TRABAJO REALIZADO CON ECONOMIA

1. SISTEMA DE COLAS
Es el sistema q los productos o clientes llegan (nacimiento) a una estación esperan en una fila o cola, obtiene
un tipo de servicio y luego salen del sistema (muerte).
Los sistemas de colas, se clasifican en:
- Problemas de análisis.
- Problemas de diseño.
PROBLEMAS DE ANÁLISIS.- verifica si un sistema está funcionando satisfactoriamente; las preguntas que
debe responder este tipo de problemas es:
- Cual es tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de ser atendido
- Que tiempo les toma a los servidores en atender a un cliente o procesar un producto.
- Cual es el número promedio de clientes que esperan en la cola.
- Cual es el número máximo de clientes que esperan en la cola.
Con estas preguntas los tomadores de decisiones (pueden ser gerentes) podrán emplear o no a más gente,
agregando o reduciendo estaciones de servicio o aumentado o reduciendo el espacio de espera.
PROBLEMAS DE DISEÑO.- diseña las características de un sistema que logre un objetivo general. Las
preguntas que deben responder este tipo de problemas es:
- Cuantas personas o estaciones deben emplearse para proporcionar un servicio aceptable.
- Deben los clientes esperar en una fila o en diferentes filas.
- Deberá haber estaciones especiales para clientes q tengan alguna prioridad o cuestiones
especiales.
- Que espacio se necesita para que los clientes puedan esperar.
Las decisiones del diseño están sujetos a la medida de diferentes alternativas
CARACTERISTICAS GENERALES DE UN SISTEMA DE COLAS
- Población de clientes
- Proceso de llegada
- Proceso de colas
- Proceso de servicio
- Proceso de salida
POBLACIÓN DE CLIENTES
El principal problema es el tamaño que puede ser finito o infinito
PROCESO DE LLEGADA
La característica más importante el tiempo entre llegadas, que es la cantidad de tiempo entre dos llegadas
sucesivas Existen 2 clases básica de tiempos entre llegadas:
- Determinístico, mismo intervalo de tiempo entre llegadas

2. - Probabilístico, obedece a una distribución de probabilidades, a menudo la distribución real es
difícil de modelar al 100%. La distribución exponencial, ha probado ser confiable en muchos
problemas prácticos. Una distribución exponencial con parámetro λ (X~E(λ)), eta dada por:
𝑓(𝑥) = 𝜆 ∗ 𝑒−𝜆𝑥
; 𝑥 ≥ 0
𝑐𝑜𝑛 𝐸(𝑥) =
1
𝜆
𝑦 𝑉(𝑥) =
1
𝜆2
Para la probabilidad
𝑃( 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 ≤ 𝑇) = 1 − 𝑒−𝜆𝑇
Eplo.- si los clientes llegan a un banco con una rapidez promedio de 20 por hora y si un cliente
acaba de llegar, entonces la probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de los
siguientes 10 minutos es
𝑃( 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 ≤ 1/6) = 1 − 𝑒−20∗1/6
= 0.964
Otro planteamiento igual de valido para describir el proceso de llegada consiste en utilizar la distribución del
número de llegadas.
Eplo. Si deseamos calcular la probabilidad de que 2 clientes lleguen dentro de los diez minutos
siguientes y si sabemos que la distribución de tiempos entre llegadas es una función exponencial
con parámetro λ, la distribución de probabilidades para el número de llegadas tiene una
distribución Poisson, es decir:
𝑃( 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑇 = 𝑘) =
𝑒−𝜆𝑇∗(𝜆𝑇)𝑘
𝑘!
𝑃( 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 10 𝑚𝑖𝑛 = 2) =
𝑒−20∗1/6∗(20∗1/6)2
2!
= 0.198
En este caso el proceso de llegadas se conoce como proceso de Poisson, pero ojo notar que un
proceso de llegada puede obedecer a cualquier otra distribución.
