número de oro

1. El número de oro suele ser conocido por varios nombres suele ser llamado número de
oro, razón extrema y media razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción
áurea y divina proporción, es un irracional representado por la letra griega (phi) (en
minúscula) o (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.
Podemos observar la manera en la que se expresa.
Tambiénse representaconlaletragriegaTau por ser laprimeraletrade laraíz griega,que
significaacortar,aunque esmáscomún encontrarlorepresentadoconlaletrafi (phi).Tambiénse
representaconlaletragriegaalphaminúscula.
Se trata de un númeroalgebraicoirracional (surepresentacióndecimal notieneperíodo) que
posee muchaspropiedadesinteresantesyque fue descubiertoenlaantiguedad,nocomouna
expresiónaritmética,sinocomorelaciónoproporciónentre dossegmentosde unarecta,esdecir,
una construccióngeométrica.Estaproporciónse encuentratantoenalgunasfigurasgeométricas
como enla naturaleza:enlasnervadurasde lashojasde algunosárboles,enel grosorde las
ramas, enel caparazón de un caracol,en losflósculosde losgirasoles,etc.Unade sus propiedades
aritméticasmás curiosasesque su cuadrado ysu inverso,tienenlasmismasinfinitascifras
decimales.
Asimismo,se atribuyeuncarácterestéticoalos objetoscuyasmedidasguardanlaproporción
áurea.Algunosinclusocreenque poseeunaimportanciamística.A lolargode la historia,se ha
atribuidosu inclusiónenel diseñode diversasobrasde arquitecturayotras artes,aunque algunos
de estoscasos han sidocuestionadosporlosestudiososde lasmatemáticasyel arte.
El númeroáureo, fue el primernúmeroraroesdecirirracional descubiertohace muchossiglospor
losmagníficosmatemáticosgriegos.Profilaxis,unmatemáticode esaescuelaque medía4 metros
de eslora,loencontródebajode unazarzamora mientrasbuscabalaproporciónperfecta -que
había perdidosuhermanaClítorisde Joroñapaseando porel campo. Sinembargo,hastaque no lo
vio,Pitágorasnose locreyó.Ese fue el origende lafamosafrase, si no loveo,no locreo.
Efectivamente,el númeroerararo,cuando fue descubiertoteníaestaforma, Perolosgriegos,muy
hábiles, lodesenredaronyquedóasí, y le llamaronnúmeroáureo,porque sonabacomomuy
chico.Ya sabemosque losgriegosse preocupabanmuchoporlaimagen.Profilaxisnoestuvode
acuerdo,puesél queríaponerle sunombre yllamarle númeroprofilaxis,perosuscompañerosl o
descartaronpor razonesestéticas.

2. Se trata de un númeroalgebraicoque posee muchaspropiedadesinteresantesyque fue
descubiertoenlaantigüedad,nocomo"unidad"sinocomorelaciónoproporción.Estaproporción
se encuentratantoen algunasfiguras geométricascomoenla naturalezaenelementostalescomo
caracolas,nervadurasde las hojasde algunosárboles,el grosorde lasramas, etc.
Asimismo,se atribuyeuncarácterestéticoespecialalosobjetosque siguenlarazónáurea,así
como unaimportanciamística.A lolargo de la historia,se le haatribuidoimportanciaendiversas
obras de arquitecturayotras artes,aunque algunosde estoscasoshan sidoobjetablesparalas
matemáticasyla arqueología.
El númeroáureo,tambiénconocidocomonúmero de oroo divinaproporción,esunaconstante
que percibimosadiario,aunque apenasnosdemoscuenta.Aparece enlasproporcionesde
edificios,cuadros,esculturas,e inclusoenel cuerpohumano.Unobjetoque respetalaproporción
marcada por el númeroáureotransmite aquienloobservaunasensaciónde bellezayarmonía.
Veamosunpoco másen qué consiste.El númeroáureoesel puntoenque lasmatemáticasy el
arte se encuentran.
Un númeronada fácil de imaginarque convive conlahumanidadporque aparece Enla naturaleza
y desde laépocagriegahasta nuestrosdíasen el arte y el Diseño.Es el llamadonúmerode oro
(representadohabitualmente conlaletragriega) otambiénsecciónáurea, proporciónáureao
razón áurea.Tres númeroscon nombre.La secciónáureay el númerode oro.El rectánguloáureo.
