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1. CÁLCULO II
Unidad 2: Derivación de funciones de más de una
variable independiente
Amelia Mérida P.
Bibliografía principal
Haeussler, Ernest F. JR; Paul, Richard S.; Wood,
Richard J. (2015): Matemáticas para administración
y economía. Editorial Pearson, México. Capítulo 17.

2. Amelia Mérida P. 2
Contenido
2.1 Diferencial total
2.2 Derivada total

3. 2.1 Diferencial total
Sea z= f(x,y) una función para la cual las primeras derivadas
parciales, fx y fy, existen y las diferenciales de “x” y “y” son
𝒅𝒙 = ∆𝒙 𝒚 𝒅𝒚 = ∆𝒚, entonces la diferencial total de z es:
𝒅𝒛 =
𝝏𝒛
𝝏𝒙
. 𝒅𝒙 +
𝝏𝒛
𝝏𝒚
. 𝒅𝒚
La diferencial total permite tener aproximaciones al cambio
que se puede presentar en la función ante cambios en todas sus
variables.
Por tanto, la suma de las diferenciales parciales de una función
es su diferencial total.
𝝏𝒛
𝝏𝒙
. 𝒅𝒙 ,
𝝏𝒛
𝝏𝒚
. 𝒅𝒚: reciben el nombre de diferenciales parciales
de “z” con respecto a “x” y “y”, respectivamente.

4. 𝒅𝒘 =
𝝏𝒇
𝝏𝒙𝟏
. 𝒅𝒙𝟏 +
𝝏𝒇
𝝏𝒙𝟐
. 𝒅𝒙𝟐 +
𝝏𝒇
𝝏𝒙𝟑
. 𝒅𝒙𝟑 + ⋯ +
𝝏𝒇
𝝏𝒙𝒏
. 𝒅𝒙𝒏
2.1 Diferencial total
Continuación….
Generalizando:
La diferencial total de una función 𝒘 = 𝒇 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, , 𝒙𝟑, … . , 𝒙𝒏 es la
suma de sus diferenciales parciales:
𝒅𝒘 =
𝒊=𝟏
𝒏
𝝏𝒇
𝝏𝒙𝒊
𝝏𝒙𝒊

5. Ejemplo 1
1. Si 𝒛 = 𝟒𝒙𝟑
+ 𝟓𝒙𝒚𝟐
-2𝒚𝟑
, calcular la diferencial de z cuando
x=1, y=2, dx=-0,2, dy=0,3. Luego, interpretar el resultado.
Solución
𝒅𝒛 = 𝟏𝟐 𝟏 𝟐
+ 𝟓 𝟐 𝟐
(−𝟎, 𝟐) + 𝟏𝟎 𝟏 𝟐 − 𝟔(𝟐)𝟐
(𝟎, 𝟑)
𝒅𝒛 =
𝝏𝒛
𝝏𝒙
. 𝒅𝒙 +
𝝏𝒛
𝝏𝒚
. 𝒅𝒚
𝒅𝒛 = 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒚𝟐 𝒅𝒙 + 𝟏𝟎𝒙𝒚 − 𝟔𝒚𝟐 𝒅𝒚
𝒅𝒛 = 𝟑𝟐 −𝟎, 𝟐 + −𝟒 𝟎, 𝟑 = −𝟕, 𝟔
Interpretación:
Si dz=-7,6 significa que: “z” disminuye 7,6 unidades debido a que “x”
disminuyó de 1 a 0,8 unidades, y “y” aumentó de 2 a 2,3.

