Santillana 7mo matematica bicentenario.pdf

8/10/2019 I° medio Matemática 2010 Santillana Bicentenario Docente
http://slidepdf.com/reader/full/i-medio-matematica-2010-santillana-bicentenario-docente 1/152
Guía para el profesor

El material didáctico Guía para el Profesor, Matemática 1, Proyecto Bicentenario, para Primer Año de Educación Media, es una obra colectiva,
creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de
MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA
Coordinación de proyecto Ana María Anwandter Rodríguez
Jefatura de área Marcia Villena Ramírez
Edición María Antonieta Santis Ávalos
Asistente de edición Pedro Rupin Gutierrez - Gerardo Muñoz Díaz
Autores Guía para el profesor Jorge Bozt Ortiz - Fernando Mundaca Pacheco
Autores Texto para el alumno Ángela Baeza Peña - María del Pilar Blanco Casals -
Jorge Bozt Ortiz - Felipe Calderón Concha -
María José García Zattera - Marcela Guerra Noguera -
Pedro Rupin Gutiérrez - Patricia Urzúa Figueroa - Pablo Jorquera Rozbaczylo
Corrección de estilo Astrid Fernández Bravo - Isabel Spoerer Varela
Documentación Paulina Novoa Venturino - María Paz Contreras Fuentes
La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de
VERÓNICA ROJAS LUNA
Con el siguiente equipo de especialistas:
Coordinación Gráfica Carlota Godoy Bustos
Diseño y diagramación Ximena Moncada Lomeña - Teresa Serrano Quevedo
Cubierta La Práctica S.P.A.
Producción Germán Urrutia Garín
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier
medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
SANTILLANA® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L. Todos los derechos reservados.

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Índice
Presentación
Ejes del proyecto Bicentenario 4
Organización de la Guía para el Profesor 6
Correspondencia del texto con el Ajuste Curricular
Objetivos Fundamentales 8
Contenidos Mínimos Obligatorios 10
Objetivos Fundamentales Transversales 12
Sugerencias metodológicas
Unidad 1: Números racionales y potencias 14
Unidad 2: Factores y productos 34
Unidad 3: Transformaciones isométricas en el plano cartesiano 54
Unidad 4: Funciones lineal y afín 76
Unidad 5: Congruencia de figuras planas 94
Unidad 6: Estadística 116
Unidad 7: Combinatoria y probabilidades 136

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Santillana Bicentenario
El proyecto Bicentenario, de Editorial Santillana, presenta una propuesta didáctica destinada a
cubrir todos los requerimientos del Ministerio de Educación.
Bicentenario representa una enriquecedora instancia para evocar nuestro pasado y recoger las
experiencias vividas por la nación en doscientos años de vida republicana. A su vez, constituye un
espacio abierto de debate y reflexión para crear, innovar y proyectar con liderazgo el futuro que
hoy se construye en nuestras aulas.
El material didáctico que constituye esta serie busca fomentar en los y las estudiantes la
comprensión y valoración del mundo en que viven, a través del modelamiento de situaciones y
fenómenos, como también la construcción de conceptos, procedimientos, estrategias de
razonamiento y resolución de problemas. También pretende promover una actitud creativa y
crítica, y capacidad de resolver problemas, formular conjeturas, verificar la validez de afirmaciones,
procedimientos y relaciones, así como lo concerniente a la demostración en matemática y la
abstracción y su expresión en el lenguaje simbólico.1
La propuesta editorial contempla el Texto del alumno, el Taller de matemática, la Guía para el
profesor y los Recursos digitales.
Ejes del proyecto Bicentenario
1. Incorporación de los ajustes curriculares
La serie Bicentenario ha sido creada acorde con los Ajustes Curriculares aprobados y publicados
en junio de 2009, por tanto aborda los nuevos requerimientos relacionados con los Objetivos
Fundamentales, Contenidos Mínimos Obligatorios y Objetivos Fundamentales Transversales.
El propósito de esta nueva propuesta para el sector de Matemática es acercar a los y las estudiantes
hacia la comprensión del mundo natural y tecnológico, basándose en el conocimiento propor-
cionado por la matemática.
Se pretende que todos los alumnos y alumnas logren, en su formación general, una educación
matemática básica que les entregue las herramientas que necesitan para responder y resolver
situaciones provenientes de los más variados ámbitos (matemático, ciencias naturales, sociales, del
arte y tecnología).
2
Esta perspectiva se expresa en los Objetivos Fundamentales y los Contenidos
Mínimos Obligatorios, orientados hacia un aprendizaje contextualizado del conocimiento
matemático relevante para todos.
Presentación
1 Mineduc. Fundamentos del Ajuste Curricular en el sector de Matemática. Unidad de Currículum y
Evaluación. Marzo, 2009.
2 Ídem.

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En este contexto, el subsector de Matemática ha quedado estructurado en torno a cuatro ejes
temáticos fundamentales y un eje transversal, estos son:
2. Evaluación permanente y explícita
En los textos del proyecto Bicentenario, la evaluación se ha ido desarrollando en diversos momentos
y con distintas intencionalidades a lo largo de cada una de las unidades, con el propósito de obtener
información sobre la calidad de los aprendizajes logrados. En este sentido, se incluyen evaluaciones
diagnóstica, formativa (Ejercicios resueltos, Preparando la PSU y Preparando el SIMCE) y sumativa.
Cada evaluación cuenta con su correspondiente pauta de corrección, con indicadores, criterios y
actividades remediales y de profundización, estas últimas permiten atender a la diversidad de estilos y
ritmo de aprendizaje de los y las estudiantes.
Los tipos de evaluaciones que encontrará en el texto se detallan a continuación.
Evaluación diagnóstica. Se presenta al inicio de cada unidad para identificar los conocimientos previos
con los cuales los estudiantes se enfrentarán a los nuevos aprendizajes y permite detectar falencias que
pudieran entorpecer el logro de aprendizajes más complejos. La intencionalidad de esta evaluación es
de carácter formativa.
Evaluación de proceso. Este tipo de evaluación se trabaja en las páginas de Ejercicios resueltos,
Preparando el SIMCE y Preparando la PSU (incorpora autoevaluación), presentes en cada unidad y,
dado su carácter formativo, permitirá al estudiante retroalimentar su desempeño y, al docente, realizar
a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes.
Evaluaciónfinal. Su carácter es sumativo, pues entrega información acerca del nivel de logro alcanzado
respecto de los aprendizajes esperados al término de la unidad, dando la posibilidad de reforzar los
aprendizajes más débiles. Además, presenta ejercicios de refuerzo y profundización, atendiendo a las
distintas necesidades del grupo curso.
3. Innovación en el diseño
La propuesta gráfica pone énfasis en los recursos gráficos, como infografías, ilustraciones, fotografías,
esquemas, entre otros; con el propósito de apoyar la labor docente, al favorecer la construcción de
aprendizajes a partir de la comprensión visual.
4. Incorporación de las TIC
Con el objetivo de responder a la amplia gama de recursos tecnológicos y para atender la cobertura
de alfabetización digital, se han introducido nuevos métodos de enseñanza-aprendizaje que contemplan
el uso de las TIC como instrumento cognitivo y para la realización de actividades interdisciplinarias y
colaborativas.
Los recursos digitales que contempla el proyecto son tres discos compactos que contienen: el libro del
alumno digital, videos tutoriales que muestran al docente cómo utilizar herramientas digitales y la guía
didáctica en formato PDF.
1. Números 2. Álgebra 3. Geometría 4. Datos y azar
Razonamiento matemático

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La Guía para el Profesor del texto Matemática 1, proyecto Bicentenario, es un material creado por
Editorial Santillana como apoyo al proceso de enseñanza y aprendizaje para el subsector de
Matemática. Esta guía incorpora material concreto de apoyo a la labor docente a través de diversos
elementos que se desarrollan en sus páginas.
A continuación encuentra un esquema de los distintos tipos de páginas y sus contenidos.
1. Páginas de inicio
2. Páginas de orientaciones didácticas
Organización de la Guía para el Profesor
Evaluación diagnóstica. Se
sugieren actividades de
reforzamiento o remediales
para los alumnos y alumnas
que no lograron el
aprendizaje deseado.
Se incluyen sugerencias para
trabajar las páginas de inicio
y orientaciones que ayuden
al docente a activar los
conocimientos previos,
motivar el trabajo de la
unidad y profundizar en
temáticas relevantes para la
comprensión de la unidad.
Presentación de la unidad.
Describe en un pequeño
párrafo el propósito de la
unidad.
Sugerencias metodológicas.
Para cada tema de la unidad
se plantean sugerencias
didácticas para que el
docente trabaje con sus
alumnos y alumnas. Estas
pueden ser orientaciones
respecto del contenido,
actividades, preconceptos,
entre otros.

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Fichas de trabajo. Material
didáctico con diferentes
actividades y recursos de
aprendizaje destinados a
reforzar y profundizar los
contenidos y habilidades
trabajados en cada unidad.
Prueba de la unidad. A fin
de evaluar los aprendizajes
alcanzados por sus
alumnos(as), le presentamos
una evaluación de término
con distintos tipos de ítems
y recursos, acordes con las
habilidades y contenidos
trabajados en la unidad.
Además, se incluyen
ejercicios PSU relacionados
con el tema tratado.
Solucionario. Incluye las
respuestas de todas las
fichas y evaluación incluidas
en la Guía para el profesor.
Bibliografía. Corresponde a
un conjunto de sugerencias
de libros y sitios webs,
relacionados con los
contenidos de la unidad y
que pueden ser consultados
para incorporarlos al trabajo
con los(as) estudiantes o
profundizar en el
conocimiento de
determinados temas.
Sugerencias o remediales.
Esta sección tiene como
finalidad profundizar en
algún tema desarrollado en
la unidad o que los
complementa.
Profundización de contenidos.
Contiene ejercicios tipo que
permiten profundizar en
algún tema desarrollado en la
unidad o que los
complementa. Cada ejercicio
viene con solución.
Ampliación de contenidos.
Esta sección tiene como
finalidad complementar
algún tema desarrollado en
la unidad, a modo de
profundización. Como
también, tratar algún
contenido no revisado en la
unidad en el cual el(la)
docente sea quien decida,
según las necesidades de su
grupo curso, revisar con
ellos el contenido ampliado.

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En las páginas siguientes se exponen los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios
propuestos en el Ajuste Curricular, publicado en junio de 2009, correspondiente al subsector
Matemática y su correspondencia con las unidades del Texto del estudiante.
Correspondencia del texto del alumno con el Ajuste Curricular
OBJETIVOS FUNDAMENTALES
UNIDADES TEXTO DEL ALUMNO
1 2 3 4 5 6 7
1. Comprender que los números racionales constituyen un conjunto numérico
en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los
números enteros y caracterizarlos como aquellos que pueden expresarse
como un cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero.

2. Representar números racionales en la recta numérica, usar la representación
decimal y de fracción de un racional justificando la transformación de una en
otra, aproximar números racionales, aplicar adiciones, sustracciones,
multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y
demostrar algunas de sus propiedades.
 