Pitágorasy el númerode oro.La sucesiónde Fibonacci.El númerode oroenel arte,el diseñoyla
naturaleza.La trigonometríayel númerode oro.Curiosidades áureas.Tres númeroscon nombre
Hay tres númerosde granimportanciaenmatemáticasyque "paradójicamente" nombramoscon
una letra.Estosnúmeros sonEl númerodesignadoconlaletragriega= 3,14159....(Pi) que
relacionalalongitudde lacircunferenciaconsu diámetro( Longitud= 2. .radio=.diámetro).l El
númeroe = 2´71828......, inicial del apellidode sudescubridor Leonard El númerode oroPágina2
de 14 Euler(matemáticosuizodel sigloXVIII) que aparece comolímite de lasucesiónde término
general .l El númerodesignadoconletragriega= 1,61803... (Fi),llamadonúmero de oroy que es
la inicial del nombre delescultorgriegoFidiasque lo tuvopresente ensusobras.Los tresnúmeros
tieneninfinitascifrasdecimalesy nosonperiódicos(suscifras decimalesnose repiten
periódicamente).A estosnúmerosse lesllama irracionales. Cuándose utilizanse escriben
solamente unascuantas cifrasdecimales(enlostres ejemplosde arribahemostomado5).Una
diferenciaimportante desde el puntode vistamatemáticoentre los dosprimeros yel númerode
oro esque losprimerosnoson soluciónde ningunaecuación polifónica(aestosnúmerosse les
llamatrascendentes),mientrasque el númerode orosi que loes.Efectivamente,unade las
solucionesde laecuaciónde segundo gradoesque dacomo resultadoel númerode oro.La
secciónáureay el númerode oro La secciónáureaes la divisiónarmónicade unasegmentoen
mediayextremarazón.Es decir,que el segmentomenoresal segmentomayor,comoeste esala
totalidad.De estamanerase establece unarelaciónde tamañosconla mismaproporcionalidad
entre el tododivididoenmayory menor.Esta proporciónoforma de seleccionar
proporcionalmente unalínease llamaproporciónáurea.

3. Tomemosunsegmentode longitudunoyhagamosenel la división indicadaanteriormente
Aplicandolaproporciónáureaobtenemoslasiguiente ecuaciónque tendremos que resolverEl
númerode oro Página3 de 14 Una de lassolucionesde estaecuación(lasoluciónpositiva) esx=
.Lo sorprendente ahoraescalcularel valorque se obtiene al dividirel segmentomayorentre el
menor,Es decir,larelaciónentre lasdospartesenque dividimosel segmentoesel númerode
oro. El rectánguloáureoDibujamos uncuadradoy marcamos el puntomedio de unode sus lados.
Lo unimos conuno de losvérticesdel ladoopuestoyllevamosesadistanciasobre el lado inicial,
de esta maneraobtenemosel ladomayordel rectángulo.Si el ladodel cuadradovale 2 unidades,
esclaro que el ladomayor del rectángulo vale porloque la proporciónentre losdosladoses
(nuestronúmero de oro).El numerode oroPágina4 de 14 Obtenemosasíunrectángulocuyos
ladosestánenproporciónáurea.A partirde este rectángulopodemosconstruirotrossemejantes
que,comoveremos másadelante,se hanutilizado enarquitectura(Partenón,pirámidesegipcias)
y diseño (tarjetasde crédito,carnets, cajetillasde tabaco,etc...).Unapropiedadimportante de los
triángulosáureosesque cuandose colocandos igualescomoindicalafigura,ladiagonal ABpasa
por el vértice C. En efecto,situemoslosrectángulosen unosejesde coordenadasconorigenenel
puntoA. Las coordenadasde los trespuntos seránentonces:Vamos ademostrarque losvectores
y sonproporcionales:Porlotanto,lostrespuntosestán alineados.Pitágorasyel númerode oro
Pitágoras(c.582-c. 500 a.C.),filósofoymatemáticogriego,nacióenlaislade Samos.Fue instruido
enlas enseñanzasde losprimerosfilósofosjoniosTalesde Mileto,AnaximandroyAnaxímenes.Se
dice que Pitágorashabía sidocondenadoaexiliarsede Samosporsu aversiónala tiranía de El
númerode oro Página5 de 14 Polícrates.Hacia el 530 a.C. se instalóenCrotona,unacolonia
griegaal sur de Italia,donde fundóunmovimientoconpropósitos religiosos,políticosyfilosóficos,
conocidocomopitagorismo.La filosofíade Pitágorasse conoce sóloa travésde la obra de sus
discípulos. Lospitagóricosasumieronciertosmisterios,similaresenmuchospuntosa losenigmas
del orfismo.Aconsejabanlaobedienciay el silencio, laabstinenciade consumiralimentos,la