6. Ejemplo 2
2. Si 𝒛 = (𝒙 + 𝒚) 𝒙 − 𝒚, calcular la diferencial de z cuando x=10,
y=6, dx=0,5, dy=-0,2. Luego, interpretar el resultado.
𝒅𝒛 =
𝝏𝒛
𝝏𝒙
. 𝒅𝒙 +
𝝏𝒛
𝝏𝒚
. 𝒅𝒚, (1)
Solución:
𝒛 = (𝒙 + 𝒚)(𝒙 − 𝒚)
𝟏
𝟐, derivar como producto con respecto a “x”
• 𝝏𝒛
𝝏𝒙
= (𝒙 − 𝒚)
𝟏
𝟐+ 𝒙 + 𝒚 .
𝟏
𝟐
(𝒙 − 𝒚)−
𝟏
𝟐 = (𝒙 − 𝒚)
𝟏
𝟐+
𝒙+𝒚
𝟐(𝒙−𝒚)
𝟏
𝟐
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= (𝟏𝟎 − 𝟔)
𝟏
𝟐+
𝟏𝟎+𝟔
𝟐(𝟏𝟎−𝟔)
𝟏
𝟐
= 𝟐 +
𝟏𝟔
𝟒
= 6, (2)

7. Ejemplo 2
Interpretación:
Si dz=3,4 significa que: “z” aumenta 3,4 unidades debido a que “x” aumentó de 10
a 10,5 unidades, y “y” disminuyó de 6 a 5,8 unidades.
Si dz=3,4 cuando x=10, y=6, dx=0,5, dy=-0,2
• 𝝏𝒛
𝝏𝒚
= (𝒙 − 𝒚)
𝟏
𝟐+ 𝒙 + 𝒚 .
𝟏
𝟐
(𝒙 − 𝒚)−
𝟏
𝟐(−𝟏) = 𝒙 − 𝒚
𝟏
𝟐 −
𝒙+𝒚
𝟐(𝒙−𝒚)
𝟏
𝟐
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= (𝟏𝟎 − 𝟔)
𝟏
𝟐−
𝟏𝟎+𝟔
𝟐(𝟏𝟎−𝟔)
𝟏
𝟐
= 𝟐 −
𝟏𝟔
𝟒
= -2, (3)
Sustituir (2) y (3) en (1): dz=6(0,5)+(-2)(-0,2)=3,4
𝒛 = (𝒙 + 𝒚)(𝒙 − 𝒚)
𝟏
𝟐, derivar como producto con respecto a ”y”
𝒅𝒛 =
𝝏𝒛
𝝏𝒙
. 𝒅𝒙 +
𝝏𝒛
𝝏𝒚
. 𝒅𝒚, (1)
Continuación ….

8. Ejemplo 3
3. Un editor estima que si se gastan “x” miles de dólares en desarrollo y “y” miles en
promoción, se venderán aproximadamente 𝑸 = 𝟐𝟎𝒙
𝟑
𝟐𝒚 ejemplares de un libro. Los
planes actuales necesitan el gasto de 36000 dólares en desarrollo y 25000 en
promoción. Use la diferencial total para estimar el cambio de ventas que resultará si
la cantidad gastada en desarrollo se aumenta en 500 dólares y la cantidad gastada en
promoción disminuye en 500 dólares.
Solución
𝑸 = 𝟐𝟎𝒙
𝟑
𝟐𝒚
Datos
x=36
y=25
dx=0,5
dy=-0,5
𝒅𝑸 = 𝑸𝒙. 𝒅𝒙 + 𝑸𝒚. 𝒅𝒚, (𝟏)
• 𝑸𝒚 = 𝟐𝟎. 𝒙
𝟑
𝟐=20. 𝟑𝟔
𝟑
𝟐 = 𝟒𝟑𝟐𝟎 , (𝟑)
• 𝑸𝒙 = 𝟐𝟎.
𝟑
𝟐
𝒙
𝟏
𝟐𝒚 = 𝟑𝟎𝒙
𝟏
𝟐𝒚 = 𝟑𝟎. 𝟑𝟔
𝟏
𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟒𝟓𝟎𝟎, (𝟐)
dQ=4500(0,5)+4320(-0,5)=90
Respuesta: El número de ejemplares vendidos aumentará en 90 unidades al aumentar
el gasto en desarrollo en 500 dólares, de 36000 a 36500 dólares, y disminuir en 500
dólares el gasto en promoción, de 25000 a 24500 dólares.
Sustituir (2) y (3) en (1):

