Prueba libre de Geografía para obtención título Bachillerato - 2024
Expresiones Algebraicas.pptx
1.
2. Suma de Monomios
Primero tenemos que saber ¿qué es un Monomio?: Un Monomio es el producto entre un numero real por una o mas variables.
3x + 5x = 8x
Esto es lo mismo que
decir 3 + 5 por lo tanto
el resultado es 8.
8xy + xy = 9xy
Cuando una variable
esta sola, es decir, no
la acompaña ningún
numero , se entiende
que ahí hay un 1, por
lo tanto el resultado
seria 9.
4x2 + 3x2 = 7x2
Cuando los monomios
que queremos sumar
tienen el mismo
exponente este se
que igual.
– 2x + 7x2 =
– 2x + 7xx =
x (– 2 + 7x)
Cuando los
exponentes son
distintos procedemos
a sacar el factor
común.
4x + (– 5y) =
No se puede resolver
Cuando la variable de
los monomios es
diferente no se puede
hacer nada, es como
si dijéramos 4
manzanas menos 5
peras.
3. Suma de Polinomios
Para la suma de Polinomios
debemos identificar los
términos semejantes, es decir,
los que tienen la misma
incógnita y exponente de
esta, ordenándolos desde el
exponente mayor hasta el
termino independiente para
luego agruparlos de forma
vertical u horizontal y poder
realizar la suma estos.
Para poder realizar cualquier tipo de operación con Polinomios debemos esta familiarizados con los Monomios.
P(x) = 3x + 4
Q(x) = 5x + 3
P(x) + Q(x) = 3x + 4 + 5x + 3
= 3x + 5x + 4 + 3
= 8x + 7
P(x) = 3x2 + 2
Q(x) = x2 – 1
Q(x) + P(x) = 3x2 + 2 + x2 – 1
= 3x2 + x2 + 2 – 1
= 4x2 + 1
4. Restas de Monomios
9x – 10x = – x
Aquí procedemos a aplicar la
regla de los signos:
Signos iguales se suman y
signos diferentes se restan
escribiendo siempre el signo
del numero mayor.
9xy – 8xy = xy
Nuevamente al tener
una variable sola se
entiende que ahí hay
un 1.
– 4x5 – 2x5 = – 6x5
Al igual que en la
suma cuando los
monomios tienen el
mismo exponente
este se que igual.
6x2 – 6x3 =
6xx – 6xxx =
6x2 (– x)
Con distintos
exponentes
procedemos a sacar el
factor común.
5. Resta de Polinomios
Para la resta de Polinomios
debemos escribir
obligatoriamente los
paréntesis ya que el signo
menos afecta al siguiente
polinomio, luego repetimos la
acción de identificar los
términos semejantes y
agruparlos ya sea vertical u
horizontalmente y así poder
realizar la operación.
P(x) = 8x + 7
Q(x) = 9x + 4
P(x) – Q(x) = 8x + 7 – (9x + 4)
= 8x + 7 – 9x – 4
= 8x + 9x + 7 – 4
= 17x + 3
P(x) = 5x2 + 6
Q(x) = 3x2 – 9
P(x) – Q(x) = 5x2 + 6 – (3x2 + 9)
= 5x2 + 6 – 3x2 – 9)
= 5x2 – 3x2 + 6 – 9
= 2x2 - 3
6. Valor numérico
Cuando queremos encontrar el valor numero de una expresión algebraico lo único que debemos hacer es sustituir los valor de las
variables que nos están dando, es decir:
a = 3
b = 4
c = 2
m =
4
2
6ab = 6 (3) (4) = 72
c3a2b = (2)3 (3)2 (4) = 8 (9) (4) = 288
57m= 57 (
4
2
) =
57 • 4
2
=
228
2
= 114
2b – 2 ca – 1= (2)4 – 2 (2)3 – 1 = (2) 2 (2)2 = 16
En este caso se entiende que el 57 esta sobre 1 el cual se simplifica.
7. Multiplicación
Monomios Polinomios
4x4 • 8x = 4 • 8x4 • x
= 32x4 + 1
= 32x3
7x3y9 • (–5)x7y3 = 7 • (–5)x3 • x7 • y9• y3
= –45x10y12
2
3
x2y4z •
8
9
xy =
2
3
•
9
8
x2 • x • y4 • y • z
=
2
3
•
3
2
x3y5z
= 1x3y5z
En la multiplicación se agrupan numero real por numero real y variable por variable. En
cuanto a la multiplicación de una potencia, si la base es la misma se suman los exponentes,
si la base es diferente se pero los exponentes son los mismos se multiplica la base y el
exponente que igual, si tanto la base como los exponentes son
diferentes se pueden operar. Por otra parte tenemos la
multiplicación de fracciones, para esto debemos multiplicar
numera por numerador y denominador por denominador, en
este caso debemos simplificar la fracción, para ello descomponemos en factores y
los factores semejantes en numerador y denominador se cancelan.
x6 • (x6 + 9x + 2) =
x6 • x6 + x6 • 9x + x6 • 2 =
x12 + 9x7 + 2x6
Aquí tenemos a un monomio multiplicando a un
polinomio que se esta sumando, en este caso el
monomio que se encuentra fuera del paréntesis
multiplica a cada factor que conforma el
polinomio a multiplicar.
