funciones ESPOL

1. Inferno verde By: Filostrato 
26.Determine cuál de las siguientes funciones no tiene una gráfica en los diagramas mostrados:
I)
f (x)=
1
2(2x−1)(2x+ 1)
II)
g(x)=
7 x
2
4(2x−1)(2x+ 1)
III)
h(x)=
7 x
3
4(2x−1)(2x+ 1)
IV)
r(x)=
7 x
4
4(2x−1)(2x+ 1)
V)
m(x)=
7 x
(2x−1)(2x+ 1)
3.5Técnicas de graficación de funciones
27.Las gráficas siguientes representan las funciones f y g, respectivamente
Expresar g en función de f
f (x)=〈 x+ 2
−x+ 2〉−2≤x< 0
0≤x≤2
g(x)=〈−x
x 〉−2≤x< 0
0≤x≤2
28.Si f y g son funciones
de ℝ en ℝ tal que
g( x)= f (∣x∣) , entonces
la gráfica de g es simétrica
respecto a Y
a)Verdadero
b)falso
f (x)=〈−g (x)+ 2
−g (x)+ 2〉−2≤x< 0
0≤x≤2
→ g( x)=─ f (x)+ 2
29.Respecto a la gráfica de la función y=f(x) que se adjunta, grafique:
a) y= f (x+ 1)−1
b) y=−2 f (3−x)
c) y=| f (2x−4)|−2
d) y=| f (−| x |)|
e) y=1−2f (| x|)
f (x)=
〈
−x−2
−1
x−1
2
5
( x−1)
2
〉
−1> x
−1≤x≤0
0< x≤1
1≤x
I)
y= f (x+ 1)−1
f ( x+ 1)−1=
〈
−x−4
−2
x−1
2
5
x2
−1〉
−1> x
−1≤x≤0
0< x≤1
1≤x
II)
y=−2 f (3−x)
─2f (3−x)=
〈
−2x+ 10
2
−8+ 2 x
−
4
5
(2−x)
2
〉
−1> x
−1≤x≤0
0< x≤1
1≤x
III)
y=| f (2x−4)|−2
∣ f (2x−4)∣−2=
〈
∣−2x+ 2∣−2
−1
∣2 x−5∣−2
∣2
5
(2 x−5)
2
∣−2〉
−1> x
−1≤x≤0
0< x≤1
1≤x
IV)
y=| f (−| x |)|
∣ f (−∣x∣)∣=
〈
∣−∣x∣−2∣
−1
∣−∣x∣−1∣
∣2
5
(−∣x∣−1)
2
∣〉
−1> x
−1≤x≤0
0< x≤1
1≤x
V)
y=1−2f (| x|)
1− f (∣x∣)=
〈
2∣x∣+ 5
3
−2∣x∣+ 3
−
4
5
∣x
2
∣+
8
5
∣x∣+
1
5
〉
−1> x
−1≤x≤0
0< x≤1
1≤x
3.6Funciones definidas por tramos
30.Considere la función h de variable real, definida por: f (x)=
〈
4+ 2 x
4−2 x
0 〉
−2≤ x≤0
0< x≤2
∣x∣> 2
Entonces el valor de:
h(−3)+ h(0)−h(5)+ h
(−
5π
2 )
h(1)+ h(−1)−h(π)+ h(e)
=
0+ 4−0+ 0
2+ 2−0+ 0
=1
31.Sean f y g funciones de variable real, tq

2. Inferno verde By: Filostrato 
f (x)=〈2 x−1
x2
+ 3 〉 x≥2
x∈(−∞ ,2 )
a)Determine el rango de
x≥2
2x≥4
2x−1≥3
y≥3
f (x)=〈2 x−1
x2
+ 3 〉y≥3
y≥3
f (x)=
〈
3
1−x
4 x 〉
2≤x
x∈(0,2)
x∈(−∞ ,0]
0≤x< 2
−2≤−x< 0
−1≤−x+ 1< 1
−1≤ y< 1
b) Determine el rango de g
x≤0 → 4x≤0 →
y≤0
f (x)=
〈
3
1−x
4 x 〉
y=3
y∈(−1,1)
y∈(−∞,0]
x≤0
0≤x2
3≤x2
+ 3
3≤y
0< x< 2
0< x2
< 4
3< x2
+ 3< 7
3< y< 7
32. Sea una función de ℝ→ℝ , tq f (x)=〈∣x∣−4
2 〉∣x∣≤6
∣x∣> 6
, una de las siguientes proposiciones es falsa:
a)f es par
f (−x)=〈∣x∣−4
2 〉∣x∣≤6
∣x∣> 6
f (−x)= f ( x)
⋰⋱ f es par
b) [0,2]⊆rg f
−6≤x≤6
c)
∃ x∈ℝ , f ( x)=−5
Es falso puesto que
el recorrido es
y∈(−42]
−6≤x≤0
36≥x
2
≥0
6≥∣x∣≥0
2≥∣x∣−4≥−4
2≥y≥−4
0≤x≤6
0≤x
2
≤36
0≤∣x∣≤6
−4≤∣x∣−4≤2
−4≤y≤2
33. Sea una función de ℝ→ℝ , tq f (x)=
〈
7
3−x
−1 〉
x< 4
−4≤x≤4
x> 4
entonces es verdad que:
a)f es par?
f (−x)=
〈
7
3+ x
−1 〉
x< 4
−4≤x≤4
x> 4
⋰⋱
noes par ni impar
b)f es creciente?
x1< x2
−x1> −x2
−x1+ 3> −x2+ 3
⋰⋱ f (x1)> f ( x2)
f es decreciente en
el tramo lineal no
cte
c) f es inyectiva?
f (x1)= f (x2)
3−x1=3−x2
−x1=−x2
x1=x2 ⋰⋱
la función es
inyectiva
d)f es sobreyectiva?
y=3−x
x=3−y
rg f : y ∈ℝ
la función es
sobreyectiva
e) rg f : y ∈[−1,7] ?
Falso, se demostró que el
rango son los reales.
3.7 Funciones Lineales
34.Si la gráfica de una función f de ℝ en ℝ con regla de correspondencia f (x)=−x , se la desplaza dos
unidades hacia arriba, dos unidades hacia la izquierda y luego se la refleja con respecto al eje X, obteniéndose
una función g, entonces g(0)=-2 a)Verdadero b)Falso
y=−x
m=−1 , pero al
subirla 2 u, b=2
⋰⋱ y=−x+ 2
2 unidades hacia la izquierda. El
corte con x será x-4, y en el eje de las
ordenadas b=4
⋰⋱ y=−x+ 4
El pto (−4,0) es un pto común a partir del
cual se refleja, la recta respecto al eje X, o lo
que es lo mismo respecto a una ∥eje Y , se
forma un ángulo de 90° →m=1
⋰⋱ y=x+ 4 , g( x)=x+ 4 g(0)=4
35. El costo “C” en (AUD) del alquiler de un
bungalow por n semanas, está dado por la función
lineal C (n)=nr+ s , donde s es la garantía y r es el
monto de alquiler semanal. Jenny alquiló el bungalow
por 12 semanas y pagó 2925 AUD .Yolanda alquiló
el mismo bungalow por 20 semanas y pagó
4525 AUD . Determine:
a)El alquiler semanal
12r+ s=2925 ➀ → −12 r−s=−2925
20 r+ s=4525 ➁ → 20 r+ s=4525
─────────────
8r=1600 → r=200
b)depósito de garantía s=4525−20(200)=525
36.En Gquil existían 1420 médicos trabajando al 1 de
enero de 1994. Después de n años, el número de
médicos D que trabajan en la ciudad viene dado por:
D(n)=1420+ 100 n
a) ¿Cuántos médicos trabajan en Gquil a comienzos
de 2004?
n=2004−1994=10 ;
D(n)=1420+ 100(10)=2420
b)¿En qué año hubo por primera vez mas de 2000
medicos?
D(n)=1420+ 100 n→n=
D(n)1420
100
n=
2000−1420
100
=5.8 año: 1994+ 5=1999