PROCESO DE COLAS
Es la forma en que los clientes esperan para ser atendidos, pueden esperar en una sola fila (sistema de colas
de una sola línea) o los clientes pueden elegir una de varias filas disponibles (sistema de colas de líneas
múltiples).
Otra característica de los sistemas de colas es el número de espacios de espera en cada fila (el número de
clientes que pueden esperar).
Por ultimo en el proceso de colas, se toma en cuenta la disciplina de la cola, es decir la forma en que serán
atendidos, entre las principales están:
- El primero en entrar, el primero en salir.
- El primero en entrar, el último en salir.
- Selección de prioridad.
PROCESO DE SERVICIO
Define como son atendidos los clientes es decir que tiempo tardan los servidores en atender un cliente. .
Asumiremos servidores idénticos, es decir tienen la misma rapidez en la atención. El sistema de servicio
puede ser de canal sencillo o múltiple.
El tiempo de servicio, puede ser determinístico o probabilístico, si es probabilístico nuevamente puede ser
de acuerdo a cualquier distribución de probabilidades, los modelos que mejor se ajustan son la distribución
exponencial y normal.

3. MEDIDAS DE RENDIMIENTO
El objetivo de la teoría de colas consiste en responder cuestionamientos con respecto al análisis y diseño de
un sistema de colas.
Un sistema de colas pasa por dos etapas respecto al tiempo de espera:
Fase transitoria, que es el periodo inicial de un sistema de colas en que se conservan las condiciones iniciales.
Fase estable, es la fase posterior cuando los efectos de las condiciones iniciales son eliminadas. El análisis
de colas será en esta fase.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS (MODELOS) DE COLAS
Los símbolos que describen las características del sistema
En el proceso de llegada. Este símbolo describe la distribución de tiempo entre llegadas que es una de las
siguientes:
- D para denotar que el tiempo de llegada es determinístico
- M para denotar que los tiempos entre llegadas son probabilísticos y sigue una distribución
exponencial.
- G para denotar que los tiempos entre llegadas son probabilísticos y sigue una distribución de
probabilidades diferente a la exponencial.
En el proceso de servicio. Este símbolo describe la distribución de tiempos de servicio, que es una de las
siguientes:
- D para denotar que el tiempo de servicio es determinístico
- M para denotar que los tiempos de servicio son probabilísticos y sigue una distribución
exponencial.
- G para denotar que los tiempos de servicios son probabilísticos y sigue una distribución de
probabilidades diferente a la exponencial.
En el proceso de colas el valor c representa cuantas estaciones o canales en paralelos existen en el sistema.
(recordar que se supone los servidores son idénticos en su rapidez de servicio).
Consideremos un sistema etiquetado como M/M/3; la primera M representa que el tiempo entre llegadas es
exponencial; la segunda M denota que el tiempo de servicio sigue también una distribución exponencial; el
3 significa que tiene 3 estaciones en paralelo, cada una dando el mismo servicio.
Cuando el espacio de espera y/o el tamaño de la población de clientes es finito, los siguientes símbolos se
adicionales y se coloca para indicar estas limitaciones:
Un numero K que representa el número máximo de clientes que pueden estar en el sistema en cualquier
momento(es decir, en servicio o espera en la fila). Este número es igual al número de estaciones paralelas
más el número total de clientes que pueden esperar para ser atendidos.
Un número L que representa el número total de clientes en la población.

4. Cuando se omite cualquiera de los símbolos, se supone que el valor correspondiente es infinito.
Consideremos un sistema etiquetado como M/M/3/10 indica que el sistema tiene espacio para un número
infinito de clientes y que existen 10 posibles clientes
MEDIDAS DE RENDIMIENTO COMUNES
Son valores numéricos que se utilizan para evaluar los méritos de un sistema de colas en estados estable.
Entre las principales están:
- Wq: Tiempo medio que un cliente que llega debe esperar en la cola antes de ser atendido.
