1. 1. Analizar el concepto de Vectores, y de 2 (dos) ejemplos. (10 pts)
Un Vector se trata de una magnitud, lo cual se puede interpretar como las
diversas propiedades o valores asociados a una expresión mediante un número
o una unidad como resultado arrojado de una medición o relación medidas, esto
se encuentra definido en un sistema de referencia, el cual se identifica por
contener módulo (longitud) y una dirección (orientación). La fuerza, la velocidad,
la aceleración y una línea recta que van de la terminal positiva a la negativa de
un acumulador son ejemplos de vectores.
2. Analizar y de 2 (dos) ejemplo de Suma, resta, multiplicación por escalares de
los vectores. (15Pts)
La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo, y ésta es fácil de realizar
en forma gráfica, aunque resulta imprecisa.
La regla para la sustracción de vectores se define fácilmente con respecto a
la suma, dado que siempre se puede expresar A − B como A + (−B); el signo y
la dirección del segundo vector se invierten, y entonces este vector se suma al
primero siguiendo la regla de la adición vectorial.
Los vectores pueden multiplicarse por escalares. Cuando el escalar es
positivo, la magnitud del vector cambia pero no su dirección. Sin embargo, la
2. dirección se invierte al multiplicarla por un escalar negativo. La multiplicación de
un vector por un escalar también tiene las propiedades asociativa y distributiva
del álgebra.
Ejemplo de suma:
Sumar el siguiente sistema de vectores a y b y obtener la resultante gráfica y
analítica.
Vector a módulo de 5
Vector b módulo de 3
La solución Gráfica sería:
Descomponemos los vectores:
ax = a x coseno 30 = 5 x 0.86 = 4,33
ay = a x seno 30 = 5 x 0,5 = 2,5
bx = 3; solo tiene componente X, no tiene Y.
El vector suma será s = (ax + bx) (ay + by) = (4,33 + 3) (2,5 + 0) = (7.33, 2,5)
También podríamos verlo expresado de esta forma s = 7,33j + 2,5i
Ejemplo de resta:
a) Tenemos las coordenadas del vector A que son (– 3, 4) y la del vector B
que son (4,2). ¿Cuál será el vector resta de los dos?
El vector AB = (-3 - 2) (4 - 2) = (-5, 2) Hemos obtenido las coordenadas del
vector suma de los dos anteriores el A y el B. AB = (-5, 2)
b) Supongamos que deseamos realizar la siguiente resta: AB – DE, siendo
AB (-3, 4) y DE (5, -2) de acuerdo a la posiciónde los vectores en el plano
cartesiano. Teniendo en cuenta lo dicho sobre la suma del opuesto,
deberíamos plantear la operación de este modo:
(-3, 4) – (5, -2)
(-3-5, 4+2)
(-8, 6)
3. Como se puede apreciar, a -3 le sumamos el opuesto de 5 (es decir, -5), mientras
que a 4 le sumamos el opuesto de -2 (o sea, 2). Así, el resultado de esta resta
de vectores es (-8, 6).
Ejemplo de multiplicación
3. Analizar y ejemplifique con 2 (dos) ejemplos, que son los Sistemas de
Coordenadas rectangulares. (15 pts)
Para describir con precisión un vector deben darse algunas longitudes
específicas, direcciones, ángulos, proyecciones o componentes. Existen tres
métodos sencillos para hacer esto, y cerca de otros ocho o diez métodos que
resultan útiles en casos muy especiales. Se utilizarán únicamente los tres
métodos sencillos, y el más sencillo de éstos es el del sistema de coordenadas
cartesianas o rectangulares.
En el sistema de coordenadas cartesianas se utilizan tres ejes coordenados
perpendiculares entre sí, llamados eje x, y y z. Se acostumbra elegir un sistema
de coordenadas de mano derecha en el cual una rotación (que describe un
pequeño ángulo) del eje x hacia el eje y causaría que un tornillo derecho
4. avanzara en la dirección del eje z. Los dedos de la mano derecha, pulgar, índice
y medio, pueden entonces identificar los ejes x, y y z, respectivamente.