(6x2 + 7x – 15) (5x – 9) =
6x2 • (5x – 9) + 7x • (5x – 9) – 15 • (5x – 9) =
30x3 – 54x2 + 35x2 – 63x – 75x + 135 =
30x3 + (– 54x2 + 35x2) + (– 63x – 75x) + 135 =
30x3 – 19x2 – 138x + 135
En este caso el procedimiento a realizar es el mismo que en el
anterior, cada factor del primer polinomio multiplicara al
segundo polinomio.
8. División
Monomios Polinomios
18x2 ÷ 6x3 =
18x2
6x3 =
18xx
6xxx = 2x
24x6 ÷ 27x2 =
24x6
27x2 =
24
27 • x6 – 2 =
24
27 x4 =
6
3 x4 = 2 x4
El primer ejercicio esta escrita de forma
explicativa y el segundo de la forma
correcta para el proceso de esta
operación. Las divisiones pueden ser
expresadas en forma de fracción. En la
división de potencia se dividen las bases
(siempre que se pueda) y se restan los
exponentes. Siempre que una división
nos permita simplificarla debemos
hacerlo.
Método estándar Regla de Ruffini
(x5 – 3x4 – 4x3 + 17x2 + 2) ÷ (x3 – 5x + 2)
D | d
R c
D = d • c + R
Como en una división de números naturales
debemos buscar una termino que multiplicado por
el dividendo (D) nos de otro termino que se acerque
al primero del divisor (d), este puede ser igual o mas
pequeño, el termino resultante de la multiplicación
lo colocamos debajo de su expresión semejante.
pero con el signo invertido.
(5x2 – 2x + 1) ÷ (x – 2)
5 – 2 1
2
5 8 17
x
10 16
La regla de Ruffini es ideal para dividir un polinomio
entre un binomio de grado 1, para usarla debemos
ordenar los términos de mayor a menor y colocamos
solo los coeficientes en el cuadro, el divisor los
colocamos en la esquina con el signo invertido,
x5 – 3x4 – 4x3 + 17x2 + 2 | x3 – 5x + 2
– x5 5x3 – 2x2 x2 – 3x + 1
– 3x4 + x3 + 15x2 + 2
3x4 – 15x2 + 6x
+ x3 + 6x + 2
– x3 – 5x + 2
Resto (R) 11x
Bajamos el primer coeficiente, lo multiplicamos
por el divisor, el resultado lo colocamos debajo
del siguiente coeficiente, operamos estos dos,
el resultado se multiplica por el
cociente (c)
cociente (c) Resto (R)
divisor y este proceso se repite hasta final.
9. Producto Notable
Cuadrado de un Binomio Producto de Binomios Conjugados
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ¿Por qué?
(a + b) (a + b) =
a (a + b) + b (a + b) =
a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
(a + b) (a – b) = a2 – b2 ¿Por qué?
(a + b) (a – b) = a (a + b) + (a – b)
= a2 – ab + ba – b2
= a2 – b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ¿Por qué?
(a – b) (a – b) =
a (a – b) – b (a – b) =
a2 – ab – ba + b2 = a2 + 2ab + b2
(5x + 4y)2 = (5x)2 + 2 • 5x • 4y + (4y)2
= 25x2 + 40xy + 16y2
(9x – 6y)2 = (9x)2 – 2 • 9x • 6y + (6y)2
= 18x2 – 108xy + 36y2
(20x + 15y) (20x – 15y) = 20x2 – 15y2
= 400x– 2252
Siempre es bueno saber el origen
de las formulas que utilizamos en
cualquier operación, es por esa
razón podemos apreciar aquí el
desarrollo de las formulas de cada
producto notable
10. Factorización (Casos 1, 2 y 3)
Caso 1:
Factor
común
Caso 2:
Factor común
por agrupación
Caso 3:
Trinomio
cuadrado perfecto
Se conoce como factor común al
número o variable que se
encuentra en todos los términos
de un polinomio.
En el factor común por agrupación
de términos se deben reunir
grupos de igual número de
términos
Es un polinomio de tres términos
que cumple con las siguientes
características:
El primer y tercer término tienen
raíces cuadradas exactas.
El segundo término es el resultado
de multiplicar esas dos raíces por
dos.