- W: Tiempo medio que un cliente invierte desde que llega hasta que sale del sistema.
- Lq: Número medio de clientes que se encuentran esperando en la fila para ser atendidos.
- L: Número medio de clientes que se encuentran en el sistema.
- Pw: Probabilidad de bloque, es decir que un cliente que llega tenga que esperar
- U: Utilización, es decir la fracción de tiempo medio que un servidor esta ocupado.
- Pn: Probabilidad que se encuentren n clientes en el sistema.
- Pd: Probabilidad de que un cliente que llega al sistema no es admitido (negación de servicio)
MODELO M/M/1
Bajo los supuestos del modelo:
- Población infinita.
- Capacidad del sistema infinito.
- Disciplina de espera el primero en entrar el primero en salir.
- Un proceso de llegada en el que los clientes se presentan de acuerdo a un proceso Poisson con
una tasa promedio λ clientes por unidad de tiempo.
- Un proceso de servicio que consiste en un solo servidor que atiende a los clientes de acuerdo a
una distribución exponencial con un promedio μ de clientes atendidos por unidad de tiempo.
Ecuaciones de estado:
𝑃0
′(𝑡) = −𝑃0(𝑡)𝜆 + 𝑃1(𝑡)𝜇 n = 0
𝑃
𝑛
′(𝑡) = −𝑃
𝑛(𝑡)(𝜆 + 𝜇) + 𝑃𝑛−1(𝑡)𝜆 + 𝑃𝑛+1(𝑡)𝜇 n = 1, 2, 3, …
Ecuaciones de equilibrio:
0 = −𝑃0𝜆 + 𝑃1𝜇 n = 0
0 = −𝑃
𝑛(𝜆 + 𝜇) + 𝑃𝑛−1𝜆 + 𝑃𝑛+1𝜇 n = 1, 2, 3, …
Para que un sistema alcance una condición de estado estable, la tasa de servicio debe ser mayor a la tasa de
llegada
Medidas:
- 𝑃
𝑛 = 𝜌𝑛(1 − 𝜌) 𝑛 = !, 2, … donde 𝜌 =
𝜆
𝜇
<1
- 𝑃
𝑤 = 𝜌
- 𝑃0 = 1 − 𝜌
- 𝐿 =
𝜌
1−𝜌
=
𝜆
𝜇−𝜆
= 𝜆𝑊
- 𝐿𝑞 =
𝜌2
1−𝜌
=
𝜆2
𝜇(𝜇−𝜆)

5. - 𝑊 =
𝐿
𝜆
=
𝜌
𝜆(1−𝜌)
=
1
𝜇−𝜆
- 𝑊
𝑞 =
𝜌
𝜇−𝜆
=
𝜆
𝜇(𝜇−𝜆)
- Intensidad de tráfico 𝜌 =
𝜆
𝜇
cociente entre tasa de llegadas y tasa de servicio
Ejemplo.-
En la tranca de lucha contra el narcotráfico en el camino a los Yungas (Induavi) verifican la existencia de
sustancias controladas (drogas) en los vehículos de transporte pesado de forma rigurosa. La policía ésta
estudiando la posibilidad de mejorar este servicio analizando la llegada de vehículos a controlar en horas
pico. Si se cumple los supuestos del modelo M/M/1 con:
𝜆: Número promedio de vehículos de transporte pesado que llegan por hora (𝜆 = 60)
𝜇: Número promedio de vehículos que pueden ser revisados por hora (𝜇 = 66)
El jefe policial está analizando si existen vehículos haciendo fila (estacionados) para el control en el camino;
fuera de la rampa de propiedad de la Policía.
