Este documento trata sobre cofactores en matrices. Explica que los cofactores se obtienen multiplicando los menores por -1 elevado a la suma de la fila y columna de la entrada. También presenta una regla general para calcular el determinante de una matriz como la suma de los cofactores a lo largo de cualquier fila o columna.

1. INIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUADALAJARA
ÁLGEBRA LINEAL
Laura Verónica Montes Cortés
alaveromontes44@hotmail.com

2. Introducción
Esta presentación tratara el tema de cofactores
en el desarrollo de determinantes de matrices en
cualquier orden.
Para ello se recordara el concepto de
determinante, además de hablar del menor ij
para llegar al tema central que es cofactores ij
y su aplicación en la solución de
determinantes de cualquier orden.
Para todos:
Espacio que aclara conceptos en palabras sencillas.

3. Introducción




















03
7
2
6
5
18
742
A
En la matriz A su orden es 3x3 porque esta
formado con tres filas y tres columnas y cada uno
de los números que lo componen es llamado
entrada o componente. El orden lo determinan la
columna y la fila a la que pertenece cada
elemento, por ejemplo:
En la matriz A la entrada se refiere al
número que esta en la fila i=2 y la columna j=3
623 a

4. Ejemplo

5. Determinante
• El determinante es una función que le asigna a
una matriz A de orden n a un escalar.
Si A es una matriz de orden n, el determinante
de la matriz A lo denotaremos por |A| (las barras
no significan valor absoluto).
Para todos:
Determinante es un único número real

6. Menor ij
Sea A una matriz de orden definimos el
menor asociado al elemento de A como
el determinante de la matriz que se obtiene al
eliminar la fila i y la columna j de la matriz A.
2n
ij
M ij
a
Para todos:
Por ejemplo un determinante 3x3; 4x4 se evalúa al desarrollar
por menores.

7. Ejemplo
• Si se quiere obtener el menor de la matriz













104
213
120
A
11M
11M
Procedemos a eliminar la fila 1 y la columna 1 de
A y evaluamos el determinante de la matriz
resultante , que es el menor

8. Ejemplo
El determinante de la matriz resultante , es el
menor
      12011
10
21
11











M
11M

9. Ejemplo
• Si se quiere obtener el menor de la matriz













104
213
120
A
23M
11M
Procedemos a eliminar la fila 1 y la columna 1 de
A y evaluamos el determinante de la matriz
resultante , que es el menor

10. Ejemplo
• Si se quiere obtener el menor de la matriz













104
213
120
A
23M
23M
Ahora se elimina la fila 2 y la columna 3 de A y
evaluamos el determinante de la matriz
resultante , que es el menor

11. Ejemplo
• Si se quiere obtener todos los menor de la matriz













104
213
120
A
Tenemos que proceder a eliminando tantas filas y
columnas como entradas tenga la matriz. Entonces
la matriz A de 3x3 tendrá nueve menores.

12. Cofactores ij
Hablar de los menores nos permite
entender con facilidad el proceso para
los cofactores.

13. Cofactor ij
Es el producto que se denota que
se obtiene de multiplicar el menor
por ji )1(
ij
ACof
ij
M
Para todos:
Este producto es un número que nos ayuda a obtener la
determinante de una matriz.
ij
M
ji
ij
ACof

 




 1

14. Ejemplo













104
213
120
A
• Si se quiere obtener de la matriz
22ACof

15. Ejemplo













104
213
120
A
• Procedemos identificando la entrada 22a

16. Ejemplo
 
       44140
4
22
14
1022
22
1
1









ACof
ACof
• Procedemos identificando la entrada 22a

17. Ejemplo
     
     
     
 
 
 
       









































jiiii
j
j
j
A
1312111
31
21
11
33
1
23
1
13
1
32
1
22
1
12
1
31
1211
11
1





• Si observas con atencion la definición del cofactor el
exponente del factor -1 es la suma de l número de la fila y
columna de la entrada que nos piden. Y ese exponente
sólo puede ser par o es impar, según eso es el signo del
factor -1. Se muestra en la siguiente imagen:

18. Ejemplo
• Queda como factor, para cada entrada:

19. Ejemplo
• Queda como factor, para cada entrada:

20. Regla general
Para determinantes de cualquier orden
• Si A es una matriz de orden n , entonces el determinante de la
matriz A es la suma de los cofactores a lo largo de cualquier
renglón o cualquier columna de la siguiente manera:
     
     
   columnasnjórenglonesnipara
MaMaMaA
ó
MaMaMaA
njnj
jn
jj
j
jj
j
inin
ni
ii
i
ii
i
,,3,2,1,,3,2,1
111
111
22
2
11
1
22
2
11
1









21. Ejemplo













104
213
120
A
• Obtener la determinante de la matriz A

22. Ejemplo
           
           
14
4100
401183210101
04
13
1311
14
23
2211
10
21
0111
arg
104
213
120
















A
A
A
A
renglónprimerdelolloa
A
• Obtener la determinante de la matriz A

23. Ejemplo
           
           
14
0410
300140118321
23
10
0231
14
10
1221
14
23
2211
arg
104
213
120















A
A
A
A
columnaSegundaladeolloa
A
• Obtener la determinante de la matriz A