1. 1. ANTIDERIVADA O PRIMITIVA
1.1 Antidiferenciación
Ejemplo 1 Antiderivada
Encontrar una función F cuya derivada es f(x) = 12x2 + 2x.
Por lo que se sabe de derivadas, es posible afirmar que la función buscada es:
F(x) = 4x3 + x2 + 5 porque F´(x) = 12x2 + 2x. En este caso, se dice que la función F
es una antiderivada de ƒ.
Por otro lado, las funciones G(x) = 4x3 + x2 + 17, H(x) = 4x3 + x2 – 29 y R(x) = 4x3 +
x2 + 9, también cumplen con la condición dada. En este caso, se puede decir que
las funciones G(x), H(x) y R(x) son antiderivadas de f. De manera general, cualquier
función de la forma F(x) = 4x3 + x2 + C, es una antiderivada de f.
La operación que permite determinar todas las antiderivadas de una función se
denomina antiderivación (o integración indefinida) y se denota mediante un signo
integral . La solución general se denota mediante:
Definición de antiderivada o primitiva
Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de ƒ, en un intervalo I si
F´(x) = f(x) para todo x en I.
2. La expresión dx
x
f )
( , se lee como la antiderivada o primitiva de ƒ con respecto
a x. La diferencial de dx sirve para identificar a x como la variable de integración. El
término integral indefinida es sinónimo de antiderivada.
1.2 Integrales de funciones algebraicas
Reglas básicas de integración
Sea f(x) y g(x) funciones, k y n constantes.
➢ +
= C
x
dx
➢
= dx
x
f
k
dx
x
kf )
(
)
(
➢
=
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f )
(
)
(
)
(
)
(
➢ 1
,
1
1
−
+
+
=
+
n
C
n
x
dx
x
n
n
3. Ejemplo 2 Integrar usando reglas básicas
Hallar la integral indefinida, usando las reglas básicas de integración.
a)
8
7
8
x
x dx C
= +
b)
5
4 5
15 15 3
5
x
x dx C x C
= + = +
c)
2
3
3 2
4 2
4 4
2
x
dx x dx C C
x x
−
−
= = + = − +
−
d)
8 8
3 3
5
3 5 3
3
8 8
3
x x
x dx x dx C C
= = + = +
e)
−
+
=
−
+ dx
dx
x
dx
x
dx
x
x 9
7
6
9
7
6 2
2
C
x
x
x
C
x
x
x
+
−
+
=
+
−
+
=
9
2
7
2
9
2
7
3
6
2
3
2
3
f) 3 2
3 2
4 7
3 4 7 3
x dx x dx x dx xdx
x x
− −
+ − = + −
2 1 2
2
2
4 7 3
2 1 2
2 7 3
2
x x x
C
x
C
x x
− −
= + − +
− −
= − − − +
g) ( )( )
2 3 2
1 3 ( 3 3)
x x dx x x x dx
− + = − + −
C
x
x
x
x
+
+
+
−
= 3
2
3
3
4
2
3
4
4. h) dx
x
dx
x
x
x
x
+
=
+
2
1
2
3 4
4
C
x
x
C
x
x
dx
x
dx
x
+
+
=
+
+
=
+
=
−
2
1
2
5
2
1
2
5
2
1
2
3
8
5
2
2
1
4
2
5
4
i) dx
x
dx
x
x
dx
x
x
−
=
− 1
2
1
2
C
x
x
C
x
x
dx
x
dx
x
+
−
=
+
−
=
−
=
−
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
4
2
1
2
3
2
2
5. PRÁCTICA Nº1
Hallar la integral indefinida, usando las reglas básicas de integración.
