DOCUMENTO

1. Operaciones con Funciones
Demetrio Ccesa Rayme

2. 3. Operaciones con Funciones
Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg
denotan los dominios de f y g, respectivamente. definida por:
(f + g )(x) = f(x) +g(x) El dominio de f + g es Df ∩ Dg
(f ⋅ g)(x) = f(x)⋅ g(x) El dominio de f ⋅ g es Df ∩ Dg
(f/g)(x) = f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0
El dominio de f /g es Df ∩ Dg excluyendo los valores de x
para los cuales g(x) = 0.

3. Ejemplo 3.1
Sea f(x) = x y g(x) = x . Entonces (f + g) (x) = x + x .
El dominio de f es (−∞,∞) y el dominio de g es [0, ∞).
Así el dominio de f + g es Df ∩Dg = (-∞, ∞) ∩ [0, ∞) = [0, ∞).
Ejemplo 3.2
Sea f(x) = x3 – 1 y g(x) = - 4x.
Si x = 3, entonces
f(3) = (3)3 – 1 = 26 y g(3) = 4(3) = 12.
Así, (f + g) (3) = f(3) + g(3) = 26 – 12 = 14.

4. Ejemplo 3.3
Sea f(x) = x +1 y g(x) = x −4 ,
entonces (f- g)(x) = f(x) – g(x) = x +1 - x −4 .
El dominio de f es [-1, ∞), y el dominio de g es [4, ∞).
El dominio de f – g es Df∩ Dg = [-1, ∞) ∩ [4, ∞) = [4, ∞).
Ejemplo 3.4.
Sea f(x) = x – 2 y g(x) = x + 2.
Entonces (f⋅g)(x) = f(x) g(x) = ( x + 2 )( x - 2) = x2 - 4.
El dominio de f es (−∞, ∞) y el dominio de g es (−∞, ∞). Por
tanto el dominio de f ⋅ g es Df∩ Dg = (−∞, ∞).

5. Ejemplo 3.5
Sea f(x) = | x | y g(x) = 5.
Entonces (f ⋅g)(x) = f(x) g(x) = | x |⋅5.
El dominio de f es 3 y el dominio de g es 3.
Entonces el dominio de f ⋅ g es Df∩ Dg = 3. Si x = -2,
Entonces (f ⋅g)(-2) = f(-2) ⋅ g(-2) = |-2|5 = 2⋅5 = 10.
Ejemplo 3.6.
Si f(x) = x + 4 y g(x) = x2 – 1.
Entonces (f/g) (x) = f(x) / g(x) = (x + 4)/(x2 – 1).
El dominio de f y el de g son los números reales.
La función g(x) = x2 – 1 es cero para x = 1 y x = -1.
Por lo tanto el dominio de f/g es R – {-1, 1}

6. 4. Composicion de Funciónes
Si f es una función de X en Y y g es una función de Y a Z,
entonces la función compuesta g o f es la función de X a
Z dada por:
(g o f)(x) = g(f(x)) para cada x en X.
El dominio de g o f es:
Dgof = {x | x ε Df y f(x) ε Dg}

7. La siguiente figura muestra una representación geométrica
de (gof) (x) = g(f(x))
Es muy importante hacer notar que para formar la función
composición es necesario que
el rango de la función f sea igual o un subconjunto del
dominio de la función g.

9. Ejemplo 4.2

10. 5. FUNCIONES INYECTIVAS,
SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS
Función inyectiva
Ejemplo de función inyectiva.
En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le
corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del
conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o
más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el
valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los
números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una
función inyectiva.

11. Función biyectiva
Ejemplo de función biyectiva.
En matemática, una función es biyectiva si es al mismo
tiempo inyectiva y sobreyectiva.
Formalmente,
para ser más claro se dice que una función es biyectiva
cuando todos los elementos del conjunto de partida en
este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto
de llegada, que es la regla de la función inyectiva.
sumándole que cada elemento del conjunto de salida le
corresponde un elemento del conjunto de llegada, en
este caso (y) que es la norma que exige la función
sobreyectiva.
Teorema
Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es
biyectiva.
Ejemplo
La función es biyectiva.
Luego, su inversa también lo es.

12. Función sobreyectiva
Ejemplo de función sobreyectiva.
En matemática, una función es sobreyectiva cuando cada
elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de
"X".

13. ¿Qué Función es?¿Porque?

14. Funciones inversas
Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x) de
forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f-1(b) = a
· Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:
_ Despejar la variable independiente x.
_ Intercambiar la x por la y, y la y por la x.
La función así obtenida es la inversa de la función dada.
Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la
bisectriz del 1.er cuadrante y del 3.er cuadrante.

15. Ejercicio 1:
•Hallar la función inversa de y = 5x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el
mismo sistema de ejes.
Resolución:
· Se intercambian ambas variables:
Ejercicio 2:
Hallar la función inversa de y = -x + 4, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo
sistema de ejes.
Resolución:
 Se despeja x : x = -y + 4.
 Se intercambian ambas variables:
La función dada coincide con su inversa.
y = -x + 4.

16. La grafica que se muestra a continuación sube de A hacia B,
mantiene su nivel desde B hasta C y luego desciende desde C
hasta D. Se dice que la función esta creciendo sobre el intervalo
[a,b], que es constante sobre el intervalo [b,c] y que es decreciente
sobre el intervalo [c,d]
x
a b
f
c d
A
B
D
C
6. Funciones crecientes, decrecientes y constantes

17. Ejemplo 1
A partir de la grafica de la función f
determinar los intervalos donde f es:
1. Crecimiento
2. Decrecimiento
3. Constante
x
y

18. 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6-7
2
4
x
y
3
-1
Para la función f, cuyo gráfico se muestra, determine:
dominio, rango, los intervalos donde la función es positiva o
negativa y los intervalos de crecimiento y decrecimiento
Ejemplo 3