3. Inferno verde By: Filostrato 
37.Una CIA. tiene costos fijos de $2500 y los costos
totales por producir 200 unidades son de $3300. Cada
artículo se vende a $5.25
a)Suponiendo linealidad, escriba la ec. de costos
200 r+ 2500=3300 → 200 r=800 → r=4
C(n)=2500+ 4n
b)Suponiendo linealidad, escriba la ec. de ingresos
I (n)=5.25n
c)Grafique costo e ingreso en un mismo sistema de
coordenadas. Halle el pto de equilibrio de mercado
y=2500+ 4n ① ① = ②
y=5.25n ② (5.25−4)n=2500
1.25n=2500 → n=2000 ; y=5.25(2000)=10500
d)¿Cuántas unidades deberán venderse y producirse,
de modo que resulte una utilidad de $200?
U (n)=1.25n−2500 → n=
4
5
(U (n)+ 2500)
n=
4
5
(200+ 2500)=4∗540=2160
38.El costo de producir x artículos está dado por:
yc=2.8 x+ 600
a)Determine algebricamente el pto de equilibrio si
cada artículo vale $4
yI =4 x ①
yc=2.8 x+ 600 ②
①=②
28
10
x+ 600=4x → 12 x=6000 → x=500
y=4(500) → y=2000
b)Grafique costo e ingreso en un mismo sistema de
coordenadas. Halle el pto de equilibrio de mercado
c)Si se sabe que al menos 450 unidades se
venderán¿Cuál debe ser el precio de cada artículo para
garantizar que no existan pérdidas?
U (x)=n x−2.8 x−600
0=450n−
28
10
(450)−600 450 n=28(45)+ 600
n=
42+ 20
15
=
62
15
=4.13
$
art
39.Una agrícola produce aceite de palma africana,
tiene tanques para almacenar el oil después de prensar.
Los tanques son cilíndricos . Se sabe que el área de la
base es 388 m², la densidad del aceite es 0.859
ton
m
3
a)Si la capacidad del tanque es 5000 ton, determine la
altura del tanque de almacenamiento y aproxímelo al
entero más cercano
δ=
m
V
=
m
Ah
→ h=
m
Aδ
=
5000
388∗0.859
→ h≈15m
b)Grafique el volumen en función de la altura. Discuta
sobre el dominio respecto a la capacidad máxima
V=388h
A mayor altura, mayor volumen
40.Vanessa quiere alquilar una sala de
recepciones, le dan 2 posibilidades:
a)el ayuntamiento le cobrará 20£ por el uso
de un salón comunal más 5£ por huésped
II III Escriba una expresión para C,
en función de N, que pueda usar
el ayuntamiento para calcular sus
cargos
C=5N+ 20
Dibuje en el mismo par de ejes:
#de huéspedes N 10 20 30 40 50
Cargos(C)en£ 50 100 150 200 250
b)El hotel usa la expresión:
C=
5
2
N+ 500
Complete la tabla de los cargos
#de huéspedes N 10 30 50 70 90
Cargos(C)en£

4. Inferno verde By: Filostrato 
3.8 Funciones cuadráticas
41.Si cae un objeto al suelo de Júpiter desde una altura de 25 m, la altura H[m] a la que se encuentra del suelo
después de x segundos es H(x)= 25 – 16x². Entonces el objeto golpea el suelo a los 1.25 s.
a) Verdadero b)Falso
42.Dada la función cuadrática f :ℝ→ℝ , f (x)=a x
2
+ bx+ c ; a ,b ,c∈ℝ , a≠0 , b
2
– 4a c> 0 ,
una condición necesaria y suficiente para que el producto de sus raíces sea igual a la suma de las mismas es que
a) a=b b)b=-c c)a=c d)b=c e)c=-a
x
2
+
b
a
x+
c
a
=0
Sean x1 x2 las roots
(x−x1
)(x−x2
)=x2
+
b
a
x+
c
a
x2
−(x1
+ x2
) x+ (x1
x2
)=x2
+
b
a
x+
c
a
b
a
=−( x1+ x2)
c
a
=x1 x2
c= -b
43.Dada la función g :ℝ→ℝ , g( x)=x
2
+ bx+ 1 ; b∈ℝ , identifique cuál es la falsa
a)
dom g=(−∞ ,+ ∞)
Verdad porque el
enunciado dice
dom g :∀x∈ℝ
b)
b
2
< 4→∀x∈ℝ , g( x)≠0
si b
2
−4(1)(1)≥0 la
función g tiene raíces
reales, g(x)=0
Si b
2
≥4 existe cortes
con el eje x.
⋰⋱ La negación
b
2
< 4 implica
g(x)≠0
c)
(2−
b
2
4 )∈Rg g
y=x
2
+ bx+ 1
y−1+
b
2
4
=x2
+ bx+
b
2
4
y−1+
b
2
4
=(x+
b
2)
2
V(b
2
,1−
b2
4 )
⋰⋱(2−
b2
4 )∈Rg g
d)
Rg g=[1−
b
2
4
,+ ∞)
coordenadas del
vértice
V(b
2
,1−
b2
4 )
es el pto mín
⋰⋱Rg g=[1−
b2
4
,+ ∞)
e)g es sobreyectiva
y=(x+
b
2 )
2
+ 1−
b
2
4
(x+
b
2)
2
= y−1+
b
2
4
x+
b
2
=
√y−1+
b
2
4
x=
√y−1+
b
2
4
−
b
2
y≥1−
b
2
4
rg g≠ℝ ⋰⋱
g no es sobreyectiva
44.Si f es una función de variable real, tq f (x)=∣2x
2
–3 x+ 1∣−2 , es verdad que:
a) ∀x∈(1
2
,∞) , f es
creciente x>
1
2
1
2
< x1< x2 x1< x2
x1−
3
4
< x2−
3
4
(x1−
3
4)
2
< (x2−
3
4)
2
2(x1−
3
4 )
2
< 2(x2−
3
4)
2
2(x1−
3
4)
2
−
1
8
< 2(x2−
3
4)
2
−
1
8
para 3
4
< x< 1
∣2(x1−
3
4)
2
−
1
8∣>∣2(x2−
3
4)
2
−
1
8∣
∣2(x1−
3
4)
2
−
1
8∣−2> ∣2(x2−
3
4)
2
−
1
8∣−2
f (x1)> f ( x2)
⋰⋱ f no escreciente
b)f es simétrica respecto a x=
3
4
?
Sí, porque x=
3
4
es la abscisa del
vértice
45.Si f es una función de ℝ en ℝ tq f (x)=x
2
+ x , y=
(x+
1
2)
2
−
1
4
entonces es verdad que:
a) f es par?
f (−x)=x2
−x
f no es par
b) f es inyectiva?
f (x1)= f (x2)
(x1+
1
2)
2
−
1
4
=(x2+
1
2)
2
−
1
4
(x1+
1
2)
2
=(x2+
1
2 )
2
∣x1+
1
2∣=∣x2+
1
2∣
x1≠x2 f no es inyectiva
c)
rg f :∀y∈[ 0,∞) ?
Falso porque,
y+
1
4
=
(x+
1
2)
2
V
(−
1
2
,−
1
4)
rg f :∀y∈
[1
4
,∞
)
d) f decrece en
(−∞ ,−1)
verdadero
e)
∀x∈ℝ f crecient
Falso porque
(−∞ ,−
1
2)
[−
1
2
,∞
)
46.En la fig aparece parte de la gráfica de y=a( x−h)
2
+ k .La gráfica tiene su vértice en P, y contiene el
punto A(1,0). Entonces es verdad que:

5. Inferno verde By: Filostrato 
a) h+ k=3
b) a=
1
2
c) a+ h=–
3
2
✔ d) a+ h+ k=−
1
2
e) h+ k−a=0
y – k=4p( x−h)
2
→
y – 2=−
1
2
( x+ 1)
2
– 2=4p(1+ 1)
2
→ 4p=−
1
2
y=−
1
2
( x+ 1)
2
+ 2
V (h ,k)≡V (−1,2)
4p+ h=−
1
2
−1=−
3
2
47.La fig a continuación ,muestra parte de la gráfica de una función cuadrática y=ax
2
+ b x+ c
a)Determine el valor de c
1
a
y=x
2
+
b
a
x+
c
a
1
a
y−
c
a
=x2
+
b
a
x+
b
2
4a2
−
b
2
4a2
y=a(x+
b
2 a)
2
−
b
2
4 a
+ c
y=4p(x−h)2
+ k
b
2
=−a ①
c−(b
2)
2
1
a
=8 ②
① en②
c−a=8
Determine el valor de a
1
a
y=x
2
+
b
a
x+
c
a
1
a
y=( x−3)(x+ 1)
1
a
y=x
2
−2 x−3
1
a
8=1−2−3
a=−2
a=−2
c+ 2=8
c=6
c)descomponga en factore
1
a
y=( x−3)(x+ 1)
y=−2( x−3)(x+ 1)
48.El diagrama muestra parte de la curva y=a( x−h)
2
+ k donde y=a ,h ,k∈ℤ
a)Si el vértice está en el
punto (3, 1), determine
los valores de h, k
V (3,1)≡V (h, k)
h=3 ∧ k=1
b)Si el punto P(5,9)
está sobre la gráfica,
demuestre que a=2
9=a(5−3)
2
+ 1
a=2
c)A partir de lo anterior, demuestre que la ecuación
de la curva se puede escribir en la forma
y=2 x
2
−12 x+ 19
y=a( x−h)
2
+ k
y=2(x−3)2
+ 1
y=2(x
2
−6 x+ 9)+ 1
y=2x
2
−12 x+ 18+ 1
y=2x
2
−12 x+ 19
49.La gráfica de la función f (x)=30 x – 5 x
2
se muestra a continuación:
a)Determine las
coordenadas de A y B
30 x – 5 x
2
=0
−5 x( x−6)=0
x1=0 ∧ x2=6
A(0,0) ∧ B(6,0)
b)Determine coordenadas
de C
y=30 x –5 x
2
−
1
5
y= x
2
−6 x
−
1
5
y+ 9=x
2
−6 x+ 9
−
1
5
( y−45)=(x−3)
2
y−45=−5(x−3)2
V (h ,k)≡C(3,45)
c)ec.de la recta ∥eje Y que contiene al C
x=3
50.El diagrama muestra parte de la gráfica de una función cuadrática g, que se define por g( x)=a( x−h)2
+ 3
Determine el valor de
a) h
b) a

6. Inferno verde By: Filostrato 
Por el gráfico h=2
g( x)=a( x−h)
2
+ 3
y=a( x−2)
2
+ 3
P(0,5)∈g( x)
5=a(0−2)
2
+ 3
5=4a+ 3
4 a=2
a=
1
2
51.El siguiente diagrama muestra parte de la gráfica de una función cuadrática f (x)=x
2
+ b x+ c , que
interseca el eje X en x=2, x=3. Determine el valor de b y c
y=x
2
+ b x+ c
(x−2)(x−3)=x
2
+ b x+ c
x
2
−5 x+ 6=x
2
+ b x+ c
b=−5 ∧ c=6
52.Si f es una función de ℝ en ℝ , tq f (x)=2 x
2
+ x+ k , entonces los valores de k para que la gráfica
de f no interseque al eje X son: B
2
−4AC< 0 → 1−4(2)k< 0 → k>
1
8
a){a} b) (8,+ ∞)
c) (1
8
,+ ∞
) ✔ d) {
1
8
}
e) (−∞,0)
53.Una CIA. Puede vender a $100 por unidad un artículo de primera necesidad que elabora. Si se producen x
unidades al día, el número de dólares en el costo de la producción diaria es x
2
+ 20 x+ 700
a)Exprese el ingreso en funciónde x
I ( x)=100 x
b)Utilidad como función de x
U (x)=100 x−x
2
−20 x−700
U (x)=−x2
+ 80 x−700
c)Ganancia máx y ¿cuántas
unidades deben producirse al día?
U ' ( x)=−2 x+ 80=0
x=40
[Unidades
día ]
U (40)=−40
2
+ 80(40)−700
U máx=100(−16+ 32−7)
U máx=
$ 900
day
54.La demanda para los bienes producidos por una industria están dados por la ec p
2
+ x
2
=13
2
, donde p es
el precio unitario, x es la cantidad demandada. La oferta está dada por p=x+ 7 . El precio de equilibrio es:
p
2
+ x
2
=13
2
①
p=x+ 7 ②
② en ①
(x+ 7)2
+ x2
=132
x
2
+ x
2
+ 14 x+ 49=169 2 x
2
+ (7∗2) x+ ((7−13)(7+ 13))=0
x2
+ 7 x−60=0→ x=5∧ p=12
a)5 b) 12 ✔ c) 22 d) 19 e) 17
55.El perímetro de un ▄ tiene 24 metros. a)la tabla muestra algunas dimensiones posibles del ▄ .Determine
| Longitud[m] | Anchura[m] | Area[m²] |
| 1 | 11 | 11 |
| a | 10 | b |
| 3 | c | 27 |
| 4 | d | e |
≡
| Longitud[m] | Anchura[m] | Area[m²] |
| 1 | 11 | 11 |
| 2 | 10 | 20 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 8 | 32 |
2(w+ h)=24 → w+ h=12 ; A▄=wh
10+ a=12 → a=2 b=10(2)=20 3+ c=12 → c=9 4+ d =12 → d=8 e=4(8)=32
b)Si el perímetro del ▄ es fijo y el área es A en m²,
exprese A en función de la longitud x del ▄
P
2
=2 x+ Δ x ① A=x(x+ Δ x) ②
Δ x=
P
2
−2 x ① Δ x=
A
x
−x ②
② = ①
P
2
−2 x=
A
x
−x
A=
(P
2
−x
)x
A=1 2 x−x
2
c)¿Qué longitud y anchura tiene el ▄ si el área es máxima?
dA
dx
=0 →
dA
dx
=
d
(P
2
x−x2
)
dx
=0 →
P
2
– 2 x=0 → x=
P
4
x=
24
4
=6 reeplazo en ①:
Δ x=
P
2
−2
(P
4 )=0 P=4 x esto es el perímetrode uncuadrado anchura=largo=x=6 .
56.Un objeto que se lanza hacia arriba llega a una altura de h metros pasados t segundos, donde

7. Inferno verde By: Filostrato 
h(t)=30t−5t
2
a)Después de cuántos segundos alcanza el objeto su
altura máxima?: 3 (s)
b)¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto? 45m
h=30t−5t
2
−
1
5
h=t
2
−6t
−
1
5
h+ 9=t
2
−6t+ 9
−
1
5
(h−45)=(t−3)
2
V (3 , 45)
57.El costo de producir un texto de matemáticas para cierto nivel es de $15 y se vende después por $x. Si se vende un
total de (100000 – 4000 x) libros:
| # de Artículos | Precio de venta en $ | Costo de producción en $ | Beneficio en $ |
| 1 | x | 15 | x - 15 |
| N = 100000 - 4000x | N x | 15 N | N (x - 15) |
a)Determine una expresión para el beneficio
(utilidad) obtenido por todos los libros vendidos
U (x)=(10
5
– 4×10
3
x)(x−15)
U (x)=4000(25 – x)(x−15)
U (x)=4000[−x2
+ 40 x−375]
b)A partir de lo anterior, calcule el
valor de x que produce un beneficio
máximo
d U
d x
=4000[−2 x+ 40]=0
x=20
c)Calcule el número de libros
vendidos para producir este
beneficio máximo
N =100000 – 4000 x
N=4000(25– x)
N=4000(25– 20)=20000
3.9 Operaciones con funciones de variable real
58. Sean f y g funciones de variable real,tq:
f (x)=〈2 x+ 1
x2
+ 3 〉 x≥2
x∈(−∞, 2) g(x)=
〈
3
1−x
4 x 〉
x≥2
x∈(0,2)
x∈(−∞, 0]
a) f ─ g
b)
f
g
c) f + g d) fg
f −g=
〈x
2
−4 x+ 3
x2
+ x+ 2
2x−2 〉 x≤0
0< x< 2
x≥2 f
g
=
〈
x
4
+
3
4(1
x )
4
1−x
−(x+ 1)
1
3
(2x+ 1) 〉
x≤0
0< x< 2
x≥2
f + g=
〈x
2
+ 4 x+ 3
x2
−x+ 4
2x+ 4 〉 x≤0
0< x< 2
x≥2
f ∗g=
〈 4 x
3
+ 3 x
2
−x3
+ x2
−3 x+ 3
6x+ 3 〉 x≤0
0< x< 2
x≥2

8. Inferno verde By: Filostrato 
59. Si f y g son funciones de ℝ en ℝ , tq:
f (x)=
〈
x+ 3
2x−1
4 〉
x≤−6
−6≤ x≤1
x> 1
g(x)=
〈
1
x
2
−1
2 〉
x≤4
4< x< 6
x≥6
Entonces la regla de correspondencia de f + g es:
a)
〈
x+ 4
x
2
+ 2 x
6 〉 x≤4
4≤x< 6
x≥6
b)
〈 x+ 4
x2
+ 2 x−2
6 〉 x≤−6
−6≤x< 6
x≥6
c)
〈
x+ 4
2 x
5
x
2
+ 3
6
〉
x≤−6
−6≤x< 1
1< x≤4
4< x< 6
x≥6
✔
d)
〈
x+ 4
x
2
+ 3
6 〉x≤−6
4≤x< 6
x≥6
e)
〈
x+ 4
2 x
6 〉
x≤−6
−6≤x< 6
x≥6
60.Sean f y g dos funciones de variable real con reglas de correspondencia:
f (x)=〈 0
√ x〉 x≤0
x> 0
g(x)= x2
−x−2 ∀x∈ℝ
a) f + g b) g─f c) f*g
d)
f
g
= f ∗
(1
g ) e)
g
f
=g∗
(1
f )
〈 x2
−x−2
x2
−x+ x½
−2〉x≤0
x> 0 〈 x2
−x−2
x2
−x−x½
−2〉x≤0
x> 0 〈 0
x5/2
−x3/2
−2 x½ 〉x≤0
x> 0 〈
0
√ x
(x−2)(x+ 1)〉 x≤0
x≠{-1 , 2}
√ x3
−√ x−
2
√ x
x∈ℝ
+
Dominio de los tres primeros es los ∀x∈ℝ , el cuarto es ∀x∈ℝ{−1,2} , el último Dom g
f
:∀x∈(0,+ ∞)
61.Si f y g son funciones de setR en setR cuyas reglas de correspondencia son:
f (x)=〈x
1〉x> 1
x≤1
g(x)=〈3−x
x+ 1〉∣x∣≤4
∣x∣> 4
Entonces la regla de correspondencia de fog es:
a)
〈
x+ 1
3− x
1 〉
x> 4
−4≤x< 2
x< −4
b)
〈 2
x+ 1〉∣x∣≤4
∣x∣> 4
c)
〈
3− x
x+ 1
1 〉
x> 0
−4≤x< 0
x< −4
d)
〈
2
x+ 1
1 〉
−4≤ x< 2
x> 4
2≤x< −4∨ x< −4
e)
〈
x+ 1
3− x
1 〉
x> 4
−4≤x< 2
2≤x< −4∨x< −4
f (x)=〈x
1〉x> 1
x≤1
g( x)=〈3−x
x+ 1〉 −4≤x≤4
4< x ∨ x> 4
La condición necesaria y suficiente para que exista gof es que Rf ⊆Dg

9. Inferno verde By: Filostrato 
g(x)=
〈
x+ 1
3−x
x+ 1〉
y< −3
−1< y< 7
y> 5
Como el Rango de g va a ser
la base del dominio de
f o g es necesario
redefinir el rango de g,
puesto que como se aprecia
existe dos tramos con el
mismo intervalo.
f (x)=〈1
x〉x≤1
x> 1
g(x)=
〈
x+ 1
3−x
x+ 1〉
y< −3
−1≤ y≤5
y> 5
f o g= f (g(x))=
〈
1
3−x
x+ 1〉
yg< −3 ∨ −1≤ yg≤1
−1≤ yg≤5
yg> 5
x+ 1< −3 ∨ −1≤3−x≤1
−1≤3− x≤5
x+ 1> 5
f o g= f (g(x))=
〈
1
3−x
x+ 1〉
x< −4 ∨ 2≤ x≤4
−4≤x≤2
x> 4
La Rpta es literal e)
62.Si f es una función de ℝ en ℝ y g es una función par de ℝ en ℝ , entonces la función f o g es
par. a)Verdadero b)Falso
g(−x)=g( x) condición de paridad, gráficamente se tiene simetría respecto al eje Y.
63. Sean f y g dos funciones de variable real, tq
f (x)=〈 0
x+ 1〉 x< 0 y=0
x≥0 y≥1
g(x)= x2
−1 , x∈ℝ
Entonces la regla de correspondencia de go f es:
a) 〈 1
x2
−2x〉x< 0
x≥0
b) 〈 −1
x2
+ 2x〉x< 0
x≥0
c) 〈 1
x2
+ 2x〉x< 0
x≥0
d) 〈 −1
x2
−2x〉x< 0
x≥0
e) 〈 0
x2
+ 2x〉x< 0
x≥0
rg f ⊆Dg
go f =g( f (x))=〈 −1
x2
+ 2x〉 0=0
x+ 1≥1
go f =〈 −1
x2
+ 2x〉 x≥0
La Rpta es literal b)
64.Sea g una función de variable real, tq g(x)= x³.
a) Determine g
−1
y=x³
x=
3
√ y
g
−1
=
3
√ x
Grafique g y g
−1
Encuentre Aq(x) si q(x)= g( x)=g
−1
x
3
=
3
√ x
x
3
−
3
√ x=0
x=−1∧ x=0∧ x=1
65.Sean las funciones de variable real definidas por: f (x)=√ x g(x)=x² h(x)=x-1. Determine f o go h
f o go h= f ( g(h(x))) Primero se debe hallar g(h(x)) rg h⊆Dg g(h(x))=(x−1)2
el rango de
esta función son los y≥0 → f o go h= f ( g(h(x)))=∣x−1∣ el dominio (x−1)2
≥0 son los reales.
66.Dada ( f o g)( x)=x
2
+ 2x+ 6 y f(0)=9, determine la regla de correspondencia de g si:
a)g(x)= x – k siendo k ∈ℕ b)g(x)= x – k siendo k ∈ℤ
─
( f o g)( x)= f ( g(x))= f (x−k)=x
2
+ 2x+ 6
f (x)=( x+ k)
2
+ 2(x+ k)+ 6=x
2
+ 2kx+ k
2
+ 2 k+ 2 x+ 6
f (x)=x2
+ 2(k+ 1) x+ (k2
+ 2 k+ 6)
f (0)=k
2
+ 2 k+ 6=9
k
2
+ 2k−3=0
(k+ 3)(k−1)=0
k=1 k=-3
67.Sean las funciones