1. dx
x
−7
5 = R: C
x
+
− 6
6
5
2. dx
x
5
11
1
= R: C
x
+
−
5
6
6
5
3. dx
x
x )
5
4
3
( 2
+
−
= R: C
x
x
x +
+
− 5
2 2
3
4. dx
x
x
−
4
3
7
4
= R: C
x
x
+
−
20
3
14
5
2
5. dx
x
x
− 2
2
3
2
2
3
= R: C
x
x
+
+
3
2
2
3
6. ( )dx
x
x
− 4
3
2 =
R: C
x
x
+
−
5
12
3
4 4
5
2
3
7. dx
x
x
x
+
−
− 6
2
7
5
3 2
= R: C
x
x
x
+
+
−
− 2
2
1
3
5
3
7
25
3
8. ( )( )dx
x
x 3
5
2
−
+
=
R: C
x
x
x
x
+
−
+
− 15
2
5
4
2
3
4
9. ( )( )dx
x
x
x 2
6
2
2
+
−
+
=
R: C
x
x
x
x
+
−
−
+ 12
3
4
4
2
3
4
10. dx
x
2
3
1
1
+ =
R: C
x
x
x +
+
+ 3
2
3
1
3
3
6. 1.3 Integración por sustituciones
Muchas antiderivadas, no pueden determinarse aplicando únicamente los teoremas
dados. Estudiaremos otras técnicas para integrar funciones compuestas.
Obsérvese que la función compuesta en el integrando tiene una función exterior ƒ y
una función interior g. Además, la derivada g(x) está presente como un factor del
integrando.
Si la función compuesta, está definida particularmente como
( )
n
g x , donde la
función interior es g(x) y la función exterior es una potencia, entonces es posible
aplicar el siguiente teorema:
Teorema Antiderivación de funciones compuestas.
Sea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I.
Si g es derivable en su dominio y F es una antiderivada o primitiva de f en I, entonces:
+
= C
x
g
F
dx
x
g
x
g
f ))
(
(
)
´(
))
(
(
Si u = g(x), entonces du = g´(x)dx, y
+
= C
u
F
du
u
f )
(
)
(
7. Ejemplo 1 Cambio de variable
Encontrar la integral indefinida, usando sustituciones de u.
a) ( )
6 3 6
5
2 3 5 1 ( 6)
6
3 3 6 18
du u x
x x dx u C C
+
+ = = + = +
b) ( ) C
x
C
u
du
u
du
u
dx
x
x +
+
=
+
=
=
=
+
2
3
2
2
3
2
1
2
1
2
5
3
1
2
3
2
1
2
1
2
5
c)
5 2 5
2 4 4 (8 1)
16 (8 1)
5 5
u x
x x dx u du C C
+
+ = = + = +
Teorema La regla general de las potencias para integrales
Sea g una función derivable de x, entonces:
( )
( )
1
,
1
)
´(
1
−
+
+
=
+
n
C
n
x
g
dx
x
g
x
g
n
n
De manera equivalente, si u = g(x) entonces du = g´(x) dx, y
1
,
1
1
−
+
+
=
+
n
C
n
u
du
u
n
n
xdx
du
xdx
du
x
u
=
=
+
=
2
2
5
2
3
2
2
6
3
3
u x
du x dx
du
x dx
= +
=
=
2
8 1
16
u x
du xdx
= +
=
8. d) ( )( )
−
+
+
+
=
+
+
+
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x 2
7
3
3
2
)
7
3
(
3
2 2
4
3
2
2
4
3
C
x
x
C
u
C
u
du
u
du
u
+
+
+
−
=
+
−
=
+
−
=
=
=
−
−
−
)
7
3
(
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
4
1
2
2
( )
( )
3
3 3
2
2
2
2
1 1
)
2 2
1
1 1
2 2 4 1
x du
e dx u du
u
x
u
C C
x
−
−
−
= = −
−
= − + = +
−
−
f) du
u
u
dx
x
x 2
1
2
2
)
1
(
1
−
=
+
x
u
dx
du
x
u
=
−
=
+
=
1
1
dx
x
x
du
dx
x
x
du
dx
x
x
du
x
x
u
)
3
2
(
2
)
3
2
(
2
)
6
4
(
7
3
3
3
3
2
4
+
=
+
=
+
=
+
+
=
2
1
2
2
u x
du xdx
du
xdx
= −
= −
−
=
10. PRÁCTICA Nº2
Calcula la integral indicada, usando una sustitución de u.