3. Comprender el significado de potencias que tienen como base un número
racional y exponente entero y utilizar sus propiedades.
 
4. Transformar expresiones algebraicas no fraccionarias utilizando diversas
estrategias y utilizar las funciones lineales y afines como modelos de
situaciones o fenómenos y representarlas gráficamente en forma manual o
usando herramientas tecnológicas.
 
5. Identificar regularidades en la realización de transformaciones isométricas en
el plano cartesiano, formular y verificar conjeturas respecto de los efectos de
la aplicación de estas transformaciones sobre figuras geométricas.

6. Comprender los conceptos y propiedades de la composición de funciones y
utilizarlos para resolver problemas relacionados con las transformaciones
isométricas.

7. Conocer y utilizar conceptos y propiedades asociados al estudio de la
congruencia de figuras planas, para resolver problemas y demostrar
propiedades.


| 9 |
1 2 3 4 5 6 7
8. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante gráficos
que se obtienen desde tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en
intervalos.

9. Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos
aleatorios finitos, usando más de una estrategia y aplicarlo al cálculo de
probabilidades en diversas situaciones.

10. Comprender la relación que existe entre la media aritmética de una
población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras
de igual tamaño extraídas de dicha población.
 
11. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso
de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos
al tipo de datos que se están utilizando.

12. Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento, ya sea en
forma teórica o experimentalmente, dependiendo de las características del
experimento aleatorio.

13. Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables,
diferenciar entre verificación y demostración de propiedades y analizar
estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos,
para fundamentar opiniones y tomar decisiones.
      

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CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS
1 2 3 4 5 6 7
1. Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el
conjunto de los números enteros al conjunto de los números racionales
y caracterización de estos últimos.

2. Representación de números racionales en la recta numérica, verificación
de la cerradura de la adición, sustracción, multiplicación y división en los
racionales y verificación de la propiedad: “entre dos números racionales
siempre existe otro número racional”.

3. Justificación de la transformación de números decimales infinitos periódicos
y semiperiódicos a fracción.

4. Sistematización de procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de
herramientas tecnológicas de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y
divisiones con números racionales y su aplicación en la resolución de
problemas.

5. Aproximación de racionales a través del redondeo y truncamiento, y
reconocimiento de las limitaciones de la calculadora para aproximar
decimales.

6. Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y
exponente entero y aplicación de ellas en diferentes contextos.

7. Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números
racionales o potencias de base racional y exponente entero, enfatizando
el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados
obtenidos.
 
8. Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas
no fraccionarias en otras equivalentes, mediante el uso de productos
notables y factorizaciones.
 
9. Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones
literales de primer grado.  
10. Análisis de las distintas representaciones de la función lineal, su aplicación
en la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la
proporcionalidad directa.

11. Estudio de la composición de funciones, análisis de sus propiedades y
aplicación a las transformaciones isométricas.

12. Uso de un software gráfico en la interpretación de la función afín, análisis
de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se
producen por la modificación de sus parámetros.


| 11 |
1 2 3 4 5 6 7
13. Identificación del plano cartesiano y su uso para representar puntos y figuras
geométricas manualmente y haciendo uso de un procesador geométrico.

14. Notación y representación gráfica de vectores en el plano cartesiano y aplicación
de la suma de vectores para describir traslaciones de figuras geométricas.

15. Formulación de conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de
traslaciones, reflexiones y rotaciones sobre figuras geométricas en el plano
cartesiano y verificación, en casos particulares, de dichas conjeturas
mediante el uso de un procesador geométrico o manualmente.

16. Relación del concepto de congruencia de figuras planas con las
transformaciones isométricas, formulación y verificación de conjeturas, en
casos particulares, acerca de criterios de congruencia en triángulos y
utilización de estos criterios en la resolución de problemas y en la
demostración de propiedades en polígonos.

17. Obtención de información a partir del análisis de los datos presentados en
histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas,
considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición.

18. Organización y representación de datos, extraídos desde diversas fuentes,
usando histogramas, polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas,
construidos manualmente y con herramientas tecnológicas.

19. Análisis de una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo
de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de
posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones.

20. Uso de técnicas combinatorias para resolver diversos problemas que
involucren el cálculo de probabilidades.

21. Utilización y establecimiento de estrategias para determinar el número de
muestras de un tamaño dado, que se puedan extraer desde una población
de tamaño finito, con y sin reemplazo.
 
22. Formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de la
relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño
finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño
extraídas de dicha población, con y sin reemplazo.
 
23. Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo
de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas,
dependiendo de las condiciones del problema.


| 12 |
Los Objetivos Fundamentales Transversales tienen un carácter comprensivo y general orientado al
desarrollo personal, a la conducta moral y social de los y las estudiantes, y deben ser desarrollados en
las diversas actividades a lo largo de todo el período de escolaridad.
Estos objetivos tienen por finalidad la formación de valores fundamentales, desarrollar habilidades para
manejar el “mundo digital”, para desenvolverse en él en forma competente, y desarrollar en los y las
estudiantes una actitud reflexiva y crítica, que les permita comprender y participar activamente, como
ciudadanos, en el cuidado y reforzamiento de la identidad nacional y la integración social, y en la
solución de los múltiples problemas que enfrenta la sociedad moderna.3
Objetivos Fundamentales Transversales
En el ámbito del crecimiento y la autoafirmación personal, se debe promover:
1 2 3 4 5 6 7
• El conocimiento de sí mismo, de las potencialidades y limitaciones de
cada uno.
      
• El interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.       
En el ámbito del desarrollo del pensamiento, se debe promover habilidades
transversales:
• Las de investigación, que tienen relación con identificar, procesar y sintetizar
información de una diversidad de fuentes; organizar información relevante acerca
de un tópico o problema; revisar planteamientos a la luz de nuevas evidencias y
perspectivas; suspender los juicios en ausencia de información suficiente.
      
• Las comunicativas, que se vinculan con exponer ideas, opiniones,
convicciones, sentimientos y experiencias de manera coherente y
fundamentada, haciendo uso de diversas y variadas formas de expresión.
      
• Las de resolución de problemas, que se ligan tanto con habilidades que
capacitan para el uso de herramientas y procedimientos basados en rutinas,
como con la aplicación de principios, leyes generales, conceptos y criterios;
estas habilidades deben facilitar el abordar, de manera reflexiva y metódica y
con una disposición crítica y autocrítica, tanto situaciones en el ámbito escolar
como las vinculadas con la vida cotidiana a nivel familiar, social y laboral;
      
• Las de análisis, interpretación y síntesis de información y conocimiento,
conducentes a que los alumnos y alumnas sean capaces de establecer relaciones
entre los distintos sectores de aprendizaje; de comparar similitudes y diferencias;
de entender el carácter sistémico de procesos y fenómenos; de diseñar, planificar
y realizar proyectos; de pensar, monitorear y evaluar el propio aprendizaje; de
manejar la incertidumbre y adaptarse a los cambios en el conocimiento.
      
3 Ídem.

| 13 |
En el ámbito de la formación ética, se debe promover los siguientes
aprendizajes:
• Valorar el carácter único de cada persona y, por lo tanto, la diversidad de
modos de ser.
      
• Respetar y valorar las ideas y creencias distintas de las propias, en los
espacios escolares, familiares y comunitarios, con sus profesores, familia y
pares, reconociendo el diálogo como fuente permanente de humanización,
de superación de diferencias y de acercamiento a la verdad.
      
En el ámbito de la persona y su entorno, se deben afianzar los siguientes
aprendizajes:
• Reconocer la importancia del trabajo –manual e intelectual– como forma de
desarrollo personal, familiar, social y de contribución al bien común. Valorar
la dignidad esencial de todo trabajo, y el valor eminente de la persona que
lo realiza. Valorar sus procesos y resultados con criterios de satisfacción
personal y sentido de vida, calidad, productividad, innovación,
responsabilidad social e impacto sobre el medio ambiente;
      
• Conocer y valorar los actores, la historia, las tradiciones, los símbolos, el
patrimonio territorial y cultural de la nación, en el contexto de un mundo
crecientemente globalizado e interdependiente, comprendiendo la tensión y
la complementariedad que existe entre ambos planos.
      
• Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, por un
lado, y la flexibilidad, la originalidad, la aceptación de consejos y críticas y el
asumir riesgos, por el otro, como aspectos fundamentales en el desarrollo y
la consumación exitosa de tareas y trabajos.
      
• Desarrollar la iniciativa personal, la creatividad, el trabajo en equipo, el espíritu
emprendedor y las relaciones basadas en la confianza mutua y responsable.
      
En el ámbito de tecnologías de información y comunicación, se deben
promover las siguientes habilidades:
• Buscar y acceder a información de diversas fuentes virtuales, incluyendo el
acceso a la información de las organizaciones públicas.
      
• Utilizar aplicaciones para representar, analizar y modelar información y
situaciones para comprender y/o resolver problemas.
      
• Hacer un uso consciente y responsable de las tecnologías de la información
y la comunicación.
      

| 14 |
Históricamente, el estudio de los números nos sorprende por la amplia posibilidad de relacionar
sus patrones y regularidades con múltiples situaciones y fenómenos cotidianos. Sin embargo, en
determinadas ocasiones es necesario ampliar los límites de cada conjunto numérico para modelar
y representar matemáticamente estas situaciones y fenómenos. Así, surge la necesidad de trabajar
con el conjunto de los números racionales y sus propiedades.
Antes de comenzar la unidad, es importante revisar el fichero que se encuentra al final del texto
del alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.
Los fractales son figuras que presentan determinadas regularidades a distintas escalas producto de
iteraciones de un proceso geométrico elemental.
La unidad se inicia con el fractal conocido como la alfombra de Sierpinski, el cual se va formando
con la división constante de un cuadrado que se divide en nueve partes iguales, pintando, en cada
paso, el cuadrado del centro y, fraccionando los cuadrados “del borde” en nueve partes iguales
nuevamente, y así sucesivamente.
Presentación de la unidad
Páginas de inicio (Páginas 8 y 9)