Bajo las distribuciones Exponencial y Poisson, tenemos:
Probabilidad de que el sistema esté vacio o haya o clientes
- 𝑃0 = 1 − 𝜌
Probabilidad de tener más de m unidades en el sistema
- 𝑃(𝑛 > 𝑚) = 𝜌𝑚+1
Probabilidad que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en el sistema
- 𝑊(𝑡) = 𝑒
−𝑡
𝑤 ;𝑡 ≥ 0
Distribución de probabilidades del tiempo medio de espera en la cola
𝑓(𝑡) = {
𝜌(1 − 𝜌)𝜇𝑒−𝑡𝜇(1−𝜌)
𝑡 > 0
1 − 𝜌 𝑡 = 0
Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en la cola
- 𝑊
𝑞(𝑡) = 𝜌𝑒
−𝑡
𝑤 ;𝑡 ≥ 0
Ejemplo
Una carnicería prestigiosa puede atender una venta cada 5 minutos y la tasa media de llegada es de 9 clientes
por hora (solo se atiende uno a la vez)
¿Cuál es la probabilidad de que:
- Esté vacia la carnicería de clientes?
- Tener una cola con más de 2 clientes?
- Se tenga que esperar mas de 30 minutos en la sistema?

6. MODELO M/M/c
Bajo los supuestos del modelo:
- Población infinita.
- Capacidad del sistema infinito.
- Disciplina de espera el primero en entrar el primero en salir.
- Un proceso de llegada en el que los clientes se presentan de acuerdo a un proceso Poisson con
una tasa promedio λ clientes por unidad de tiempo.
- Un proceso de colas que consiste en una sola fila de espera con capacidad infinita.
- Un proceso de servicio que consiste en c servidor idénticos que atiende a los clientes de acuerdo
a una distribución exponencial con un promedio μ de clientes atendidos por unidad de tiempo.
Ecuaciones de estado:
- 𝑃0
′(𝑡) = −𝑃0(𝑡)𝜆 + 𝑃1(𝑡)𝜇 𝑛 = 0
- 𝑃
𝑛
′(𝑡) = −𝑃
𝑛(𝑡)(𝜆 + 𝑛𝜇) + 𝑃𝑛−1(𝑡)𝜆 + 𝑃𝑛+1(𝑡)(𝑛 + 1)𝜇 0 < 𝑛 < 𝑐
- 𝑃
𝑛
′(𝑡) = −𝑃
𝑛(𝑡)(𝜆 + 𝑐𝜇) + 𝑃𝑛−1(𝑡)𝜆 + 𝑃𝑛+1(𝑡)𝑐𝜇 𝑛 ≥ 𝑐
Ecuaciones de equilibrio
- 0 = −𝑃0(𝑡)𝜆 + 𝑃1(𝑡)𝜇 𝑛 = 0
- 0 = −𝑃
𝑛(𝑡)(𝜆 + 𝑛𝜇) + 𝑃𝑛−1(𝑡)𝜆 + 𝑃𝑛+1(𝑡)(𝑛 + 1)𝜇 0 < 𝑛 < 𝑐
- 0 = −𝑃
𝑛(𝑡)(𝜆 + 𝑐𝜇) + 𝑃𝑛−1(𝑡)𝜆 + 𝑃𝑛+1(𝑡)𝑐𝜇 𝑛 ≥ 𝑐
Para
- 𝜌 =
𝜆
𝜇
el sistema está en un estado estable cuando
𝜆
𝑐𝜇
< 1
Probabilidad de que el sistema esté vacío o haya 0 clientes
- 𝑃0 =
1
∑
𝜌𝑛
𝑛!
𝑐−1
𝑛=0 +(
𝜌𝑐
𝑐!
)∗(
𝑐
𝑐−𝜌
)
Número promedio (medio) de clientes en la cola
- 𝐿𝑞 =
𝜌𝑐+1
(𝑐−1)!
