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MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones
2
Objetivos:
Se pretende que el estudiante:
• Determine convergencia o divergencia de sucesiones.
• Analice Monotonía de sucesiones.
• Conozca las propiedades de la notación sigma.
2.1 SUCESIONES
2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
35
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones
2.1. SUCESIONES
2.1.1 DEFINICIÓN.
Sucesión es una función, denotada como { }na , cuyo
dominio es el conjunto de los números enteros
positivos y su rango son números reales. Es decir:
nanfn
IRXIN
=
⊆
)(a
a
.
Es común referirse al rango de la sucesión, por tanto la sucesión se
presenta como una secuencia de términos { }L,,, ,321 aaa . Si la sucesión tiene
una cantidad determinada de términos se la llamará SUCESIÓN FINITA. Si la
sucesión tiene una cantidad no definida de términos, se la llamará SUCESIÓN
INFINITA.
Ejemplo
{ }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
= LL ,
12
,,
7
3
,
5
2
,
3
1
12 n
n
n
n
an
La manera como se presentó la sucesión en el ejemplo anterior se
denomina forma explícita, pero se la puede expresar como una formula de
recursión.
Ejemplo
2;3;1 11 ≥+== − naaa nn
Es decir:
431312 =+=+= aa
734323 =+=+= aa
Y así sucesivamente.
36
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones
2.1.2 Convergencia y Límite
Una sucesión { , es convergente si y sólo si}na n
n
alim
∞→
existe. Caso contrario; es decir, si no existe, sen
n
alim
∞→
dice que la sucesión es divergente.
Si existe, es decir sin
n
alim
∞→
Lann
=∞→
lim , significa que:
ξξ <−⇒>>∃>∀ LaNntalqueN n
0,0
Ejemplo.
Determinar si { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
=
12n
n
an es convergente o divergente.
SOLUCIÖN:
Para determinar si es convergente o divergente se halla .n
n
alim
∞→
2
1
1212
=
+
=
+ ∞→∞→
nn
n
n
n
lim
n
n
lim
nn
Por tanto, la sucesión es convergente y además converge a
2
1
TEOREMA
Una condición necesaria y suficiente para que una
sucesión sea convergente es que sea acotada.
Note que, para la sucesión anterior la mínima cota superior es 2
1 y la
máxima cota inferior es 3
1 .
PREGUNTA: ¿POR QUÉ SE DICE MÍNIMA COTA SUPERIOR? ¿POR QUÉ SE DICE
MÁXIMA COTA SUPERIOR?
37
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones
Ejemplo
Determinar si { } ( ){ }nn na π= sen es convergente o divergente.
SOLUCION:
( )
( ) ( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
π==
π
π
∞→π
ππ
∞→
π
∞→
n
n
n
n
nn
nnn
lim
n
limnlim
sensen
sen
Haciendo
n
u π= entonces, si ∞→n tenemos que 0→u
( )
π=π=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
π=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
π=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
π
→→π
π
∞→
)1(
sensensen
00 u
u
lim
u
u
limlim
uu
n
n
n
. Por tanto
converge.
TEOREMA
Si y son sucesiones convergentes, entonces:n
a n
b
1. IRkakka n
n
n
n
∈=
∞→∞→
;límlím
2. ( ) n
n
n
n
nn
n
baba
∞→∞→∞→
±=± límlímlím
3. ( ) n
n
n
n
nn
n
baba
∞→∞→∞→
= límlímlím
4.
n
n
n
n
n
n
n b
a
b
a
∞→
∞→
∞→
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
lím
lím
lím si 0lím ≠
∞→
n
n
b
2.1.3 SUCESIONES MONOTONAS
Una sucesión { }na es monótona si sus términos
son no decrecientes, es decir:
LL ≤≤≤≤≤≤ +1321 nn aaaaa ;
ó si sus términos son no crecientes; es decir:
.LL ≥≥≥≥≥≥ +1321 nn aaaaa
38
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones
Lo anterior quiere decir que si se cumple que 1+≤ nn aa o 11
≥+
n
n
a
a
será
una sucesión CRECIENTE. Caso contrario, es decir si da que 1+≥ nn aa o
11
≤+
n
n
a
a
será una sucesión DECRECIENTE.
Ejemplo 1
Determinar si la sucesión
12 +
=
n
n
an es creciente o decreciente.
SOLUCIÖN:
En este caso
( ) 32
1
112
1
1
+
+
=
++
+
=+
n
n
n
n
an
Al dividir ambas expresiones, resulta:
( )( )
( ) nn
nn
nn
nn
n
n
n
n
a
a
n
n
32
132
32
121
12
32
1
2
2
1
+
++
=
+
++
=
+
+
+
=+
note que en la última expresión se observa que 11
≥+
n
n
a
a
¿Por qué?.
Por tanto, la sucesión será CRECIENTE.
Ejemplo 2
Analice la sucesión ( )n
na 13 −+=
SOLUCIÖN:
Desarrollando la sucesión tenemos
{ } ( ){ } { }L,4,2,4,213 =−+= n
na
Se observa que la sucesión no es monótona, no es convergente, si es acotada.