| 15 |
Sugerencias para la actividad
La actividad propuesta se enfoca en el cálculo del área y el perímetro de las figuras que resultan en
cada paso de la formación de este fractal. La idea es determinar la multiplicación sucesiva de la
medida del lado de la figura inicial por una potencia cuya base corresponde a un número racional.
Si a los alumnos(as) les dificulta poder encontrar la secuencia de formación de este fractal, se
sugiere cambiar la medida del lado del cuadrado inicial por un número entero o natural. Luego, una
vez encontrada la secuencia de formación, utilizar el número racional de la actividad y generalizar.
Un fractal de características similares en su construcción y resultados aritméticos es la curva de
Koch, el cual puede trabajarse como una actividad alternativa o complementaria a la ya propuesta.
Para más información de este último fractal ingrese a las siguientes páginas web:
• www.sectormatematica.cl/fractales.html
• http://mosaic.uoc.edu/practicas/MatematicasII/asanchezfo_PAC1/fractales/web/fractales_koch.htm
UNIDAD 1 | Números racionalesy potencias
Sugerencias o remediales
• Para el indicador Resolver problemas que involucren ordenar y operar con números decimales y
fracciones: es posible que en la resolución surjan dificultades de tipo conceptual. Se sugiere al
docente trabajar la operatoria con números decimales y fracciones, repasar conceptos de
amplificación, simplificación y el cálculo del mínimo común múltiplo. Por otra parte, la recta
numérica puede ser utilizada como recurso gráfico para repasar el orden en los números y
establecer las comparaciones pertinentes. Si existen dificultades en los ejercicios 7, 14 ó 15, en
los cuales se trabaja el concepto parte-todo, se sugiere realizar ejercicios que impliquen calcular
“lo que sobra” o “lo que falta” de una cantidad con relación a una fracción.
• En el indicador Modelar situaciones a través de potencias y aplicar sus propiedades para el cálculo
de ellas: los ejercicios se pueden trabajar de manera alternativa mediante la relación entre el
plegado en un papel y las regiones resultantes. Se sugiere también la representación mediante
un diagrama de árbol para visualizar la extensión del resultado de una potencia de base natural.
En lo que respecta a la operatoria, pueden utilizarse los paréntesis para determinar la prioridad
entre las operaciones de multiplicación y de adición.
• Para el indicador Comprender el conjunto numérico de los números enteros y aplicarlo en la
resolución de problemas: recordar a los(as) alumnos(as) que el conjunto de los números enteros
permite resolver ecuaciones que no tenían solución en los números naturales. Los conceptos
de orden y valor absoluto pueden ser repasados utilizando la recta numérica. También es
necesario repasar la regla de los signos, para esto, se sugiere utilizar regularidades, por ejemplo:
3 · 2; 3 · 1, 3 · 0, 3 · (–1), 3 · (–2), etc.
Evaluación diagnóstica (Páginas 10 y 11)

| 16 |
De acuerdo con el Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) comienzan a trabajar con
números decimales y fracciones a partir de 4° Básico: lectura y escritura de estos, las cuatro
operaciones aritméticas y la resolución de problemas. Así, estas páginas cumplen una doble misión:
por un lado, pretenden organizar y esquematizar los distintos conjuntos numéricos que los(as)
alumnos(as) han aprendido hasta este nivel; y por otro, entregar una definición formal del conjunto
de los números racionales. Además, se hace mención de que existen números que no son
racionales, ya que los(as) alumnos(as) han tenido que trabajar con algunos de estos números,
llamados irracionales.
• Al comenzar esta unidad, así como a lo largo de ella, los conjuntos numéricos y las operaciones
básicas entre ellos juegan un rol fundamental. Por lo tanto, se sugiere al docente estar atento a
aquellas dificultades que los(as) alumnos(as) puedan presentar respecto a estos contenidos.
• Un posible error a considerar es que los(as) alumnos(as) crean que los números racionales solo
corresponden a las fracciones, y que, por ejemplo, 0,15 no es un número racional sino un
número decimal. Frente a esto se sugiere al docente que, al momento de ejemplificar y en
especial cuando realice operaciones con números racionales, utilice variadas representaciones,
ya sean con números enteros, fraccionarios o decimales, incluyendo los infinitos periódicos y
semiperiódicos.
• Otro posible error tiene relación con la inclusión de los conjuntos numéricos. Para un(a)
alumno(a) puede resultar obvio, por ejemplo, que si 2 es un número natural, no puede ser un
número entero ni mucho menos un número racional. Para aclarar esto, se sugiere al docente
realizar una tabla que, contenga, en la primera columna los diferentes conjuntos numéricos y en
la primera fila, números a clasificar en los diferentes conjuntos que allí se proponen.
• Para un(a) alumno(a) puede resultar complejo entender por qué existen números que no son
racionales, ya que los números irracionales siempre se muestran utilizando aproximaciones, por
ejemplo: π ≈ 3,14 ó ≈ 1,41. Una propuesta para ayudar a disipar esta dificultad es preguntar
a los(as) estudiantes si conocen, o se les ocurre, alguna fracción cuyo cociente resulte
, para luego proponerles que comparen, con la calculadora, con la fracción . La
calculadora arrojará, para ambos números, el mismo resultado (hasta su décima cifra decimal).
Luego, indicarles que eleven al cuadrado esta fracción, para que verifiquen que el resultado no
es 2. Así, con este ejemplo, se evidencian las restricciones de aproximación de la calculadora y,
por otra parte, se muestra que la forma exacta de expresar este irracional es simplemente .
Números racionales (Páginas 12 y 13)
Conjuntos numéricos
Naturales ()
Enteros ()
Racionales ()
; ; –5; 1,58; 3,67; 3; 0,0002; 0
1
2
5
2
2 2
2
941.664
665.857

| 17 |
• Otra posible dificultad es que los(as) alumnos(as) no están acostumbrados a utilizar distintas
representaciones para un mismo número. Así, por ejemplo, un(a) alumno(a) puede considerar
que  , que  , o incluso que no es un número racional, pero que sí lo es 4 : 5,
ya que está representado como una división y resulta 0,8.
4
5
4
2
Ampliación de contenidos
Historia de los números racionales
Los egipcios (2700-2200 a. C.) trabajaban con fracciones, aunque las notaciones que tenían para ellas
eran diferentes a las actuales. Los babilónicos utilizaban un sistema similar a la “notación decimal”, el
cual empleaban con efecto extraordinario en sus mediciones astrológicas. Esta civilización usaba en vez
de la “coma decimal” un “punto y coma (;)” que representaba una “coma sexagesimal”, es decir, los
valores escritos a la derecha de ella eran múltiplos de , etc. Por ejemplo, la lista de
números 12,59;57,17 equivale a , que es aprox. 779,955.
Como ya se mencionó, los babilónicos utilizaron estas notaciones con una gran precisión en la
astronomía. Por ejemplo, calcularon que el período orbital de Marte (el tiempo que transcurre entre
las apariciones sucesivas del cuerpo celeste en la misma posición del cielo) era 12,59;57,17 días, es
decir, en nuestro sistema, aproximadamente 779,955 días. La cifra calculada actualmente corresponde
a 779,936 días.
Mucho más tarde, en el siglo V a. C., los griegos, en particular los pitagóricos (seguidores de la
escuela de Pitágoras), descubrieron que, además de los números racionales, existía otro tipo de
números: los números irracionales. Para ellos no fue nada fácil aceptar este hecho, porque
contradecía sus más profundas creencias. La siguiente leyenda deja de manifiesto la trascendencia
que tuvo para los pitagóricos este acontecimiento.
“Los pitagóricos formaban una secta religiosa, en la cual uno de sus pilares más importantes era que
todo lo natural podía ser explicado en términos de números enteros o fraccionarios. Sin embargo, uno
de sus seguidores, Hipaso de Metaponto, descubrió que este enunciado era falso. En concreto, demostró
que la diagonal de un cuadrado de lado una unidad no es un número racional (lo que en tiempos
contemporáneos significaría afirmar que es irracional). Cuenta la leyenda que Hipaso cometió el error
de divulgar tal hecho justo cuando los pitagóricos atravesaban el Mediterráneo en barco, y sus
compañeros de culto quedaron tan irritados que decidieron arrojarlo por la borda y este se ahogó”.
Fuente: Stewart, I. Historia de las Matemáticas en los últimos 10.000 años. Barcelona, España, 2007.
4
, , 1
603
1
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2

| 18 |
Representación fraccionaria de decimales infinitos periódicos y semiperiódicos (Páginas 14 y 15)
De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) en 5º Básico comienzan a trabajar
con transformaciones de fracciones a números decimales y recién en 1º Medio se trabaja con la
justificación de procedimientos para transformar de decimales infinitos periódicos y semiperiódicos
a fracción. Nuestro texto en 6º Básico, trata de forma algorítmica la transformación de decimales
infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción, pues en 1º Medio se pide por CMO la justificación
de estos procedimientos, por tanto, en estas páginas se pretende justificar el algoritmo que se utiliza
para estas transformaciones.
• Puede ser una dificultad para los(as) estudiantes identificar la cantidad por la que se debe multiplicar
a ambos lados de la ecuación correspondiente para eliminar el período del número decimal infinito,
ya que depende precisamente de la cantidad de cifras que tenga el período, por lo que se sugiere
al docente estar atento y ejercitar bastante en caso de presentar este tipo de errores.
• Es muy importante que los(as) alumnos(as) comprendan que la justificación del algoritmo permite
afirmar que cualquier decimal infinito periódico o semiperiódico es siempre un número racional.
Pitágoras y la música
Siguiendo con los números racionales y el mundo griego, Pitágoras realizó el siguiente experimento.
Tensó una cuerda musical que produjo un sonido cuyo tono tomó como base. Luego, marcó la
cuerda de forma tal que la dividió en doce partes iguales. Al hacer vibrar la cuerda en su mitad, 6,
notó que se obtenía un sonido consonante con el anterior, es decir, que la cuerda original y la mitad
de esa cuerda producían un sonido armonioso al hacerlas vibrar juntas. Era, precisamente, lo que
hoy se conoce con el nombre de octava superior. Luego, tocó en el 9 (o sea, en las partes de
la longitud de la cuerda) y dio otro sonido consonante con los anteriores: era la cuarta superior.
De la misma forma, tocando en el 8 (es decir, en las partes de la cuerda) se obtiene la quinta
superior. Así, Pitágoras descubrió que estas fracciones de la cuerda original correspondían a los
sonidos consonantes fundamentales: octava, cuarta y quinta.
Los intervalos que se forman al dividir la cuerda de acuerdo a las proporciones señaladas reciben
el nombre de octava, cuarta y quinta porque corresponden a esas notas en la escala pitagórica
diatónica (do, re, mi, fa, sol, la, si, do). Esto quiere decir que la cuerda con su longitud original
corresponde a la primera nota (do), al dividir la cuerda en la mitad se obtiene la octava nota (do),
al dividirla en las tres cuartas partes se obtiene la cuarta nota (fa), mientras que al dividirla en las
dos tercias partes se obtiene la quinta nota (sol).
Fuente: www.anarkasis.com/pitagoras
3
4
2
3