10. Inferno verde By: Filostrato 
f (x)=
〈2(x−3)
(x−2)2 〉 x≤3
x> 3
g(x)=1 – 2 x ; x≤0 el rango: y> 1
Determine la regla de correspondencia de fog es:
f (g (x))=
〈2(x−3)
(x−2)2 〉 1< yg≤3
yg> 3
〈2((1−2x)−3)
((1−2x)−2)2 〉 1< 1−2x≤3
1−2x> 3
〈−4(x+ 1)
(2x+ 1)2 〉 x≥−1
x< −1
3.10Funciones Especiales
68.El rango de la función: f :ℝ→ℝ con regla de correspondencia f (x)=−∥x∥ es el conjunto de los
numeros enteros
a) Verdadero b)Falso Rg f :∀y∈{1,0,-1}
69.Sea f(x)=x³, con x∈(−∞,+ ∞) , la suma de los elementos del conjunto de verdad del predicado
p(x)= f (x)= f
−1
( x) ,es:
a)2 b)0 ✔ c)1 d)-2 e)-1
x
3
=
3
√ x
x
3
−
3
√ x=0
Sea y=
3
√ x
⋰⋱ y
9
=x
3
y
9
−y=y( y
8
−1)=0
y9
−y=y( y4
+ 1)( y2
+ 1)( y+ 1)( y−1)=0
y=−1∨ y=0 ∨ y=1
x
1/3
=−1∨ x
1/3
=0 ∨ x
1/3
=1
x1+ x2+ x3=−1+ 0+ 1=0
70.Miriam desea enviar un pasquete a Madrid desde la oficina de correos. Tiene dos opciones. Opción A:
contiene un cargo fijo por enviar el paquete, más un costo que depende del peso del paquete. Estos cargos se
expresan por la ecuación A( x)=6+ 3 x donde x es el peso del paquete en kg y A es el costo total de envío ($)
a)¿De cuánto es el cargo fijo por enviar un paquete?
de $6
b)¿Cuánto costaría enviar que pesa 2.4 kg un paquete?
B( x)=6+ 3
(24
10 )=6+
36
5
=
66
5
=
132
10
=$13.2
c)El costo de la opción B se muestra parcialmente La función B(x) puede definirse para valores entre 0 y 1Kg
B(x)=
〈
2
4〉
0≤x<
1
2
1
2
≤x< 1
Para pesos mayores a 1 kg el costo se incrementa en inter_
valos de $2.Defina B(x)
B(x)=
2 x+ 1
½
donde x=
1
2
k ; k∈ℕ
Defina B(x) para pesos entre 2 y 3 kg
B(2)= 2(2(2)+ 1) → B(2)=$10
B(3)= 2
(2(5
2)+ 1
)→ B(2.5)=$12
B(x)=〈10
12〉 para 2≤x< 2.5
para 2.5≤x< 3
d)Determine la regla
de correspondencia
que exprese el costo
para x≥0 Opc B
B(x)=2(2x+ 1); x=
1
2
k ; k∈ℕ
e)Determine el
costo de enviar un
paquete que pesa
1.6. Opc B
1.6∈[1.5;2)
B(1.5)=2
(2
(3
2 )+ 1
)=8
f)Si a Miriam le
costó $22.5 enviar
por correo un pqte
con opc A ¿el peso?
A( x)=6+ 3 x
x=
A( x)−6
3
x=
22.5−6
3
=5.5
g)¿Cuánto le costaría
enviar por correo este
mismo paquete con
opc B?
B(5.5)=2
(2
(11
2 )+ 1
)=24
h)Determine un
peso para el cual el
costo de ambas opcs
sea el mismo
6+ 3 x=4x+ 2
x=4
A(4)=6+ 3(4)=18
71.Sea h una función de variable real con regla de correspondencia h( x)=∣x−2∣–∣x∣+ 2 , entonces es verdad

11. Inferno verde By: Filostrato 
a) h( x)=4 si x≥2 b)Si
x< 0,⋰⋱h(x)=0
c)Si ✔
0≤x< 2,⋰⋱0< y≤4
d)Si
x< 0,⋰⋱h(x)=4−2x
e)Si ✔
x< 2,⋰⋱h( x)=4
72.Si se define la función f =ℝ→ℤ tq f (x)=sgn( x−2)+ sgn(x+ 1) , entonces una de las siguientes
proposiciones es falsa, identifiquela:
a)Si
x> 2,⋰⋱ f ( x)=2
b) f es creciente✔ c) f (π)> 1 d)✔
∀x( f ( x)=− f (−x))
e) ∀x( f (x)≤2)

12. Inferno verde By: Filostrato 
73.Dadas las funciones de variable real f, g, h tq
f(x)= sgn(x)
f (x)=〈x
1〉x> 0
x≤0
g( x)=〈x+ 1
x−1〉x≥0
x< 0
Determine 2 f – 3 (g+h)
(2 f –3( g+ h))(x)=2 sgn(x)−3
〈2x+ 1
2
x 〉x> 0
x=0
x< 0
→ (2 f –3( g+ h))(x)=2 sgn(x)+
〈−6x−3
−6
−3x 〉x> 0
x=0
x< 0
→
(2 f –3( g+ h))(x)=2
〈1
0
−1〉+
〈−6x−3
−6
−3x 〉x> 0
x=0
x< 0
→ (2 f –3( g+ h))(x)=
〈 2
0
−2〉+
〈−6x−3
−6
−3x 〉x> 0
x=0
x< 0
→
(2 f –3( g+ h))(x)=
〈−6x−1
−6
−3x−2〉x> 0
x=0
x< 0
74.Si se tienen las funciones de ℝ en ℝ tq f (x)=μ(x) y g( x)=sgn(x) ,
entonces [ f ( x)+ g(x)] es
a)
〈
1
0
4〉
x< 1
x=1
x> 1
b)
〈
4
0
1〉
x< 0
x=0
x> 0
c)
〈
1
0
4〉
x< 0
x=0
x> 0
d)
〈
−1
0
2 〉
x< 0
x=0
x> 0
 e)
〈
4
0
16〉
x< 0
x=0
x> 0
75.Relacione cada gráfica con la función de variable real correspondiente:
a(x)=[2−sgn(x)]−x
2
b( x)=x−∥ x∥
c(x)=
〈x−∥ x∥
∥ x∥−x〉 x≥0
x ∈(−∞ ,0)
d ( x)=
1
x−1
e(x)=∥ x∥ f (x)=[2−sgn( x)]+ x
2
g( x)=
1
x
2
−1 h( x)=x+∥ x∥
3.11 Función inversa de una función biyectiva
76.Si una función f tiene inversa y su gráfica se encuentra en el primer cuadrante, la gráfica de f
−1
estará en
el primer cuadrante también a)Verdadero b)Falso
77.La siguiente es la gráfica de una función f :ℝ→(−∞ ,0) biyectiva
y su inversa f
−1
a)Verdadero b)Falso

