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Trigonometría: Razones y conversiones (37c
- 1. TRIGONOMETRÍA JOSÉ LUIS HEREDIA MUÑOZ 2° MEDIO
- 2. ANTES DE COMENZAR CON LA UNIDAD DE TRIGONOMETRÍA Dividamos el perímetro de una circunferencia en 360 partes iguales...
- 3. Hay 360 ángulos como este entre dos divisiones consecutivas Este ángulo, en particular, se dice que mide 1º (un grado), y que corresponde a un ángulo entre los 360 que se pueden construir en la circunferencia.
- 4. Este ángulo mide 30º
- 5. ¿Cuánto mide este ángulo? 120º
- 6. Otra manera de medir los ángulos Construimos un ángulo que sustente un arco de longitud igual al radio. A tal ángulo diremos que mide 1 radián
- 7. ¿Cuánto vale la longitud del segmento de arco AB? r A B ? La longitud del perímetro de la circunferencia vale 2pr. En consecuencia como el arco AB es claramente la cuarta parte del perímetro, entonces la longitud del arco AB es igual a pr / 2. Es decir es p / 2 veces el radio, y por lo tanto el ángulo AOB vale p / 2 radianes.
- 8. A todo esto, ¿qué es el número p? ¿cuánto vale? p = 3.141592653 (aproximadamente, faltan decimales) 0 1 2 3 4 p r El área de una circunferencia (la zona roja) de radio r siempre vale pr2. Y su perímetro, es decir la longitud de la circunferencia, la línea que acota el círculo, vale 2pr
- 10. ¿Cómo es la conversión de grados a radianes? 360º = 2p radianes si esta igualdad la dividimos por 360 nos queda que 360 x 1º = 2p radianes 1º = 360 2p radianes 180 p radianes = Y por supuesto 1 radián = 180 p grados Sabemos que
- 11. 1º 180 p radianes = = 0,01745 radianes Por lo tanto si un ángulo mide 37º su conversión a radianes es de: 37º = 37 x 0.01745 radianes = 0,6457 radianes 1 radián = 180 p grados = 57,295 grados Por lo tanto si un ángulo mide 1,5 radianes su conversión a grados es 1,5 radianes = 1,5 x 57,295 = 85.94 grados = 85,94º
- 12. Equivalencia de ciertos ángulo
- 13. En esta clase veremos un nuevo concepto llamado razón trigonométrica, como bien lo dice su nombre una razón es una comparación entre dos magnitudes o cantidades como por ejemplo: la relación entre distancia y tiempo en una carrera, distancia y altura en un camino a la cúspide de una montaña etc. Al analizar las imágenes todas tienen un factor común “caminos con inclinación”.
- 14. ¿ Qué es la Trigonometría? La trigonometría es una herramienta útil para calcular alturas y distancias inaccesibles o de difícil acceso; se aplica en diversas áreas, como por ejemplo en la topografía, en la navegación y en la astronomía.
- 15. En un triángulo rectángulo las razones trigonométricas son relaciones entre las longitudes de sus lados que se establecen con respecto a sus ángulos agudos. Se pueden definir en un triángulo ABC las siguientes razones con respecto al ángulo α
- 17. ACTIVIDAD Observa el siguiente triángulo y calcula las razones trigonométricas con respecto a ambos ángulos.
- 18. RESUMEN
- 19. Razones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60° Para los ángulos de 30° y 60 ° observemos la siguiente situación para poder determinar el valor de sus razones trigonométricas Dado un triángulo ABC equilátero, trazamos su altura CH Si observamos el triángulo CHB, rectángulo en H, el ángulo en B mide 60° y el ángulo en C mide 30°. Además, el lado BH mide la mitad del lado AB Por otro parte la medida de x es: 𝒙 = 𝒍 𝟑 𝟐 , ya que corresponde a la altura del triángulo equilátero.
- 20. 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎° = 𝒍 𝟑 𝟐 𝒍 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎° = 𝒍 𝟑 𝟐𝒍 = 𝟑 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎° = 𝟏 𝟐 𝒍 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎° = 𝒍 𝟐𝒍 = 𝟏 𝟐 𝒕𝒈 𝟔𝟎° = 𝒍 𝟑 𝟐 𝒍 𝟐 𝐭𝐠 𝟔𝟎° = 𝟐𝒍 𝟑 𝟐𝒍 = 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎° = 𝒍 𝟐 𝒍 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎° = 𝒍 𝟐𝒍 = 𝟏 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎 ° = 𝒍 𝟑 𝟐 𝒍 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° = 𝒍 𝟑 𝟐𝒍 = 𝟑 𝟐 𝒕𝒈 𝟑𝟎° = 𝒍 𝟐 𝒍 𝟑 𝟐 𝐭𝐠 𝟑𝟎° = 𝟐𝒍 𝟐𝒍 𝟑 = 𝟏 𝟑 = 𝟑 𝟑 Observa que: 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎° = 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎° = 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎°
- 21. Razones trigonométricas para 45° Sea un cuadrado ABCD, trazamos la diagonal AC En el triángulo rectángulo ABC, rectángulo en B, los ángulos en A y en C miden 45°. Por otro parte la medida de x es: 𝒙 = 𝒍 𝟐, se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras.
- 22. 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° = 𝒍 𝒍 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° = 𝟏 𝟐 = 𝟐 𝟐 𝒕𝒈 𝟒𝟓° = 𝒍 𝒍 𝐭𝐠 𝟒𝟓° = 𝟏 Observa que: 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° = 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓° 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° = 𝒍 𝒍 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° = 𝟏 𝟐 = 𝟐 𝟐
- 23. En resumen:
- 24. Es importante precisar lo siguiente: