2. 21/05/2015 2
TRABAJO, POTENCIA, ENERGÍA Y CONSERVACIÓN
1.. La energía: formas y fuentes
2.. Trabajo
3.. Conservación y degradación de la energía
2.1.Interpretación gráfica del trabajo
2.2.Trabajo de la fuerza resultante
3.2. Variación de la energía mecánica en presencia de fuerzas no conservativas
3.1. Conservación de la energía mecánica en presencia de fuerzas conservativas
5.. Impulso, cantidad de movimiento, conservación de cantidad de movimiento.
4.. Potencia
2.3.Trabajo de una fuerza variable
2.4.Energía cinética
2.5.Energía potencial
4.1. Potencia a velocidad constante
5.1. Impulso
5.2. Cantidad de movimiento
3. 3
5.3. Conservación de la cantidad de movimiento.
5.4. Choque elástico.
5.6. Coeficiente de restitución
5.5. Choque inelástico.
6.. Energía potencial electrostática.
6.1. Potencial Eléctrico.
6.2. Diferencia de Potencial.
4. 21/05/2015 4
1.. La energía : formas y fuentes
La energía es una magnitud física escalar que mide la capacidad que tienen los cuerpos o
sistemas para realizar transformaciones en ellos mismos o en otros cuerpos o sistemas.
Como existen distintos tipos de transformaciones, existirán distintos tipos o formas de energía
Energía cinética Energía potencial gravitatoria Energía potencial elástica
La poseen los cuerpos por el
hecho de estar en movimiento
La poseen los cuerpos por el
hecho de estar a cierta altura
sobre la superficie de la Tierra
La poseen los cuerpos elásticos
a causa de la deformación que
han experimentado
Energía mecánica
Energía mecánica es la suma de la energía cinética y la potencial
1.1. Formas de energía
5. 21/05/2015 5
Energía eléctrica Energía nuclear
La poseen las cargas eléctricas en reposo
o en movimientos
Es la energía que se libera en las reacciones
nucleares de fisión y de fusión
6. 21/05/2015 6
Energía térmica Energía química Energía radiante
Es la forma de energía que
fluye de un cuerpo a otro a
causa de la diferencia de
temperatura que existe entre
ellos.
La poseen todos los sustancias
de la naturaleza debido a la
energía de sus enlaces.
Se pone de manifiesto en las
reacciones químicas
Es la que poseen las
radiaciones electromagnéticas,
como es el caso de la energía
del Sol
7. 21/05/2015 7
Las fuentes de energía son los distintos recursos que existen en la naturaleza de los que el
ser humano puede obtener energía utilizable en sus actividades.
1.2. Fuentes de energía
Son los sistemas materiales que por sus características o situación proporcionan a las
personas energía utilizable.
No confundir las formas de la energía con las fuentes de la energía.
Así cuando hablamos de energía hidraúlica no nos estamos refiriendo a una nueva forma
de energía sino a la energía potencial gravitatoria que tiene el agua embalsada en una
presa. El agua embalsada es una fuente de energía y la energía potencial gravitatoria es
una forma de energía.
La energía eólica no es una forma de energía diferente de la energía cinética del viento:
el viento es una fuente de energía y la energía cinética es una forma de energía.
El carbón, el petróleo, el gas , el viento, el agua embalsada, … son fuentes de energías.
Las fuentes de energía pueden ser renovables y no renovables.
El viento, el agua embalsada, el Sol, las mareas, el calor interno de la Tierra… son fuentes de
energías renovables.
Las Fuentes de energía renovables son aquellas que, tras ser utilizadas, se pueden
regenerar de manera natural o artificial. Algunas de estas fuentes renovables están sometidas
a ciclos que se mantienen de forma más o menos constante en la naturaleza.
Las Fuentes de energía no renovables son aquellas que se encuentran de forma limitada en
el planeta y cuya velocidad de consumo es mayor que la de su regeneración.
El carbón , el petróleo, el gas natural, los materiales fisionables, como el uranio… son fuentes
de energías no renovables.
8. 21/05/2015 8
Una de las características fundamentales de la energía es su capacidad de transformación de
unas formas en otras.
En todas estas transformaciones, la energía cambia de forma, pero la cantidad global de
energía se mantiene constante, como afirma el principio de conservación de la energía
9. 21/05/2015 9
2.. Trabajo
En el lenguaje común empleamos frecuentemente la palabra trabajo asociando su significado con
alguna forma de esfuerzo, ya sea mental o físico.
En Física, sin embargo, la palabra trabajo se emplea para denominar una magnitud física escalar,
cuyo significado no coincide siempre con el del lenguaje común.
En Física, realizar un trabajo significa ejercer una fuerza sobre un cuerpo con desplazamiento de
su punto de aplicación. Como consecuencia de esta acción, el trabajo resulta un modo de transferir
alguna cantidad de energía de un cuerpo a otro.
Cuando levantamos verticalmente una caja
hasta cierta altura, realizamos un trabajo.
Comunicamos energía potencial
gravitatoria a la caja
10. 21/05/2015 10
Cuando empujamos la misma caja por un plano horizontal, también realizamos un trabajo.