sencillezenel vestiryenlasposesiones,yel hábitodel autoanálisis.Lospitagóricoscreíanenla
inmortalidadyenlatrasmigracióndel alma.Se dice que el propioPitágorasproclamaba que él
había sidoEuphorbus,y combatidodurante laguerra de Troya, y que le había sidopermitidotraer
a su vidaterrenal lamemoriade todassus existencias previas.Entre lasampliasinvestigaciones
matemáticasrealizadasporlospitagóricosse encuentransusestudiosde los númerosparese
imparesyde los númerosprimosy de loscuadrados,esencialesenlateoríade losnúmeros.Desde
este puntode vistaaritmético,cultivaronel conceptode número,que llegó aserpara ellosel
principio crucial de todaproporción,ordeny armonía enel universo.A travésde estos estudios,
establecieronunabase científicaparalasmatemáticas.Engeometríael gran descubrimientode la
escuelafue el teoremade lahipotenusa,conocidocomo teoremade Pitágoras,que establece que
el cuadrado de la hipotenusade untriángulo rectánguloesigual ala sumade los cuadradosde los
otros dos lados.Una revueltaprovocadaenCrotona,poruna asociaciónde ideascontrariasa las
pitagóricas,terminóconel incendiode lasede.Se cree que Pitágoras se vioobligado ahuirde
Crotonay murióen Meta ponto.La persecuciónde lospitagóricos provocóel éxodoala Grecia
Continental,dandolugaraladifusiónde lasideas pitagóricas.

4. La estrellapentagonal opentágonoestrelladoera,segúnlatradición, el símbolode losseguidores
de Pitágoras. Los pitagóricos pensabanque el mundoestabaconfiguradosegúnun orden
numérico,donde sóloteníancabidalosnúmeros fraccionarios.Lacasualidadhizoque ensupropio
símbolose encontraraun númeroraro: el númerode oro. Por ejemplo,larelaciónentrela
diagonal del pentágonoysu ladoesel númerode oro.El númerode oro Página6 de 14 También
podemoscomprobarque lossegmentosQN, NPyQPestánen proporciónáurea. VerlasecciónLa
trigonometríayel númerode oro. La sucesiónde Fibonacci Consideremos lasiguientesucesiónde
números:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Cada númeroa partirdel tercero,se obtiene sumandolosdos
que le preceden. Porejemplo,21= 13 + 8; el siguiente a34 será 34 + 21 = 55. Esta sucesiónesla
llamada"sucesiónde Fibonacci"*.Esel sobrenombre conel que se conocióal rico comerciante
Leonardode Pisa(1170-1240). Viajóporel Norte de Áfricay Asiay trajo a Europa algunosde los
conocimientosde laculturaárabe e hindú,entre otroslaventajadel sistema de numeración
arábigo(el que usamos) frente al romano. La sucesiónde Fibonacci presentadiversas
regularidadesnuméricas.Paraque resulte mássencillolashemosenunciadoencasosparticulares
(aunque se cumplenen general) yhemoscalculadolosprimeroscatorce términosde esta
sucesión:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 El númerode oro Página7 de 14 (1+1+2+3 + 1 = 8). Si
sumasloscinco primerostérminosyañades1,te sale el séptimo(1+1+2+3+5 + 1 = 13).)sale el
sextotérmino(t6),(1+2+5 = 8). Si sumas loscuatro primerostérminosque ocupanposiciónimpar
(t1,t3,t5,t7) sale el octavotérmino (t8),(1+2+5+13 = 21).l Si sumaslostres primerostérminosque
ocupanposiciónpar(t2,t4,t6) y añades 1, sale el séptimotérmino(t7),(1+3+8 + 1 =13). Si sumas
loscuatro primerostérminosque ocupanposiciónpar(t2,t4,t6,t8) yañades1, sale el noveno
término(t9),(1+3+8+21 + 1 =34).¡Aúnlas hay más difícilesde imaginar! l Tomemosdostérminos
consecutivos,porejemplo:t4=3y t5=5; elevandoal cuadradoy sumando:32+52=9+25=34 que es
el noveno(4+5) términode lasucesión.Tomandot6=8 y t7=13; elevandoal cuadradoysumando:
82+132=64+169=233 que es el (6+7) decimotercerotérminode lasucesión Perosi elevamosal
cuadrado loscincoprimerostérminosylossumamos, sale el productodel quintoyel sexto
término:12+12+22+32+52=40=5*8. Si hacemoslomismopara losseisprimerostérminos,sale el
productodel sexto yel séptimotérmino:12+12+22+32+52+82=104=813. Y quizáslamás
sorprendente sealasiguientepropiedad.Dividamosdos términosconsecutivosde lasucesión,
siempre el mayorentre el menor yveamos loque obtenemos:
1: 1 = 1
2: 1 = 2
3: 2 = 1´5
5: 3 = 1´66666666
8: 5 = 1´6

5. 13: 8 = 1´625
21:13 = 1´6153846....