Ejemplos:
4. Analizar que son Vectores Unitarios y dé 2 (dos) ejemplos. (15 pts)
Para describir un vector en un sistema de coordenadas cartesianas se
considera primero un vector r que se extiende alejándose del origen. Una
manera lógica de identificar este vector es proporcionar los tres componentes
vectoriales, que se encuentran a lo largo de los tres ejes coordenados y cuya
suma vectorial debe ser igual al vector dado.
Si las componentes vectoriales de un vector r son x, y y z, entonces r = x +
y + z. En otras palabras, las componentes vectoriales tienen una magnitud que
depende del vector dado (tal como el r citado antes), pero cada una tiene una
dirección constante conocida. Esto sugiere el uso de vectores unitarios, los
cuales tienen magnitud unitaria por definición y se orientan a lo largo de los ejes
coordenados en la dirección en la que crecen los valores de las coordenadas.
Se reservará el símbolo a para un vector unitario y se identifica su dirección con
un subíndice apropiado. Entonces ax ay y az son los vectores unitarios en el
sistema de coordenadas cartesianas. Son dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z,
respectivamente
5. Ejemplo:
Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2, −2, −1).
Solución. Como primer paso se construye un vector que se extienda desde el
origen hasta el punto G,
G = 2ax − 2ay – az
Entonces se encuentra la magnitud de G,
|G| = (2)2 + (−2)2 + (−1)2 = 3
Y, por último, se expresa el vector unitario deseado como el cociente,
aG = G|G|= 2/3 ax – 23 ay – 1/3 az = 0.667ax − 0.667ay − 0.333az
Es deseable escoger un símbolo que identifique un vector unitario de modo que
su carácter sea inmediatamente captado. Los símbolos que se han utilizado son
uB, aB, 1B, o incluso b. Se usará consistentemente la letra minúscula a con un
subíndice apropiado.
Ejemplo:
¿Es unitario el vector ? ¿Por qué?
Respuesta: Sí, porque su módulo vale 1
Solución
5. Explicar que es campo vectorial y de 2 (dos) ejemplos. (10 pts)
Se ha definido ya el campo vectorial como una función vectorial de un vector
posición. En general, la magnitud y dirección de la función cambiarán conforme
se esté moviendo a través de la región, y el valor de la función vectorial debe
determinarse a partir de los valores de las coordenadas del punto en cuestión.
Puesto que se ha considerado solamente un sistema de coordenadas
cartesianas, se espera que el vector sea una función de las variables x, y y z.
Si se presenta nuevamente el vector posición como r, entonces el campo
vectorial G se puede expresar en notación funcional como G(r); un campo
escalar T se escribe T(r).
6. Ejemplos:
a) Con la finalidad de ilustrar estas definiciones y operaciones, considérese
el campo vectorial
G = yax − 2.5xay + 3az
Y el punto Q(4, 5, 2). Se desea encontrar: G en Q; la componente escalar de G
en Q en la dirección de aN= (2ax+ ay− 2az); la componente vectorial de G en Q
en la dirección de aN; y, por último, el ángulo θGa entre G(rQ) y aN.
Solución. Sustituyendo las coordenadas del punto Q en la expresión de G, se
tiene
G(rQ) = 5ax − 10ay + 3az
Posteriormente se encuentra la componente escalar. Utilizando el producto
punto se tiene
G· aN = (5ax − 10ay + 3az ) ・ 13 (2ax + ay − 2az ) = 13 (10 − 10 − 6) = −2
La componente vectorial se obtiene multiplicando la componente escalar por el
vector unitario en la dirección aN,
(G· aN )aN = −(2)13 (2ax + ay − 2az ) = −1.333ax − 0.667ay + 1.333az
El ángulo entre G (rQ) y aN se obtiene de
G· aN = |G| cos θGa
−2 =√25 + 100 + 9 cos θGa
θGa = cos−1−2 √134= 99.9◦
Ejemplo:
Determine el campo vectorial gradiente de la función f (x, y) =(𝑥 − 𝑦) 2
Solución.