Comunicamos energía cinética a la caja.
11. 21/05/2015 11
Cuando hacemos fuerza con
nuestras manos contra la
pared de un edificio, no
logramos moverlo. Por tanto,
no realizamos un trabajo, ya
que no le comunicamos
energía alguna.
12. 21/05/2015 12
Cuando desplazamos la caja anterior
con velocidad constante por un
plano horizontal, tampoco
realizamos un trabajo, ya que no le
comunicamos energía alguna.
13. 21/05/2015 13
El trabajo W realizado por una fuerza constante F cuyo punto de aplicación se desplaza Δr
es igual al producto escalar:
W F Δr F Δr cosφ
W F Δr cosφ
φ
F
Δr
El trabajo W se mide en el S.I. en Julios (J)
Un julio es el trabajo que se realiza cuando la fuerza de 1 N desplaza su punto de
aplicación 1 m en la misma dirección y sentido que la fuerza.
1 J = 1 N · 1 m
14. 21/05/2015 14
φ
F
Δr
tF
W F Δr cosφ
tF F cosφ
tF Δr
El trabajo de una fuerza es igual al trabajo que realiza la componente de la fuerza en la
dirección del desplazamiento, la componente tangencial de la fuerza.
tW F Δr
Otro modo de ver el trabajo realizado por una fuerza
15. 21/05/2015 15
F
Δr
W F Δr
φ
F
Δr
φ 0
cos0 1
W F Δr cos φ 0
0 φ 90
cosφ 0
F
Δr
W 0
F
φ
Δr
φ 90
cos 90 0
W F Δr cos φ 0
90 φ 180
cosφ 0
90°
F
180°
Δr
W F Δr
φ 180
cos180 1
El trabajo realizado por una fuerza puede ser: positivo ( trabajo motor :favorece el movimiento del
cuerpo), nulo o negativo (trabajo resistente: se opone al movimiento del cuerpo)
Trabajo motor
Trabajo nulo
Trabajo resistente
16. 21/05/2015 16
2.1.Interpretación gráfica del trabajo
El trabajo realizado por una fuerza constante puede representarse gráficamente.
Representaremos la componente tangencial de la fuerza en el eje de ordenadas y el
desplazamiento en el eje de abscisas:
Ft
x0 x∆x = x – x0
W
t t 0W F Δx F (x x )
El área de la figura que determinan la gráfica
de la fuerza frente a la posición y el eje
abscisas, desde la posición inicial a la final,
coincide numéricamente con el valor del
trabajo
En este caso, W = Área del rectángulo rayado de la figura
17. 17
A partir de la gráfica siguiente, determinar el valor del trabajo realizado por
la fuerza F si el cuerpo sobre el que actúa la fuerza se desplaza desde la
posición x = 2 m hasta x = 9 m.
x0 = 2 m x = 9 m
El trabajo W que nos piden coincide
numéricamente con el área de la figura que
determinan la gráfica de la fuerza frente a la
posición y el eje abscisas, desde la posición
inicial a la final:
Actividad 1:
F (N)
x (m)
20
40
2 4 6 8 10
En este caso : W = Área del rectángulo rayado de la figura
W = base x altura = 7 x 40 = 280 J
21/05/2015
18. 21/05/2015 18
Actividad 2:
La gráfica de la figura representa el módulo de la fuerza que actúa sobre un cuerpo en función
de su posición. Calcular el trabajo de esta fuerza cuando el cuerpo se desplaza desde el punto
x0 = 0 cm hasta x= 12 cm
El área de la figura que determinan la gráfica de la fuerza frente
a la posición y el eje abscisas, desde la posición inicial a la final,
coincide numéricamente con el valor del trabajo
En este caso:
4 8 12
F (N)
2
4
6
8
0
W = Área del rectángulo
rayado de la figura
+
Área del triángulo
rayado de la figura
x (cm)
W = 2 0,12
5 0,12
2
0,54 J
También:
W = Área del trapecio
rayado de la figura
7 2
0,12
2
0,54 J
19. 21/05/2015 19
Actividad 3:
12 24 36 48
50
100
150
F (N)
x (m)
La gráfica de la figura representa el módulo de la fuerza que actúa sobre un
cuerpo en función de su posición. Calcular el trabajo de esta fuerza cuando
el cuerpo se desplaza desde el punto x0 = 27 m hasta x= 39 m
x 0 =27 m x = 39 m
W =
Área del trapecio
rayado de la figura
130 90
12
2
1320 J
También:
W = Área del triángulo
grande
–
Área del triángulo
pequeño
W =
39 130
2
27 90
2
W
1320 J
20. 20
2.2.Trabajo de la fuerza resultante
Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, el trabajo de la fuerza resultante es igual a la suma
algebraíca de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas
Para calcular el trabajo de la fuerza resultante WR
podemos proceder de dos formas:
▪ Calculamos el trabajo realizado por cada una de las fuerzas
que actúan sobre el cuerpo y finalmente, obtenemos la suma
de todos ellos.
