Derivadas parciales definición, ejemplo, ejercicios

1. Derivadas
Parciales
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN PUERTO LA CRUZ
CARRERA: T.S.U. ELECTRICIDAD
MENCIÓN MANTENIMIENTO.
Estudiante:
• Br. Gerardo García
PROFESORA:
• Ing. Ranielina Rondón

2. Derivadas Parciales
Una derivada parcial de una función de diversas
variables, es la derivada respecto a cada una de esas
variables manteniendo las otras como constantes.
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen
las derivadas parciales:
Una definición obvia si la comparamos con la derivada
de una función de una variable

3. Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la
variable "y" como si fuera una constante, mientras que al
hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la
variable "x" como si fuera constante.
Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de
la función: :
Para ello recordemos que la derivada de la función z
= eu es: z’ = u’ . eu siendo u en nuestro caso: x2 + y2 ,
entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y
constante), mientras que la derivada de u respecto y es
2y (con la x constante).
Derivadas Parciales

4. Así tenemos:
Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:
mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :
Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo,
para una función de tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:
en cada una de ellas se consideran constantes los dos parámetros distintos a los que se
realiza la derivada.

5. Diferencia entre variables
ordinarias y derivadas parciales
Las derivadas ordinarias se realizan a funciones con
una variable independiente
En cambio las derivadas parciales se realizan en
funciones de varias variables tomando una variable para
derivar y tomando al resto de variables como constantes
para poder derivar.

6. 1-.Ejercicio

7. 2-.Ejercicio

8. 3-.Ejercicio

9. 4-.Ejercicio

10. Derivadas Parciales de
Orden Superior
Las expresiones
fxy(x,y) ; D12f(x,y) ;
son todas equivalentes y representan la segunda derivada
de la función f derivando primero con respecto a x y el
resultado derivándolo con respecto a y. Así por ejemplo, si
tomamos la función
f(x,y) = 4y³x² - 12xy + 16x³

11. buscamos todas las derivadas parciales de segundo orden
obtendremos:
fx(x,y) = 8y³x - 12y + 48x² fy(x,y) = 12y²x² - 12x , y así
fxx(x,y) = 8y³ + 96x fxy(x,y) = 24y²x - 12
fyx(x,y) = 24y²x – 12 fyy(x,y) = 24yx²
obsérvese que fxy(x,y) = fyx(x,y), esto no es casual. Para que
ocurra debe darse cierta condición:
Si estas derivadas parciales son continuas en un disco abierto,
entonces fxy(a,b) = fyx(a,b) para todo (a,b) que pertenezca a
dicho disco.

12. Ejercicio
fxy(-1,2)=12-40=-28

13. Fin de la Presentación
Muchas Gracias