39
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones
Ejemplo 3
Analice la sucesión
!
2
n
a
n
n =
SOLUCIÖN:
1. 0
!
2
=
∞→ n
lim
n
n
)
. El factorial es más creciente que la exponencial por tanto la sucesión converge a
0.
2. La sucesión es acotada debido a que es convergente.
3.
( !1
2 1
1
+
=
+
+
n
a
n
n . Ahora
( )
( ) 1
2
2
!
1!
22
!
2
!1
2
1
1
1
+
=
+
=
+
=
+
+
n
n
nn
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
Se observa que para ,1≥n 1
1
2
≤
+n
por tanto la sucesión es decreciente.
Ejercicios propuestos 2.1
1. Determine si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes.
a.
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
nn
n
2
2
2
13
b.
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
13
12 2
n
n
c.
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ π
+ 2
sen
1
n
n
n
d.
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
n
n
3
1
e.
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
nn
n
2
3
12
f.
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
2
ln
n
n
g.
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
n
n2
1
1
2. Determine si las sucesiones son crecientes, decrecientes o no monótonas.
a.
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
54
13
n
n
b.
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+ n
n
2
51
5
c.
( )⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−•••• 12531
!
n
n
L
d. ( )πnsen
e.
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
n
n
3
!
40
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones
2.2. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
Sea la secuencia , , .1
a 2
a n
aa L,3
La suma de estos números, puede ser expresada mediante una
notación que denota abreviación, el símbolo empleado es el de sigma:
∑=
=+++
n
i
in aaaaa
1
321 L
Entonces, la notación sigma significa una suma de término, desde el
primero hasta el n-ésimo. Podemos tener una suma finita de términos como
también podemos tener una suma infinita.
Ejemplo 1
{ { { {
4321
4
1
2
17
4
10
3
5
2
2
1
1
=====
+++=
+∑ iiiii
i
i
Ejemplo 1
∑
∞
=
=++++++
1
4321
n
nn LL
2.2.1 Propiedades
Sean y{ }ia { }ib dos sucesiones y sea C una
constante, entonces
1. ∑∑ ==
=
n
i
i
n
i
i
aCCa
11
2. ( ) ∑∑∑ ===
±=±
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
baba
111
Alguna formulas que se necesitarán más adelante son:
41
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones
1.
( )
2
1
4321
1
+
=+++++=∑=
nn
ni
n
i
L
2.
( )( )
6
121
321 2222
1
2 ++
=++++=∑=
nnn
ni
n
i
L
3.
( ) 2
3333
1
3
2
1
321 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +
=++++=∑=
nn
ni
n
i
L
4.
( )( )
30
1961
321
23
4444
1
4 −+++
=++++=∑=
nnnnn
ni
n
i
L
¡No olvide demostrarlas!
42

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Sucesiones

  • 1. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones 2 Objetivos: Se pretende que el estudiante: • Determine convergencia o divergencia de sucesiones. • Analice Monotonía de sucesiones. • Conozca las propiedades de la notación sigma. 2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA 35
  • 2. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones 2.1. SUCESIONES 2.1.1 DEFINICIÓN. Sucesión es una función, denotada como { }na , cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos y su rango son números reales. Es decir: nanfn IRXIN = ⊆ )(a a . Es común referirse al rango de la sucesión, por tanto la sucesión se presenta como una secuencia de términos { }L,,, ,321 aaa . Si la sucesión tiene una cantidad determinada de términos se la llamará SUCESIÓN FINITA. Si la sucesión tiene una cantidad no definida de términos, se la llamará SUCESIÓN INFINITA. Ejemplo { } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = LL , 12 ,, 7 3 , 5 2 , 3 1 12 n n n n an La manera como se presentó la sucesión en el ejemplo anterior se denomina forma explícita, pero se la puede expresar como una formula de recursión. Ejemplo 2;3;1 11 ≥+== − naaa nn Es decir: 431312 =+=+= aa 734323 =+=+= aa Y así sucesivamente. 36
  • 3. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones 2.1.2 Convergencia y Límite Una sucesión { , es convergente si y sólo si}na n n alim ∞→ existe. Caso contrario; es decir, si no existe, sen n alim ∞→ dice que la sucesión es divergente. Si existe, es decir sin n alim ∞→ Lann =∞→ lim , significa que: ξξ <−⇒>>∃>∀ LaNntalqueN n 0,0 Ejemplo. Determinar si { } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = 12n n an es convergente o divergente. SOLUCIÖN: Para determinar si es convergente o divergente se halla .n n alim ∞→ 2 1 1212 = + = + ∞→∞→ nn n n n lim n n lim nn Por tanto, la sucesión es convergente y además converge a 2 1 TEOREMA Una condición necesaria y suficiente para que una sucesión sea convergente es que sea acotada. Note que, para la sucesión anterior la mínima cota superior es 2 1 y la máxima cota inferior es 3 1 . PREGUNTA: ¿POR QUÉ SE DICE MÍNIMA COTA SUPERIOR? ¿POR QUÉ SE DICE MÁXIMA COTA SUPERIOR? 37