34:21 = 1´6190476....
55:34 = 1´6176471....
89:55 = 1´6181818....El númerode oro Página8 de 14
Al tomar más términosde lasucesiónyhacersu cociente nosacercamosal númerode oro.Cuanto
mayoressonlostérminos, loscocientesse acercanmása =1,61803.... En lenguaje matemático,
Efectivamente, El númerode oroenel arte,el diseñoyla naturalezaEl númeroáureoaparece,en
lasproporcionesque guardanedificios,esculturas, objetos,partesde nuestrocuerpo. Unejemplo
de rectánguloáureoenel arte es el alzadodel Partenón griego.En la figurase puede comprobar
que AB/CD=.Hay más cocientesentre sus medidasque danel númeroáureo,porejemplo:
AC/AD=y CD/CA= .
Hay un precedente alaculturagriegadonde tambiénaparecióel númerode oro.EnLa Gran
Pirámide de Keops,el cociente entre laalturade El númerode oro Página9 de 14 uno de los tres
triángulosque formanlapirámide yel ladoes2 .Ya vimosque el cociente entre ladiagonal de un
pentágonoregularyel lado de dicho pentágonoesel númeroáureo.En unpentágonoregularestá
basada laconstrucciónde la Tumba Rupestre de Miraen AsiaMenor. Ejemplosde rectángulos
áureoslospodemosencontrar enlastarjetasde crédito, ennuestrocarnetde identidad ytambién
enlas cajetillasde tabaco.Unas proporcionesarmoniosasparael cuerpo,que estudiaronanteslos
griegosy romanos,las plasmóeneste dibujoLeonardodaVinci.Sirvióparailustrarel libroLa
DivinaProporciónde Luca Pecioloeditadoen1509. En dicholibrose describencualeshande ser
lasproporcionesde lasconstruccionesartísticas.Enparticular,Peciolopropone unhombre
perfectoenel que lasrelacionesentre lasdistintaspartesde sucuerposean proporcionesáureas.
Estirandomanos piesy haciendocentroenel ombligose dibujalacircunferencia.El cuadrado
tiene porladola alturadel cuerpoque coincide,enuncuerpoarmonioso,conlalongitudentre los
extremosde losdedosde ambasmanos cuandolosbrazos estánextendidosy formandounángulo
de 90º con el El númerode oroPágina10 de 14 tronco.Resultaque el cociente entre laalturadel
hombre (ladodel cuadrado) yla distanciadel ombligoala puntade la mano (radiode la
circunferencia) esel número áureo.
El cuadro de Dalí Leda atómica, pintadoen1949, sintetizasiglosde tradiciónmatemáticay
simbólica, especialmente pitagórica.Se tratade una filigranabasadaenlaproporciónáurea,pero
elaboradade tal forma que no esevidentepara el espectador.Enel bocetode 1947 se advierte la
meticulosidaddel análisisgeométricorealizadopor.Dalíbasadoenel pentagramamístico
pitagórico.En la naturaleza,aparece laproporciónáureatambiénenel crecimientode lasplantas,
laspiñas,la distribuciónde lashojas enuntallo,dimensiones de insectosypájarosyla formación
de caracolas.