| 19 |
De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) en 5º Básico han comparado
números decimales y fracciones y los han ubicado en la recta numérica. En estas páginas se
pretende que los(as) estudiantes comparen números racionales que no necesariamente están
representados de la misma forma (fraccionaria o decimal) y que los ubiquen, indistintamente de su
representación, en la recta numérica.
• La representación en la recta numérica puede ser una ayuda para establecer relaciones de
equivalencia entre algunas representaciones de números racionales, como por ejemplo, 0,25 y .
• Se sugiere al docente explicar a los(as) estudiantes que, por ejemplo, si bien los números ,
y 0,4 son equivalentes, para representar la fracción es mejor utilizar su expresión
irreductible.
• Al comparar números racionales en su representación decimal, a veces los(as) alumnos(as) se
equivocan al establecer el orden, debido a errores conceptuales respecto del valor posicional
de las cifras. Así, por ejemplo, si se le pide a un(a) alumno(a) que compare los números 0,128
y 0,4, puede llegar a la conclusión de que 0,128 > 0,4, porque 128 > 4.
Orden y ubicación en la recta numérica (Página 16)
• Al momento de trabajar la propiedad de clausura de los números racionales, se sugiere recurrir
a los conocimientos previos de los(as) alumnos(as) y mostrar lo que sucede en otros conjuntos
numéricos con las cuatro operaciones aritméticas básicas.
• Es posible que los(as) estudiantes se confundan con la propiedad de densidad de los números
racionales, ya que al aceptar que entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos
números racionales, concluyan que la recta numérica “se completa”, imposibilitando de esta
forma la existencia de los números irracionales. Por lo tanto, se sugiere al docente señalar a
los(as) alumnos(as) que la recta numérica no “se completa” solo con los números racionales.
• La densidad de los números racionales puede ser utilizada para mostrar a los(as) alumnos(as),
que, por ejemplo, 0,9 = 1. En efecto, si estos dos números racionales fuesen distintos, por la
propiedad de densidad de los números racionales existirían infinitos números racionales entre
ellos, mayores que 0,9 y menores que 1, lo cual es imposible.
Clausura y densidad (Página 17)
1
4
2
5
40
100
40
100

| 20 |
Cerradura de un conjunto con respecto a una operación
Definición: Dada la operación Φ, se dice que un conjunto numérico A es cerrado con respecto a
Φ si para todo par de elementos a, b ∈ A se tiene que a Φ b ∈A.
Para efectos prácticos, se consideraran los conjuntos numéricos de los naturales (), enteros ()
y racionales ().
Ejemplos
1. ,  y  son conjuntos numéricos cerrados con respecto a la adición, ya que por ejemplo, al
sumar dos números naturales su resultado también es un número natural, así como también al
sumar dos números enteros o dos números racionales.
2. Solo  y  son conjuntos numéricos cerrados con respecto a la sustracción, pues en los
naturales, por ejemplo, al sustraer 5 – 8 no resulta un número natural.
Ejercicios
Determina si ,  o  son conjuntos numéricos cerrados con respecto a las siguientes operaciones.
1. La multiplicación.
Respuesta: ,  y  son conjuntos cerrados con respecto a esta operación.
2. La división.
Respuesta: solo  es cerrado con respecto a esta operación.
3. Se define la operación ∆ como a ∆ b = a · (a + b).
Respuesta: ,  y  son conjuntos cerrados con respecto a esta operación.
4. Se define la operación Ω, donde a Ω b = π + (a · b).
Respuesta: ,  y  no son conjuntos cerrados con respecto a esta operación.
Paradoja de Zenón
En la antigüedad, la civilización griega tenía una especial fascinación e interés por la comprensión científica,
no tan solo de las figuras geométricas (en especial triángulos y círculos), sino que de todo el cosmos.
Uno de sus mayores representantes fue Zenón, quien se caracterizó por hacer descubrimientos que
dejaban perplejos a sus contemporáneos; muchos de ellos se conocen actualmente como paradojas.
Zenón estaba fascinado con la idea del infinito, la cual expresa a través de la siguiente paradoja, que
guarda estrecha relación con la densidad de los números racionales.
Paradoja
“Zenón confundió en gran manera a sus colegas pensadores al señalar que el heroico Aquiles, por más
aprisa que corriera, no podría alcanzar a una tortuga con una ventaja inicial, puesto que, por ejemplo,
si a la tortuga se le da una ventaja inicial de diez metros, cuando Aquiles haya avanzado esa distancia,
la tortuga también habrá avanzado una distancia, por ejemplo, un décimo de la distancia recorrida por
Aquiles. Luego, cuando Aquiles se desplace hasta llegar al lugar en donde se encontraba la tortuga, esta
nuevamente habrá avanzado una distancia, colocándose adelante del héroe griego. Así, por muy
pequeña que sea la distancia, siempre se mantendrá la tortuga por delante de Aquiles.

| 21 |
En este apartado se pretende mostrar a los(as) estudiantes que tanto la adición como la
multiplicación cumplen con ciertas propiedades fundamentales, no así la sustracción y la división.
Para que los alumnos comprendan el real sentido de las propiedades, puede mostrar como en
otras operaciones que no es posible llegar inmediatamente a la conclusión correcta.
• Es importante que los(as) alumnos(as) entiendan que la aplicación de las propiedades de la
adición y multiplicación constituyen una estrategia para resolver problemas y que no las
consideren solo como “propiedades que se cumplen” sin darle un sentido de aplicación en la
resolución de problemas. Por lo tanto, es fundamental que los(as) estudiantes comprueben que
dichas propiedades no se cumplen con cualquier operación y que es esta la razón por la que
merecen una distinción especial. Se sugiere discutir con los(as) alumnos(as) la veracidad de
dichas propiedades con las operaciones de sustracción y división.
• A modo de motivación, se sugiere comentar a los(as) alumnos(as) que existen estudios
matemáticos, en especial en el ámbito del álgebra, en donde se intenta trabajar con conjuntos
de elementos que cumplen estas propiedades (cuerpos) o algunas de ellas (anillos o grupos).
Por supuesto que en la realidad, Aquiles –o la gran mayoría de las personas– alcanzaría y pasaría a la
tortuga en algún momento de la carrera. La respuesta a esta paradoja, y que está fuertemente ligada
a la propiedad de densidad de los números racionales, queda resuelta con la pregunta que se hizo
Zenón: ¿cómo es posible para un punto en movimiento pasar a través de un número infinito de
posiciones en un tiempo finito?”.
Fuente: Bergamini, D. Matemáticas. México D. F. México, 1965.
Propiedades de las operaciones con números racionales (Páginas 20 y 21)
Estas páginas tienen como finalidad que los(as) estudiantes refuercen, sistematicen y potencien sus
procedimientos para el cálculo con números racionales. Además, que consideren la operatoria con
estos números como una forma de modelar y resolver situaciones contextualizadas, razón por la
cual se presentan algunos ejemplos que dan cuenta de ello.
• La operatoria con números racionales muchas veces constituye una gran dificultad, tanto en este
nivel como en estudios posteriores de álgebra, geometría, cálculo, entre otros. Por esta razón,
se sugiere al docente estar atento a los posibles errores que los(as) alumnos(as) puedan
presentar en este tema.
Operatoria con números racionales (Páginas 22 y 23)

| 22 |
• Al enfocar el contenido desde la resolución de problemas, no solo es importante estar atento
a la forma en que los(as) estudiantes efectúan los cálculos sino que también la manera en que
se plantean la situación problema. Es probable que algunos(as) logren dar con la respuesta, pero
no sepan explicar matemáticamente como llegaron al resultado; también es posible que
algunos(as) no logren plantear el problema en cuestión. Frente a esto, se sugiere al docente
discutir en conjunto con los(as) alumnos(as) la forma más conveniente de abordar el problema,
sistematizando la manera de resolverlo, es decir, identificando el problema, los datos y luego los
pasos a seguir en la operatoria.
• Respecto al orden de las operaciones, cuando estas son solo multiplicaciones y divisiones o solo
adiciones y sustracciones, un posible error de los(as) alumnos(as) es no operar de izquierda a
derecha. Así, por ejemplo, al resolver 8 : 2 · 3, pueden realizar (8 : 2) · 3 = 12 ó 8 : (2 · 3) = ,
llegando a dos resultados diferentes al efectuar la multiplicación y la división en cualquier orden.
• Otra posible dificultad se les puede presentar al sumar o restar una fracción con 1 ó 0. Por
ejemplo, 1 + , ya que al obtener el mcm de los denominadores no consideran el 1 como un
número racional equivalente a .
• Al operar con números racionales, las fracciones irreductibles son fundamentales para optimizar
tiempos y simplificar cálculos; sin embargo, muchas veces esto no es considerado por los(as)
alumnos(as). Por esta razón, se sugiere al docente señalar a los(as) estudiantes la importancia
de simplificar las fracciones antes de operar con ellas. Además, cuando se opera con números
decimales y fracciones, no siempre conviene transformar la fracción a decimal, o viceversa; esto
no lo tienen muy claro los(as) alumnos(as), y probablemente tratan de mecanizar un algoritmo
que les sirva para todos los ejercicios. Así, la intervención del docente en este punto vuelve a
ser crucial, por lo que se sugiere hacer notar estas diferencias con ejemplos que evidencien la
conveniencia de una u otra conversión.
En estas páginas nuevamente se trabajan los números racionales en un contexto de aplicación,
enfatizando la interpretación de los resultados obtenidos de acuerdo al contexto. Así, los
principales contenidos a tratar corresponden a la aproximación por redondeo y por truncamiento.
• Es importante que el(la) alumno(a) comprenda que el tipo de aproximación que se utilice
depende del contexto en que esté planteado el problema. Se sugiere al docente que utilice
ejemplos en que se apliquen porcentajes o promedios, ya que las aproximaciones variarán en
función de dar una solución atingente al problema.
Resolución de problemas con números racionales (Páginas 26 y 27)
4
3
2
13 13
13

| 23 |
En estas páginas se retoma la definición de potencias, ya conocida por los alumnos(as), ampliandola
a potencias de base racional y exponente entero. Se propone abordar este tema a partir de las
regularidades y, a través de ello, lograr la generalización.
• Como las potencias con exponentes negativos no se pueden interpretar de la misma manera
que las de exponente natural, es importante señalar a los(as) alumnos(as) las ventajas de usar
esta notación. Por ejemplo:
– para trabajar con bases más pequeñas y simples.
Ejemplo: 2
–2
en vez de .
– Extender las propiedades de las potencias que antes no tenían sentido.
Ejemplo: 3
4
: 3
6
= 3
–2
– Aplicar propiedades de potencias de igual base, etc.
• Un error clásico al trabajar con potencias de exponente negativo es “traspasar” el signo del
exponente a la base, por ejemplo, (0,27)
–3
= (–0,27)
3
. Por lo tanto, es muy importante que
el(la) docente enfatice que el signo menos en el exponente de una potencia corresponde a una
notación y no tiene relación con el signo de la base.
• Una de las propiedades que los(as) alumnos(as) suelen olvidar es . Para reforzarla se sugiere
proponerles ejercicios que involucren cantidades muy grandes o con muchos decimales o con
varias expresiones algebraicas, elevadas a 0, y que puedan constatar lo práctico que es utilizar
esta propiedad.
• Respecto al punto anterior, es importante recalcar que dicha propiedad es válida para todos los
números racionales, excepto para el 0. Se sugiere discutir con los(as) alumnos(as) las
consecuencias de que esta propiedad fuese válida también para este racional.
Ejemplo
Revisar con los(as) alumnos(as) una forma de verificar algebraicamente esta propiedad.
4
0
= 4
1 – 1
= = 1 Por tanto, 4
0
= 1
0
0
= 0
1 – 1
= Esto carece de sentido.
Esta división es equivalente a preguntarse por un número que multiplicado por 0 dé como
resultado 0, pregunta que tiene infinitas respuestas.
4
4
Potencias de base racional y exponente entero (Páginas 30 y 31)
 
