Demostraciones geometría

1. UNADM | DCEIT | MAT | GEO 1
Universidad Abierta y a Distancia de México
Segundo Semestre
Geometría
Actividad 1: Demostraciones
José Christian Padilla Navarro

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Teoremas y propiedades.
Instrucciones:
Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.
Argumenta tu respuesta.
a. Sean los planos P1, P2 y P3 contenidos en E donde no se da el caso que
sean paralelos entre ellos; entonces, la intersección entre ellos es una
línea recta R.
Tomando como base el postulado número 5 de la Geometría, que menciona
que:
Si tuviéramos en lugar de dos planos, tuviéramos tres, podría no existir una
intersección de los tres planos, y por tanto la afirmación es FALSA.

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b. Dadas tres rectas R1, R2 y R3 en un plano P. Si entre estas tres rectas
dos de ellas son paralelas y la tercer recta corta oblicuamente a las dos
que son paralelas, el punto en que las interseca es el punto de
intersección de las paralelas.
Por definición matemática, las rectas paralelas jamás se intersecan. Por
tanto, R1∩R2=0. Por lo que el punto de corte de la Recta 3 siempre será
diferente en R1 y R2. Por lo que es FALSO.
c. Todas las rectas de un plano tienen un punto central.
Todas las rectas, sean de un plano o no, tienen una cantidad de puntos
infinitos. Partiendo de esto, no es posible definir el punto medio del infinito. Si
fuese un segmento, la respuesta sería VERDADERO, pero sin tener definido un
punto inicial y un punto final en concreto, sería imposible de determinar.
d. Dos ángulos adyacentes, si son agudos, en algunos casos, juntos pueden
llegar a formar un ángulo recto.
Es VERDADERO, pueden llegar a estar unidos y sumar 90 grados, ya que los
ángulos agudos miden menos de 90 grados.

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e. Sean dos ángulos, los cuales son suplementarios, entonces la suma de
ambos es de 180º.
Por definición matemática, la suma de dos ángulos suplementarios es de 180
grados, por lo tanto, es VERDADERO.
f. Una línea recta R1 corta a R2 en un ángulo recto por su punto central,
R1 se llama una recta perpendicular de R2.
Si tenemos dos rectas (R1 y R2) y R1 corta a R2 por su punto central en un
ángulo recto, los ángulos formados serían de 90 grados, por lo que se
cortarían en ángulos rectos. Esto formaría dos rectas perpendiculares, por lo
que es VERDADERO.
g. Los ángulos internos de un triángulo son a su vez ángulos colaterales
internos por pares.
Los ángulos internos de cualquier triángulo, por definición matemática,
siempre van a sumar 180 grados. Tomando por pares los ángulos,
efectivamente siempre serán colaterales internos.

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h. Todos los ángulos alternos externos, si fueran adyacentes, entonces
serían suplementarios.
Esta regla solamente cumpliría cuando los ángulos alternos pertenecen a dos
rectas paralelas intersecadas, y, al no existir una generalización matemática,
es FALSO.
i. Las bisectrices de un triángulo rectángulo dividen a sus tres ángulos en
pares de ángulos complementarios.
Es FALSO, debido a que un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 grados,
los otros dos son agudos.
Realiza las siguientes demostraciones
a. Sean los puntos A, B y C colineales. Si BC̅̅̅ no contiene al punto A, entonces
dado el punto central D de BC̅̅̅ se cumple que AD̅̅̅̅=
BD̅̅̅̅+DC̅̅̅̅
2
.
La recta resultante sería la siguiente:
Considerando que la distancia de 𝐴𝐵̅̅̅̅ es igual a 𝐵𝐷̅̅̅̅ e igual a 𝐷𝐶̅̅̅̅, podemos
confirmar que es FALSO.
b. Sean A, B, C, D y E puntos colineales, tales que AB̅̅̅̅≡DE̅̅̅̅≡2CD̅̅̅̅. Entonces, si
m(AE̅̅̅)=75 y m(AB̅̅̅̅)+1=m(BC̅̅̅); determina las medidas de AB̅̅̅̅, BC̅̅̅,CD̅̅̅̅ y DE̅̅̅̅.
A B D C
A B C D E

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Podemos considerar que 𝐴𝐸̅̅̅̅= 𝐴𝐵̅̅̅̅ + 𝐵𝐶̅̅̅̅ + 𝐶𝐷̅̅̅̅ + 𝐷𝐸̅̅̅̅
𝐴𝐸̅̅̅̅ = 75
𝐴𝐵̅̅̅̅ + 1 = 𝐵𝐶̅̅̅̅
Realizando las sustituciones matemáticas necesarias, encontramos que
𝐴𝐵̅̅̅̅ =
148
7
𝐵𝐶̅̅̅̅ =
155
7
𝐶𝐷̅̅̅̅ =
74
7
𝐷𝐸̅̅̅̅ =
148
7
En donde,
𝐴𝐸̅̅̅̅ =
148
7
+
155
7
+
74
7
+
148
7
=
525
7
= 75
c. Sean dos ángulos. Si ambos ángulos tienen al mismo ángulo como
complementario, entonces ambos ángulos son congruentes.
Suponiendo que tenemos dos ángulos de 50 grados, y uno de 40 grados,
ambos ángulos de 50 grados serían congruentes.

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d. Sean dos ángulos opuestos, entonces la bisectriz de ambos ángulos está
sobre la misma recta.
Podemos ver que dicha afirmación es verdadera, y que la bisectriz de ambos
ángulos está sobre la misma recta.
e. Sea el triángulo definido por los puntos A, B y C. El
segmento AC̅̅̅̅ se extiende por otro segmento CD̅̅̅̅, se
forma así un ángulo ∢ BCD cuya bisectriz está dada
por la recta que contiene al segmento de recta CE̅̅̅.
Si los ángulos ∢ CAB= ∢ CBA, entonces los
segmentos AB̅̅̅̅ y CE̅̅̅ son paralelos.
Partiendo de la demostración gráfica del ejercicio,
podemos confirmar que los segmentos AB̅̅̅̅ y CE̅̅̅ son
paralelos.
B
A
C
E

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f. Sea el paralelogramo en forma de romboide definido por los puntos A, B,
C y D. Un segmento de recta AC̅̅̅̅ es una de las diagonales del romboide,
entonces los ángulos de los vértices B y D son congruentes.
Es posible observar, de forma gráfica, que los vértices B y D son congruentes y
opuestos, y, por tanto, AB, BC, CD y AD son iguales.
A B
C D