para garantizar la existencia de los números reales, sobre todo de los
números irracionales, se han usado múltiples métodos que expondremos
en próximas secciones.
Una de ellas es el axioma del supremo, este axioma sirve para darle
existencia a los irracionales en los reales, sin embargo, el axioma de
supremo resulta (en una entrevista de algunos matemáticos de áreas de
matemática abstractas mencionado en el documento “los números reales“
por los autores Karen García Mesa, Yanelys Zaldívar, Celia Gálvez, Dr. Rita
Roldán (U. De La Habana)) ser el menos preferido ya que uno de los más
preferidos para definir y construir los números reales es es lo cortadura de
Dedekind por los matemáticos.
5 7 1, 4
12 17 1, 41666 ⋯
29 41 1, 4137931 ⋯
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅

Aparte del axioma del supremo y la cortadura de Dedekind, también existe
otra construcción llamado, a partir de sucesiones de Cauchy según Georg
Cantor y los intervalos encajados. Se puede demostrar que cualquiera de
estas propuestas es equivalente para la construcción de los números reales,
esto lo veremos en secciones posteriores.
Por último, existe una construcción moderna por parte de Thomas Blyth
(2005, tomada de la autora VIVIANA ANDREA PATIÑO MUÑOZ (ver
referencia), aunque no es su trabajo original, la autora indica la referencia
original de esta construcción moderna) usando teorías topológicas y que
también veremos en secciones posteriores (muy posteriores luego de
desarrollar el curso de topología, te sugiero que ni esperes este momento
porque ni se cuando lo publicaré).
Ahora finalicemos en esta sección los teoremas de la teoría axiomática de
los números reales.
Teoremas de los números reales
Ahora presentamos los teoremas que se desprenden de la teoría axiomática
y algunos teoremas principales ya expuesta anteriormente.
I. Teorema de la adición
Teorema I : El elemento neutro aditivo es único.
1
Teorema I : El elemento inverso aditivo es único.
2
Teorema I : ley de la simplificación para la
suma. Para 3 números reales , y , se cumple:
, entonces .
3
a b c
a + c = b + c a = b

Es importante resaltar una pequeña definición para la diferencia entre dos
números reales.
Definición de sustracción de números reales.
Teorema I : Para todo , se cumple .
4 a ∈ R −(−a) = a
Para todo , la suma entre y su inverso
aditivo se denota por , es decir:
a, b ∈ R a
b a − b
∀a, b ∈ R|a + (−b) = a − b
Teorema I : Dados , existe uno y solo un
tal que , además .
5 a, b ∈ R
x ∈ R a + x = b x = b − a
Teorema I : Para todo número , se cumple
.
6 a, b ∈ R
−(a + b) = −a– b
Teorema I : .
7 −0 = 0

II. Teoremas de la multiplicación
Indicamos la definición del cociente de dos números que nos servirá para
platear otros teoremas más.
Definición del cociente de dos números.
Teorema I : .
8 1 ∉ 0
Teorema II : El elemento neutro multiplicativo es
único.
1
Teorema II : El elemento inverso multiplicativo es
único.
2
Teorema II : Ley de simplificación para la
multiplicación. Para todo y , si
, entonces .
3
a, b, c ∈ R a ∉ 0
ab = ac b = c
Para todo y definimos el cociente
así:
a, b ∈ R a ∉ 0
b
a
a
−1
b =
b
a

Teorema II : Para todo y , si ,
entonces .
4 a ∈ R– {0} b ∈ R ab = 1
b = a
−1
Teorema II : Para todo número real se cumple
que .
5 a ≠ 0
(a
−1
)
−1
= a
Teorema II : Para todo , se cumple
.
6 a, b ∈ R– {0}
(ab)
−1
= a
−1
b
−1
.
7 a ∈ R– {0}
a ⋅ a
−1
= 1
Teorema II : Para todo número real se
cumple .
8 a, b ∈ R
ab = 0 → a = 0 ∨ b = 0
.
9 a, b, c ∈ R
a(b − c) = ab– ac