∗
1
(𝑐−𝜌)2 ∗ 𝑃0
Tiempo promedio (medio) de espera en la cola
- 𝑊
𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆
Tiempo promedio (medio) de espera en el sistema
- 𝑊 = 𝑊
𝑞 +
1
𝜇
Número promedio de clientes en el sistema
- 𝐿 = 𝜆 ∗ 𝑊 = 𝐿𝑞 + 𝐿𝑜
Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar
- 𝑃
𝑤 =
1
𝑐!
∗ 𝜌𝑐
∗
𝑐
𝑐−𝜌
∗ 𝑃0
Probabilidad de que haya n clientes en el sistema si n ≤ c:
- 𝑃
𝑛 =
𝜌𝑛
𝑛!
∗ 𝑃0
Probabilidad de que haya n clientes en el sistema si n > c:
- 𝑃
𝑛 =
𝜌𝑛
𝑐!∗𝑐𝑛−𝑐 ∗ 𝑃0

7. Utilización
- 𝑈 = 1 − [𝑃0 +
𝑐−1
𝑐
∗ 𝑃1 +
𝑐−2
𝑐
∗ 𝑃2 … . +
1
𝑐
∗ 𝑃𝑐−1]
Número promedio de estaciones o servidores ocupados
- 𝐿𝑜 = 𝜌
Número promedio de estaciones o servidores desocupados
- 𝐿𝐷 = 𝑐 − 𝜌
Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en el sistema
- 𝑊(𝑡) = 𝑒−𝜇𝑡 [1 +
𝜌𝑐𝑃0(1−𝑒−𝑢𝑡(𝑐−1−𝜌)
𝑐!(1−
𝜌
𝑐
)(𝑐−1−𝜌)
] 𝑡 ≥ 0
Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en la cola
- 𝑊(𝑡) = 𝑒−𝑐𝜇𝑡(1−
𝜌
𝑐
)
[
𝜌𝑐𝑃0
𝑐!(1−
𝜌
𝑐
)
] 𝑡 ≥ 0
MODELO M/M/1/m
Los supuestos son similares al del modelo M/M/1 donde la población es de tamaño finito (m < ꝏ); con tasas
de llegada y servicio:
- 𝜆𝑛 = {
(𝑚 − 𝑛)𝜆 , 0 ≤ 𝑛 < 𝑚
0 , 𝑛 ≥ 𝑚
- 𝜇𝑛 = {
𝜇 , 0 ≤ 𝑛 < 𝑚
0 , 𝑛 ≥ 𝑚
Probabilidad de que el sistema este vacío u ocioso
- 𝑃0 =
1
∑
𝑚!
(𝑚−𝑛)!
∗𝜌𝑛
𝑚
𝑛=0
Probabilidad de tener n unidades en el sistema
- 𝑃
𝑛 =
𝑚!
(𝑚−𝑛)!
𝜌𝑛
𝑃0
Número esperado o medio de unidades en el sistema
- 𝐿 = ∑ 𝑛𝑃
𝑛 = 𝑚 −
𝑚
𝑛=0
1
𝜌
(1 − 𝑃0)
Número esperado o medio de unidades en la cola
- 𝐿𝑞 = 𝐿 − (1 − 𝑃0) = 𝑚
𝜆+𝜇
𝜆
(1 − 𝑃0)
Número esperado o medio de unidades en el servicio
- 𝐿𝑠 = 𝐿 − 𝐿𝑞
Tiempo medio de espera en el sistema
- 𝑊 =
𝐿
𝜆(𝑚−𝐿)
=
𝐿
𝜇(1−𝑃0)
= 𝑊
𝑞 +
1
𝜇

8. Tiempo medio de espera en la cola
- 𝑊
𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆(𝑚−𝐿)
=
𝐿𝑞
𝜇(1−𝑃0)
Tiempo medio de espera en el servicio
- 𝑊
𝑠= W - 𝑊
𝑞
Ejemplo
Una empresa tiene 5 camiones con los que distribuye sus productos. Cualquier servicio de reparación de los
camiones lo realiza en un taller que tiene un mecánico contratado por la empresa, cuyas llegadas de los
camiones al taller siguen una distribución Poisson con 2 al día y el mecánico es capaz de realizar hasta 3
reparaciones por día. Calcular:
- Probabilidad de que el mecánico no tenga trabajo
- Número medio de camiones repartidores operando
- Tiempo medio de espera de un camión para ser atendido
- Tiempo medio de permanencia de un camión en el taller
MODELO M/M/c/m
Los supuestos son similares al del modelo M/M/c donde la población es de tamaño finito (m < ꝏ); con tasas
de llegada y servicio:
- 𝜆𝑛 = {
(𝑚 − 𝑛)𝜆 , 0 ≤ 𝑛 < 𝑚
0 , 𝑛 ≥ 𝑚
- 𝜇𝑛 = {
𝑛𝜇 , 0 ≤ 𝑛 < 𝑐
𝑐𝜇 , 𝑐 ≤ 𝑛 < 𝑚
Probabilidad de que el sistema este vacío u ocioso
- 𝑃0 =
1
∑
𝑚!