  • 4. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones Ejemplo Determinar si { } ( ){ }nn na π= sen es convergente o divergente. SOLUCION: ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π== π π ∞→π ππ ∞→ π ∞→ n n n n nn nnn lim n limnlim sensen sen Haciendo n u π= entonces, si ∞→n tenemos que 0→u ( ) π=π=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ π=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ π= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π →→π π ∞→ )1( sensensen 00 u u lim u u limlim uu n n n . Por tanto converge. TEOREMA Si y son sucesiones convergentes, entonces:n a n b 1. IRkakka n n n n ∈= ∞→∞→ ;límlím 2. ( ) n n n n nn n baba ∞→∞→∞→ ±=± límlímlím 3. ( ) n n n n nn n baba ∞→∞→∞→ = límlímlím 4. n n n n n n n b a b a ∞→ ∞→ ∞→ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ lím lím lím si 0lím ≠ ∞→ n n b 2.1.3 SUCESIONES MONOTONAS Una sucesión { }na es monótona si sus términos son no decrecientes, es decir: LL ≤≤≤≤≤≤ +1321 nn aaaaa ; ó si sus términos son no crecientes; es decir: .LL ≥≥≥≥≥≥ +1321 nn aaaaa 38
  • 5. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones Lo anterior quiere decir que si se cumple que 1+≤ nn aa o 11 ≥+ n n a a será una sucesión CRECIENTE. Caso contrario, es decir si da que 1+≥ nn aa o 11 ≤+ n n a a será una sucesión DECRECIENTE. Ejemplo 1 Determinar si la sucesión 12 + = n n an es creciente o decreciente. SOLUCIÖN: En este caso ( ) 32 1 112 1 1 + + = ++ + =+ n n n n an Al dividir ambas expresiones, resulta: ( )( ) ( ) nn nn nn nn n n n n a a n n 32 132 32 121 12 32 1 2 2 1 + ++ = + ++ = + + + =+ note que en la última expresión se observa que 11 ≥+ n n a a ¿Por qué?. Por tanto, la sucesión será CRECIENTE. Ejemplo 2 Analice la sucesión ( )n na 13 −+= SOLUCIÖN: Desarrollando la sucesión tenemos { } ( ){ } { }L,4,2,4,213 =−+= n na Se observa que la sucesión no es monótona, no es convergente, si es acotada. 39
  • 6. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones Ejemplo 3 Analice la sucesión ! 2 n a n n = SOLUCIÖN: 1. 0 ! 2 = ∞→ n lim n n ) . El factorial es más creciente que la exponencial por tanto la sucesión converge a 0. 2. La sucesión es acotada debido a que es convergente. 3. ( !1 2 1 1 + = + + n a n n . Ahora ( ) ( ) 1 2 2 ! 1! 22 ! 2 !1 2 1 1 1 + = + = + = + + n n nn n n a a n n n n n n Se observa que para ,1≥n 1 1 2 ≤ +n por tanto la sucesión es decreciente. Ejercicios propuestos 2.1 1. Determine si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes. a. ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + nn n 2 2 2 13 b. ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + 13 12 2 n n c. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ π + 2 sen 1 n n n d. ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n 3 1 e. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + nn n 2 3 12 f. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 2 ln n n g. ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n2 1 1 2. Determine si las sucesiones son crecientes, decrecientes o no monótonas. a. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − 54 13 n n b. ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + n n 2 51 5 c. ( )⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −•••• 12531 ! n n L d. ( )πnsen e. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 3 ! 40
  • 7. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones 2.2. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Sea la secuencia , , .1 a 2 a n aa L,3 La suma de estos números, puede ser expresada mediante una notación que denota abreviación, el símbolo empleado es el de sigma: ∑= =+++ n i in aaaaa 1 321 L Entonces, la notación sigma significa una suma de término, desde el primero hasta el n-ésimo. Podemos tener una suma finita de términos como también podemos tener una suma infinita. Ejemplo 1 { { { { 4321 4 1 2 17 4 10 3 5 2 2 1 1 ===== +++= +∑ iiiii i i Ejemplo 1 ∑ ∞ = =++++++ 1 4321 n nn LL 2.2.1 Propiedades Sean y{ }ia { }ib dos sucesiones y sea C una constante, entonces 1. ∑∑ == = n i i n i i aCCa 11 2. ( ) ∑∑∑ === ±=± n i i n i i n i ii baba 111 Alguna formulas que se necesitarán más adelante son: 41
  • 8. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones 1. ( ) 2 1 4321 1 + =+++++=∑= nn ni n i L 2. ( )( ) 6 121 321 2222 1 2 ++ =++++=∑= nnn ni n i L 3. ( ) 2 3333 1 3 2 1 321 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + =++++=∑= nn ni n i L 4. ( )( ) 30 1961 321 23 4444 1 4 −+++ =++++=∑= nnnnn ni n i L ¡No olvide demostrarlas! 42