1. dx
x
x 2
3
2
+
= R: ( ) C
x +
+ 2
3
3
2
9
2
2. ( ) dx
x
x
4
2
3
− = R: ( ) C
x +
−
5
2
3
10
1
3. dx
x
x
− 2
3
2
= R:
4.
( )
dx
x
x
+
2
1
1
= R: C
x +
+
− −1
)
1
(
2
5. ( ) dx
x
x 3
2
4
3
1
−
+ R: ( ) C
x +
+ 3
1
4
1
4
3
6. dx
x
x
+ 3
5
4
R: ( ) C
x +
+ 2
3
5
3
15
2
7. ( )dx
x
x
x
5
2
)
1
2
(
+
+ R: ( ) C
x
x +
+
6
2
6
1
8. ( ) dx
x
x
x
x 5
3
2
3
2
3
)
2
(
+
+ R: ( ) C
x
x +
+ 5
8
2
3
3
24
5
9. dx
x
x
+
3
2
3
= R: C
x
x
x +
+
+
+
−
+ 3
2
3
5
3
8
)
3
(
2
27
)
3
(
5
18
)
3
(
8
3
10. dx
x
x
−
+
5
2
2
= R: C
x
x
x +
−
+
−
+
− 2
1
2
3
2
5
)
5
(
54
)
5
(
3
20
)
5
(
5
2
C
x +
− 2
3
2 3
11. 1.4 Integrales de las funciones trigonométricas
Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando contiene funciones
trigonométricas. Para su resolución se utiliza el siguiente teorema:
Ejemplo 1 Integrales trigonométricas
a) dx
senx
x
senx
dx
x
sen
x
=
cos
1
cos
2
C
x
dx
x
x
+
−
=
=
csc
cot
csc
b) ( )
=
+ dx
x
dx
x 2
2
sec
tan
1
C
x +
= tan
Teorema Reglas básicas de integración para funciones
trigonométricas
Sea u una función diferenciable de x, entonces:
cos
senu du u C
= − +
cosu du senu C
= +
2
sec tan
u du u C
= +
2
csc cot
u du u C
= − +
sec tan sec
u u du u C
= +
csc cot csc
u u du u C
= − +
12. c) ( ) dx
senx
x
sen
dx
x
senx
dx
senx
x
sen
x
−
=
− 2
2
3
cot
1
2
3
cot
2
C
x
x
senxdx
xdx
x
+
+
−
=
−
=
cos
3
csc
2
3
cot
csc
2
d) 3cos(4 1) 3 cos(4 1)
x dx x dx
+ = +
3
cos
4
3
4
3
(4 1)
4
u du
senu C
sen x C
=
= +
= + +
d)
6 6
cos xsen xdx u du
=
6
6
6
6
u
C
sen x
C
= +
= +
e)
( )
3
3
cos
1
x
dx u du
senx
−
=
+
2
2
2
1
2(1 )
u
C
C
senx
−
= +
−
−
= +
+
f) 7 2 7
1
tan 2 sec 2
2
x xdx u du
=
8
8
16
tan 2
16
u
C
x
C
= +
= +
4 1
4
4
u x
du dx
du
dx
= +
=
=
cos
u senx
du xdx
=
=
1
cos
u senx
du xdx
= +
=
2
2
tan 2
2sec 2
sec 2
2
u x
du xdx
du
xdx
=
=
=
13. g) =
+
dx
x
x )
3
(
sec 2
2
C
x
C
u
du
u
du
u
+
+
=
+
=
=
=
)
3
tan(
2
1
tan
2
1
sec
2
1
2
sec
2
2
2
14. PRÁCTICA N°3
Hallar la integral
1. dx
senx
x
+1
cos = R: C
senx +
+ 2
3
)
1
(
3
2
2. dx
x
senx
cos
= R: - C
x +
cos
2
3. dx
x
x 3
2
cos
= R: C
senx +
3
3
1
4. − dx
x
senx )
cos
2
3
( = R: C
senx
x +
−
− 2
cos
3
5. dx
x
senx
2
cos
= R: C
x +
sec
6. + dx
x
x
x )
sec
2
cot
csc
4
( 2
= R: C
x
x +
+
− tan
2
csc
4
7. dx
x
x )
tan
3
cot
2
( 2
2
−
= R: C
x
x
x +
+
−