(𝑚−𝑛)!𝑛!
∗𝜌𝑛+
𝑐−1
𝑛=0 ∑
𝑚!
(𝑚−𝑛)!
∗
𝜌𝑛
𝑐!𝑐𝑛−𝑐
𝑚
𝑛=𝑐
Probabilidad de tener n unidades en el sistema
- 𝑃
𝑛 = {
𝑚!
(𝑚−𝑛)!𝑛!
𝜌𝑛
𝑃0 0 ≤ 𝑛 < 𝑐
𝑚!
(𝑚−𝑛)!
∗
𝜌𝑛
𝑐!𝑐𝑛−𝑐 𝑃0 𝑐 ≤ 𝑛 ≤ 𝑚
Número esperado o medio de unidades en el sistema
- 𝐿 = ∑ 𝑛𝑃
𝑛 =
𝑚
𝑛=0 ∑ 𝑛
𝑚!
(𝑚−𝑛)!𝑛!
𝜌𝑛
𝑃0 +
𝑐−1
𝑛=0 ∑ 𝑛
𝑚!
(𝑚−𝑛)!
∗
𝜌𝑛
𝑐!𝑐𝑛−𝑐 𝑃0
𝑚
𝑛=𝑐
Número esperado o medio de estaciones desocupadas
- 𝐿𝐷 = ∑ (𝑐 − 𝑛)𝑃
𝑛
𝑐−1
𝑛=0 = ∑ (𝑐 − 𝑛)
𝑚!
(𝑚−𝑛)!𝑛!
𝜌𝑛
𝑃0
𝑐−1
𝑛=0

9. Número esperado o medio de unidades en la cola
- 𝐿𝑞 = ∑ (𝑐 − 𝑛)𝑃
𝑛 = 𝐿 − (𝑐 −
𝑚
𝑛=𝑐+1 𝐿𝐷)
Número esperado o medio de unidades o estaciones en servicio
- 𝐿𝑠 = 𝑐 − 𝐿𝐷
Tiempo medio de espera en el sistema
- 𝑊 =
𝐿
𝜆(𝑚−𝐿)
= 𝑊𝑞 +
1
𝜇
Tiempo medio de espera en la cola
- 𝑊
𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆(𝑚−𝐿)
= 𝑊 −
1
𝜇
Tiempo medio de espera en el servicio
- 𝑊
𝑠= W - 𝑊
𝑞
MODELO M/M/1/k
Lo supuestos para este modelo son similares a los del modelo M/M/1, con a diferencia de tener ahora la
limitación del sistema tamaño k (k finito), las tasas de llegada y servicio son:
- 𝜆𝑛 = {
𝜆 , 0 ≤ 𝑛 < 𝑘
0 , 𝑛 ≥ 𝑘
- 𝜇𝑛 = 𝜇 , 𝑛 ≥ 0
Probabilidad de tener n Unidades en el Sistema
𝑃
𝑛 =
{
𝜌𝑛(1 − 𝜌)
1 − 𝜌𝑘+1
, 𝜌 ≠ 1
1
𝑘 + 1
, 𝜌 = 1
Con 𝜌 =
𝜆
𝜇
y 0 ≤ 𝑛 < 𝑘
Número Promedio o Espera de Unidades en el Sistema
𝑃
𝑛𝐿 =
{
𝜌
1 − 𝜌
−
(𝑘 + 1)𝜌𝑘+1
1 − 𝜌𝑘+1
, 𝜌 ≠ 1
𝑘
2
, 𝜌 = 1
Tasa Media de Filtraje
Representa el número medio de unidades que admite el sistema por unidad de tiempo.