El gradiente, o el campo vectorial gradiente de la función f, viene dado por
∇F(x, y) = (
∂f
∂x
,
∂f
∂y
) = (2(x- y), -2(x – y))
Al representar este campo vectorial en ℜ2
, utilizando
un sistema algebraico computarizado se obtiene la
representación gráfica mostrada en la Figura.
7. 6. Explique que es el Producto Punto y de 2 (dos) Ejemplos. (10pts)
Aquí se considera el primero de dos tipos de multiplicación vectorial. El
segundo tipo se estudiará en la sección siguiente. Dados dos vectores A y B, el
producto punto o producto escalar, se define como el producto de la magnitud
de A, la magnitud de B y el coseno del ángulo entre ellos. El punto que aparece
entre los dos vectores debe remarcarse para hacer hincapié en él. El producto
escalar o producto punto, que es un escalar, como lo implica uno de sus
nombres, obedece a la ley conmutativa puesto que el signo del ángulo no afecta
el término del coseno. La expresión A · B se lee
“A punto B”.
Ejemplo:
Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base
ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5
Expresión analítica del módulo de un vector
Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas = (−3, 2, 5) en una
base ortonormal.
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Determinar el ángulo que forman los vectores = (1, 2, −3) y = (−2, 4, 1).
Ejemplo;
Calcular el producto punto de los siguientes vectores, así como su magnitud y
dirección.
8. U = (3,7)
V = (6,3)
U.V = 3.6 + 7.3 = 18 + 21 = 39
|U.V| = √39^2=39
Para la dirección usaremos ambas maneras para que vean que con las dos se
puede llegar al mismo resultado
1) Hay que primero calcular las magnitudes de U y V que son:
|U| = √3^2 + 7^2 = √58
|V| = √6^2 + 3^2 = √45
Θ = Cos^-1 [39/ √58 .√45 = 40.23
2) Para la segunda manera hay que sacar alfa y beta y restarle a beta alfa.
Tenemos:
β = Tan^-1 (7/3) = 66.8
∝ = Tan ^-1 (3/6) = 26.56
Θ = 66.8 – 26.56 = 40.23
Y como se aprecia ambos resultados son iguales.
7. Explique que es Producto Vectorial Cruz y de 2 (dos) Ejemplos. (10pts)
Dados dos vectores A y B, se define el producto cruz o producto vectorial
de A y B, que se indica por medio de una cruz entre estos vectores como A × B
y se lee “A cruz B”. El producto cruz A × B es un vector; la magnitud de A × B
es igual al producto de las magnitudes de A, B y el seno del ángulo más pequeño
entre A y B; la dirección de A × B es perpendicular al plano que contiene a A y
a B, y de las dos posibles perpendiculares, está a lo largo de aquella que apunta
en la dirección en la que avanzaría un tornillo derecho si A se girara hacia B.
Ejemplo:
Calcular el producto cruz de los siguientes vectores:
U = 2i +3j + k
V = i + j + 2k
UxV = Det [i j k] i j
9. [2 3 1] 2 3
[1 1 2] 1 1
Multiplicando y sumando las diagonales principales y restando le la
multiplicación y suma de las otras diagonales Tenemos: 6i + j + 2k – (3k + i +
4j) = 5i – 3j – k
El producto cruz es 5i – 3j – k
Su magnitud sería: |UXV|=√(5^2 + -3^2 + -1^2)=√35
Su area: √35 u^2
Su dirección: Para esta primero hay que sacar las magnitudes de los vectores
|U| = √6
|V| = √14
Θ = Sen ^-1 [√35 / √6.√14] = 40.20
Simple y sencillo todo el método.
Ejemplo;
Calcular el producto cruz de los vectores = (1, 2,
3) y = (−1, 1, 2).
Dados los vectores y , hallar
el producto cruz de dichos vectores. Comprobar que el
vector hallado es ortogonal a y .