2
1
2
 
0
a
b
0
0

| 24 |
De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, se espera que los(as) alumnos(as) apliquen las
propiedades de las potencias de base entera y exponente natural a potencias de base racional y
exponente entero. Por lo tanto, en estas páginas se busca reforzar las propiedades de las potencias
con base racional, además de extenderlas y generalizarlas para potencias de base racional y
exponente entero.
• Se sugiere al docente justificar las propiedades de las potencias mediante ejemplos numéricos,
para una mejor comprensión de los(as) alumnos(as).
Ejemplo
Para la propiedad a
r
· a
s
= a
r + s
, se puede mostrar que:
• Al simplificar expresiones utilizando propiedades de las potencias, se pueden presentar
dificultades, ya que los(as) alumnos(as) tienden a desarrollar las potencias en vez de aplicar las
propiedades respectivas, no considerando el tiempo invertido en ello, y que existe mayor
probabilidad de cometer errores. Se sugiere al docente señalar la importancia práctica que tiene
utilizar las potencias y sus propiedades cuando se trabaja con cantidades grandes o con números
con muchas cifras que dificultan el cálculo.
A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (ficha n° 1 y ficha n° 2) con el propósito de
apoyar a los(as) estudiantes en el aprendizaje de los números racionales, especialmente a aquellos(as)
cuyos rendimientos sean insatisfactorios o bien presenten mayores dificultades. Los problemas están
basados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, se presentan dos fichas de
profundización (ficha n° 3 y ficha n° 4) que buscan ahondar en los aprendizajes y contenidos
evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as) alumnos(as) cuyos
resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas correctas, sin excluir a
aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.
Propiedades de las potencias (Páginas 32 y 33)
 
3
·  
4
=  · · ·  · · · =  
7
=  
3 + 4
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3

| 25 |

| 26 |
Ficha de trabajo nº 1 Reforzamiento Unidad 1
NOMBRE: CURSO: FECHA:
U
n
i
d
a
d
1
Objetivos:
Reforzar las propiedades de clausura y densidad de los racionales y el cálculo de adiciones y multiplicaciones.
Sean P y Q dos números racionales. Encuentra 5 números racionales A, B, C, D y E tales que se cumpla la siguiente condición:
P < A < B < C < D < E < Q
y, que al ubicarlos en la recta numérica la distancia entre cada par sucesivo sea la misma en cualquiera de los casos.
P A B C D E Q
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1 3 5
13
3
11
3
7
3
5
3
Por ejemplo, para P = 1 y Q = 5, se tiene que: A = , B = , C = 3, D = , E = . Para cada par sucesivo de números la
distancia es .
2
3
13
3
11
3
7
3
5
3
Encuentra A, B, C, D, y E para los siguientes valores de P y Q.
1. P = 3 y Q = 12 2. P = y Q =
8
3
4
3
3. P = – y Q =
7
3
2
3
} } } } } }
} } } } } }

| 27 |
A =
{ 
1
;
 
–2
;
 
2
;
 
–1
;
 
–2
}
y B =
{ 
0
;
 
–1
;
 
1
;
 
–2
;
 
2
}
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
Objetivos:
Establecer la relación de orden en potencias de base racional y exponente entero.
U
n
i
d
a
d
1
Según los conjuntos A y B, responde.
1. Ordena los elementos de cada conjunto de menor a mayor.
2. Ordena los elementos de ambos conjuntos de menor a mayor.
3. Ubica los elementos de ambos conjuntos en una recta numérica.

| 28 |
U
n
i
d
a
d
1
Objetivos:
Comparar fracciones y analizar las restricciones de la calculadora.
Lee con atención las siguientes proposiciones y responde.
1. ¿Las fracciones y son iguales?
¿Qué puedes concluir al usar una calculadora para verificar esta condición? Justifica la respuesta.
84.325
5.831.760
27.457
1.898.875
2. ¿La expresión es igual a ?
Utiliza una calculadora para verificar qué resultados se obtienen en ambos casos. Justifica tu respuesta.
2
941.664
665.857
Ficha de trabajo nº 3 Profundización Unidad 1

| 29 |
Ficha de trabajo nº 4
Objetivos:
Aproximar un número irracional mediante números racionales, utilizando potencias de base racional y exponente
entero.
U
n
i
d
a
d
1
Lee con atención y, luego, responde.
es un número irracional, es decir, no puede representarse como fracción. Si este número,
≈ 1,4142135623730950488016887242097 se trunca, por ejemplo, a 3 decimales, se tiene que ≈ 1,414.
Sin utilizar la calculadora, ¿cómo puedes obtener un valor aproximado de ?
Por la aproximación anterior se tiene que 1 < < 2
Al elevar al cuadrado nos queda que 1 < 2 < 4
Si se quiere aproximar esta cifra con un decimal, se consideran valores entre 1 y 2 (con un decimal) y se elevan al cuadrado.
Según estos cálculos, se ubica entre los números 1,4 y 1,5, es decir, 1,4 < < 1,5.
Para aproximar con 2 cifras de precisión, se consideran los números entre 1,4 y 1,5 con 2 decimales. Así, se tiene que:
Lo que implica que: (1,41)
2
< 2 < (1,42)
2
, con lo cual, 1,41 < < 1,42.
Si se itera el proceso, se encontrará una aproximación más precisa de este número, pero considerando que el proceso es
infinito, ya que es un irracional.
Análogamente, para encontrar 3 cifras de exactitud, se consideran los decimales entre 1,41 y 1,42 con 3 decimales, así se tiene que:
Lo que implica que: (1,414)
2
< 2 < (1,415)
2
, con lo cual, 1,414 < < 1,415.
Siguiendo el mismo procedimiento, aproxima:
1. el valor de con tres decimales de exactitud. 2. el valor de con tres decimales de exactitud.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Profundización Unidad 1
(1,1)2
= 1,21 (1,2)2
= 1,44 (1,3)2
= 1,69
(1,41)2
= 1,9881 (1,42)2
= 2,0164
(1,4)2
= 1,96 (1,5)2
= 2,25
(1,411)2
= 1,990921 (1,412)2
= 1,993744 (1,413)2
= 1,996569 (1,414)2
= 1,999396 (1,415)2
= 2,002225
3 5

| 30 |
U
n
i
d
a
d
1
Evaluación de la unidad 1
Marca la alternativa correcta de cada una de las siguientes preguntas.
1. ¿Cuál o cuáles de los siguientes números no son
racionales?
I. II. III. π IV. 1,06
A. I y III D. II y III
B. II y IV E. I, III y IV
C. I y IV
2. ¿Cuál de las siguientes sucesiones está ordenada de
menor a mayor?
A. – ; ; 0,3; D. – ; ; ; 0,3
B. – ; 0,3; ; E. ; 0,3; ; –
C. ; ; 0,3; –
3. La representación decimal de – corresponde a:
A. –1,23 C. –0,43 E. 0,43
B. –0,43 D. 1,23
4. ¿Cuál de las siguientes representaciones corresponde a
un número racional?
A. 6 + 4 : (3,4 – 1,2)
B. (π)5
+ – 8,37
C. (–1,2)5
+ 7 – 2,412
D. 6 – (3,3)–4
·
E. –0,43 + 5,5 · 2 – (3)3
+ π
5. La expresión (0,3)
2
es equivalente a:
A. 0,9 D. 0,1
B. 0,9 E. No se puede determinar.
C. 1
6. La representación fraccionaria de 1,3426 es:
A. D.
B. E.
C.
7. Si N  M = NM – N, el valor que falta (x) para que
la expresión n  x = n sea válida es:
A. –2 D. 1
B. –1 E. 2
C. 0
8. Un cordel se corta en cuatro partes. La primera
corresponde a del total, la segunda a del total y
la tercera a del total. Si quedan 80 cm, ¿cuál era el
largo del cordel?
A. Casi 360 cm. D. 1,8 m
B. 3,2 m E. Otro valor.
C. 2,7 m
6.646
4.995
3.323
2.475
6.646
2.250
3.323
2.250
3.323
9.900
4
6
3
4
7
5
6
2
5
2
20
1
3
1
2
2
20
1
3
1
2
1
2
1
3
2
20
1
3
1
2
2
20
1
2
1
3
2
20
5
3
π
2
2
15
2
9
1
5
9

| 31 |
U
n
i
d
a
d
1
9. El resultado de la expresión es:
A. –
B.
C.
D. –
E. Ninguna de las anteriores.
10. El resultado de la expresión es:
A. 1,1 D. –0,2
B. 5,77 E. 5,7
C. 4,4
11. Al aproximar por truncamiento y redondeo a la
centésima, respectivamente, resulta:
A. 0,93 y 0,94
B. 0,94 y 0,93
C. 0,93 y 0,93
D. 0,94 y 0,94
E. 0,93 y 0,92
12. ¿Qué nota necesito obtener como mínimo en la
tercera prueba para que el promedio sea 5,45 si en las
dos pruebas anteriores mis notas fueron 3,5 y 7,0?
A. 5,0
B. 5,7
C. 5,8
D. 5,9
E. 6,0
13. El resultado de corresponde a:
A. 1 D. 1,6
B. 2 E. 2,5
C. 0,5
14. Al truncar a la milésima la expresión , el resultado
es:
A. 15,630
B. 15,626
C. 15,635
D. 15,625
15. La expresión equivale a:
A. D.
B. E. Otro valor.
C.
16. El valor de x que cumple con la igualdad
es:
A. –1 D. –2
B. E. 2
C. 1
1
2
2
3
2
3
1
3
1
3
–1 + – 0,3
3
4
2 – 0,25
1 –
1
2
–1 – 1
–1 – 1
2,7 + –
3,5·