𝜆̅ = 𝜆(1 − 𝑃𝐾)
Tasa Promedio de Perdida = 𝜆 − 𝜆̅
Número Promedio o Esperado de Unidades en la cola
𝐿𝑞 = 𝜆̅𝑊𝑞
Tiempo Medio de Espera en el Sistema
𝑊 =
𝐿
𝜆̅

10. 𝑊 = 𝑊
𝑞 +
1
𝜇
Tiempo Medio de Espera en la Cola.
𝑊
𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆̅
𝑊
𝑞 = 𝑊 −
1
𝜇
Modelo M/M/c/K
Los supuestos para este odelo son similares a los del modelo M/M/S, con la diferencia de tenerse ahora una
limitación del sistema de tamaño k finito; las tasas de llegada y de servicio son las siguientes:
- 𝜆𝑛 = {
𝜆 , 0 ≤ 𝑛 < 𝑘
0 , 𝑛 ≥ 𝑘
- 𝜇𝑛 = {
𝑛𝜇 , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑐
𝑐𝜇 , 𝑛 ≥ 𝑐 + 1
Probabilidad de que el Sistema este Vacío u Ocioso
𝑃0 =
{
1
1
𝑐
𝜌𝑐+1(1−
1
𝑐𝑘−𝑐
𝜌𝑘−𝑐)
𝑐 !(1−
1
𝑐
𝜌)
+∑
𝜌𝑛
𝑛!
𝑐
𝑛−1
, 𝜌 ≠ 1
1
𝑐𝑐
𝑐!
(𝑘−𝑐)+∑
𝑐𝑛
𝑛!
𝑐
𝑛=0
, 𝜌 = 1
Probabilidad de Tener n Unidades en el Sistema
𝑃
𝑛 = {
𝜌𝑛
𝑛!
𝑃0 , 𝑛 = 1,2, … , 𝑐
𝑐𝑐−𝑛𝜌𝑛
𝑐!
, 𝑛 = 𝑐 + 1, 𝑐 + 2, … , 𝑘
Número Promedio Esperado en Unidades en la Cola
𝐿𝑞 =
1
𝐿
𝜌𝐿+1
𝑐! (1 −
𝜆
𝑐𝜇
) 𝑐! (1 −
𝜆
𝑐𝜇
)
2 ∗ [1 − (
𝜆
𝑐𝜇
)
𝑘−𝑐
− (1 −
𝜆
𝑐𝜇
) (𝑘 − 𝑐) (
𝜆
𝑐𝜇
)
𝑘−𝑐
] 𝑃0
Tasa Media de Filtraje
𝜆̅ = 𝜆(1 − 𝑃𝐾)
Tasa Promedio de Pérdida = 𝜆 − 𝜆̅
Número Promedio o Esperado de Unidades en el Sistema
L=𝜆̅𝑊
Tiempo Medio de Espera en el Sistema
W=𝑊
𝑞 +
1
𝜇
Tiempo Medio de espera en la cola
𝑊
𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆̅
𝑊
𝑞 = 𝑊 −
1
𝜇