4. UNIVERSIDAD VERACRUZANA 29. Evaluación del desempeño * Ejercicios planteados en clase. * Ejercicios extra clase. * Tres exámenes parciales ** Entrega oportuna. ** Presentación ** Claridad del proceso MATEMÀTICAS APLICADAS

5. UNIVERSIDAD VERACRUZANA 31. Fuentes de Información : * ARYA, Jagdish C. Lardner. Robin W. Matemáticas Aplicada * Haeussler, Ernest F. Jr. Matemáticas para administración, Eco.. * Miller, Charles D. Heeren Matemática, Razonamiento y Aplicación MATEMÀTICAS APLICADAS

6. UNIVERSIDAD VERACRUZANA CALENDARIO DE EXPERIENCIAS SEPTIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE 12 INTRODUCCIÒN TEMA 19 INVESTIGACIÒN Y EXPOSICIÒN (1 hr) 26 3 EXAMEN (1:30 INTRODUCCIÒN TEMA 10 17 INVESTIGACIÒN Y EXPOSICIÒN 24 31 EXAMEN (1:30) 7 14 21 NO HAY CLASE 28 INVESTIGACIÒN Y EXPOSICIÒN 5 DIC. EXAMEN MATEMÀTICAS APLICADAS

7. UNIVERSIDAD VERACRUZANA PORCENTAJE DE CALIFICACIÒN (en cada uno de los parciales) 20% Entrega oportuna, contenido y análisis de las Investigaciones. 20% Entrega oportuna, resolución 100%, y orden/limpieza de ejercicios extra clase. 10% Comprobación de resolución de 1 ejercicio en clase. 10% Exposición del tema en PP (por equipo). 40% Examen MATEMÀTICAS APLICADAS

8. UNIVERSIDAD VERACRUZANA UNIDAD I FUNCIONES, GRÀFICOS Y LÌMITES MATEMÀTICAS APLICADAS

9. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FUNCIONES, GRÀFICOS Y LÌMITES MATEMÀTICAS APLICADAS

10. UNIVERSIDAD VERACRUZANA Un ciclista decide salir de ruta y durante un tiempo pedalea por un camino hasta que llega a una zona de descanso en donde se para para comer. A continuación, sigue avanzando durante otro rato más, momento en que decide volver a casa por el mismo camino que había elegido para la ida. ¿Qué son las funciones? ? ? ? ? ? ….. MATEMÀTICAS APLICADAS

11. UNIVERSIDAD VERACRUZANA Observando atentamente la gráfica podemos averiguar muchas cosas del paseo que dio el ciclista: distancia más lejana a la que llegó, kilómetros recorridos, tiempo que estuvo fuera, momento en que come, ... MATEMÀTICAS APLICADAS

12. UNIVERSIDAD VERACRUZANA La gráfica representa la relación entre dos variables: el tiempo que transcurre desde que parte el ciclista de su casa y la distancia a la que se encuentra de su casa en cada momento. Cada punto de la gráfica representa un tiempo y una distancia. Analizando la gráfica apreciamos las franjas de tiempo en que el ciclista está avanzando o está quieto. Además las escalas de cada eje son diferentes: En el eje horizontal, la unidad significa 1 hora. En el eje vertical, la unidad de escala es equivalente a 20 kms. MATEMÀTICAS APLICADAS

13. UNIVERSIDAD VERACRUZANA Estas escalas nos permiten cuantificar la ruta (no sólo describirla cualitativamente). Por ejemplo: el punto más lejano al que llegó el ciclista estaba a 80 kms. de su casa, y allí llega a las 6 horas de haber salido. Vemos que la gráfica se extiendo en el tramo 0-8'5, es el intervalo de tiempo que dura la ruta del ciclista. El intervalo [0, 8'5] se llama dominio de la función MATEMÀTICAS APLICADAS

14. UNIVERSIDAD VERACRUZANA Observando la gráfica anterior, responde: ¿A cuántos kilómetros de su casa decide parar a comer? ¿Qué tiempo había transcurrido cuando decide esa parada? ¿Cuánto tiempo ha estado comiendo? ¿Cuánto tarda en volver a casa desde que decide regresar? ¿En qué momento de la ida tenía el camino una pendiente más pronunciada? ¿Durante qué franja de tiempo pedaleó a más velocidad el ciclista? ¿Cuántos kilómetros ha recorrido entre la ida y la vuelta? MATEMÀTICAS APLICADAS

16. UNIVERSIDAD VERACRUZANA ¿Cuándo una gráfica no corresponde a una función? De las dos gráficas que se muestran a continuación, la de la izquierda corresponde a una función y la derecha no. En ésta a cada valor de la variable independiente X, le corresponde un único valor imagen de la variable dependiente Y En ésta hay algunos valores de la variable X a los que corresponden más de un valor de la variable Y. Lo que contradice la definición de función. MATEMÀTICAS APLICADAS

17. UNIVERSIDAD VERACRUZANA Dominio Se llama dominio de definición de una función f , y se designa por Dom f , al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f (x). En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1 podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. ( EVALUAR ) Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de los números reales). MATEMÀTICAS APLICADAS

18. UNIVERSIDAD VERACRUZANA Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio de la función. (EVALUAR) Cuando una función se nos presenta a través de su gráfica, simplemente con proyectar sobre el eje de abscisas dicha gráfica conseguimos el dominio de definición . Ésto es porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la gráfica. Y éste punto es el que al proyectar la misma sobre el eje Ox nos incluye ese valor dentro del dominio. MATEMÀTICAS APLICADAS

19. UNIVERSIDAD VERACRUZANA En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio. En este caso tenemos que Dom f = (-∞, 2) U (2, 7] MATEMÀTICAS APLICADAS

20. SISTEMAS COMPUTACIONALES UNIVERSIDAD VERACRUZANA Obtén el Dominio de definición de: FUNCIONES POLINÓMICAS: Son aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio; es decir, las funciones polinómicas , tienen como dominio de definición todo el conjunto de los números reales: R f( x )= 3x 5 - 8x + 1; D(f) = R g( x )= 2x + 3; D(g) = R h( x)=½ ; D(h) = R

21. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FUNCIONES RACIONALES: Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador . Por ejemplo: I) Resolvemos la ecuación x 2 - 9 = 0; y obtenemos x 1 = +3 y x 2 = -3. Por lo tanto D(f) = R {+3, -3} I) MATEMÀTICAS APLICADAS

22. UNIVERSIDAD VERACRUZANA II) Resolvemos la ecuación x 2 + 1 = 0; y nos encontramos que no tiene solución. No encontrado valores que anulen el denominador , y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio. Por lo tanto D(f) = R. II) MATEMÀTICAS APLICADAS

23. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FUNCIONES IRRACIONALES: Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente . Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando. Si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen . MATEMÀTICAS APLICADAS

24. UNIVERSIDAD VERACRUZANA I) Resolvemos la inecuación x +1 > 0; ==> x > -1; x+1 es una expresión positiva si x pertenece al intervalo [-1, +∞). Por lo tanto D(f) = [-1, +∞). II) Resolvemos la inecuación x 2 - 25 > 0; y obtenemos (x + 5)·(x - 5) > 0 R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cuál de ellas se da que el signo del radicando sea positivo. Por lo tanto D(g) = (-∞, -5] U [+5, +∞) MATEMÀTICAS APLICADAS

25. UNIVERSIDAD VERACRUZANA III) Resolvemos la inecuación x 2 - 2x - 8 > 0; y obtenemos (x + 2)·(x - 4) >0; Observar que la inecuación se plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicando está en un denominador y por lo tanto no puede valer 0. ¿En que se traduce esto? En tener que excluir de las zonas donde el radicando sea positivo los extremos -2 y +4. Por lo que: R nos queda dividido en tres zonas. Y estudiando el signo del radicando obtenemos el dominio: D(h) = (-∞, -2) U (+4, +∞) MATEMÀTICAS APLICADAS

26. UNIVERSIDAD VERACRUZANA E J E R C I C I O S MATEMÀTICAS APLICADAS

27. UNIVERSIDAD VERACRUZANA Obtén el dominio de definición de los gráficos MATEMÀTICAS APLICADAS

29. UNIVERSIDAD VERACRUZANA Variaciones de una función. Crecimiento-Decrecimiento de la función y Máximos y mínimos. 1.Crecimiento y Decrecimiento. Un determinado parásito se reproduce dividiéndose en dos cada segundo. La función que determina el número de parásitos que hay en cada segundo de tiempo que transcurre es la representada a la derecha. Al aumentar el valor de la variable x, también aumenta el valor de la variable y. Esto es una función es estrictamente creciente. Si x 1 <x 2 => f (x 1 )< f (x 2 ) MATEMÀTICAS APLICADAS

30. UNIVERSIDAD VERACRUZANA Al aumentar el valor de la variable x, ahora disminuye el valor de la variable y o imagen. Esto es que la función es estrictamente decreciente. Si x 1 <x 2 => f (x 1 )> f (x 2 ) MATEMÀTICAS APLICADAS

31. UNIVERSIDAD VERACRUZANA El estudio del crecimiento-decrecimiento de una función, lo haremos por intervalos del dominio, indicando en cuáles es creciente y en cuáles decreciente. A partir de la gráfica se ve claro el crecimiento-decrecimiento de una manera intuitiva, pero siempre mirándola de izquierda a derecha que es como va aumentando la variable independiente x. MATEMÀTICAS APLICADAS

32. UNIVERSIDAD VERACRUZANA 2.Máximos y mínimos relativos. Debido a cambios que vemos en algunas funciones, que en determinados puntos del eje de abscisas pasan de crecer a decrecer o viceversa nos aparecen los extremos relativos (máximos relativos y mínimos relativos). Una función f tiene un máximo relativo en el punto x 0 del eje de abscisas si la función pasa de ser creciente a la izquierda de x 0 a ser decreciente a la derecha de x 0 . Es decir, f tiene en x 0 un máximo relativo si f (x 0 ) > f (x) para cualquier x de un entorno cercano a x 0 . MATEMÀTICAS APLICADAS

33. UNIVERSIDAD VERACRUZANA La función representada tiene en 2; un máximo relativo. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto x 0 del eje de abscisas si la función pasa de ser decreciente a la izquierda de x 0 a ser creciente a la derecha de x 0 . Es decir, f tiene en x 0 un mínimo relativo si f (x 0 ) < f (x) para cualquier x de un entorno cercano a x 0 . MATEMÀTICAS APLICADAS

34. UNIVERSIDAD VERACRUZANA Aquí vemos que en x=2 hay un mínimo relativo, la función pasa de ser decreciente a creciente Una función puede tener varios extremos relativos, de entre ellos, si existe, llamaremos máximo absoluto al valor x 0 que cumpla f (x 0 ) > f (x) para cualquier x del dominio, y análogamente llamaremos mínimo absoluto , si existe, al valor x 0 que cumpla f (x 0 ) < f (x) para cualquier x del dominio. MATEMÀTICAS APLICADAS

35. UNIVERSIDAD VERACRUZANA Observa en esta gráfica que el número de viajeros en una línea de autobuses ha ido en aumento entre las 6y las 8 de la mañana. CONTESTA: *El crecimiento de la función es igual entre las 6 y las 7 que entre las 7 y las 8? *Indica los tramos en los que la función es decreciente y los tramos en los que es creciente. *¿En qué tramo no hay variación en el número de viajeros?¿Cómo dirías que es la función en ese tramo? *¿En qué momento hubo un número máximo de viajeros? MATEMÀTICAS APLICADAS

36. UNIVERSIDAD VERACRUZANA La siguiente gráfica nos muestra el nivel de ruido que se produce en un cruce de grandes avenidas de una ciudad: CONTESTA *¿Cuándo crece el nivel de ruido? *¿Cuándo decrece? *Indica los instantes de tiempo en los cuales la intensidad del ruido es máxima o mínima MATEMÀTICAS APLICADAS

37. UNIVERSIDAD VERACRUZANA MATEMÀTICAS APLICADAS Simetrías Observa la gráfica . La parte de la curva a la izquierda del eje Oy es la imagen reflejada de la que está a la derecha del eje. Esto es que la función es simétrica respecto del eje Oy o simétrica par. Una función es simétrica respecto al eje Oy (eje de ordenadas) si cumple que f (x) = f (-x) para cualquier x del dominio. Esto se conoce como simetría par de la función f . La función aquí representada es y = x 2 . Es obvio que x 2 = (-x) 2 .

38. UNIVERSIDAD VERACRUZANA MATEMÀTICAS APLICADAS En cambio ésta muestra como la rama de la izquierda del eje vertical es el reflejo de la de la derecha, pero no respecto a este eje, sino respecto al origen de coordenadas. Ahora la función es simétrica respecto al origen, o sea, simetría impar. Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas si cumple que f (x) = - f (-x) para cualquier x del dominio. Esto se conoce como simetría impar de la función f . Ahora la función representada es y = x 3 +x; (-x) 3 +(-x) = - x 3 -x

39. UNIVERSIDAD VERACRUZANA MATEMÀTICAS APLICADAS Continuidad Para que nos hagamos una idea, una función continua en todo su dominio sería aquella que se puede dibujar de un sólo trazo sin levantar el lápiz del papel. Por ejemplo la dibujada a continuación: Pero la mayoría de las funciones van a presentar discontinuidades, o sea, van a ser continua sólo en algunos &quot;trozos&quot; de su dominio y en los límites de éstos presentarán discontinuidades

40. UNIVERSIDAD VERACRUZANA MATEMÀTICAS APLICADAS Discontinuidad de salto finito. Se presentará una discontinuidad de salto finito en un valor x = a, cuando en la gráfica observemos una separación o salto entre dos trozos de la función que pueda medirse . Esto es debido a que la tendencia de la función a la izquierda del punto x = a es diferente de la que tiene a la derecha.

41. UNIVERSIDAD VERACRUZANA MATEMÀTICAS APLICADAS Discontinuidad de salto infinito . Cuando en un punto de la curva observamos que la tendencia a la izquierda o a la derecha (o ambas) es a alejarse al infinito (más infinito o menos infinito), entonces nos encontramos con una discontinuidad de salto infinito en el punto a.

42. UNIVERSIDAD VERACRUZANA MATEMÀTICAS APLICADAS Discontinuidad evitable. Si nos encontramos que la continuidad de la gráfica se interrumpe en un punto donde no hay imagen , o la imagen está desplazada del resto de la gráfica, tendremos una discontinuidad evitable en el punto a. Aquí la tendencia de la función a la izquierda de a y a la derecha de a sí coincide, sin embargo es f (a) el valor que no coincide con dicha tendencia o que ni siquiera existe.

43. UNIVERSIDAD VERACRUZANA MATEMÀTICAS APLICADAS ACTIVIDADES: 1. Analiza la simetría de estas funciones: y = x y = 2x + 1 y = x 3 y = x 4 3. Estudia la continuidad en las funciones 2. Indica si alguna de las funciones que se presentan son simétricas de alguno de los dos tipos.

44. UNIVERSIDAD VERACRUZANA MATEMÀTICAS APLICADAS

45. UNIVERSIDAD VERACRUZANA MATEMÀTICAS APLICADAS Otras características de las funciones. Concavidad-convexidad. Diremos que una función es CÓNCAVA si su gráfica queda por encima de las rectas tangentes a cada uno de sus puntos. Diremos que una función es CONVEXA si su gráfica queda por debajo de las rectas tangentes a cada uno de sus puntos

46. UNIVERSIDAD VERACRUZANA MATEMÀTICAS APLICADAS Cuando tengan tramos de una clase y de otra. Los puntos del dominio donde se produzcan esos cambios de concavidad a convexidad o viceversa serán los que llamaremos PUNTOS DE INFLEXIÓN: Como puedes comprobar, la curva se repite cada cierto intervalo del eje de abscisas, a esto llamamos periodicidad.

47. UNIVERSIDAD VERACRUZANA MATEMÀTICAS APLICADAS GRACIAS