Descripción del teorema de Pitágoras, ejercicios

1. Teorema de Pitágoras 1 Triángulos rectángulos Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto. C B A a c b Ángulo recto Los catetos son perpendiculares Hipotenusa Catetos C B A a c b

2. Teorema de Pitágoras 2 Triángulos rectángulos: propiedades Dos propiedades de interés: Primera En un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos vale 90º Segunda La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles lo divide en dos triángulos rectángulos iguales. M BM = MC Los triángulos ABM y AMC son iguales C B A a c b A B C son complementarios

3. Teorema de Pitágoras 3 Teorema de Pitágoras: idea intuitiva En un triángulo rectángulo: Área = a 2 Área = c 2 Área = b 2 el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos c 2 = a 2 + b 2 a c b

4. Teorema de Pitágoras 4 Teorema de Pitágoras: comprobación Por tanto: 3 2 + 4 2 = 5 2 Consideramos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm El área del cuadrado construido sobre el primer cateto vale 9 Hay 3·3 = 9 cuadraditos El área del cuadrado construido sobre el segundo cateto vale 16 Hay 4·4 = 16 cuadraditos Hallemos el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. Observa : 1. El área del triángulo es 6 2. El cuadrado sobre la hipotenusa contiene 4 triángulos de área 6. Además contiene un cuadradito de área 1. 3. Su área total es 6·4 + 1 = 25. Luego es un cuadrado de lado 5 3 4

5. Teorema de Pitágoras 5 Teorema de Pitágoras: segunda comprobación Consideramos un cuadrado de 7 cm de lado. Su área será 49 cm 2 Cuatro triángulos rectángulos de catetos 3 y 4 cm. Cuyas áreas valen 6 cm 2 cada uno. 4 3 7 Observa que en ese cuadrado caben: Además cabe un cuadrado de lado c, cuya superficie es c 2 . Se tiene pues: 49 = 4·6 + c 2 c 2 = 49 - 24 = 25 c 2 = 25 = 5 2 c 2 25 cm 2 25 = 9 + 16 Por tanto, 5 2 = 3 2 + 4 2 6 cm 2 c

6. Teorema de Pitágoras 6 Teorema de Pitágoras: ejercicio primero En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm, calcula la hipotenusa. 5 12 c? Como c 2 = a 2 + b 2 se tiene: c 2 = 5 2 + 12 2 = 25 + 144 = 169 c = 13 cm Haciendo la raíz cuadrada

7. Teorema de Pitágoras 7 Teorema de Pitágoras: ejercicio segundo En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. Calcula el valor del otro cateto. 6 a? 10 Como c 2 = a 2 + b 2 se tiene: a 2 = 10 2 - 6 2 = 100 - 36 = 64 a = 8 cm a 2 = c 2 - b 2 Luego: Haciendo la raíz cuadrada:

8. Teorema de Pitágoras 8 Los triángulos “sagrados” Fueron muy utilizados por los arquitectos y agrimensores egipcios. Las medidas de sus lados son: 3, 4 y 5 o 5, 12 y 13 (También las proporcionales a estas) 5 4 3 13 5 12 Todos ellos son rectángulos, pues cumplen la relación: a 2 + b 2 = c 2 3 2 + 4 2 = 5 2 6 2 + 8 2 = 10 2 9 2 + 12 2 = 15 2 5 2 +12 2 = 13 2 10 6 8 15 9 12

9. Teorema de Pitágoras 9 Reconociendo triángulos rectángulos Un carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son 60 cm de ancho y 80 de largo. Como los lados de la ventana y la diagonal deben formar un triángulo rectángulo, tiene que cumplirse que: a 2 + b 2 = c 2 Pero 60 2 + 80 2 = 3600 + 6400 = 10000 La ventana está mal construida 80 cm ¿Estará bien construido si la diagonal mide 102 cm? a b c Mientras que 102 2 = 10404 Son distintos 60 cm 102 cm

10. Teorema de Pitágoras 10 Cálculo de la diagonal de un cuadrado Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm cada uno. Luego, d 2 = 49 + 49 = 98 ¿Cuánto mide su diagonal? 7 7 d Cumplirá que: d 2 = 7 2 + 7 2

11. Teorema de Pitágoras 11 Cálculo de la diagonal de un rectángulo Tenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, respectivamente. Luego, d 2 = 36 + 64 = 100 ¿Cuánto mide su diagonal? 6 8 d Cumplirá que: d 2 = 6 2 + 8 2 d = 10

12. Teorema de Pitágoras 12 Cálculo de la altura de un triángulo isósceles Tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales 8 cm, y el otro 6 cm. La altura es un cateto de un triángulo rectángulo cuyo hipotenusa miden 8 cm y el otro cateto 3 cm. Luego, 64 = 9 + h 2 ¿Cuánto mide su altura? 6 8 Cumplirá que: 8 2 = 3 2 + h 2 Como se sabe, la altura es perpendicular a la base y la divide en dos partes iguales h 3 3 h 2 = 55 8

13. Teorema de Pitágoras 13 Cálculo de la apotema de un hexágono regular Tenemos un hexágono regular de lado 6 cm. ¿Cuánto mide su apotema? a 2 = 36 - 9 = 27 Luego, la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 6 cm y otro cateto 3. Recuerda: Cumplirá que: 6 2 = a 2 + 3 2 1. La apotema es la medida desde el centro del hexágono a la mitad de un lado. 2. En un hexágono regular la distancia del centro a cualquiera de los vértices es igual al lado. 3 3 6