Presentación sobre el método de sustitución directa para integrales, parte del contenido de la unidad curricular Matemáticas II de la Escuela de Ingeniería Forestal de la Universidad de Los Andes, Mérida Venezuela.

1. Metodo de integración: Sustitución Directa.
Kuong Fang Chang
Universidad de Los Andes
Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales
Escuela de Ingeniería Forestal
Departamento de Botánica y Ciencias Básicas
Mérida–Venezuela
9 de Diciembre de 2020

2. Propiedades
De la Derivada:
1 [αf (x)] = αf (x)
2 [f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x)
3 [f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x)
4
f (x)
g(x)
=
f (x)g(x) − f (x)g (x)
g2(x)
.
5 [f (g(x))] = f (g(x))g (x)
De la Integral:
1 αf (x) dx = α f (x) dx.
2 [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx.
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3. Fórmula de integración: Sustitución directa
El método de integración por sustitución, se basa en reconocer el
integrando como el producto de dos funciones: uno de los factores de este
producto es una función compuesta, mientras que, el otro factor es la
derivada de la función interna de la composición previa (o bien, la
derivada excepto un múltiplo escalar). En símbolos, esta fórmula es dada
por:
f (g(x))g (x) dx = F(g(x)) + C (1)
donde F es un primitiva de f . Es decir
f (x) dx = F(x) + C
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4. Ejemplo
Calcular 2x x2 + 1 dx
Solución: Haremos uso de la fórmula de sustitución directa. Para ello
reconoceremos al integrando como la función dada por
h(x) = f (g(x))g (x), donde:
f (x) =
√
x, g(x) = x2
+ 1 =⇒ f (g(x)) = x2 + 1, g (x) = 2x
Ahora, para la función f (x) =
√
x podemos determinar su primitiva:
F(x) =
√
x dx = x
1
2 dx =
2x
3
2
3
+ K =
2
√
x3
3
+ K
Finalmente, usamos la fórmula (1)
h(x) dx = f (g(x))g (x) dx = F(g(x)) + C =
2 (x2 + 1)3
3
+ C
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5. Ejemplo:
Calcular 3x2
(x3
+ 4)4
dx.
Reconocemos el integrando, como un producto de una función compuesta
por la derivada de la función interna h(x) = f (g(x))g (x), donde:
f (x) = x4
, g(x) = x3
+ 4 =⇒ f (g(x)) = (x3
+ 4)4
, g (x) = 3x2
de manera que F(x) = f (x) dx
F(x) = f (x) dx = x4
dx =
x5
5
+ C =⇒ F(x) =
x5
5
+ C
De lo cual podemos concluir:
3x2
(x3
+ 4)4
dx = F(g(x)) + C =
(g(x))5
5
+ C =
(x3 + 4)5
5
+ C
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6. La sustitución introduciendo la nueva variable.
La fórmula de integración
f (g(x))g (x) dx = F(g(x)) + C
donde F es una primitiva de f , comúnmente se utiliza en el cálculo
introduciendo una nueva variable. Este procedimiento es, por ejemplo,
haciendo:
u = g(x)
du = g (x) dx
con lo que:
f (g(x))g (x) dx = f (u) du
y se procede a calcular la integral con la variable u. Al finalizar, se
sustituye la expresión correspondiente a la variable u para obtener la
solución en términos de la variable x.
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7. Ejemplo
Calcular 2x x2 + 1 dx
Solución: Hacemos el cambio
t = x2 + 1
dt = 2x dx
con lo que:
2x x2 + 1 dx = x2 + 12x dx =
√
t dt
= t
1
2 dt =
t
1
2
+1
1
2 + 1
+ C
=
2t
3
2
3
+ C =
2
√
t3
3
+ C
Con lo que, al sustituir la variable t se obtiene:
2x x2 + 1 dx =
2 (x2 + 1)3
3
+ C
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8. Ejemplo:
Calcular 3x3
(x3
+ 4)4
dx.
Hacemos el cambio
u = x3 + 4
du = 3x2 dx
, con lo que:
3x2
(x3
+ 4)4
dx = (x3
+ 4)4
3x2
dx
= u4
du
=
u5
5
+ C
=
(x3 + 4)5
5
+ C
con lo que 3x2
(x3
+ 4)4
dx =
(x3 + 4)5
5
+ C
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9. Ejemplos
1 4xe2x2
dx = e2x2
4x dx = e2x2
+ C
2 8xe2x2
dx = 2 e2x2
4x dx = 2e2x2
+ C
3 cos(3x) dx = cos(3x)
3
3
dx =
1
3
cos(3x) 3 dx =
1
3
sen(3x) + C
4
ln(x)
x
dx = ln(x)
1
x
dx =
ln2
(x)
2
+ C
Referencia:
Kuong-F Chang. Notas de clases de Matemáticas II, Escuela de Ingeniería Forestal,
Departamento de Botánica y Ciencias Básicas.
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