1. El documento presenta 30 problemas de geometría analítica sobre vectores, rectas y figuras planas. Los problemas incluyen hallar vectores, expresar vectores como combinaciones lineales, calcular ángulos entre vectores, determinar si pares de vectores forman bases, y encontrar ecuaciones de rectas y puntos notables de figuras. 2. Muchos problemas implican usar operaciones con vectores como suma, producto escalar y proyecciones para resolverlos. También involucran hallar ecuaciones paramétricas, generales y normales canónicas de rectas.

1. 17
TEMA 7. VECTORES.GEOMETRÍA ANALÍTICA.
1.- Halla el vector b

tal que
1
3
2
c a b 
 
, siendo ( 1,3)a  

y (7, 2)c  

.
2.- Expresa el vector (1,5)a 

como combinación lineal de los vectores (3, 2)b  

y
1
4,
2
c
 
  
 

.
3.- ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores forman una base?
a) (3, 1), ( 3,1)u v   
 
b)
2
(2,6), ,2
3
u v
 
   
 
 
c) (5, 4), (5,4)u v  
 
4.- Sea u

un representante del vector libre AB 
 

:
a) Halla las coordenadas de u

, sabiendo que (5, 3)A  y (3,4)B .
b) Halla las coordenadas del punto B sabiendo que ( 3,1)A  y (5,4)u 

.
c) Halla las coordenadas del punto A sabiendo que ( 1,7)B  y (3,4)u 

.
5.- Dado el romboide de vértices (1,1), (7,1), (5,3) y ( 1,3)A B C D  , demuestra vecto-
rialmente que el cuadrilátero que se obtiene al unir los puntos medios de cada lado
es un paralelogramo.
6.- Dados los puntos ( 3,5), (4,6), ( 1,9) y (8,6)A B C D  :
a) Halla el módulo, el argumento y las coordenadas de los vectores yAB CD
 
.
b) Calcula las coordenadas de dos vectores unitarios de la misma dirección y senti-
do que yAB CD
 
.
c) Calcula las coordenadas de un vector de módulo 2 en la dirección de BC

y en
sentido opuesto.
7.- Dados los vectores de la figura:
a) Determina las coordenadas de yu v
 
respecto de la
base canónica.
b) Halla , ,u v u v
   
.
c) Halla u v
 
.
d) Halla la proyección de u

sobre v

.
e) Calcula el ángulo que forman yu v
 
.

2. 18
f) Encuentra un vector unitario en la dirección y el sentido del vector u

.
g) Halla un vector ortogonal a u

de módulo 1.
8.- Prueba, con ayuda del producto escalar, el teorema del coseno.
9.- ¿Puede ser el módulo del vector suma de dos vectores de módulo 10 y 5, respecti-
vamente, mayor que 15? ¿Y menor que 4?
10.- Sean yu v
 
dos vectores tales que 2 2
( ) 25 y ( ) 9u v u v   
   
. Calcula el producto
escalar u v
 
.
11.- Dos vectores ya b

son tales que 10, 10 3 y 20a b a b   
  
. Halla el ángulo
que forman ya b

.
12.- Sean A, B, C y D cuatro puntos arbitrarios del plano. Demuestra que se verifica
siempre:
0AB CD AC DB AD BC                           
     
13.- Sea AB un segmento de longitud m y M su punto medio. Si P es un punto cual-
quiera del plano y d es su distancia a M, demuestra que se cumple:
2
2
2
m
PA PB d
 
   
 
 
14.- Demuestra vectorialmente que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es rec-
to.
15.- Demuestra vectorialmente que las tres alturas de un triángulo concurren en un pun-
to.
16.- Calcula la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de cada una de las si-
guientes rectas:
a) La recta que pasa por el punto ( 3,1)P  y lleva la dirección del vector
( 1, 2)u   

.
b) La recta que pasa por los puntos (2, 3)A  y (1,4)B .
c) La recta que tiene como vector director ( 3,3)u  

y corta a la parte positiva del
eje de abscisas en un punto que dista 3 unidades del origen de coordenadas.
d) La recta que tiene como vector director (2, 5)u  

y corta a la parte negativa del
eje de abscisas en un punto que dista 2 unidades del origen de coordenadas.
e) La recta que tiene como vector director (3,7)u 

y corta al eje de ordenadas en
un punto que dista 2 unidades negativas del origen de coordenadas.