9. Si w=f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas
𝝏𝒘
𝝏𝒙
,
𝝏𝒘
𝝏𝒚
,
𝝏𝒘
𝝏𝒛
en
alguna región y además, x, y, z son funciones de otra variable t,
entonces:
2.2 Derivada total-Regla de la cadena
(funciones compuestas)
𝒅𝒘
𝒅𝒕
=
𝝏𝒘
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒘
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+
𝝏𝒘
𝝏𝒛
.
𝒅𝒛
𝒅𝒕
y se dice que
𝒅𝒘
𝒅𝒕
es la derivada total de w con respecto a t. De modo que
𝒅𝒘
𝒅𝒕
representa la tasa de cambio ( o razón de cambio o ritmo de cambio)
de w a medida que t cambia, y de hecho, es función de t solamente.
Generalmente a x, y, z se las conoce como variables intermedias.

10. De manera semejante, si w=f(x,y,z) donde tanto x, y, z son
funciones diferenciables de r y s, entonces:
2.2 Derivada total-Regla de la cadena
(funciones compuestas)
u
• 𝝏𝒘
𝝏𝒓
=
𝝏𝒘
𝝏𝒙
.
𝝏𝒙
𝝏𝒓
+
𝝏𝒘
𝝏𝒚
.
𝝏𝒚
𝝏𝒓
+
𝝏𝒘
𝝏𝒛
.
𝝏𝒛
𝝏𝒓
Continuación ….
• 𝝏𝒘
𝝏𝒔
=
𝝏𝒘
𝝏𝒙
.
𝝏𝒙
𝝏𝒔
+
𝝏𝒘
𝝏𝒚
.
𝝏𝒚
𝝏𝒔
+
𝝏𝒘
𝝏𝒛
.
𝝏𝒛
𝝏𝒔
En general, si w es una función diferenciable de x1, x2, x3, …..,xn y
las xi son funciones diferenciables de un segundo conjunto de
variables u1, u2, u3, …,um entonces la derivada parcial de w con
respecto a una variable del segundo conjunto, por ejemplo, uj,
está dada por:
𝝏𝒘
𝝏𝒖𝒋
=
𝝏𝒘
𝝏𝒙𝟏
.
𝝏𝒙𝟏
𝝏𝒖𝒋
+
𝝏𝒘
𝝏𝒙𝟐
.
𝝏𝒙𝟐
𝝏𝒖𝒋
+ ⋯ +
𝝏𝒘
𝝏𝒙𝒏
.
𝝏𝒙𝒏
𝝏𝒖𝒋

11. Ejemplo 1
1. Si 𝒛 = 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 , donde x=3t+5, y=t2+2t+1. Calcular
𝒅𝒛
𝒅𝒕
cuando t=1.
Luego, interpretar el resultado.
Solución 𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
, (1)
𝒛 = (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)
𝟏
𝟐
• 𝝏𝒛
𝝏𝒙
=
𝟏
𝟐
. 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 −
𝟏
𝟐(2) , sustituir “x” y “y”
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= [𝟐(𝟑𝒕 + 𝟓) +3(t2+2t+1)]−
𝟏
𝟐 , sustituir t=1
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= [ 𝟐(𝟑(𝟏) + 𝟓) + 𝟑((𝟏)𝟐 + 𝟐(𝟏) + 𝟏 ]−
𝟏
𝟐
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= [ 𝟐(𝟖) + 𝟑(𝟒 ]−
𝟏
𝟐 =0,19 ; (2)