13. Inferno verde By: Filostrato 
78.Si f es una función inversible tq f
−1
(a)=2 , entonces f(2)=a: por ejemplo la y=x² y su inversa y=√ x
a)Verdadero b)Falso
79.Si f (x)=x
2
−4x−3 , x∈(−∞,2] es la regla de correspondencia de una función inversible, entonces la
regla de correspondencia de la inversa de f es:
a)
f
−1
(x)=2+ √ 7−x ; x≥7
b)
f
−1
(x)=2−√ 7+ x ; x≥7
c)
f
−1
(x)=2+ √ 7+ x ; x≥7
d)
f
−1
(x)=2−√ 7−x ; x≥7
e)
f
−1
(x)=2−√ 7+ x ; x≤7
y+ 3+ 4=x
2
−4x+ 4 → y+ 7=( x−2)
2
→ x−2=√ y+ 7 → x=√ y+ 7+ 2
80.Sea f y g dos funciones de variable real tq f (x)=
8
x
; x≠0 y g( x)=x2
a)Determine f
−1
¿Cuál es la
relación con la función f?
f
−1
( x)=
8
x
; x≠0 Es la misma
f = f
−1
b)Determine f o
−1
g Determine si
es par o impar
f o
−1
g= f o g= f (g( x))=
8
8
x
=x
impar
c)Determine Ap(x) si p(x):
( f o
−1
g)( x)=x
p(x):∀x∈ℝ
81.Sean f y g funciones de variable real, tq
g( x)=4( x−1)
y=4x−4
f (x)=
6−x
2
; f −1
( x)=6−2x
a)Determine g
−1
x=
y+ 4
4
→ g
−1
=
x+ 4
4
b)Resuelva la ec ( f o
−1
g)( x)=4
f
−1
( g(x))=4 → 6−2
(6−x
2 )=4 → x=4
82.Sea el conjunto A={1,2,3,4,5}y la función f:A→A, definida por:f={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(5,5)}Determine el
valor de verdad de las sgtes proposiciones:
a) f o f es inyectiva
Verdadero
b) ( f o f )o f = f
Verdadero
c)f es inyectiva
Verdadero
d) f o f es sobreyectiva
Verdadero
e) f = f
−1
Verdadero
83.Sean f(x)=2 x + 1; g(x)= 3x – 4; h( x)=
8
x
; x≠0 ; r(x)= x²
a)Demuestre que f y h son
inyectivas
f ( x1)= f (x2 ) g( x1)=g (x2)
b)Demuestre la
regla de
correspondencia
de f
−1
f
−1
( x)=
x−1
2
c)Grafique f y
f
−1
d)Demuestre
(go f )(−2)
(go f )(x)=3(2x+ 1)−4
(go f )(x)=6 x−1
(go f )(−2)=−13
e)Demuestre la regla
de correspondencia
de ( f o g)( x)
( f o g)(x)=2(3x−4)+ 1
( f o g)(x)=6 x−7
2 x1+ 1=2 x2+ 1
x1=x2
f es inyectiva
3 x1−4=3 x2−4
x1=x2
g es inyectv
f)Demuestre la regla de
correspondencia de h
−1
h( x)
−1
=
8
x
g)Grafique g y
h
−1
h)Demuestre la
regla de
correspondencia de
(ho
−1
r)( x)
(ho
−1
r)( x)=
1
x
2
i)Demuestre el cjto de verdad del
predicado p(x):(ho
−1
r)(x)=½
1
x
2
=
1
(√ 2)
2
x=±√ 2
84.Si f es una función cuyo dominio es el intervalo x∈[5,+ ∞) y su regla de correspondencia es
f (x)=√ x−5−5 ,entonces el dominio de f
−1
es (y+ 5)2
=x−5 → V (5,−5)se abre ala dere → y∈[−5,+ ∞)
a) [5,+ ∞) b) (5,+ ∞) c) [−5,+ ∞)  d) [−5,0] e) [5,5) U (5,+ ∞)

14. Inferno verde By: Filostrato 
85.La gráfica de la función f (x)=
1
a x
2
−1
con dominio (1,+ ∞) , contiene al pto (2,
1
3) Determine:
a)El valor de a
1
3
=
1
a(2)
2
−1
a(2)2
−1=3
a=1
b) la regla de correspondencia de
f
−1
: y=
1
a x
2
−1
; a x
2
−1=
1
y
x
2
=
1
a (1
y
+ 1) → x=
√1
a (1
y
+ 1)
f −1
(x)=
1
√ a √1
x
+ 1 ⋰⋱ f −1
(x)=
√1+ x
x
c) la función recíproca
1
f
1
f
=a x
2
−1 como a=1
1
f
=x
2
−1
d)La función f o( 1
f )
f o
1
f
=
1
(x
2
−1)
2
−1
1
[(x
2
−1)+ 1][(x
2
−1)−1]
f o
1
f
=
1
x
2
(x
2
−2)
3.12 Funciones polinomiales
86.Si p(x) es un factor del polinomio q(x) y r es una raíz de la ec polinómica p(x)=0, entonces (x-r) es un factor
del polinomio q(x) a)Verdadero b)falso
p(r)=0 p(x)=... (x-r)
87.Sea p una función polinomial con regla de correspondencia p(x)=x
2
+ a x+ b Si al dividir p(x) para (x-3)
se obtiene de residuo 1, entonces a+b=1 a)Verdadero b)falso
p(3)=3
2
+ a3+ b=1 → 3a+ b=−8
88.Si P(x) es un polinomio de grado 4 y
P( x)
x−2
=D( x)+
k
x−2
, entonces D(x) es un polinomio de grado 3
a)Verdadero b)falso
89.Si se define una función polinomial con regla de correspondencia p(x)=x
3
+ x
2
–(k+ 7) x+
21
8
, tq
k ∈ℝ , entonces el valor de k para que (x−
1
2) sea facto de p(x), es:
a)-1 b)7 c)14 d)-14 e)-7
p(1
2)=(1
2)
3
+ (1
2)
2
–(k+ 7)(1
2 )+
21
8
=0 →
1
8
+
1
4
−
k
2
−
7
2
+
21
8
=0 → 3−
7
2
−
k
2
=0 →
k
2
=−
1
2
→ k=−1
90.La suma de a y b, tq la función polinomial p(x)=x
3
+ a x
2
+ b sea divisible para el trinomio x
2
−x−2 es
a)1 b)-1 c)7 d)-7 e)2
x2
−x−2=( x−2)( x+ 1)
p(−1)=(−1)3
+ a(−1)2
+ b=0 → a+ b=1
p(2)=2
3
+ a2
2
+ b=0 → 4a+ b=−8
−a−b=−1  3a=−7 → a=−7/3
4 a+ b=−8  b=1−a=1+ 7/3=10/3
91.La suma de los valores reales de k, tq al dividir el polinomio p(x)=k
2
x
3
– 4 k x+ 4 para (x-1) se obtenga
como residuo 1, es:
a)4 b)5 c)-1 d)2 e)-5
p(1)=k2
(1)3
– 4 k(1)+ 4=1 → k2
– 4k+ 4=1 → k2
– 4k+ 3=0 → (k−3)(k−1)=0 → 3+ 1=4
92.Si se tiene un polinomio p(x)=x
3
+ m x – x – 2 , entonces el valor de m, tq la división de p(x) para (x-2)
tenga como residuo 4, es
a)
1
4
b)0 c)-3 d)1 e)-1
p(2)=2
3
+ 2m– 2 – 2=4 → m=0
93.Si una de las raíces de la función polinomial p(x)=x
4
– a x
2
+ 5x+ b es 2 y p(1)+10=0, entones el residuo
de dividir p(x) para (x-3) es
a) 120 b)150
c)
160
3
d)
160
30
 e)
244
3
p(2)=24
– a22
+ 5(2)+ b=0 → b−4a=−26 b – 4a=−26 
p(1)=1
4
–a 1
2
+ 5(1)+ b=−10 → b−a=−16 −b+ a=16 
 +  a=
10
3
; b=−
38
3
p(x)=x
4
–
10
3
x
2
+ 5 x−
38
3
p(3)=3
4
–
10
3
3
2
+ 5(3)−
38
3
=
160
3

