Teoria de conjunto

1. TEORIA DE CONJUNTO
Nelsy Aranguren
Ci 22203345

2. Introducción
La Teoría de conjuntos es la rama de la Matemática que estudia las propiedades de los conjuntos
y las operaciones a las que pueden ser sometidos.
En la vida cotidiana se habla a menudo de objetos agrupados en conjuntos: el conjunto de
muebles de una habitación, el conjunto de libros de una biblioteca, el conjunto de profesores de una
escuela, etc.
En todos estos casos se utiliza la palabra "conjunto" con el significado de colección de varios
objetos, que reciben el nombre de elementos.

3. Conjunto
Un conjunto o colección lo forman unos
elementos de la misma naturaleza, es decir,
elementos diferenciados entre sí pero que poseen
en común ciertas propiedades o características, y
que pueden tener entre ellos, o con los elementos
de otros conjuntos, ciertas relaciones.
Un conjunto puede tener un número finito o
infinito de elementos, en matemáticas es común
denotar a los elementos mediante letras
minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas,
así por ejemplo:
C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
En ocasiones un conjunto viene expresado por
la propiedad (o propiedades) que cumplen sus
elementos, por ejemplo:
es el conjunto de los números reales comprendidos
entre el 1 y el 2 ( incluidos ambos).
Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A =
B, solamente cuando constan de los mismos
elementos.
Diversos conjuntos numéricos.
En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más
elementales son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o
números que sirven para contar.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los
números enteros, o números que sirven para designar cantidades enteras
(positivas o negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El
conjunto de los números racionales, o números que pueden ser
expresados como un cociente (quotient) entre dos enteros, fracción, p/q.
Observen que algunos números con infinitos decimales tal como el
2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3.
No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136...
(raíz cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el número p ) que poseen
infinitos decimales pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos
números se les llama "números irracionales".
R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales,
formado por la unión de Q y de todos los números irracionales. Este
conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta
pueden ponerse en correspondencia con los infinitos números de R.

4. Operaciones con conjuntos.
Sea u {x { xe N }
A { 1,2,3,4,5,6}
B { 2,4,6,8}
1) a b { 2,4,6}
2) A u b { 1,2,3,4,5,68}
3) ab {1,3,5}
4) ba {8}
5) a* {7,8,9,10….}
6) {ab} u {ba}
7) {1,3,5} u {8}
8) { 1,3,5,8}

5. Números Reales
Los números reales son cualquier número que corresponda a un
punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales,
enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre
menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más
frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de
manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R
Dominio de los números reales
Entonces, tal y como hemos dicho, los
números reales son los números
comprendidos entre los extremos
infinitos. Es decir, no incluiremos estos
infinitos en el conjunto.
Dominio de los números reales.
Números reales en la
recta real
Esta recta recibe el nombre de recta
real dado que podemos representar en
ella todos los números reales.

6. Clasificación de los números reales
Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros, racionales e irracionales.
• Números naturales
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0)
excepto que se especifique lo contrario (cero neutral).
Expresión:
Números enteros
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los números negativos.
Expresión:
Números racionales
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como
cocientes de números enteros.
Expresión:
Números irracionales
Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica.
Expresión:

7. Ejemplos de números
reales
En el siguiente ejemplo sobre los números
reales, comprueba que los siguientes
números corresponden a punto en la recta
real.
 Números naturales: 1,2,3,4…
 Números enteros: …,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,
4…
 Números racionales: cualquier fracción de
números enteros.
 Números irracionales:
Desigualdades
Una desigualdad es un enunciado matemático que compara dos
expresiones usando el signo de desigualdad. En una desigualdad, una
expresión de la desigualdad puede ser más grande o más chica que la
otra expresión. Se utilizan símbolos especiales en estos enunciados. El
recuadro siguiente muestra el símbolo, el significado, y un ejemplo de
cada signo de desigualdad.

8. La parte importante de las
desigualdades es que puede haber
múltiples soluciones. Por ejemplo, la
desigualdad “31 ≥ el número de
días en un mes” es un enunciado
verdadero para cada mes del año
— no hay meses con más de 31
días. Es verdadero para Enero, que
tiene 31 días (31 ≥ 31);
Septiembre, que tiene 30 días (31 ≥
30); y Febrero, que tiene 28 o 29
días dependiendo del año (31 ≥ 28
y 31 ≥ 29).
La desigualdad x > y también se
puede escribir como y < x. Los lados
de cualquier desigualdad se pueden
cambiar uno por otro siempre y
cuando el símbolo de desigualdad
también se cambie.
Las desigualdades se pueden graficar en la recta numérica. Abajo se muestran tres
ejemplo de desigualdades y sus gráficas
Resolviendo Desigualdades Usando las Propiedades de la Suma y de
la Resta

10. El valor absoluto de un número representa
la distancia del punto a al origen.
Valor absoluto
El valor absoluto de un número real, x, se define como:

13. Conclusión
La Teoría de conjuntos creada por Cantor es de gran utilidad en las matemáticas, pues es una
herramienta importante para poder estudiar las relaciones existentes entre un todo y sus partes,
al mismo tiempo que sentó las bases paar simplificar definiciones de conceptos que resultaban
más complejas.
Más aún, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de
objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y
junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el
conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la
matemática. La propia teoría de conjuntos es objeto de estudio perse, no sólo como herramienta
auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos.
En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o
contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta
razón, los razonamientos y técnicas de la teoría de conjuntos se apoyan en gran medida en la
lógica matemática.