Teorema II : Si y , entonces .
10 ab = ac a ∉ 0 b = c
Teorema II : Para todo , entonces
.
11 a, b ∈ R
(−a)b = −ab
.
12 a, b ∈ R
(−a)(−b) = ab
.
13 a, b ∈ R
−a = (−1)a
Teorema II : si , entonces .
14 b ≠ 0 ( )b = a
a
b
15 bd ≠ 0 ( ) + ( ) =
a
b
c
d
ad+cb
bd
16 bd ≠ 0 ( )( ) =
a
b
c
d
ac
bd

Todo este álgebra e teoremas son las típicas formulaciones algebraicas
elementales de las cuatro operaciones aritméticas, si quiere tener una idea
elemental de desarrollo del álgebra de las cuatro operaciones, le invito que
visite la sección de operaciones algebraicas.
III. Teoremas sobre las relaciones de orden
Este teorema puede servir para definir los números complejos tal que no
existe un cuadrado que sea negativo, es decir, y si existiese,
debería existir un que no sea real, en este caso, debe definirse otro campo
denominado el campo de los números complejos.
Teorema II : Si: y ademas , entonces
.
17 =
a
b
c
d
bd ≠ 0
ad = cb
Teorema II : Se cumple si .
18 =
a/b
c/d
ad
bc
bcd ≠ 0
Teorema III : Si , entonces (definición
).
1 a ≠ 0 a
2
> 0
a ⋅ a = a
2
∃a ∈ R|a
2
< 0
a
C
Teorema III : .
2 1 > 0

Teorema III : , si y solo si ,
particularmente .
3 a < b −a > −b
a < 0 ⇔ −a > 0
Teorema III : Si , entonces y son o ambos
positivos o ambos negativos.
4 ab > 0 a b
Teorema III : Si , entonces y tienen signos
opuestos.
5 ab < 0 a b
Teorema III : Si y , entonces .
6 a < c b < d a + c < b + d
Teorema III : Si , entonces y si ,
entonces .
7 a > 0 > 0
1
a
a < 0
< 0
1
a
Teorema III : Si , entonces y si ,
entonces .
8 > 0
1
a
a > 0 < 0
1
a
a < 0
Teorema III : Si y , entonces .
9 a, b ∈ R
+
a < b b
−1
< a
−1

El resto de las propiedades referentes a las desigualdades con respecto a los
radicales se realizará en una sección posterior del mismo nombre, es decir,
de desigualdades.
Fin de la sección actual
Esto solo es el inicio de la teoría de los números reales, faltan otras teorías
alternativas que definen a los números reales, la próxima sección
desarrollaremos el axioma del supremo, un axioma que incorpora a los
números irracionales y le da un sentido mas amplio y llena el hueco que el
resto de los axiomas no puede, es decir, el axioma de supremo hace que los
números reales sean completos y sin huecos, en otras palabras, llena toda la
recta numérica.
Eso ha sido por hoy, nos vemos en la próxima sección, gracias.
Teorema III : Si y ,
entonces .
10 a, b, c, d ∈ R
+
a < b ∧ c < d
ac < bd
Teorema III : y si y solo si
.
11 > 0
a
b
b ≠ 0
(a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)
Teorema III : y si y solo si
.
12 < 0
a
b
b ≠ 0
(a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∨ b > 0)
Referencias

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CAPÍTULOS DEL CURSO
NÚMEROS REALES
Generalmente no agrego referencias pero aquí se los dejo:
Diferentes construcciones del número real
— Nestor Octavio Calderon Ramos (U. Nacional De Colombia)
Álgebra – Leyes de composición interna | Carlos Ivorra
Álgebra I – Leyes de composición | Armando de Rojo
Matemática Básica – Sistemas de números reales | Eduardo
Espinoza Rojas
Matemática Básica – Números reales | Moisés Lazaro
Matemática Básica – Números reales | Ricardo Figueroa Garcia
Análisis Matemático – Números reales: conjuntos numéricos
| Kudriavtsev
Axioma de los números reales | Wikipedia
Los números reales – Los números reales y el infinito | Carlos
Uzcátegui Aylwin
Calculus I – Un conjunto axiomático para los conjuntos de
números reales | Tom M. Apostol
Los números reales | Karen García Mesa, Yanelys Zaldívar, Celia
Gálvez, Dr. Rita Roldán (U. De La Habana)
Sobre la completez de Hilbert – Construcción de los números
reales: completación de la estructura topológica | VIVIANA
ANDREA PATIÑO MUÑOZ

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