12. Ejemplo 1
1. Si 𝒛 = 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 , donde x=3t+5, y=t2+2t+1. Calcular
𝒅𝒛
𝒅𝒕
cuando t=1
Solución
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒛 = (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)
𝟏
𝟐
• 𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝟑; (𝟑)
𝝏𝒛
𝝏𝒚
=
𝟑
𝟐
[𝟐(𝟑𝒕 + 𝟓) +3(t2+2t+1)]−
𝟏
𝟐 , sustituir t=1
𝝏𝒛
𝝏𝒚
=
𝟑
𝟐
[ 𝟐(𝟑(𝟏) + 𝟓) + 𝟑((𝟏)𝟐 + 𝟐(𝟏) + 𝟏 ]−
𝟏
𝟐
𝝏𝒛
𝝏𝒚
=
𝟑
𝟐
[ 𝟐(𝟖) + 𝟑(𝟒 ]−
𝟏
𝟐 =0,28 ; (4)
• 𝝏𝒛
𝝏𝒚
=
𝟏
𝟐
. 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 −
𝟏
𝟐(3) , sustituir “x” y “y”
Continuación …..

13. Ejemplo 1
1. Si 𝒛 = 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 , donde x=3t+5, y=t2+2t+1. Calcular
𝒅𝒛
𝒅𝒕
cuando t=1
Solución
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
; (1)
𝒛 = (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)
𝟏
𝟐
• 𝒅𝒚
𝒅𝒕
=2t+2, sustituir t=1
𝒅𝒚
𝒅𝒕
=2(1)+2,=4 ; (5)
Para obtener el valor de
𝒅𝒛
𝒅𝒕
sustituir (2), (3), (4) y (5) en (1):
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=(0,19)(3)+(0,28)(4)= 1,69
Continuación …..
Interpretación:
𝒅𝒛
𝒅𝒕
es la tasa de cambio de z con respecto a t. Por tanto, si
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟏, 𝟔𝟗 quiere decir que: z aumenta 1,69 unidades cuando t aumenta una
unidad, de 1 a 2 unidades.

14. Ejemplo 2
1. Si z= x3-xy+y3, donde x=rs , y=r2+s2 . Calcular: a)
𝝏𝒛
𝝏𝒓
, b)
𝝏𝒛
𝝏𝒔
Solución
a)
𝝏𝒛
𝝏𝒓
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
.
𝝏𝒙
𝝏𝒓
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
.
𝝏𝒚
𝝏𝒓
• 𝝏𝒛
𝝏𝒓
= 𝟑𝒙𝟐 − 𝒚 𝒔 + (−𝒙 + 𝟑𝒚𝟐). (𝟐𝒓), sustituir “x” y “y”
𝝏𝒛
𝝏𝒓
= 𝟑(𝒓𝒔)𝟐 − (𝒓𝟐 + 𝒔𝟐) 𝒔 + (−𝒓𝒔 + 𝟑 𝒓𝟐 + 𝒔𝟐 𝟐)(𝟐𝒓)
𝝏𝒛
𝝏𝒓
= 𝟑𝒓𝟐𝒔𝟐 − 𝒓𝟐 − 𝒔𝟐 𝒔 + (−𝒓𝒔 + 𝟑(𝒓𝟒 + 𝟐𝒓𝟐𝒔𝟐 + 𝒔𝟒)(𝟐𝒓)
𝝏𝒛
𝝏𝒓
= 𝟑𝒓𝟐𝒔𝟑 − 𝒓𝟐𝒔 − 𝒔𝟑 + (−𝒓𝒔 + 𝟑𝒓𝟒 + 𝟔𝒓𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔𝟒)(𝟐𝒓)
𝝏𝒛
𝝏𝒓
= 𝟑𝒓𝟐𝒔𝟑 − 𝟑𝒓𝟐𝒔 − 𝒔𝟑 +6r5+12r3s2 +6rs4
𝝏𝒛
𝝏𝒓
= 𝟑𝒓𝟐𝒔𝟑 − 𝒓𝟐𝒔 − 𝒔𝟑 − 𝟐𝒓𝟐𝒔 + 𝟔𝒓𝟓 + 𝟏𝟐𝒓𝟑𝒔𝟐 + 𝟔𝒓𝒔𝟒)