− tan
3
cot
2
8. dx
x
x
x )
sec
5
tan
sec
3
( 2
− = R: C
x
x +
− tan
5
sec
3
9. dx
x
4
cos = R: C
x
sen +
4
4
1
10. dx
senx
x
3
2
6 = R: C
x +
− 3
cos
2
11. dx
x
x
2
4
cos
2
1
= R: C
x
sen +
2
4
16
1
12. dx
x
x
x
2
2
3
cot
3
csc = R: C
x +
− 2
3
csc
6
1
13. ( ) dx
senx
x
+
5
2
cos = R:
( ) C
senx
+
+
6
2
6
14. dx
x
senx
+ 2
)
cos
1
(
4
= R: C
x
+
+ cos
1
4
15. dx
x
senx
+
3
cos
1
2 = R: ( ) C
x +
+
− 3
4
cos
1
2
3
16. dx
x
x
sen
−
3
2
cos
2
2 = R: ( )
4
3
3
2 cos2
8
x C
− +
15. 17. dx
senx
x
2
cos = R: C
x +
− 3
cos
3
1
18. ( ) dx
x
x
+
2
2
cot
2
tan = R: C
x
x +
− 2
cot
2
1
2
tan
2
1
19. dx
x
2
cos = R: C
x
sen
x +
+ 2
4
1
2
1
20. dx
x
5
sec2
= R: C
x +
5
tan
5
1
21. ( ) dx
senx
x
+
2
cos = R:
1
cos2
2
x x C
− +
22. dx
x
x
2
2
csc = R: C
x +
− 2
cot
2
1
23. dx
x
x
x
3
3
2
tan
sec
3 R: C
x +
3
sec
24. dx
x
x
2
sec
2
tan 2
= R: C
x +
2
tan
4
1 2
25. dx
x
x
3
csc
3
cot 2
= R: C
x +
− 3
cot
6
1 2
3 2
0
26. sec xdx
= R: 3
8 2
0
27. sec 2xdx
=
R: 2
1
4
2
0
1
28.
cos
dx
x
= R: 1
16. 1.5 Integrales que conducen a la función logaritmo natural
En el estudio de las reglas básicas de integración, se tiene una restricción para la
regla general de la potencia
1
, , 1
1
n
n x
x dx C esta es n
n
+
= + −
+
En esta sección, se definirá la antiderivada o primitiva cuando n = 1. Ésta es una
función que no es algebraica ni trigonométrica, sino que está incluida en una nueva
clase de funciones, llamadas funciones logarítmicas. Esta función particular es la
función logaritmo natural.
Se usan las barras de valor absoluto ya que, el dominio de la función logaritmo
natural consta de los números reales positivos.
Ejemplo 1 Uso de la regla de logaritmo para integración
a)
2 1
2 2ln
dx dx x C
x x
= = +
b)
=
+ 2
.
5
7
2
5 du
u
dx
x
5 1
2
5
ln 2 7
2
du
u
x C
=
= + +
Teorema Regla de logaritmo para integración
Sea u una función derivable de x.
1. 0
,
ln
1
+
=
x
C
x
dx
x
2. 0
,
ln
1
+
=
u
C
u
du
u
17. c)
2
sec 3 1
ln tan3
tan3 3
x du
dx x C
x u
= = +
d) dx
x
x
x
+
+
2
1
2
=
u
du
C
x
x
C
u
+
+
=
+
=
2
ln
ln
e)
=
+
+
u
du
dx
x
x
x
x
4
3
3
2
4
3
C
x
x
C
u
+
+
=
+
=
4
3
ln
ln
f) d
u
dx
x
x
x
x
.
1
.
3
1
2
9
3
2
2
=
+
−
−
C
x
x
C
u
+
+
−
=
+
=
3
2
3
1
ln
ln
g) du
u
dx
x
x
x
.
1
6
2
3
2
=
+
+
C
x
x
du
u
du
u
+
+
=
=
=
6
ln
3
1
.
1
3
1
3
.