▪ Calculamos primero la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y a continuación calculamos
el trabajo realizado por ella.
1F2F
3F
4F
WF1 = F1 · Δr · cos φ1
WR = WF1 + WF2 + WF3 + WF4
WF2 = F2 · Δr · cos φ2
WF3 = F3 · Δr · cos φ3
WF4 = F4 · Δr · cos φ4
R
WR = R · Δr · cosφ
21/05/2015
φ = ángulo ( R y Δr )
21. 21/05/2015 21
Datos: F = 60 N; m = 10 kg ; μ = 0,3 ; α = 30° ; ∆x = 2 m ; g = 9,8 m/s2 ;
Ejercicio 5 de la página 134
30°
p
N
rF
F
Δx
Dibujamos el mueble y las fuerzas que
actúan sobre él
Sus valores y el ángulo que forma con
el desplazamiento ∆x son:
▪ F = 60 N ; φ = ángulo (F, ∆x) = 30°
▪ p = m · g = 10 · 9,8 = 98 N ; φ = ángulo (p, ∆x) = 90°
▪ N = p – Fn = p – F · sen 30° = 98 – 60 · 0,5 = 68 N ; φ = ángulo (N, ∆x) = 90°
tF
nF
▪ Fr = μ · N = 0,3 · 68 = 20,4 N ; φ = ángulo(F, ∆x) = 180°
Para calcular el trabajo de cada una de estas fuerzas aplicamos su fórmula en cada caso:
FW F Δx cos30
pW p Δx cos90
▪
▪
▪
▪ NW N Δx cos90
Fr rW F Δx cos180
60 2 0,866 103,9 J
98 2 0 0 J
68 2 0 0 J
20,4 2 ( 1) 40,8 J
22. 21/05/2015 22
Para calcular el trabajo de la fuerza resultante R tenemos dos opciones:
a) El trabajo de la fuerza resultante WR es igual a la suma de los trabajos realizados por
todas las fuerzas que actúan sobre el mueble:
WR = WF + Wp + WN + WFr = 103,9 + 0 + 0 + (– 40,8) = 63,1 J
b) Calculamos primero el valor de la fuerza resultante y el ángulo que forma con el
desplazamiento y después el trabajo que realiza.
La fuerza resultante:
R = F t – Fr = F · cos 30° – Fr = 60 · cos 30° – 20,4 = 31,56 N
R
ya que p se anula con N + Fn.
La fuerza resultante forma un ángulo de 0° con el desplazamiento.
El trabajo de esta fuerza es:
RW R Δx cos0 31,56 2 1 63,1 J
Lógicamente el resultado
tiene que ser el mismo
tanto si seguimos un
procedimiento como el
otro.
Δx
23. 21/05/2015 23
2.3.Trabajo de una fuerza variable
Hasta ahora hemos calculado el trabajo de una fuerza constante:
F = k ·x
Representamos la fuerza (eje de ordenadas) frente a la deformación (eje de abscisas):
F (N)
x (m)x0 = 0
x
El trabajo W realizado por la fuerza variable de un
muelle cuando éste pasa de estar sin deformar x0= 0
a tener una deformación x coincide con el área
rayada de la figura.
W En este caso la figura es un triángulo de base x y
de altura F= k·x :
1
W Área del triángulo base altura
2
En estos casos, no podemos aplicar la expresión anterior para calcular el trabajo.
W F Δr cosφ
Sin embargo en muchas ocasiones el valor de la fuerza varía, como ocurre se trata de la fuerza
de un resorte, que según vimos en la ley de Hooke, varía con la deformación x:
¿Cómo calcular el trabajo en estos casos?
Utilizando la interpretación gráfica del trabajo, que vimos en la diapositiva 14.
1
x (K x)
2
21
K x
2
24. 21/05/2015 24
2.3.Trabajo de una fuerza variable (Cont.)
F (N)
x (m)x0 x
El trabajo W realizado por la fuerza variable de un
muelle cuando éste pasa de tener una deformación
x0 a otra x coincide con el área rayada de la figura
En este caso la figura es un trapecio, cuya área
la podemos obtener restando al área del
triángulo grande, el área del triángulo pequeño:
W
2 2
0
1 1
W Área del trapecio K x K x
2 2
Actividad 4: Disponemos de un resorte de 360 N/m de constante elástica. Calcular el trabajo
que debemos hacer para estirarlo 8 cm , desde su posición de equilibrio.
8 cm = 0,08 m
21
W K x
2
21
1200 0,08
2
3,84 J
2N
m
m
N m JDetalle de las unidades:
25. 21/05/2015 25
2.4.Energía cinética
Realizar un trabajo sobre un cuerpo es un modo de transferirle energía a ese cuerpo. Si el
trabajo realizado pone en movimiento al cuerpo, que estaba en reposo, decimos que el cuerpo
adquiere energía cinética.
De igual modo, un cuerpo con energía cinética puede realizar un trabajo sobre otros cuerpos.
Podemos pues concluir, que la energía cinética es la capacidad que posee un cuerpo para
realizar un trabajo por el hecho de estar en movimiento.