15. Ejemplo 2
1. Si z= x3-xy+y3, donde x=rs , y=r2+s2 . Calcular: a)
𝝏𝒛
𝝏𝒓
, b)
𝝏𝒛
𝝏𝒔
Solución
b)
𝝏𝒛
𝝏𝒔
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
.
𝝏𝒙
𝝏𝒔
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
.
𝝏𝒚
𝝏𝒔
𝝏𝒛
𝝏𝒔
= 𝟑(𝒓𝒔)𝟐 − (𝒓𝟐 + 𝒔𝟐 )𝒓 + (−𝒓𝒔 + 𝟑 𝒓𝟐 + 𝒔𝟐 𝟐). (𝟐𝒔)
• 𝝏𝒛
𝝏𝒔
= 𝟑𝒙𝟐 − 𝒚 𝒓 + (−𝒙 + 𝟑𝒚𝟐). (𝟐𝒔), sustituir x, y
𝝏𝒛
𝝏𝒔
= 𝟑𝒓𝟐𝒔𝟐 − 𝒓𝟐 − 𝒔𝟐 𝒓 + (−𝒓𝒔 + 𝟑 𝒓𝟒 + 𝟐𝒓𝟐𝒔𝟐 + 𝒔𝟒 ). (𝟐𝒔)
𝝏𝒛
𝝏𝒔
=3r3s2-r3-rs2 +(-rs+3r4+6r2s2+3s4)(2s)
𝝏𝒛
𝝏𝒔
=3r3s2-r3-3rs2+6r4s+12r2s3+6s5
𝝏𝒛
𝝏𝒔
=3r3s2-r3-rs2-2rs2+6r4s+12r2s3+6s5
Continuación …..

16. Ejemplo 2
1. Si z= x3-xy+y3, donde x=rs , y=r2+s2 . Calcular: a)
𝝏𝒛
𝝏𝒓
, b)
𝝏𝒛
𝝏𝒔
Solución
• 𝝏𝒛
𝝏𝒓
=3r2s3-3r2s-s3+3(r2+s2)2(2r)
OTRAALTERNATIVA DE CÁLCULO: POR SUSTITUCIÓN DIRECTA (O
SUSTITUCIÓN PREVIA)
a) z= (rs)3-(rs)(r2+s2)+(r2+s2)3
𝝏𝒛
𝝏𝒓
=3r2s3-3r2s-s3+6r( r4+2r2s2+s4)
z= r3s3-r3s-rs3+(r2+s2)3
𝝏𝒛
𝝏𝒓
=3r2s3-3r2s-s3+6r5+12r3s2+6rs4
Sustituir “x” y “y” en “z”:
Continuación …..

17. Ejemplo 2
1. Si z= x3-xy+y3, donde x=rs , y=r2+s2 . Calcular: a)
𝝏𝒛
𝝏𝒓
, b)
𝝏𝒛
𝝏𝒔
Solución
• 𝝏𝒛
𝝏𝒔
=3r3s2-r3 -3rs2+3(r2+s2)2(2s)
OTRAALTERNATIVA DE CÁLCULO: POR SUSTITUCIÓN DIRECTA (O
SUSTITUCIÓN PREVIA)
b) z= (rs)3-(rs)(r2+s2)+(r2+s2)3
z= r3s3-r3s-rs3+(r2+s2)3
Sustituir “x”, “y” en “z”:
𝝏𝒛
𝝏𝒔
=3r3s2-r3 -3rs2+6s(r4+2r2s2 +s4)
𝝏𝒛
𝝏𝒔
=3r3s2-r3 -3rs2+6sr4+12r2s3 +6s5
Continuación …..