1
2,5 – 4
4
6
15
16
 
–3
2
5
 
–18
3
5
 
2
3
5
 
18
3
5
 
–2
3
5
 
6
·  
3
·  
2
·  
5
2
5
3
2
2
5
3
2
 
–12
·  
–12
·  
2
3
5
6
8
4
5
(–3)
2

x

4
= 81

| 32 |
U
n
i
d
a
d
1
Solucionario
Ficha de reforzamiento nº 1
1. P = 3; A = ; B = 6; C = ; D = 9; E = ; Q = 12; la distancia entre cada par de números es .
2. P = ; A = ; B = ; C = 2; D = ; E = ; Q = = ; la distancia entre cada par de números es .
3. P = – ; A = – ; B = ; C = ; D = ; E = ; Q = ; la distancia entre cada par de números es .
1
2
7
3
11
6
4
3
5
6
1
3
1
6
2
3
2
9
8
3
24
9
22
9
20
9
16
9
14
9
4
3
3
2
21
2
15
2
9
2
1. Los conjuntos ordenados de menor a mayor corresponden a:
2. Ambos conjuntos ordenados de menor a mayor corresponden a:
3. La ubicación de ambos conjuntos en la recta numérica es la siguiente:
Ficha de profundización nº 3
1. Las fracciones no son iguales, pero al resolverlas con la calculadora, se obtienen los mismos resultados, 0,0144596142,
debido a la aproximación que la calculadora realiza, ya que no tiene el espacio suficiente para poner más cifras decimales.
Para comparar las fracciones sin calcular el cociente que nos induce a error, es conveniente multiplicar cruzado, donde sí se
obtiene que los resultados son diferentes: 160.122.634.320 y 160.122.634.375.
2. Nuevamente, las restricciones de la calculadora nos inducen a error, ya que la aproximación que realiza nos entrega
resultados iguales. En este caso, para responder la pregunta se debe tener en cuenta que no es un número racional, por
lo que no es posible escribirlo como fracción, por lo tanto, ambas representaciones no pueden ser iguales.
A = { 
2
;  
1
;  
–1
;  
–2
;  
–2
} y B = { 
2
;  
1
;  
0
;  
–1
;  
–2
}
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
4
1
2
1
3
1
2
1
3
A  B = { 
2
;  
2
;  
1
;  
1
;  
0
;  
–1
;  
–2
;  
–1
;  
–2
;  
–2
}
1
4
1
2
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
2
2
3
1
3
2
1. 1,732 < < 1,733 2. 2,236 < < 2,237
5
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
 
–2
1
2
9
4  
–1
1
3
 
–1
2
3
 
0
2
3
2
3
4
9
1
9
1
2
 
–2
1
4

| 33 |
Bibliografía
U
n
i
d
a
d
1
Evaluación de la unidad
1. A 9. A
2. B 10. E
3. B 11. A
4. C 12. D
5. D 13. B
6. E 14. D
7. E 15. B
8. D 16. B
• Bergamini, D. Matemáticas. Colección Científica de Life en español, México, 1965.
• De Guzmán, M., Cólera, J., Salvador, A. Matemáticas Bachillerato 1. Grupo Anaya, Madrid, 1987.
• Hanouch, B., Choquer–Raoult, A., Cocault, M. Maths repères premier S. Hachete Éducation, París, 2005.
• Ministerio de Educación, Ajuste Curricular Aprobado, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios,
Matemática, junio 2009.
• Stewart, I. Historia de las Matemáticas en los últimos 10.000 años. Barcelona, 2007.
Sitios webs
• Hachette Education: www.hachette–education.com
• Éditions du Kangourou: www.mathkang.org
• Ministerio de Educación: www.mineduc.cl
• Sector matemática: www.sectormatematica.cl
• Educarchile: www.educarchile.cl

| 34 |
Esta unidad tiene por objetivo que los(as) alumnos(as) modelen y resuelvan, mediante el lenguaje
algebraico, situaciones problemas de diversa complejidad, dominen la operatoria algebraica, en
particular la multiplicativa, y sus aplicaciones.
Antes de comenzar la unidad, es importante revisar el fichero que se encuentra al final del texto
del alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.
La actividad de inicio tiene el propósito de que los(as) estudiantes reconozcan medidas expresadas en
forma algebraica, reduzcan términos semejantes (contenidos trabajados en 7º Año Básico) y asocien el
producto de estas expresiones con el área de un rectángulo. Esta actividad tiene también por objetivo
facilitar la comprensión de la multiplicación de binomios, apoyándose en representaciones geométricas.
Presentación de la unidad
Páginas de inicio (Páginas 42 y 43)

| 35 |
UNIDAD 2 | Factores y productos
Sugerencias o remediales
• Para superar algunos errores relacionados con el indicador Traducir del lenguaje natural al
lenguaje algebraico: se propone utilizar regularidades numéricas simples, incluyendo primero una
operación y luego combinando dos o más. La valorización de expresiones algebraicas también
es un recurso para aquellos estudiantes que presentan dificultades al identificar la expresión
correspondiente a un enunciado. Por otra parte, al traducir frases del lenguaje natural al lenguaje
algebraico se recomienda comenzar con situaciones que involucren una operación, y luego,
incluir más operaciones, aumentando la dificultad.
• Si los(as) alumnos(as) presentan problemas con el indicador Valorizar expresiones algebraicas: se
sugiere realizar ejercicios en donde la valorización sea, en primer lugar, con números naturales,
luego con números enteros negativos y, por último, con números racionales.
• Para facilitar el aprendizaje del indicador Modelar situaciones utilizando lenguaje algebraico: realizar
ejercicios de sucesiones sencillas (números pares, múltiplos de números naturales, etc.) en
donde se deba encontrar el término general, para luego abordar progresiones aritméticas y
geométricas.
• Frecuentemente se presentan dudas relacionadas con el indicador Plantear y resolver ecuaciones
de primer grado con una incógnita reduciendo términos semejantes: estas son, esencialmente, de
planteamiento y de operatoria algebraica. Para los errores de planteamiento se recomiendan las
mismas sugerencias y remediales dados para el primer indicador. En el caso de la resolución de
ecuaciones y la correspondiente operatoria algebraica, la justificación de los pasos realizados al
resolver una ecuación puede ser de gran ayuda para que los(as) alumnos(as) superen sus errores.
Evaluación diagnóstica (Páginas 44 y 45)
De acuerdo con el Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) aprenden las primeras nociones
algebraicas en 5° y 6° Básico, en donde traducen expresiones del lenguaje natural al lenguaje
algebraico, y viceversa, junto con plantear y resolver ecuaciones. Por tanto, estas páginas tienen por
objetivo recordar las características de un término algebraico y abordar este lenguaje desde su
nomenclatura, trabajando la identificación y clasificación de expresiones algebraicas.
• El desarrollo del lenguaje algebraico es bastante actual; por eso, interesa que los(as) estudiantes
puedan dimensionar lo difícil que les resultaba a los matemáticos antiguos modelar algunos
problemas. Se sugiere al docente compartir con los(as) estudiantes los datos entregados en la
sección Ampliación de contenidos.
• Para la clasificación de expresiones algebraicas, insista a los(as) estudiantes en que primero
reduzcan términos semejantes y luego clasifiquen la expresión.
Lenguaje algebraico (Páginas 46 y 47)

| 36 |
Los babilonios y la ecuación de segundo grado
Los babilonios utilizaban, en lugar de papel, bloques de arcilla en los que dibujaban y escribían,
desechándolos posteriormente. Sin embargo, debido al calor o la acción del fuego, muy pocas
tablillas se han podido conservar hasta hoy. Para fortuna de los investigadores, en algunas de estas
se plantean problemas sobre cantidades desconocidas y los métodos para encontrarlas. Un ejemplo
interesante es la resolución de lo que hoy se conoce como ecuación de segundo grado. Un
problema tomado de la tablilla BM 13901 plantea:
“He sumado siete veces el lado de mi cuadrado y once veces el área, obteniendo 6;15” (aquí
6;15 está escrito en notación sexagesimal y significa 6 más , es decir, 6 en la notación actual).
Dado que los babilonios no contaban con un lenguaje algebraico que les permitiera generalizar los
resultados que obtenían, solo daban solución al problema planteado señalando los pasos que
habían seguido. Para el ejemplo anterior, los babilonios proponían lo siguiente:
“Escribe 7 y 11. Multiplica 6;15 por 11, obteniendo 1,8;45. Divide 7 por la mitad, obteniendo 3;30 y 3;30.
Multiplica, obteniendo 12;15 (esto es 3,30 · 3,30). Suma esto a 1,8;45, obteniendo resultado 1,21. Esto
es el cuadrado de 9. Resta 3;30, que multiplicaste, de 9. Resultado 5;30. El recíproco de 11 no puede
encontrarse. ¿Pero, qué debo multiplicar por 11 para obtener 5;30? 0;30, el lado del cuadrado es 0;30”.
Por no contar con un lenguaje algebraico formal, era tarea del estudiante generalizar la solución
obtenida y aplicarla a otro tipo de ecuación.
Si ahora se utiliza el lenguaje algebraico actual para describir el problema anterior y su solución, se
tiene que:
a = 11, b = 7, c = 6;15 = 6 , por lo que la ecuación toma la forma: ax2
+ bx = c, para aquellos
valores de a, b y c.
Para deducir el valor de x, la solución babilónica dice lo siguiente:
1° Multiplicar c por a, lo que da ac.
2° Dividir b por 2, lo que da .
4º Sumar lo anterior a ac, obteniendo ac + .
5º Tomar su raíz cuadrada, es decir, .
6º Restar a lo anterior , obteniendo .
b
2
b2
4
b
2
1
4
1
4
15
60
3° Elevar al cuadrado, obteniendo .
b2
4
b
2
ac
b
+
2
4
ac
b b
+ −
2
4 2

| 37 |
7º Dividir en a, obteniendo así que x = , que es equivalente a la fórmula que se
usa en la actualidad para resolver una ecuación de segundo grado.
Tartaglia y la ecuación cúbica
En épocas pasadas, los matemáticos recurrían a diversas notaciones y formas de expresarse, para
comunicar los resultados obtenidos. Un ejemplo es el propuesto por Tartaglia para resolver
ecuaciones de tercer grado. En el siglo XVI, dos matemáticos –Tartaglia y Fiore– se trenzaron en
un duelo que consistía en resolver treinta problemas relacionados con la ecuación de tercer grado,
ya que el primero aseguraba que tenía un método para resolverlas y el segundo acusaba a Tartaglia
de impostor. Ambos apostaron su dinero y el plazo máximo para resolverlos era de cuarenta días.
Finalmente, Tartaglia ganó el duelo, resolviéndolos en solo dos horas.
Para resumir sus técnicas, Tartaglia redactó los siguientes versos:
“Cuando el cubo con la cosa cerca, se iguala a cualquier número discreto, se encuentran dos, diferentes
en eso. Después tendrás esto por norma: que su producto sea siempre igual al tercio cubo de la cosa
limpia. El resto general de los lados del cubo bien restados será tu cosa principal”.
Fuente: Vera, F. 20 Matemáticos Célebres. Buenos Aires, Argentina, 1959.
Se pueden interpretar los versos de Tartaglia de la siguiente manera:
Pese a las diferencias con los métodos actuales, hay un notorio avance con respecto a los
babilonios, pues Tartaglia sí entrega una fórmula de resolución general y no solo un caso particular.
ac
b b
a
+ −
2
4 2
“Cuando el cubo con la cosa cerca,
se iguala a cualquier número discreto,
El cubo: x3
La cosa “cerca”: px
Igualadas a un número discreto: x3
+ px = q
se encuentran dos, diferentes en eso.
Se deben encontrar dos números, a y b,
tales que: a – b = q
Después tendrás esto por norma:
que su producto sea siempre igual
al tercio cubo de la cosa limpia.
El producto de a y b debe ser igual al cubo
de un tercio de p: ab =
 
