1. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
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Lectura para activar los conocimientos previos
Por Miguel Ángel Montes Montaño
En esta pequeña lectura recordaremos conceptos básicos vistos en los cursos de cálculo diferencial, cálculo integral y ecuaciones diferenciales. Conceptos fundamentales para entender lo que es la Transformada Z, la transformada de Laplace, la transformada de Fourier y la serie de Fourier.
El Cálculo Diferencial, Integral y Ecuaciones Diferenciales son ramas de las matemáticas con mayor aplicación en el campo de la ingeniería. El desarrollo de estas teorías ha sido una de las grandes conquistas intelectuales del ser humano y específicamente de los matemáticos. El cálculo, tanto diferencial como integral unifica conceptos y métodos que los hombres de ciencia estuvieron tratando de dominar por más de veinte siglos. Hay una larga lista de científicos que trabajaron arduamente en la formalización de este concepto matemático y que tardaron mucho tiempo para tener la suficiente madurez científica para construir toda una teoría matemática que utilizamos en este momento.
Se sabe que Newton y Leibniz son los inventores del cálculo, y sobre todo Newton que lo aplicó a desarrollar leyes universales de muchos fenómenos físicos. Estos dos hombres de ciencia representan una parte de una larga lista de científicos que iniciaron el estudio de esta rama tan importante de las matemáticas.
Sin la contribución de estos dos grandes científicos, el cálculo seguramente no existiría como hoy lo tenemos y nuestra civilización no estuviera desarrollada como la vemos hoy en día. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió todo el mundo y principalmente la Europa del siglo XVII. Aparte de este descubrimiento

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que se hizo en matemáticas, el descubrimiento y desarrollo formal del concepto de función fue uno de lo más importante porque gracias a la idea se pueden modelar y representar relaciones de fenómenos naturales.
Para definir el significado de la palabra función fue un problema importante, algunos matemáticos que en esa época estaban trabajando en ese campo, entre ellos, Euler, Lagrange y Fourier hicieron sus aportes pero más adelante, Dirichlet fue realmente el que escribió y desarrollo el concepto de función tal como lo conocemos en la actualidad. ( )
Con el concepto de función, podemos empezar a recordar el concepto de razón de cambio instantáneo, en este caso la derivada. El concepto de razón de cambio instantáneo es hacer el intervalo de x cada vez más "pequeños", es decir, que donde la flecha se interpreta como la delta de x tiende a cero, podemos concluir que el valor "límite" cuando x tiende a un número es un valor de ( ).
Para poder calcular la razón de cambio instantáneo tomamos el incremento cada vez más y más pequeño, es decir, Δ x tiende a cero, el cual expresamos así y observamos que en los dos casos obtuvimos un valor "limite". A este proceso lo podemos enunciar como "límite de , en lenguaje matemático se escribe:
( ) ( )

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Su representación gráfica es tal como se muestra en la figura, en en ese punto se encuentra la razón de cambio instantáneo.
Ejemplo
Encuentre la razón de cambio instantáneo de la función ( ) cuando x=2.
Aplicando el concepto de razón de cambio instantáneo dado por: ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )
Se elimina lo que están en rojo:

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( ) ( ) ( )
Eliminando lo que está en rojo y sustituyendo x=2 y , se tiene el resultado:
2(2)+(0)=4
Este problema si lo resolvemos directamente utilizando una de las formulas vistas en el curso de cálculo integral, es más fácil de resolver. ( ) ( )
Otros conceptos que es importante recordar son: series e integral definida para el estudio, posteriormente de transformada de Laplace, serie de Fourier y transformada Z.
En cursos anteriores se han estudiado el concepto de serie tales como, serie de potencia, series de Maclaurin y serie de Taylor; la idea central de esta temática es saber que toda función continua en un intervalo donde esté definida se puede expresar mediante un polinomio, en este caso haremos un ejemplo y análisis sobre las serie de Maclaurin que es un caso particular de la serie de Taylor.
Ejemplo. Exprese en serie de Maclaurin la función ( )
Solución
Derivando 6 veces la función ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

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( ) ( ) ( ) ( )
Como una serie de Maclaurin se expresa: ( ) Σ ( )
Expresamos de esta forma la serie generada: ( ) ( ) Σ( )
Otro concepto importante que hay que recordar es el de cálculo integral, sobre todo el de integral definida y uno de los métodos que es la integración por fracciones parciales que se utilizará en la unidad 3 cuando se calcule la transformada inversa Z. La idea central del concepto del cálculo integral es estudiar y calcular el área bajo la curva de una función continúa, definida en un intervalo, tal como se observa en la siguiente figura:

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∫ ( )
En esta grafica se puede ver claro que el área que se va a calcular es la que se encuentra sombreada y acotada por el intervalo [a, b]. Por ejemplo. Calcular el área bajo la curva de la función ( ) en el intervalo . Aplicando el concepto de integral definida tenemos. ∫ | ( ) ( )
Las diferentes funciones que existen en el mundo de las matemáticas, han obligado a los matemáticos crear métodos de integración tales como: Integración por partes, por fracciones parciales, por cambio de variable de funciones algebraicas y trigonométricas.
Recordaremos a través de un ejemplo el método de fracciones parciales, como son cuatro métodos, en este caso veremos el método lineal.
Ejemplo. Aplicando el método de fracciones parciales, calcule la integral de ∫ ( )( )
Solución ∫ ( )( ) ∫ ∫
Igualando las dos identidades de la función, tenemos. ( )( )

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( )( ) ( ) ( ) ( )( )
Eliminando las partes del denominador de la igualdad, se tiene:
Igualando términos con la misma potencia tenemos:
Resolviendo la ecuación 1 con la ecuación 2, se llega al siguiente resultado: entonces tenemos la integral:
∫ ( )( ) ∫ ∫
Integrando directamente se tiene el siguiente resultado: ∫ ( )( ) | | | |
Otra de la rama de las matemáticas con mayor aplicación en el campo de la ingeniería son las ecuaciones diferenciales. Recordaremos que una ecuación diferencial es aquella que está compuesta por derivadas, variables, constantes y funciones. Las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Las ordinarias son aquellas que contienen derivadas con respecto a una sola variable independiente y las parciales son las que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

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Por ejemplo. Si tenemos una ecuación diferencial de la forma ( ) y queremos calcular su solución, lo primero que hacemos es ver de qué forma se resuelve. Para este caso, la ecuación diferencial se resuelve por separación de variable: | |
Despejando y se llega a la solución: como pueden ver, se obtiene una familia de curvas.
Como pueden notar, los conocimientos previos que se van a evaluar en este curso son: Cálculo diferencial, cálculo integral, método de fracciones parciales, series y ecuaciones diferenciales.