Este documento describe la historia y clasificación de los números reales. Comienza explicando que los números reales se dividen en racionales (exactos o periódicos) e irracionales (algebraicos o trascendentes). Luego resume la concepción pitagórica de los números y cómo el descubrimiento de los irracionales los afectó. Finalmente, explica las diferentes formas de representar y aproximar números reales, incluyendo fracciones, decimales, la recta numérica y el truncamiento vs redondeo de irracionales.

1. El conjunto de los Números Reales
Los números reales pueden clasificarse en dos tipos en racionalesexactos o periódicos, e
irracionales algebraicos o trascendentes.
Un poco de historia
El número real y los pitagóricos
Los seguidores de Pitágoras de Samos, denominados los pitagóricos conformaban una
sociedad religiosa, según la cual todas las cosas sonnúmeros. Según esta concepción los
números no eran sólo entes abstractos o una construcción intelectual, sino algo tangible.
Según los pitagóricos los números serían como átomos de modo que las interacciones,
composiciones o combinaciones de los mismos permitirían formar el resto de los elementos
que forman todos los cuerpos existentes en la naturaleza.
Atendiendo a la concepción de número aceptada por los pitagóricos, como entidades
discontinuas y mínimas constituyentes de todas las cosas, sólo los números naturales
accederían a esta denominación. Otra cuestión interesante la constituyen la importancia que
se les atribuía a la representación como figuras geométrica de los números, y la identificación
de cada razón entre segmentos como razón entre enteros, de modo que uno de ellos pudiera
encontrarse un número c tal que otro número a sea igual a veces c.
Al margen de la concepción ratificada por los pitagóricos, un descubrimiento, lejos de
alegrarlos, les quitó el sueño. Este descubrimiento echaba por tierra la fe pitagórica en los
números naturales, esto es que dentro de la geometría las razones entre números naturales no
podían expresar la razón entre la diagonal de un cuadrado con su lado, o la de una diagonal
con la arista del cubo respectivo. Así estos pares de segmentos resultaron inconmensurables,
lo cual dio lugar al planteo de la existencia de los números irracionales. Son ejemplos de
números irracionales, el número Pi, el número de oro o , entre otros.
En el desarrollo del concepto de número real se pueden identificar las siguientes etapas:
1- El descubrimiento del número irracional
Este descubrimiento acerca de que no todos los pares de segmentos pueden expresar su
razón como cociente de dos naturales, como sucediera con la diagonal y el lado del cuadrado,
planteó un primer problema que llevó a los matemáticos de la época a separar las magnitudes
continuas del entorno de los números, para ir en busca de una teoría general que permitiera
integrar a los entes matemáticos inconmensurables.
2- La consideración de los decimales infinitos como números
En este caso la discusión se centraba cobre los decimales infinitos, no periódicos. Los cuales,
bien fueron aceptados como números debido a la utilidad en situaciones en que los

2. racionalesno podían dar respuestas, no era posible hablar de un marco establecido sobre el
número real a fines del siglo XVI.
3- Construcción formal del Número Real
Las consideraciones y fundamentaciones de Cantor, Dedekind y Weierstrass permitieron
abordar la conceptualización del número real para culminar con el problema, ya a fines del
siglo XIX.
Estos no fueron los únicos conceptos en los que se produjeron avances desde la matemática,
pero si son, de los que nos interesa destacar.
Representación de los Números Reales
Notación decimal y según su operatoria
En lo que se refiere a su escritura podemos identificar sistemas de representación tanto
numéricos como geométricos. En el primer caso debemos mencionar la escritura decimal para
el cual podemos expresar las fracciones decimales como potencias de . Del mismo modo, la
notación de expresiones infinitas viene dada por una serie de dichas potencias, con lo cual se
da lugar a la interpretación de las magnitudescontinuas. Sin embargo estas notaciones
permiten expresar los reales exactos o infinitos periódicos, queda así planteada la necesidad
de representar a los irracionales.
Para el caso de los números irracionales debemos acudir a la operatoria de la que proceden,
tanto para el caso de los irracionales trascendentes como los algebraicos, estos últimos por
ejemplo pueden expresarse con la raíz de una ecuación algebraica. Mientras que para los
primeros es necesario habitualmente recurrir a sus aproximaciones decimales.
Representacióngeométrica de los números reales
En este ámbito debemos plantear la representación de los números reales en la recta
numérica, cada uno de cuyos puntos representa un número real, permitiendo identificar
medidas de longitudes.
Es importante destacar que los números reales completan la recta numérica y además, en ella
los vemos ordenados de menos a mayor considerándolos de izquierda a derecha.
Expresiones equivalentes de números racionales
Escritura fraccionaria
Los números racionales admiten una escritura de la forma denominada escritura
fraccionaria, en la cual se identifican y que son números enteros, cuyas denominaciones
son numerador y denominador respectivamente. Éstos se encuentran separados por una raya