3
p
3
El resto general de los lados del cubo
bien restados será tu cosa principal”.
Los lados del cubo son una forma de
referirse a la raíz cúbica. Es decir:
x a b
=
3 3
–

| 38 |
¿Cuándo y cómo surgió el álgebra?
A lo largo de los años se han creado los sistemas de notación para abreviar la escritura matemática,
los que han ido complementándose y perfeccionándose hasta llegar al que se usa hoy en día.
Diofanto de Alejandría fue uno de los primeros en utilizar símbolos en lugar de números
desconocidos. Su Aritmética (escrita alrededor del año 250) se centraba en la solución de
ecuaciones algebraicas. No obstante, su notación difiere notoriamente de la que se usa
actualmente, y su trabajo se mantuvo desconocido por mucho tiempo, por el abandono que
sufrieron las ciencias durante la Edad Media.
Los árabes tuvieron el mérito de haber sistematizado el estudio del álgebra, además de ser los
únicos que contribuyeron a la matemática en occidente durante gran parte de la Edad Media. La
palabra álgebra procede del árabe al-jabr, un término empleado por Muhammad ibn Musa al-
Khwarizmi que comenzó a popularizarse en el año 820. Su obra Al-Kitab al-jbr w’al-mugabala
explicaba métodos generales para resolver ecuaciones manipulando cantidades desconocidas,
aunque aún sin utilizar símbolos para las operaciones.
Fue recién en el período renacentista cuando la notación simbólica comenzó a acelerarse, utilizando
letras del alfabeto para designar algunas cantidades desconocidas y símbolos para representar
ciertas operaciones, dándole así forma a lo que hoy se conoce como álgebra.
A continuación, se señalan datos históricos de algunos símbolos matemáticos usados en la
actualidad.
Origen de algunos símbolos matemáticos
Signo de igualdad: en 1557, el matemático inglés Robert Recorde inventó el signo = para referirse
a una igualdad. Para argumentar su elección señaló “No hay dos cosas que se parezcan más que
dos líneas paralelas de una misma longitud”. Cabe destacar que el símbolo original propuesto por
Recorde utilizaba líneas más largas que las utilizadas hoy, algo así como . Esta notación tuvo
buena aceptación y poco a poco se fue acortando su longitud.
Signo de adición y sustracción: en el siglo XV comenzaron a emplearse algunos símbolos para las
operaciones elementales. Para la adición y la sustracción se empleaban las letras p y m,
respectivamente (plus y minus, en latín). Sin embargo, los símbolos + y – acabaron imponiéndose
a estas abreviaturas, los cuales eran utilizados por los mercaderes alemanes para distinguir exceso
o defecto en la medida de sus artículos.
Signo de multiplicación: William Oughtred introdujo el símbolo x para la multiplicación, el cual fue
adoptado y usado por otros matemáticos de la época. No obstante, Oughtred fue rotundamente
criticado por otro matemático, Leibniz, ya que dicho símbolo se confundía con la letra x. Así, a
menudo Leibniz relacionaba dos cantidades con un punto interpuesto, estableciéndose así la otra
notación para la multiplicación.
Para mayor información, ingresa a la página: www.epsilones.com.

| 39 |
En 7º Básico, los(as) alumnos(as) han sumado y restado términos algebraicos cuya parte literal solo
estaba compuesta por una letra; por lo tanto, en estas páginas se pretende ampliar esta operatoria
con términos semejantes más complejos, por ejemplo: 2a2
x3
y –6a2
x3
.
• Un error frecuente que cometen los(as) estudiantes en la reducción de términos semejantes,
es no considerar la conmutatividad de la multiplicación, por ejemplo que ab ≠ ba. Posiblemente
este error se deba a que les cuesta asumir que se trata de una multiplicación.
• Se sugiere al docente estar atento a los siguientes errores: x2
= x + x o x · x = 2x.
• La ansiedad de los(as) alumnos(as) es un factor importante al momento de reducir expresiones
algebraicas, ya que se requiere de un trabajo paciente y riguroso, especialmente cuando se trata
de eliminar paréntesis u operar con signos. Se sugiere al docente comenzar realizando ejercicios
paso a paso, para luego agilizar la resolución.
Adición y sustracción de expresiones algebraicas (Páginas 48 y 49)
En este contenido, la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición es fundamental.
Aunque esta propiedad ha sido enunciada y ejemplificada, pocas veces se hace necesaria si solo se
opera con números; en cambio, al multiplicar expresiones algebraicas surge su verdadera utilidad. En
estas páginas se ha optado por una justificación geométrica, para que el procedimiento les resulte más
natural a los(as) estudiantes.
• Se recomienda al docente estar atento a interpretaciones erróneas de la propiedad distributiva,
tales como 2(x · y) = 2x · 2y.
• Se sugiere repasar la aplicación de las propiedades de las potencias, utilizando términos
algebraicos para los ejemplos y ejercicios, y así evitar errores tales como: a
3
b
2
= (ab)
5
.
• Al multiplicar dos polinomios, es probable que los(as) alumnos(as) olviden multiplicar algunos
términos. El profesor(a) puede indicarles que una forma de corroborar si se omitió alguna
multiplicación puede ser contar la cantidad de términos que se obtuvieron, antes de reducir
términos semejantes.
Recordar que si se multiplica una expresión que tiene:
– 2 términos algebraicos por una que tiene 3 términos algebraicos, debe resultar –antes de
reducir términos semejantes, si los hay–, una expresión con 6 términos algebraicos (2 · 3 = 6).
Ejemplo: (x + y)(a + b + c) = xa + xb + xc + ya + yb + yc
– Asimismo, si se multiplica una expresión que tiene 4 términos algebraicos por una que tiene
2 términos algebraicos, debe resultar –antes de reducir términos semejantes, si los hay–, una
expresión con 8 términos algebraicos (4 · 2 = 8), etc.
Ejemplo: (1 + a – b + m2
)(m + n) = m + n + am + an – bm – bn + m3
+ m2
n
Multiplicación de expresiones algebraicas (Páginas 50 y 51)

| 40 |
Profundización de contenidos
Con los siguientes ejercicios los(as) estudiantes podrán relacionar los conocimientos de geometría
con los adquiridos hasta el momento en álgebra, en particular la adición y multiplicación de
polinomios. Se sugiere discutir la resolución de los problemas junto con los(as) estudiantes.
Desafío 1: En la figura, ABCD es un rectángulo y m(FE) = 2x.
a. ¿Cuál es el área del rectángulo ABCD? Respuesta: 6x2
+ x – 2.
b. ¿Cuál es el área del triángulo BEC? Respuesta: 2x2
– x.
c. ¿Cuál es el área de la figura ABECD? Respuesta: 8x
2
– 2.
Desafío 2: La siguiente figura está formada por tres semicircunferencias, una de color azul, otra de
color verde y otra de color rojo. El diámetro de la circunferencia de color azul es 2a + b, el de la
circunferencia de color verde es a – b y, el de la circunferencia de color rojo es 3a – 2b.
a. Encuentra una expresión, en términos de a, b y π, para el perímetro de cada una de las
semicircunferencias que aparecen en la figura.
Respuesta: para la semicircunferencia de color azul: aπ + bπ; para la semicircunferencia de
b. ¿Cuál es el perímetro de la figura en términos de a, b y π?
Respuesta: el perímetro de la figura es 3aπ – bπ.
1
2
color verde: aπ – bπ; para la semicircunferencia de color rojo: aπ – bπ.
3
2
1
2
1
2
2x – 1
3x + 2
D
A B
F
C
E

| 41 |
• Antes de comenzar con este contenido, se sugiere comprobar si los(as) alumnos(as) dominan la
multiplicación de polinomios (incluyendo las propiedades de las potencias), la identificación del
grado de un término y de una expresión, y la clasificación de los polinomios según sus términos.
• Se recomienda obtener los productos notables a partir de la regularidad que se produce al
resolver cada uno de ellos y así evitar que los alumnos(as) lleguen a conclusiones tales como:
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
, (a + b)3
= a3
+ 3ab + b3
, (a + b)4
= a4
+ 4ab + b4
, etc.
• Algunos(as) estudiantes pueden presentar dificultades al desarrollar el cuadrado de un binomio,
cuando se trata de una diferencia, y obtener, por ejemplo: (a – 2b)2
= a2
– 4ab – 4b2
.
• En general, a los(as) estudiantes no les cuesta reconocer una suma por diferencia sencilla; sin
embargo, cuando los términos involucrados son más complejos, suelen presentarse mayores
dificultades. Frente a esto, es importante que el(la) docente los(as) conduzca al reconocimiento
de este producto notable incluso cuando es necesario agregar paréntesis. Por ejemplo, la suma
por diferencia: (a + b)2
– c2
= (a + b + c)(a + b – c).
• Se sugiere realizar ejercicios, como por ejemplo: (a + b)(b – a), para mostrar que, aunque se
trata de una suma por diferencia, podría ser desarrollada erróneamente como a
2
– b
2
.
• Se sugiere trabajar, a modo de profundización, expresiones más complejas que puedan ser
tratadas como productos notables; por ejemplo: a4
+ 2(ab)2
+ b4
o .
A continuación se presentan ejercicios que relacionan conceptos geométricos con productos
notables.
Desafío 1: En la siguiente figura se tienen dos círculos concéntricos. El radio del círculo de color
rojo mide R cm, mientras que la diferencia entre los radios de los círculos es de 2 cm.
a. Expresa en términos de π y R el área de los círculos.
Respuesta: el área del círculo rojo es R2
π cm2
, mientras que el área del círculo de color
verde es (R2
+ 4R + 4)π cm2
.
b. Expresa en términos de π y R el área de la superficie de color verde.
Respuesta: el área de la superficie de color verde es (4R + 4)π cm
2
.
2 5 5 2
+ +
( )( )
b b – –
Productos notables (Páginas 52 a 55)
O

| 42 |
Desafío 2: Considera un cubo de arista (3a + 2) cm, tal como se muestra en la figura:
a. Expresa, en función de a, el volumen del cubo.
Respuesta: el volumen del cubo es (3a + 2)
3
cm
3
, es decir, (27a
3
+ 54a
2
+ 36a + 8) cm
3
.
b. Calcula el volumen del cubo para a = 3.
Respuesta: 1.331 cm3
.
c. ¿Es cierto que el área total del cubo, en función de a, es igual a 54a
2
+ 72a + 24?
Demuéstralo.
Respuesta: la superficie total del cubo es 6(3a + 2)2
, que es igual a 54a2
+ 72a + 24.
• En la diferencia de cuadrados, una de las principales dificultades recae en la identificación de los
términos quedan origena loscuadrados que se están restando, ya que, por ejemplo,reconocerlos
en la expresión 4 – x2
es relativamente sencillo, pero no lo es al identificarlos en 4t2
s6
– 9r10
s8
(los términos corresponden a: 2ts3
y 3r5
s4
).
• En la factorización de trinomios de la forma ax2
+ px + q (y dado que no se aborda en este
nivel la resolución de la ecuación de segundo grado), se debe tener especial cuidado en
seleccionar ejemplos que permitan una factorización sencilla.
Desafío 1: La siguiente figura consta de dos cuadrados,
ABCD y EFGD. Tales que m(AD) = 3 cm y
m(ED) = (3x + 1) cm.
a. Encuentra el área de los cuadrados ABCD y EFGD.
Respuesta: el área del cuadrado ABCD es igual a 9 cm2, mientras que el área del cuadrado
EFGD es igual a (3x + 1)
2
cm
2
.
Factorización (Páginas 58 a 63)
3a + 2
D G C
A
F
E
B