15. Inferno verde By: Filostrato 
94.Sea p(x)=(a+ 1) x
5
+ (b−2) x
4
– 31 x
3
−39 x
2
+ 76 x−20 una función polinomial, tq si se divide para (x-1)
el residuo es 0, si se divide para (x+3) el residuo es 400, entonces la suma a+b es
p(1)=a+ 1+ b−2 –31−39+ 76−20=0 → a + b =15 ①
p(−3)=(a+ 1)(−3)5
+ (b−2)(−3)4
– 31(−3)3
−39(−3)2
+ 76(−3)−20=400 → 81b−243a=−783 ②
a)11 b)12 c)13 d)14 e)15✔
95.Si al dividir q(x)=x
2
+ ax+ b para (x-1) se obtiene como residuo -3, y al dividir q(x) para (x-2) el residuo
es -7,entonces el valor de ab es:
q(1)=1
2
+ a+ b=−3 → a+ b=−4 ① q(2)=2
2
+ 2a+ b=−7 → 2a+ b=−11 ②
① en ② a−4=−11 → a=−7 →
〈 4 a
2
+ b
2
+ 4 ab= 121
−a
2
−b
2
−2ab=−16〉→
ab=
105−3(49)
2
ab=−21
a)-6 b)-24 c) ─21✔ d)6 e)21
96.Determine los ceros de la función p(x)=x
3
−x
2
−14 x+ 24
Sea x= y+
1
3
(y+
1
3)
3
−(y+
1
3)
2
−14(y+
1
3)+ 24=0
y
3
+ 3
1
3
y
2
+ 3
1
9
y+
1
27
−y
2
−
2
3
y−
1
9
−14 y−
14
3
+ 24=0
y3
+(1
3
−
2
3
−14)y+
1
27
−
3
27
−
126
27
+ 24=0
y
3
−
43
3
y+
520
27
=0
y
3
−
43
3
y+
520
27
=0
y3
+ 3(−
43
9 )y−2(−
260
27 )=0
y3
+ 3 p y−2q=0
Δ= p3
+ q2
→ Δ=(−
43
9 )
3
+ (260
27 )
2
→ Δ=−
49
3
Φ=tan
−1
(√ |Δ |
q )=tan
−1
(√49
3
−
260
27
)=tan
−1
(−
63 √3
260 ) → Φ=−22.7672° → Φ=180−22.7672 °=157.23 → Φ
3
=52.411°
Como Δ< 0
y1=2√ | p |cos
(Φ
3 )
y1=2
√43
9
cos( 52.411°)=
2
3
√ 43(0.6099) → y1=
8
3
x1= y1+
1
3
=
8
3
+
1
3
=3
x
3
−x
2
−14 x+ 24
x−3
=x
2
+ 2 x−8
x2
+ 2 x−8=(x+ 4)(x−2)
x
3
−x
2
−14 x+ 24=0 si
x1=−4
x2=2
x3=3
97.Determine el polinomio p(x) de cuarto grado que cumpla las siguientes condiciones
I)el coeficiente de
x
4
es 1
II)p(1)=0 III) p(x) es divisible para el trinomio
x²+ 2x +2
IV) Al dividir p(x) para x
el residuo es -2
x
4
+ a x
3
+ b x
2
+ c x+ d=(x−1)(x
2
+ 2x+ 2)( x+ 1)=x
4
+ 2 x
3
+ x
2
−2 x−2
98.Determine el valor de k para que la función q(x)=x3
−8 x2
+ 9 x+ k , tenga una raíz igual al doble de
laotra (x−x1)(x−2 x1)( x−x2)=x
3
−8 x
2
+ 9 x+ k → (x
2
−3 x1 x+ 2 x1
2
)( x−x2)=x
3
−8x
2
+ 9 x+ k

16. Inferno verde By: Filostrato 
x
3
−(3x1+ x2) x
2
+ (3x1 x2+ 2 x1
2
)x−2 x1
2
x2=x
3
−8 x
2
+ 9 x+ k 3 x1+ x2=8 ①
x1( 2 x1+ 3x2)=9 ②
k=−2 x1
2
x2 ➂
x2=8−3 x1 ①
x1(2 x1+ 3(8−3 x1))=9 ① en②
x1(2 x1+ 24−9 x1)=9
7 x1
2
−24 x1+ 9=0
(x1 – 3)(7x1−3)=0
x2=8−3(3
7)=
47
7
; x2=8−3(3)=−1 k=−2(3
7)
2
(47
7 )=−
846
343
k =−2(3)2
(−1)=18
3.13 Función exponencial
Las 2 preguntas siguientes se refieren a la misma gráfica. En el
diagrama aparece la forma de una cadena colgada entre 2
ganchos, A y B. Los ptos A y B están a alturas iguales por
encima del suelo. P es el pto más bajo de la cadena y se
encuentra a p unidades del suelo. El suelo se representa por el
eje X. La abscisa de A es -2, y la abscisa de B es 2. El pto P
pertenece al eje de las Y. La forma de la cadena está dada por
y=2
x
+ 2
− x
, donde - 2≤x≤2
99.El valor de P es:
a)0 b)2✔ c) -4 d)4 e)-2
El punto más bajo de la catenaria, pasa por el eje Y, y sus coordenadas son P(0,ρ) → ρ=2
0
+
1
2
0
⋰⋱ ρ=2
100.El rango de f es
a) ℝ b) [ρ, 4] c) [ρ,+ ∞)
d) [ρ,4
1
4 ] ✔
e) [ρ,8]
y=2
2
+
1
2
2
→ y=4+
1
4
=4
1
4
101.Dada la función f :ℝ→ℝ , con regla de correspondencia f (x)=−
1
2
∣x∣
+ 1 , es falso que:
a) f es una
función acotada
b)f es una
función par
c) ( f o f )(x)=−
1
2
1−
1
2
∣x∣
+ 1 d) rg f =[0 ,1) e)f es una función
inyectiva✔FALSO
102.el valor más paroximado a 4 x4
1
3
x4
1
9
x4
1
27
x... 4 x4
1
3
x4
1
3
2
x4
1
3
3
x... 4
1+
1
3
+
1
3
2
+
1
3
3
+ ...
enexp: ∑
∞
=
1
1−
1
3
=
3
2
4 x4
1
3
x4
1
9
x4
1
27
x...=4
3
2
=2
2
3
2
=2
3
a) 4
100
b)4000 c)8✔ d) 2
100
e)0
103.Sea R=setR Hallar el conjunto de verdad de los siguientes predicados:
a) p(x):3
x+ 1
+ 3
x
+ 3
x−1
=39 → 3(3
x
)+ 3
x
+
3
x
3
=39 →
13
3
(3
x
)=39 → 3
x
=3
2
→x=2
q(x)=2x+ 1
+ 4x
=80 → 2(2x
)+ 22x
=80 → Sea u=2x
→ u2
+ 2u−80=0 → (u+ 10)(u−8)=0 → 2x
=23
→ x=3

17. Inferno verde By: Filostrato 
c) r (x)=6(32x
)−13(6x
)+ 6(22x
)=0
6(32x
)−13(6x
)+ 6(22x
)=0 (2−x
3−x
)
6
(3x
2
x )−13+ 6
(2x
3
x )=0 → 6(3
2)
x
−13+ 6(2
3)
x
=0 u=
(3
2)
x
6u+
6
u
−13=0 6u
2
−13u+ 6=0
(6u−9)(6u−4)
6
=0 → (2u−3)(3u−2)=0
u=
3
2
→
(3
2)
x
=
3
2
→ x=1 u=
2
3
→ (3
2 )
x
=
2
3
⋰⋱ x=−1
104. Si f es una función de ℝ en ℝ con regla de correspondencia f (x)=e
sgn( x)+ μ(x)
, entonces es
verdad que: f ( x)=
〈e
−1
=
1
e
x< o
e
0
=1 x=0
e
2
x> 0
〉a) f es estrictamente creciente b) f (π)= f (−√ 2) c) f es impar d) f no es inyectiva
✔ e) rg f =
[1
e
,e2
]
105.Determine el conjunto de verdad
a)
p(x):4x
+ 2x+ 1
=8
22x
+ 2(2x
)−8=0
Sea u=2
x
u2
+ 2u−8=0
(u+ 4)(u−2)=0
2
x
=2
1
→ x=1
b) h(x):2x
+ 0.52x−3
−5(0.5)x−1
=−1
2
x
+
1
2
2x−3 −
5
2
x−1 =−1
2
x
+
8
2
2x −
10
2
x =−1 Sea u=2
x
u
3
+ 8−10u+ u
2
=0
u
3
+ u
2
−10u+ 8=0
Sea u= y−
1
3
(y−
1
3)
3
+ (y−
1
3)
2
−10(y−
1
3)+ 8=0
y
3
−y
2
+
1
3
y−
1
27
+ y
2
−
2
3
y+
1
9
−10 y+
10
3
+ 8=0
y3
+(1
3
−
2
3
−10)y+
10
3
−
1
27
+
1
9
+ 8=0
y
3
−
31
3
y+
308
27
=0
y3
+ 3(−
31
9 )y−2(−
154
27 )=0
y3
+ 3 p y−2q=0
Δ= p3
+ q2
→ Δ=(−
31
9 )
3
+ (154
27 )
2
→ Δ=−
25
3
Φ=tan
−1
(√ |Δ |
q )=tan
−1
(√25
3
−
154
27
)=tan
−1
(−
135
154√3) → Φ=−26.844° → Φ=180−26.844°=153.16 → Φ
3
=51.05°
Como Δ< 0
y1=2√ | p |cos
(Φ
3 )
y1=2
√31
9
cos(51.05°)=
2
3
√ 31(0.6286) → y1=
7
3
u1=y1+
1
3
=
7
3
−
1
3
=2
u
3
+ u
2
−10u+ 8
u−2
=u
2
+ 3u−4
u
2
+ 3u−4=(u+ 4)(u−1)
u
3
+ u
2
−10u+ 8=0 si
u1=−4
u2=1
u3=2
→ 2
x
=1
2
x
=2
→ x=0
x=1
c) q(x):16x
−6(4)x
=−8
24x
−6(22x
)+ 8=0 Sea u=2
2x
u2
−6u+ 8=0
(u−4)(u−2)=0
22x
=2 ; 22x
=22
x=½ ; x=1
d) r (x):9x
+ 3x+ 1
−4=0
32x
+ 3(3x
)−4=0 Sea u=3
x
u2
+ 3u−4=0
u
2
+ 3u−4=(u+ 4)(u−1)
3
x
=3
0
⋰⋱ x=0
e) q(x):3
x
+ 9
x
=6642
3
x
+ (3
x
)
2
−6642=0
(3x
)2
+ 3x
−6642=0
(3
x
+ 82)(3
x
−81)=0
3
x
=3
4
⋰⋱ x=4
106. Sea f una función de ℝ en ℝ tq f (x)=e
x−1
−1 , enotnces es verdad que:

18. Inferno verde By: Filostrato 
a) ∀x∈ℝ f es
decreciente
b)y=-1 es una asíntota
de la gráfica
c)f(-1)=0 d)f es impar e) ∀x∈ℝ
[μ( f (x))=1]
107.Determine el conjunto de verdad de nnlas siguientes desigualdades. Considere x∈ℝ
a)
3
√2
3x−1
x−1
< 8
x−3
3x−7
→ 2
1
3
3x−1
x−1
< 2
3
x−3
3x−7
3x−1
3x−3
<
3x−9
3x−7
→ 1+
2
3x−3
< 1−
2
3x−7
1
3x−3
< −
1
3x−7
→
1
3x−3
+
1
3x−7
< 0
6 x−10
(3x−7)(3x−3)
< 0 →
3 x−5
(3x−7)(x−1)
< 0
−∞ 1
5
3
7
3
+ ∞
x─1 | ─ | + | + | + |
3x─5 | ─ | ─ | + | + |
3x─7 | ─ | ─ | ─ | + |
| ─ | + | ─ | + |
x∈(−∞,1)U
(5
3
,
7
3)
b) (0.04)
5x−x
2
< 625
( 1
25)
5x−x
2
< 5
4
1
5
10x−2x
2 −5
4
< 0
5
2x
2
−10x
−5
4
< 0
5
2x
2
−10x−4
−1< 0
5
2x
2
−10x−4
< 5
0
2x
2
−10x−4< 0
x
2
−5x−2< 0
x1,2=
5±√ 25+ 8
2
x1=
5−√ 33
2
x2=
5+ √ 33
2
(x−
5−√ 33
2 )(x−
5+ √33
2 )< 0
−∞ x1 x2 + ∞
x−x1 | ─ | + | + |
x−x2 | ─ | ─ | + |
| + | ─ | + |
x∈(5−√33
2
,
5+ √ 33
2 )
c) 2
x+ 2
−2
x+ 3
−2
x+ 4
≥0
4(2
x
)−8(2
x
)−16(2
x
)≥0
−20(2x
)≥0
∅
d)
1
(0.5)
x
−1
−
1
1−(0.5)
x+ 1
≥0
1
(0.5)
x
−1
+
1
0.5(0.5)
x
−1
≥0
1
(0.5)
x
−1
+
1
1
2
(0.5)
x
−1
≥0
1
(0.5)
x
−1
+
2
(0.5)
x
−2
≥0
0.5
x
−2+ 2(0.5
x
)−2
(0.5
x
−1)(0.5
x
−2)
≥0
3(0.5
x
)−4
(0.5
x
−1)(0.5
x
−2)
≥0 Sea u=
(1
2)
x
−∞ 1
4
3
2 + ∞
u─1 | ─ | + | + | + |
3u─4 | ─ | ─ | + | + |
u─2 | ─ | ─ | ─ | + |
| ─ | + | ─ | + |
1< u≤
4
3
1<
(1
2)
x
≤
4
3
log½
4
3
≤x< log½ 1
log½
4
3
≤x< 0
u> 2
(1
2)
x
> 2
x< log½ 2
x< log2−1 2
x< ─ log2 2
x< ─ 1
x∈(−∞,−1)U
[4
3
,0
)
e) 0< 8x
+ 18x
−2(27)x
2
3x
+ 2
x
3
2x
−2 3
3x
> 0 (3
−3x
)
(2
3)
3x
+
(2
3)
x
−2> 0
Sea u=
(2
3)
x
u
3
+ u
2
−2> 0 Sea u=y−
1
3
(y−
1
3)
3
+ (y−
1
3)
2
−2=0
y
3
−y
2
+
1
3
y−
1
27
+ y
2
−
2
3
y+
1
9
−2=0
y
3
−
1
3
y−
52
27
=0
y3
+ p y+ q=0
y=
3
√−
q
2
−
√q2
4
+
p3
27
+
3
√−
q
2
+
√q2
4
+
p3
27
y= y1+ y2
y1=
3
√26
27
−
√676
729
−
1
729
=
3
√26
27
−
5
9
√ 3
y1=
3
√ 26−15 √3
3
y2=
3
√26
27
+
√676
729
−
1
729
=
3
√26
27
+
5
9
√ 3
y2=
3
√ 26+ 15√ 3
3
y=
3
√ 26−15√ 3+
3
√ 26+ 15√ 3
3
y=
4
3
→ u=
4
3
−
1
3
=1

19. Inferno verde By: Filostrato 
u
3
−u
2
−2
u−1
=u
2
+ 2u+ 2
u
3
+ u
2
−2> 0
(u−1)(u2
+ 2u+ 2)> 0
u
2
+ 2u+ 2> 0
u−1> 0
u> 1
(2
3)
x
> 1
x< log2
3
1
x< 0
108 Sea f y g funciones de variable real, tq: f (x)=2
x
, x∈ℝ , y g( x)=
x
x−2
, x∈ℝ { 2 } . Halle
las funciones siguientes y determine su dominio
a) go f
go f =g( f (x))=1+
2
2
x
−2
go f =1+
1
2
x−1
−1
2
x−1
≠1
2
x−1
≠2
0
x≠1
Dgo f : x∈ℝ {1}
b) g
−1
g( x)=
x
x−2
y=1+
2
x−2
2
x−2
= y−1
x−2
2
=
1
y−1
x=2+
2
y−1
g
−1
x=2+
2
x−1
Dg−1 : x∈ℝ {1}
c) go
−1
g
go
−1
g=g
−1
( g(x))=x
3.14 Función logarítmica
109. ∀x∈ℝ
+
(log(x)log( x)log( x)=3log( x))
a)Verdadero b)Falso
110. Sea Re=ℝ
+
{1} y px :ln(logx(2))=−1 entonces Apx={2
e
}
a)Verdadero b)Falso
111. Sea c∈ℝ
+
{1} si a y b son números reales cualesquiera,tq a< b , entonces logc a< logc b
a)Verdadero b)Falso
112. La gráfica de toda función logarítmica f :ℝ
+
→ℝ , f (x)=loga x a> 0 a≠1 contiene los ptos (1,.0)
y (a,1)
a)Verdadero b)Falso
113.Si log(2)=a y log(3)=b entonces log (75) es:
a)3 - 3a b)2-a+b c)2-2b+a d)1-a+b e)2+b-2a
114.Sean las funciones: f (x)=
〈 2
x+ 3
x≤3
log3( x−2) x∈(3,+ ∞)〉 g( x)=1−2x ; x≤0 Determine:
a)el Rango de f y g b)las gráficas de f y g c)f+g