12xy – 16x2y =
2 • 2 • 3 x y – 2 • 2 • 2 • 2 x x y
2 • 2 x y (3 – 2 • 2)
4xy (3 – 4x)
4ax + 4bx – ay – 15a – by – 15b
(4ax – ay – 15a) + (4bx – by – 15b)
a • (4x – y – 15) + b • (4x – y – 15)
(a + b) • (4x – y – 15) x4 – 12x2 + 36
√x4 = x2 √36 = 6
(x2 – 6)2
2 • (x2) (6) = 12x2
11. Factorización (Casos 4, 5 y 6)
Caso 4:
Diferencia de
cuadrado
perfecto
Caso 5:
Trinomio Cuadrado
perfecto por adición y
sustracción
Caso 6:
Trinomio de la
forma x2 + b + c
La factorización de una diferencia de
cuadrados está formada por una ecuación
con dos términos: uno positivo y el otro,
negativo. Ambos deben de ser raíces
cuadradas exactas. Y lo que se hace es
realizar una resta entre ellos.
Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser
trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término
tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el
doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto
debe ser el doble producto y la cantidad que falte para
cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y
se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un
trinomio cuadrado y factorizado unido con el último
término tendremos una diferencia de cuadrados.
Que cumplen las condiciones siguientes:
• El coeficiente del primer término es 1 y este
término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
• El segundo término tiene la misma letra que el
primero con exponente 1 y su coeficiente es una
cantidad cualquiera, positiva o negativa.
• El tercer termino es independiente de la letra que
aparece en el primer y segundo termino y es una
cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Se buscan si hay raíces exactas en el primer y
segundo termino y luego dos números que
multiplicados te den el tercer termino y sumados o
restados te den el segundo termino.
100x6 – 25y4
√100x6 = 10x3 √25y4 = 6
(10x3 + 25y4) (10x3 – 25y4)
x2 + 8x + 15
3 • 5 = 15 3 + 5 = 8
(x = 5) (x = 3)
x6 – 12x3y4 + 81y8
√x6 = x3 √ 81y8 = 9y4
2 • (x3) (9y4) = 18x3y4
18x3y4 – 12x3y4 =6x3y4
x6 – 12x3y4 + 9y8 + 6x3y4 – 6x3y4
x6 – 6x3y4 + 9y8 – 6x3y4
(x3 – 3y4 )2– 6x3y4
12. Factorización (Casos 7 y 8)
Caso 7:
Trinomio de la forma
ax2 + b + c
Caso 8:
Cubo perfecto de
binomios
El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra
cualquiera elevada al cuadrado y es el que multiplica a toda la expresión.
El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con
exponente 1, su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa
y la multiplicación de este queda indicada .
El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin
ninguna letra en común con el 1 y 2 términos.
Luego de multiplicar toda la expresión repetimos el proceso del caso
anterior y por ultimo sacamos el factor común.
Tener cuatro términos.
Que el primer término y el último sean cubos perfectos.
Que el segundo término sea más o menos el triplo de la primera raíz
cúbica elevada al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del último
término.
Que el tercer término sea el triplo de la primera raíz cúbica por la raíz
cubica del último término elevada al cuadrado.
Pero para empezar debemos ordenar los términos de mayor a menor
6x2 + 5x – 21
6 (6x2 + 5x – 21)
36x2 + 6 (5x) – 126
√36x2 = 6 (– 9) (14) = 126 – 9 + 14 = 5
(6x+ 1 4 )
2
(6x– 9 )
3
(3x + 7) (2x – 3)
8x6 + 54x2y6 – 27y9 – 36x4y3
8x6 – 36x4y3 + 54x2y6 – 27y9
3
8x6 = 2x2 3
27y9 = 3y3
3 (2x2)2 (3y3) = 36x4y3
3 (2x2) (3y3)2 = 54x2y6
(2x2 – 3y3)3
13. Factorización (Casos 9 y 10)
Caso 9:
Suma o diferencia de
cubos perfectos
Caso 10:
Suma o diferencia de
potencias iguales
Pasos para resolver el ejercicio:
1. Descomponemos en dos factores.
2. En el primer factor se escribe la suma o la diferencia según sea el caso,
de las raíces cúbicas de los dos términos.
3. En el segundo factor se escribe la raíz del primer termino elevada al
cuadrado, empezando con el signo menos y de ahí en adelante sus signos
alternados (si es una suma de cubos) o con signo más (si es una diferencia
de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado
de la segunda raíz.
Tenemos que sumar los términos semejantes, es decir, misma base, mismo
exponente. De este modo, siempre debemos fijarnos en si tenemos términos
semejantes o no antes de sumarlos o restarlos.
Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz quinta, séptima u
otra raíz impar
Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz de ambos términos
y en el segundo paréntesis poner un polinomio donde el primer término vaya
decreciendo y el segundo término vaya creciendo
Si es una suma, el polinomio es de signos intercalados y si es una resta, el polinomio
es de signos positivos
x15 + 64y3
3
x 15 = x5 3
64y3 = 4y
(x5 + 4y) ((x5)2 – (x5) (4y) + (4y)2)
(x5 + 4y) ((x10 – 4x5 y + 16y2)
x7 + y7
7
x 7 7
y7
(x + y) (x6 – x5y + x4y2 –x3y3 + x2y4 – xy5 + y6)