1
3
18. Otras integrales que conducen a una función logarítmica
Hay algunas integrales de funciones trigonométricas, que conducen a funciones
logarítmicas, estas son las siguientes.
Obtención de fórmulas de integración para funciones trigonométricas.
a) dx
x
senx
xdx
=
cos
tan
C
x
o
C
x
C
u
u
du
+
+
−
=
+
−
=
−
=
sec
ln
cos
ln
ln
b) dx
x
x
x
x
x
xdx
+
+
=
tan
sec
tan
sec
sec
sec
C
x
x
C
u
u
du
dx
x
x
x
x
x
+
+
=
+
=
=
+
+
=
tan
sec
ln
ln
tan
sec
tan
sec
sec2
senxdx
du
x
u
−
=
= cos
dx
x
x
x
du
x
x
u
)
sec
tan
(sec
tan
sec
2
+
=
+
=
Teorema Integrales de funciones trigonométricas
C
x
xdx +
=
sec
ln
tan
C
senx
xdx +
=
ln
cot
C
x
x
xdx +
+
=
tan
sec
ln
sec
C
x
x
xdx +
+
−
=
cot
csc
ln
csc
19. Integral de la función logaritmo de cualquier base
Hay dos bases que son las que se utilizan con más frecuencia, la base e, cuyos
logaritmos se denominan logaríamos naturales y la base 10 que se denominan
logaritmos comunes. Sin embargo, podemos encontrar logaritmos de otras bese,
como:
Si el integrando incluye una función logarítmica de cualquier base, se procede a
realizar un cambio de base y expresarlo como un logaritmo natural para después
integrarlo.
Ejemplo 1 Integral de un logaritmo de cualquier base
a)
dx
x
x
dx
x
x
=
2
2
2
3 ln
3
ln
1
log
C
x
C
u
du
u
+
=
+
=
=
3
ln
3
ln
3
3
ln
1
3
ln
1
2
3
3
2
2
2
Definición de la función logarítmica de base a
Si a es un número real positivo (a ≠ 1) y x es cualquier número real positivo,
entonces la función logarítmica de base a denota por loga x se define como:
ln
log
ln
a
x
x
a
=
20. PRÁCTICA Nº 4
Hallar las siguientes integrales
1. =
dx
x
5 R: C
x +
ln
5
2. =
−
dx
x 2
1 R: C
x +
− 2
ln
3. =
−
dx
x 15
6 R: C
x +
−15
ln
6
4. =
−
dx
x 3
8 R: C
x +
− 3
ln
8
5. =
−
+
+
dx
x
x
x
3
6
5
2
R: ln
30
8
2
2
+
+ x
x
x - 3 + C
6. =
−
−
+
−
dx
x
x
x
x
2
1
2
3 2
3
R: ln
2
3
2
3
−
−
x
x
x - 2 + C
7. =
+
−
+
dx
x
x
x
1
2
3
2
R: C
x
x
x
+
+
−
+ 1
ln
4
2
2
2
8. dx
x
x
x
x
+
+
−
+
2
1
2 2
3
= R: ln
3
3
3
+
− x
x
x + 2 + C
9. =
+
−
−
dx
x
x
x
2
4
2
3
4
16 R: C
x
x +
+
− 2
4
2
3
ln
2
10. =
+
dx
x
x
5
3
2
R: C
x +
+ 5
ln
3
1 3
11. dx
x
x
+ )
1
(ln
4
=
R: C
x +
+ )
1
ln(ln
4
12. dx
x
x
ln
1
= R: C
x +
ln
ln
2
13. dx
x
x
ln
= R:
14.
( ) dx
x
x
x
+
+
1
1
ln
6
2
2
2
=
R: ( )
C
+
+
2
2
2
3
1
x
ln
15. dx
x
x
+
+
1
)
1
(
ln2
= R: C
x +
+ )
1
(
ln
3
1 3
C
x +
2
3
ln
3
2
21. 16. dx
x
+ 2
)
3
(cot R: C
x
senx
x +
+
+
− 8
ln
6
cot
17. dx
x
sen
x
2
2
cos
R: C
x
sen +
2
ln
2
1
18. dx
x
senx
− cos
1
R: C
x +
−cos
1
ln
19. dx
x
sen
x
+ 3
1
3
cos
R: C
x
sen +
+ 3
1
ln
3
1
20. dx
x
x
5
tan
5
sec2
R: C
x +
5
tan
ln
5
1
dx
x
x
2
2
log
.