3. 19
17.- Calcula la ecuación continua y la ecuación general de cada una de las siguientes
rectas:
a) Pasa por el punto ( 3, 4)A   y tiene la dirección del vector (1, 2)u  

.
b) Pasa por los puntos (2, 5)P  y (5,1)Q .
c) Pasa por el origen de coordenadas y por el punto ( 3,4)B  .
d) Pasa por el origen de coordenadas y por el punto medio del segmento de extre-
mos (1, 3)M  y (5,2)N .
18.- Halla las ecuaciones paramétricas de las rectas:
a) 2 3r y x    c)
1 3
1 0
2 4
t x y   
b) 4 3 6 0s x y    d) La recta que pasa por (0,0)O y tiene pendiente 2m   .
19.- Halla la ecuación general y la ecuación normal canónica de la recta que tiene a
(2,4)n 

como vector normal y pasa por el punto medio del segmento AB siendo
(0, 2)A  y ( 3,0)B  .
20.- Calcula la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, la ecuación general y la
ecuación explícita de la recta r en los siguientes casos:
a) Pasa por el punto ( 3,6)P  y es paralela a la recta de ecuación 2 3 5 0x y    .
b) Corta a los ejes coordenados en los puntos (0, 3)P  y ( 1,0)Q  .
21.- Estudia las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:
a)
3
1 2: :
1
1
2
t
x
x
r s
y t
y



   
 
    

d)
1 1 7
: 7 : 0
2 2 2
r x y s x y     
b) :3 2 7 : 2 3 8r x y s x y    e)
1
: : 4 8 0
2 2
x
r s x y
y


 
  
  
c)
2 1
: 2 5 0 : 5 0
3 3
r x y s x y       f) : 2 3 :
2
x
r y x s y   
22.- En cada caso, calcula el valor del parámetro k para que las rectas tengan la posición
relativa indicada:
a) : 1 0; : 4 3 0r x ky s kx y      , paralelas.
b) : 2 4 0; : 3 4 0r kx y k s x y      , coincidentes.
c) : 2 5 1 0; :3 2 0r kx y s x ky      , paralelas.
23.- Calcula la ecuación del haz determinado por las rectas secantes : 2 3r y x  y
: 3 5s y x  y halla la recta de este haz que pasa por el punto ( 2,2)P  .
24.- Dado el triángulo de vértices (1,3), ( 1,2) y (0, 3)A B C  :
a) Calcula las coordenadas del baricentro.
b) Calcula las ecuaciones de dos alturas y las coordenadas del ortocentro.
c) Calcula las ecuaciones de dos mediatrices y las coordenadas del circuncentro.

4. 20
d) Calcula el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
e) Calcula la ecuación de la recta de Euler y comprueba que el baricentro, el orto-
centro y el circuncentro están alineados.
25.- Dado el cuadrilátero de vértices
5
(1,1), (5,2), (3,3) y 1,
2
A B C D
 
 
 
:
a) Demuestra que es un trapecio.
b) Calcula el punto donde se calculan las diagonales.
c) Comprueba que la recta que une los puntos medios de los dos lados no paralelos
es paralela a las bases del trapecio.
26.- Halla el punto de la recta : 2 1 0r x y   que equidista de los puntos (2,2)A y
( 2,4)B  .
27.- Calcula el área del triángulo de vértices los puntos de corte de las rectas:
: 3 14r x y 
:3 5 14s x y  
: 2 7t x y  
28.- Los vértices opuestos de un cuadrado son los puntos (0,3)A y (4,0)C . ¿Cuáles son
las coordenadas de los otros dos vértices? ¿Cuál es el área del cuadrado?
29.- En el paralelogramo de vértices ABCD se conocen las coordenadas de los puntos
(0,3)A , (1,0)B y (6,1)C . Calcula la medida de sus diagonales y el ángulo que
forman.
30.- Calcula las rectas que pasan por el punto (1,2)P y que determinan con los ejes
coordenados un triángulo de área 4,5 unidades cuadradas.