3. denominada raya de fracción, la cual deja expresado un cociente entre el par ordenado de
números mencionados.
En cuanto a la escritura fraccionaria, si consideramos el aspecto de la fracción como operador
y particularmente el fraccionamiento del entero en cien partes podemos identificar y expresar
a las fracciones como porcentajes, de modo que la cantidad de centésimos expresada
representa un determinado porcentaje cuando es acompañada del símbolo %. Por ejemplo
y representan 75% y 5%, respectivamente.
Escritura decimal
El cociente entre el numerador y el denominador de una fracción determinada permite
obtener la expresión decimal equivalente a la misma.
Como se mencionó anteriormente, las expresiones decimales pueden ser exactas o periódicas.
Las expresiones decimales exactastienen un número finito de cifras decimales, por lo cual
pueden expresarse mediante fracciones decimales, es decir a partir de fracciones cuyos
denominadores son potencias de 10.
Las expresiones periódicas corresponden a aquellas que poseen un número infinito de cifras
decimales que se repiten a partir de alguna de ellas. El grupo de cifras que se repiten
indefinidamente reciben el nombre de período de la expresión y se lo identifica por quedar
señalado bajo un arco. Así en el número 23,8123123123…, “123” es el período y el número se
expresa como 23,8 .
Las expresiones periódicas admiten además, una clasificación en puras o mixtas de acuerdo a
la cifra desde la cual se inicia el período. Así podemos identificar:
- Expresiones puras, que son aquellas cuyo período aparece inmediatamente después
de la coma. Son ejemplos de éstas, los números 0, o 2, entre otros.
- Expresiones mixtas, que corresponden a aquellas en las cuales el período es precedido
por una o más cifras decimales posteriores a la coma. Son ejemplos de éstas, los
número 12,12 o 4,18 , entre otros.
Es importante destacar que las expresiones decimales periódicas, por ser números racionales,
también admiten escritura fraccionaria pero, a diferencia de las expresiones exactas, no es
posible identificarlas con fracciones decimales.
Las fracciones equivalentes a números periódicos pueden obtenerse siguiendo una serie de
reglas, pero finalmente se obtendrán denominadores distintos de potencias de 10, quedando
denominadores formados por uno o más números 9, en el caso de las expresiones puras, o uno
o más números 9 y 0, en el caso de las expresiones mixtas.
Hasta aquí se mostró como los números racionales admiten una escritura fraccionaria, a
diferencia de los irracionales en cuyo caso es imposible.

4. Aproximación de irracionales a partir de expresiones decimales
Como se mencionó anteriormente, en el caso de los irracionales trascendentes, su
representación numérica requiere de aproximación decimal de los mismos. Para ello podemos
recurrir a los procedimientos de redondeo o truncamiento.
Para aproximar los números es necesario establecer cifras significativas, es decir el número de
cifras que se considerarán indispensables al momento de establecer la aproximación. Así
podemos considerar una aproximación del orden de los décimos, los centésimos, etc., con lo
cual consideramos 2 y tres cifras significativas, respectivamente.
Truncamiento.Consiste en “cortar” todas las cifras siguientes a la última cifra significativa.
Ejemplo. Aproximación a los centésimos: 12,023987 12,02
Redondeo. Consiste en hallar una aproximación del mismos según se especifique, pero
teniendo en cuenta la cifra inmediata siguientes a la última cifra significativa considerada. De
este modo, se tienen dos posibilidades:
a) La cifra siguientes a la última cifra significativa es menor que 5. En este caso, la
aproximación se obtiene mediante truncamiento, según lo expresado anteriormente.
Ejemplo. Aproximación a los décimos: 123,342234 123,3
b) La cifra siguiente a última cifra significativa es mayor o igual que 5. En ese caso, se
debe sumar 1 a la última cifra significativa. Ésa es la aproximación al número dado.
Ejemplo. Aproximación a los décimos: 54, 3847 54,4
Como se mencionó anteriormente,en ocasiones, cuando realizamos medidas debemos trabajar
con aproximaciones de los números involucrados y en estas oportunidades es común la
aparición de errores. Cuando de errores se trata, debemos tener en cuenta la existencia del
error absoluto y del error relativo. En cualquiera de estos casos, la matemática nos permite
calcularlos.