21 C
x
R +
2
ln
ln
:
2
22. 1.6Integral de la función exponencial
La función logarítmica y su inversa, la función exponencial, se utilizan para
modelar el crecimiento de una población, el crecimiento celular y el
crecimiento financiero, así como la depreciación, la desintegración radiactiva
y el consumo de recursos, por nombrar solo algunas aplicaciones. En esta
sección, exploramos la integración que involucra funciones exponenciales.
Para integrar funciones exponenciales denotadas como ( ) x
f x e
= y ( ) x
f x a
= ,
se usa el siguiente teorema:
Ejemplo1 Integral de la función exponencial
Hallar la integra:
a) c
e
du
e
dx
e x
u
x
+
=
=
5
5
5
1
5
1
b) du
e
dx
e
x
dx
e
x u
x
x
=
=
2
5
4
4
5
5 c
e
du
e x
u
+
=
=
5
c) c
e
du
e
dx
e x
u
x
+
=
= −
−
2
3
2
3
3
1
3
1
d) c
e
c
u
u
du
dx
e
e x
x
x
+
+
=
+
=
=
+
1
ln
4
ln
4
4
1
4
Teorema Reglas básicas de integración para funciones
exponenciales
Si u es una función derivable de x.
C
e
dx
e x
x
+
=
C
e
dx
e u
u
+
=
C
a
a
du
a
u
u
+
=
ln
23. e) c
e
du
e
dx
x
e x
u
x
+
−
=
−
=
4
2
4
4
1
4
1
f) du
e
dx
e
x u
x
x
.
)
1
2
(
2
=
+ +
c
e
c
e
x
x
u
+
=
+
=
+
2
Ejemplo 2 Integral de la función exponencial de base a
Hallar la integral
a) ( )dx
x
x
x
1
2
5 3
2
4
+
+
4
2
1 5
5 5
2 2 2ln5
x x
u u
du
du C
+
= = = +
b)
ln
ln 9
9 (1 ln ) 9
ln9
x x
x x u
x dx du C
+ = = +
c)
ln 4 ln
4 4 4
ln 4 ln 4
x x
dx C C
x
= + = +
24. PRÁCTICA Nº5
Halle las siguientes integrales.
1. dx
e
x
7
2
= R: C
e
x
+
7
2
2
7
2. dx
e
x
5
6
= R: C
e
x
+
6
5
6
5
3. dx
x
2
3 = R: C
x
+
3
ln
2
32
4. dx
x
e x
3
1
2
= R: C
e x
+
−
2
1
2
1
5.
+
−
xdx
e x
·
2
2
= R: C
e x
+
− +
− 2
2
2
1
·
6. dx
e
e
x
x
+ 3
2
2
= R: C
e x
+
+ 3
ln
2
1 2
7. dx
x
3
2
·
5 = R = C
x
+
2
ln
2
·
3
5 3
8.
x
dx
x
2 = R = C
x
+
+
2
ln
2 1
9. dx
x
x
2
1
5
= R = C
x
+
−
5
ln
5
1
10. xdx
x2
2 = R = C
x
+
−
2
ln
2 1
2
11. dx
x
x
ln
3
= R: C
x
+
3
ln
3ln
12. dx
x
e x
= R: C
e x
+
2
13. dx
e
x senx
cos = R: C
esenx
+
25. 14. dx
e
e
e
e
x
x
x
x
−
−
+
−
= R: ( ) C
e
e x
x
+
+ −
ln
15. dx
e
e
x
x
+
− 2
)
6
(
= R: C
e
e x
x
+
+
− −
2
5
1 5
16. dx
x
x
x
)
ln
1
(
2 ln
+
= R: C
x
x
+
2
ln
2 ln
17. dx
e x
x
+ln
2
2 = R: C
ex
+
2