2
c
1
E m v
2
Energía cinética
del cuerpo
Masa del cuerpo
velocidad del cuerpo
al cuadrado
El trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza resultante se invierte en variar su
energía cinética. 2 2
R c 0
1 1
W ΔE m v m v
2 2
Teorema de la
energía cinética
La unidad de energía, cinética o de cualquier otro tipo, en el S.I. es el Julio (J).
final inicialR c c cW ΔE E E
26. 21/05/2015 26
Actividad 5: Un automóvil de 1200 kg circula a la velocidad de 54 km/h y acelera para efectuar
un adelantamiento hasta alcanzar la velocidad de 72 km/h. Determinar el trabajo
realizado por la fuerza resultante que actúa sobre el coche.
Datos: m = 1200 kg; v0 = 54 km/h = 15 m/s ; v = 72 km/h = 20 m/s ;
Aplicamos el teorema de la energía cinética para calcular el trabajo realizado por la fuerza
resultante que actúa sobre el coche:
R cW ΔE 2 2
0
1 1
m v m v
2 2
21
1200 20
2
21
1200 15
2
105 000 J
Actividad 6: Un coche de 1000 kg circula a la velocidad de 72 km/h y acelera para efectuar un
adelantamiento. Si el motor realiza un trabajo de 112 500 J, calcula la velocidad
final del automóvil en m/s y en km/h, suponiendo despreciable el rozamiento.
Datos: m = 1000 kg; v0 = 72 km/h = 20 m/s ; WR = 112 500 J ;
Si no hay rozamiento, la resultante es la fuerza que hace el motor y su trabajo es igual a la
variación de la energía cinética:
2 2
R 0
1 1
W m v m v
2 2
Despejamos la velocidad final y sustituimos:
2 R
0
2W
v v
m
2 2 112500
20
1000
m km
25 90
s h
27. 21/05/2015 27
2.5.Energía potencial
Cuando el trabajo de una fuerza se invierte en elevar un cuerpo hasta cierta altura, decimos
que el cuerpo adquiere energía potencial gravitatoria. Gracias a esta energía el cuerpo puede
realizar un trabajo sobre otros cuerpos; para ello, basta con dejarlo caer.
Llamamos energía potencial gravitatoria a la energía que poseen los cuerpos por el hecho
de hallarse a cierta altura sobre la superficie de la Tierra.
Su valor nos viene dado por la expresión: pE m g h
m
h
Ep = Energía potencial gravitatoria
m = Masa del cuerpo
g = Aceleración de la gravedad
h = Altura respecto del suelo
La unidad de energía, potencial gravitatoria o de cualquier otro tipo, en el S.I. es el Julio (J).
¿Qué energía potencial gravitatoria respecto de Tierra tiene un helicóptero de
600 kg de masa si se encuentra a 40 m de altura?
Datos: m = 600 kg; h = 40 m ; 2
m
g 9,8
s
Aplicamos la fórmula de la energía potencial gravitatoria y sustituimos :
pE m g h 600 9,8 40 235200 J
Actividad 7:
28. 21/05/2015 28
Del mismo modo que al elevar un cuerpo hasta cierta altura, el cuerpo adquiere energía
potencial gravitatoria, cuando estiramos o comprimimos un muelle, un cuerpo elástico, el
cuerpo adquiere energía potencial elástica, que coincide con el trabajo que hicimos para
deformarlo.
2
p
1
E K x
2
x
K = constante elástica característica del muelle
x = deformación del resorte = ℓ final – ℓ inicial
Gracias a esta energía el cuerpo puede realizar un trabajo sobre otros cuerpos; para ello,
basta con dejarlo en libertad.
Llamamos fuerza conservativa a la fuerza que es capaz de devolver íntegramente el trabajo
realizado por una fuerza exterior para vencerla. El peso ( la fuerza gravitatoria) , la fuerza
elástica y la fuerza eléctrica son fuerzas conservativas. Cada fuerza conservativa lleva
asociada una energía potencial:
▪ el peso lleva asociada la energía potencial gravitatoria:
▪ la fuerza elástica lleva asociada la energía potencial elástica:
2
p
1
E K x
2
pE m g h
▪ la fuerza eléctrica lleva asociada la energía potencial eléctrostática: p
Q q
E k
d
29. 21/05/2015 29
El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la variación de la energía potencial,
cambiada de signo:
F conservativa pW ΔE
Teorema de la
energía potencial
En contraposición a las fuerzas conservativas, están las fuerzas disipativas, que son
incapaces de devolver el trabajo realizado por una fuerza exterior para vencerlas. Este trabajo
se disipa en forma de calor.
Las fuerzas de rozamiento son fuerzas disipativas.
final inicialF conservativa p pW (E E )
inicial finalF conservativa p pW E E
Fr rW F Δx cos180 Fr rW F Δx
Las fuerzas de rozamiento siempre
realizan un trabajo resistente.
30. 21/05/2015 30
3.. Conservación y degradación de la energía
3.1. Conservación de la energía mecánica en presencia de fuerzas conservativas
Hemos visto anteriormente que al realizar trabajo sobre un cuerpo este adquiere alguna forma
de energía, como energía cinética o energía potencial, cuya suma es la energía mecánica:
m c pE E E Energía mecánica
Energía cinética
Suma de las energías potenciales
de todas las fuerzas conservativas
que actúan sobre el cuerpo
Si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas, la energía cinética
que pierda el cuerpo se transforma íntegramente en energía potencial y viceversa. Por tanto
se conserva la energía mecánica
m A m BE EEnergía mecánica
en el punto A
Energía mecánica en
cualquier otro punto B
c A p A c B p BE E E E
2 2
A A B B
1 1
m v m g h m v m g h
2 2
31. 21/05/2015 31
Actividad 8: Un objeto de 200 g cae al suelo desde 90 cm de altura. Calcula: a) su energía
mecánica en el instante inicial b) su velocidad a una altura de 45 cm del suelo
c) su velocidad al llegar al suelo
Datos: m = 200 g = 0,2 kg; hA = 90 cm = 0,9 m ; hB = 45 cm = 0,45 m; g = 9,8 m/s2
Consideramos despreciable el rozamiento con el aire.
m AE 0 m g h 0,2 9,8 0,9 1,76 J
b) Como sólo actúa el peso (fuerza conservativa) la energía mecánica permanece constante:
c A p A c B p BE E E E
2
A B B
1
m g h m v m g h
2
a) La energía cinética en el instante inicial es cero, ya que se deja caer (v0 = 0) y por tanto la
energía mecánica en ese instante es igual a la energía potencial gravitatoria:
Despejamos la velocidad y sustituimos:
1
B A Bv 2 g (h h ) 2 9,8 (0,9 0,45) 2,97 m s
c) Al llegar al suelo su energía potencial es nula:
c A p A c C p CE E E E 2
A C
1
m g h m v
2
Despejamos la velocidad y sustituimos:
1
C Av 2 g h 2 9,8 0,9 4,2 m s
32. 21/05/2015 32
3.2. Variación de la energía mecánica en presencia de fuerzas no conservativas
Si durante el movimiento del cuerpo intervienen fuerzas no conservativas (disipativas), como
la fuerza de rozamiento, la energía mecánica ya no se mantiene constante, sino que varía
(disminuye) en una cantidad igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.
Esto es:
No conservativasF mW ΔE
No conservativasF m B m AW E E
Energía mecánica final
Energía
mecánica inicial
No conservativas B B A AF c p c pW (E E ) (E E )
r B B A AF c p c pW (E E ) (E E )
Trabajo de la fuerza de
rozamiento
33. 21/05/2015 33
Ejercicio 33 de la página 148: Datos: m = 5 Kg; h = 50 m; μ = 0,05 ; g = 9,8 m/s2 ;
45
°
m = 5 kg
A
B
μ = 0,05
h A = 50 m
h B = 0 m
∆r
a) Como existe rozamiento, la variación de energía
mecánica que experimenta el cuerpo es (página 138):
WF r = ∆Em = Em B – Em A
Para calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, tenemos que
calcular la distancia Δr que sobre el plano recorre el cuerpo. Para ello vemos en la
figura que como hB = 0 m :
Ah
sen 45
Δr
Ah 50
Δr 70,7 m
sen 45 sen 45
El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es: WF r = – μ · m · g · cos 45° · ∆r
Sustituyendo en la ecuación inicial (1):
2
B A
1
μ m g cos45 Δr m v 0 0 m g h
2
Despejamos la velocidad final:
B Av 2 g (h μ cos 45 Δr)
Bv 2 9,8 (50 0,05 cos 45 70,7) Sustituimos:
r B B A AF c p c pW (E E ) (E E ) (1)
1
30,5 m s
(Ver detalle)
34. 21/05/2015 34
Ejercicio 33 de la página 148 (Cont.):
b) La energía perdida a causa del rozamiento es igual al trabajo realizado por la
fuerza de rozamiento:
WF r = – μ · m · g · cos 45° · ∆r = – 0,05 · 5 · 9,8 · cos 45° · 70,7 = – 122,5 J
45
°
A
B
h A = 50 m
h B = 0 m
∆r
rF
N
p
np
tp
N= pn = m · g · cos 45°
Fr = μ · N
Detalle de la fuerza y el trabajo de rozamiento:
Vemos en la figura que:
Por definición:
Sustituyendo N:
Fr = μ · m · g · cos 45°
El trabajo realizado por esta fuerza es:
WF r = F r · ∆r · cos 180°
WF r = – μ · m · g · cos 45° · ∆r
VOLVER
35. 21/05/2015 35
Los intercambios de energía entre los cuerpos duran cierto tiempo.
Un operario con un pico y una pala abre una zanja en una calle y tarda 40 horas. La misma
zanja se hace en 45 minutos con la ayuda de una pala excavadora.
El trabajo realizado W ha sido el mismo, abrir la zanja, pero hay una diferencia entre ambos
trabajos, el tiempo empleado : el hombre emplea 40 horas ( más de una semana de trabajo) y
la excavadora sólo 45 minutos.
La magnitud física que relaciona el trabajo realizado (la energía transferida) con el tiempo
que se ha tardado es la potencia.
La potencia se define como el trabajo realizado por un sistema en la unidad de tiempo,
lo que podemos expresar matemáticamente así:
W
P
t
La unidad de potencia en el S.I. es el Watio (W) : Un Watio es la potencia de un sistema que
realiza el trabajo de 1 Julio en el tiempo de 1 segundo.
Otras unidades de potencia:
▪ el kiloWatio (kW), cuya equivalencia es: 1 kW = 1000 W
▪ el Caballo de vapor (CV), cuya equivalencia es: 1 CV = 735 W
4.. Potencia
36. 21/05/2015 36
Actividad 9: Un motor realiza un trabajo de 1 190 700 J en un tiempo de 2 minutos. Calcula
su potencia en Watios, en kiloWatios y en Caballos de vapor.
Datos : W = 1 190 700 J ; t = 2 minutos = 120 s
Aplicamos la expresión que nos permite calcular la potencia:
W
P
t
99225
Como 1 kW son 1000 W:
1190700 J
120 s
W
99225 W
1 kW
1000 W
99225 1
99,225 kW
1000
Como 1CV son 735 W:
99225 W
1 CV
735 W
99225 1
135 CV
735
37. 21/05/2015 37
Actividad 10: Un motor-bomba sube 25 000 L de agua a 30 m de altura en 10 horas. Calcula
su potencia en kW.
Datos : m = 25 000 L = 30 000 kg ;h = 30 m ; t =10 h = 36 000 s
El trabajo que hace el motor, es igual a la energía potencial gravitatoria que adquiere el agua
cuando se encuentra a 40 m de altura:
W
P
t
Como 1 kW son 1000 W:
208 W
1 kW
1000 W
0,208 kW
Ep
t
m g h
t
25000 10 30
36000
208 W
38. 21/05/2015 38
4.1. Potencia a velocidad constante
La potencia mecánica de un móvil que se desplaza con MRU se puede relacionar con su
velocidad y con la fuerza aplicada:
W
P
t
F Δx
t
F v t
t
F v
Un automóvil de 750 kg necesita una potencia de 20 CV para mantener una
velocidad constante de 60 km/h por una carretera horizontal. Calcular:
Actividad 11:
a) La fuerza de rozamiento
Como se desplaza a velocidad constante, el motor “hace
una fuerza” igual a la de rozamiento Fr.
km m
v 60 16,7
h s
P 20 CV
735 W
1 CV
14700 W
Por tanto: P F v rP F v r
P
F
v
14700
16,7
880 N
b) La potencia que necesita el coche para subir, con la misma velocidad, una pendiente que
forma un ángulo de 6° con la horizontal , suponiendo que la fuerza de rozamiento vale lo mismo
que en el tramo horizontal.
6°
rF
rF
En este caso, además de la fuerza de rozamiento Fr, el
motor debe vencer la componente tangencial del peso, pt :
tp
tp m g sen α 750 10 sen 6 784 N
Ya podemos calcular la potencia : P F v (880 784) 16,7 27789 W
1 CV
27789 W
735 W
37,8 CV
F
F
39. 39
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
Supongamos que un sistema de
partículas las cuales tienen cada una
distintas cantidades de movimiento.
La cantidad de movimiento total esta
dada por la suma de las cantidad de
movimiento de las partículas.
44. 44
CHOQUES
Llamamos colisión o choques a la interacción de dos (o más) cuerpos
mediante una fuerza impulsiva. Si m1 y m2 son las masas de los cuerpos,
entonces la conservación de la cantidad de movimiento establece que:
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
Donde v1i, v2i, v1f y v2f son las velocidades iniciales y finales de las masas
m1 y m2.
m1 m2
F12
F21
v1f
v1i
v2fv2i
antes
después
45. 45
Consideraremos colisiones en una dimensión.
Las colisiones se clasifican en:
Elásticas: cuando se conserva la energía cinética total, es decir:
Inelásticas: cuando parte de la energía cinética total se transforma en
energía no recuperable (calor, deformación, sonido, etc.).
Perfectamente inelásticas: cuando los objetos permanecen juntos
después de la colisión.
v1f = v2f
2
222
12
112
12
222
12
112
1
ffii vmvmvmvm
Clasificación de las colisiones
46. 46
Para colisiones perfectamente
inelásticas se cumple lo siguiente: 21
2211
21
mm
vmvm
vvv ii
ff
Si m2 está inicialmente en reposo,
entonces:
21
11
mm
vm
v i
Si m1» m2, entonces v v1i.
Si m1« m2, entonces v 0.
Si v2i = v1i , entonces:
Si en este caso m1= m2, entonces: v = 0
Colisiones perfectamente
inelásticas
m1 m2
v1i v2i
m1+m2
vf
47. 47
En colisiones elásticas se conserva el momento y la energía total. Entonces se
tiene que:
y
2
222
12
112
12
222
12
112
1
ffii vmvmvmvm
Es fácil mostrar, a partir de lo anterior, que:
fifi vvvv 2211
m1 m2
v1i v2i
v2fv1f
Antes de la colisión Después de la colisión
Choques elásticos
48. 48
Choques en dos dimensiones
Para el caso de dos dimensiones la conservación del momento se expresa para
cada componente como:
m1v1ix + m2v2ix = m1v1fx + m2v2fx
m1v1iy + m2v2iy = m1v1fy + m2v2fy
m1
m2
v1i
v2f
v1f
Antes de la colisión Después de la colisión
v2i
49. 49
Consideraremos el caso en que m2 está en reposo inicialmente. Después del
choque m1 se mueve a un ángulo q con la horizontal y m2 se mueve a un
ángulo f con la horizontal. Las ecuaciones anteriores quedan como:
m1v1i = m1v1fcos q + m2v2fcos f
0 = m1v1f sen q m2v2fsen f
m1
m2
v1i
v2f
v1f
Antes de la colisión
Después de la colisión
f
q
La ley de la conservación de la energía suministra otra ecuación. Sin
embargo, dadas las masas y la velocidad inicial deberá darse alguna de las
cantidades restantes v1f,v2f, f, q.
2
222
12
112
12
112
1
ffi vmvmvm
50. 50
Ejemplo
Un auto de 1500 kg a 25 m/s hacia el este choca con una camioneta de 2500
kg que se mueve hacia el norte a 20 m/s en un cruce. Encuentre la magnitud y
dirección de la velocidad de los autos después del choque, suponga un choque
perfectamente inelástico.
25 m/s
20 m/s
vf Momento en x:
Antes Después
(1500 kg)(25 m/s) = (4000 kg) vf cos(q)
Momento en y:
Antes Después
(2500 kg)(20 m/s) = (4000 kg) vf sen(q)
Resolviendo
q = 53.1° vf = 15.6 m/s
q
51. 51
Un automóvil de 1800 kg está detenido y es golpeado por atrás
por otro automóvil de 900 kg y los dos quedan enganchados. Si
el auto pequeño se movía a 20 m/s ¿cuál es la velocidad final de
los dos?
pi = m1v1i = (900)(20) = 18000 kg m/s
pf = m1vf + m2vf = (m1 + m2) vf = 2700 vf
vf = 18000/2700 = 6.67 m/s
52. 52
q
35
v1i
v1f
v2fy
x
En un juego de billar un jugador desea meter la bola objetivo
en la buchaca de la esquina.
2
222
12
112
12
112
1
ffi vmvmvm
Conservación de la energía
2
2
2
1
2
1 ffi vvv
ffi 211 vvv
Conservación del momento (bidimensional)
Efectuando el producto punto
q
35cos20
2
21
21
2
2
2
12121
2
1
ff
ffffffffi
vv
vvv vvvvvv
q = 55°
53. 53
1.- Una pelota de 250 g con una velocidad de
10 m/s es golpeada por un jugador y sale en
la misma dirección pero en sentido contrario
con una velocidad de 15 m/s. Sabiendo que
la duración del golpe es de 0.01 s; hallar la
fuerza media ejercida por el jugador sobre la
pelota.
2.- Un cañón de 250 Kg dispara un proyectil de
1 Kg con una velocidad inicial de 500 m/s, a)
calcular la velocidad de retroceso del cañón;
b) si el retroceso se efectúa contra una
fuerza constante de 2000 N, hallar el tiempo
que tardará en detenerse.
Ejercicios
54. 21/05/2015 54
5.. Energía potencial electrostática
Las fuerzas eléctricas son conservativas, como el peso o las fuerzas elásticas. Esto significa que
el trabajo que hacemos para vencerlas, no se pierde, sino que queda almacenado en forma de
energía potencial electrostática.
Energía potencial electrostática es la energía que posee una carga eléctrica debido a la
posición que ocupa en el espacio cuando actúa sobre ella un campo eléctrico.
Si una carga q está sometida a la acción del campo eléctrico creado por otra carga Q , la
energía potencial electrostática que almacenan nos viene dada por la expresión:
p
Q q
E K
d
Ep = Energía potencial electrostática
K = Constante eléctrica
q = carga sometida a la acción de la carga Q
d = distancia entre las cargas
q Q
d
La unidad de energía potencial electrostática o de cualquier otro tipo, en el S.I. es el Julio (J).
2
9
2
N m
9 10
C
Actividad 12: Calcular la energía potencial electrostática que adquiere una carga q de +4 μC al situarla
en el vacío a una distancia de 20 cm de otra carga Q = +5 μ C.
Datos :q = + 4 ·10–6 C; Q = + 5 · 10–6 C; d = 20 cm = 0,20 m;
2
9
2
N m
K 9 10
C
Aplicamos la fórmula anterior:
p
Q q
E K
d
6 6
9 5 10 4 10
9 10
0,20
0,9 J
¿Cuánto valdría la energía potencial electrostática anterior si la carga Q = –5 μ C ?.
p
Q q
E K
d
6 6
9 ( 5 10 ) 4 10
9 10
0,20
0,9 J
55. 21/05/2015 55
5.1. Potencial eléctrico
Potencial eléctrico, V , en un punto del espacio es la energía potencial electrostática que
tendría la unidad de carga positiva situada en dicho punto.
Su valor se obtiene al dividir la energía potencial electrostática de una carga q entre el valor de
dicha carga:
Unidad en el S.I.
Q
V K
d
J
Voltio (V)
C
pE
V
q
Q q
K
d
q
Q
K
r
Por tanto , el potencial creado por una carga Q en un punto P situado a una distancia d de ella,
se calcula aplicando la ecuación:
Q
d
P
Al calcular el potencial eléctrico es obligatorio poner el signo de la carga, con lo que:
• Una carga positiva crea en cualquier punto un potencial eléctrico POSITIVO
• Una carga negativa crea en cualquier punto un potencial eléctrico NEGATIVO
Actividad 13: Calcula el potencial eléctrico creado por una carga Q = +6 μ C, situada en el vacío, en un
punto que dista de ella 80 cm.
Datos : Q = + 6 · 10–6 C; d = 80 cm = 0,80 m;
2
9
2
N m
K 9 10
C
Aplicamos la fórmula anterior: Q
V K
d
6
9 6 10
9 10
0,80
4
6,75 10 V
56. 21/05/2015 56
Q1
Q2
d1
• Potencial eléctrico V en un punto creado por varias cargas
1
1
1
Q
V K
d
+
–
Cuando existen varias cargas, el potencial en un punto es la suma algebraica del potencial
que cada carga crea en ese punto:
d2
P
La carga Q1 crea en el punto P un potencial eléctrico V1:
2
2
2
Q
V K
d
La carga Q2 crea en el punto P un potencial eléctrico V2:
El potencial eléctrico V en el punto P será la suma algebraica de los
potenciales V1 y V2:
1 2
V V V 1
1
Q
K
d
2
2
Q
K
d
Actividad 14: Calcula el potencial eléctrico en el punto P de la figura.
P
2 4 X (cm)
Y (cm)
+
–
1
3
Q2 =+ 4 μC
Q1 = – 4 μC
Datos :Q1 = – 4 ·10–6 C; Q2 = + 4 · 10–6 C;
2
9
2
N m
K 9 10
C
Calculamos el potencial en P que crea la carga Q1:
1
1
1
Q
V K
d
6
9 4 10
9 10
0,05
5
7,2 10 V
Calculamos el potencial en P que crea la carga Q2:
2
2
2
Q
V K
d
6
9 4 10
9 10
0,04
5
9 10 V
El potencial en P vale:
1 2V V V 5 5
7,2 10 9 10 5
1,8 10 V
57. 21/05/2015 57
El trabajo necesario para desplazar una carga eléctrica Q entre dos puntos de un campo
eléctrico es proporcional a dicha carga y a la diferencia de potencial entre ambos puntos.
La unidad de diferencia de potencial es la misma que de potencial eléctrico, el voltio (V).
5.2. Diferencia de potencial
La diferencia de potencial VB–VA es el trabajo que debemos realizar para desplazar la unidad
de carga positiva a velocidad constante desde el punto A al punto B:
A B
B A
W
V V
Q
Entre dos puntos existe una diferencia de potencial de 1 voltio si para trasladar de uno a
otro una carga de 1 culombio a velocidad constante debe realizarse un trabajo de 1 julio.
De la definición de arriba, podemos deducir una expresión para calcular el trabajo eléctrico,
que debe hacer una fuerza exterior para vencer la fuerza eléctrica:
A B B AW Q (V V )
El trabajo realizado por la fuerza eléctrica tiene el mismo valor pero signo opuesto.
Actividad 15:El potencial eléctrico en los puntos A y B vale, respectivamente, – 300 V y 200 V.
¿Qué trabajo debemos realizar para trasladar una carga de 0,05 C desde el punto A al B?.
Aplicamos la expresión anterior:
A B B AW Q (V V ) 0,05 [200 ( 300)] 25 J
58. 21/05/2015 58
Actividad 16:
Datos:Q = +4 · 10–8 C; r = 5 cm = 0,05 m; K = 9·109 N·m2·C–2 ; q = – 1,5 · 10–9 C
a) Aplicamos la expresión del potencial (como es una magnitud escalar, es necesario poner
la carga con su signo y no el valor absoluto de la carga, como hemos hecho hasta ahora para
calcular la fuerza y la intensidad de campo).
Q
V K
r
8
9 4 10
9 10
0,05
7200 V
b) Como conocemos ya el potencial en ese punto, la energía potencial eléctrica la
obtenemos multiplicando la carga q que colocamos por el potencial eléctrico del punto:
Ep = q · V = – 1,5 · 10–9 · 7200 = – 1,1 · 10–5 J
pE
V
q
Despejamos:
Tenemos una carga de 40 nC, situada en el vacío. a) Hallar el potencial
eléctrico que crea en un punto situado a 5 cm de ella, b) ¿cuánto vale la
energía potencial electrostática que adquiriría una carga de – 1,5 nC situada en
ese punto?