| 44 |
Desafío 4: En la siguiente figura, m(AB) = 2bc + b2
+ c2
– a2
y h = 2bc – b2
– c2
+ a2
.
c. ¿Es cierto que el área del ABC es igual a (a + b + c)(a + b – c)(–a + b + c)?
Sugerencia: Intenta primero factorizar las expresiones de AB y h.
Respuesta: por un lado se tiene que:
m(AB) = 2bc + b2
+ c2
– a2
= (2bc + b2
+ c2
) – a2
= (b + c)2
– a2
= (b + c + a)(b + c – a)
Por otro lado:
h = 2bc – b2
– c2
+ a2
= a2
– (b2
– 2bc + c2
) = a2
– (b – c)2
= (a + b – c)(a – b + c)
Por lo tanto, el área del triángulo ABC es igual a:
(m(AB) • h) = (a + b + c)(a + b – c)( –a + b + c)
1
2
1
2
1
2
A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (ficha n° 1 y ficha n° 2) con el propósito de
reforzar el aprendizaje de los productos notables y la factorización, especialmente para los(as)
alumnos(as) con rendimiento insatisfactorio. Los problemas están basados en las actividades propuestas
en el texto del estudiante. Luego, se presentan dos fichas de profundización (ficha n° 3 y ficha n° 4) que
buscan ahondar en los aprendizajes evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas
con los(as) alumnos(as) cuyos resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas
correctas, sin excluir a aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.
C
B
A
h

| 45 |

| 46 |
U
n
i
d
a
d
3
Objetivos:
Identificar y clasificar una expresión algebraica. Reducir términos semejantes.
Une cada expresión algebraica con su correspondiente clasificación.
1. 6ab4
c2
d9
2. a3 – + 3
3. –4 + 3r – 3r2
+ 5r3
4. w6
+ 4,6w4
– 3w2
+ 0,7w – 6
5. 3rs – 3r2
+ 5s2
Completa la tabla.
Grado respecto a cada variable Grado absoluto
6. n2
+ 14nm – 21n2
m3
+ 0,3m4
7. 2j2
+ 14j4
k – 2,4j3
h3
+ 16h5
Reduce las siguientes expresiones algebraicas.
8. 3r – 12r + 0,5r =
9. –4 – 3g + 4f + 5f – 4g + 3 =
10. –a4
+ a2
– 2a – 6a2
– a + 3a3
– 5a4
– 3a3
=
11. p + p2
– p – p2
+ p =
12. –0,5n – 14n + 6n =
13. 3j + 7h – 5 + 6h – 4j + 2 =
14. a3
– a2
+ a4
+ 2a – 5a3
– 4a4
+ a + 4a2
=
15. – p + p + p2
+ p – p2
=
2
3
2
3
2
5
4
3
1
4
1
2
1
3
5
2
2
5
5
6
y
4
Monomio
Binomio
Trinomio
Polinomio

Objetivos:
Multiplicar expresiones algebraicas aplicando productos notables.
U
n
i
d
a
d
3
Une cada expresión con su desarrollo.
1. (x + 2)2
x2
– 4x + 4
2. (x – 2)2 2x + 4
3. (1 – 2x)2
1 – 4x2
4. (x + 2)(x – 2) 1 – 4x + 4x2
5. (1 – 2x)(1 + 2x) 3x – 3
6. (x + 3)(x + 2) – (x + 1)(x + 2) x2 + 4x + 4
7. (x + 3)(x + 2) + 3(x + 1)(x + 3) x2
– 4
8. (x + 3)(x – 2) – (x + 1)(x – 3) 1 + 4x + 4x2
9. (1 + 2x)2
4x2
+ 17x + 15
Responde.
10. Calcula el volumen del cuerpo geométrico
Ayuda: considera el volumen de una pirámide de base rectangular como un tercio del producto de la superficie de la base
por la altura de la pirámide.
S
D C
G
H
I
6
3
x + 2
3x
F
E
A B
| 47 |

| 48 |
U
n
i
d
a
d
2
Objetivos:
Sumar expresiones algebraicas y resolver ecuaciones lineales.
Un cuadrado mágico es una matriz compuesta por números de manera tal que la suma de cada una de sus filas, columnas y
diagonales es la misma.
1. ¿El siguiente arreglo es un cuadrado mágico?
2. ¿Qué valor debe tomar la incógnita x para que el siguiente arreglo de números sea un cuadrado mágico?
Ficha de trabajo nº 3 Profundización Unidad 2
2c – 3 3c – 4 –2c + 1
–3c + 2 c – 2 5c – 6
4c – 5 –c –1
2x + 2 x x + 1
x – 2 x + 2 5x – 6
3x – 3 2x + 1 x – 1

| 49 |
Ficha de trabajo nº 4
Objetivos:
Resolver productos notables y aplicar factorizaciones.
U
n
i
d
a
d
2
Responde.
1. Desarrolla y compara las multiplicaciones (a + b + c)
2
y (a + b + c + d)
2
. ¿Cómo podrías describir el desarrollo del
cuadrado de un polinomio? Exprésalo geométricamente, como se hizo con el cuadrado de binomio.
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.
2. x3
+ 2x2
+ x =
3. 3x5
– 48x =
4. 2x4
+ 12x3
+ 24x2
+ 16x =
5. x4
+ x2
y + x3
+ xy + x2
+ y =
6. x3
+ x2
+ x + 1 =
7. x3 + 2x2 – x – 2 =
Profundización Unidad 2

| 50 |
U
n
i
d
a
d
2
Evaluación de la unidad 2
Marca la alternativa correcta de cada una de las siguientes preguntas.
1. Las expresiones correspondientes a trinomios son:
I. a2
– bx + 3
II. 0,5x + 1
III. 2n4
+ n3
+ 4n
A. Solo I
B. Solo III
C. I y II
D. I y III
E. II y III
2. El grado absoluto de n6 – 5n3m2 + 4n4m2 – 4 es:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
3. La expresión que al reducirla da como resultado
4x – 3y es:
A. (2x + y) + (–x + y) – (4y + 3x – 2y)
B. (2x – 3y) + (2x + y) – (4y – 3x – 2y)
C. (2x + y) + (–x + 2y) + (–4y + 3x – 2y)
D. –(–2x – y) + (–x + y) + (–4y – 3x + 2y)
4. La expresión [(a + b) – (–b + a)] + [(2b – a) – (2a + b)]
al ser reducida resulta:
A. b – 3a
B. 3b – 3a
C. 3a – 3b
D. a – 3b
E. a – b
5. La propiedad que se utiliza en el desarrollo de los
productos de la forma A(B + C) = AB + AC se llama:
A. distributiva.
B. asociativa.
C. conmutativa.
D. multiplicativa.
6. El desarrollo de la expresión (x + y)(y – 3x)
corresponde a:
A. x2
– 2xy + 3y2
D. –x2
– 2xy + 3y2
B. –3x2
– 2xy + y2
E. –3x2
+ 2xy – y2
C. 3x2 – 2xy + y2
7. Al reducir la expresión 0,6 f + g + 3–2 – f
se obtiene:
A. f2
– fg – f – g – 6
C. f2
– fg – f – g – 6
8. El resultado de reducir la expresión
(2m + 3n)2
+ (m – 2n)(2n + m) es:
A. 5m2
+ 12mn + 5n2
B. m2
+ 12mn + 9n2
C. –3n2
+ 12mn + 13m2
D. –5n
2
+ 12mn + 5m
2
E. n2
+ 12mn + 9m2
31
6
5
4
31
5
5
6
5
6
1
2
1
2
B. –f2 – fg + f + g – 6
31
5
5
6
D. f2
+ fg + f + g + 6
31
5
5
6

| 51 |
U
n
i
d
a
d
2
9. 9. El área de la figura achurada corresponde a:
A. 4x
2
+ 21x + 20
B. 4x2
+ 42x + 8
C. 4x2
+ 28x + 16
D. 6x2
+ 24x + 18
E. 4x2
+ 29x + 16
10. La expresión desarrollada de  p – 4t
3
corresponde a:
A. –64t3
+ 24pt2
+ 3p2
t –
C. –64t3 + 24pt2 – 3p2t +
11. ¿Qué términos faltan en la factorización de
n2
+ 5n – 24 = (n + )(n + )?
A. 8 y –3
B. 6 y –4
C. 12 y –2
D. 4 y –6
E. 3 y –8
12. ¿Cuál es el término que falta para que la igualdad
(5x
2
– 3y) · = 25x
4
– 30x
2
y + 9y
2
se mantenga?
A. 5x2
+ 3y
B. 5x2
– 3y
C. 5x – 3y2
D. 5x + 3y2
E. 5x2
+ 3y2
13. La factorización de la expresión 20a2
+ 13a – 15
corresponde a:
A. (5a – 5)(4a + 3)
B. (4a – 5) (5a + 3)
C. (20a + 15)(a – 1)
D. (4a + 5)(5a – 3)
E. (5a + 5)(4a – 3)
14. El valor de x en la ecuación
(x + 5)
2
+ (x + 3)(x – 3) = 2(x – 4)(x – 2) es:
A. –
B. 0
C.
D. 1
E.
15. El valor de n en la ecuación an + 6n = 2a
2
+ 6a + 3n
es:
A. n = 6
B. n = 0
C. n = –a
D. n = a
E. n = 2a
16. Si la temperatura en grados Fahrenheit (F) y Celsius (C)
se relacionan según F = 32 + 1,8C, ¿a cuánto equivalen
–40 ºC en grados Fahrenheit?
A. –40 ºF
B. –39,8 ºF
C. –24,8 ºF
D. 39,8 ºF
12
10
10
12
10
12
p3
8
p3
8
1
2
B. 64t3
+ 24pt2
+ 3p2
t + p3
8
D. –64t3
+ 24p2
t – 3pt2
+ p3
8
x + 4
3x + 3
2x + 6
x + 8

| 52 |
U
n
i
d
a
d
2
Solucionario
1. Monomio. 2. Trinomio. 3. Polinomio. 4. Polinomio. 5. Trinomio.
6. El grado con respecto a n es 2; con respecto a m es 4; el grado absoluto es 5.
7. El grado con respecto a h es 5; con respecto a j es 4; con respecto a k es 1; el grado absoluto es 6.
8. –8,5r 9. 9f – 7g – 1 10. –6a4
– 5a2
– 3a
11. – – p + – p2
12. –8,5n 13. 13h – j – 3
1. x2
+ 4x + 4 2. x2
– 4x + 4 3. 1 – 4x + 4x2
4. x2
– 4 5. 1 – 4x2
6. 2x + 4 7. 4x2
+ 17x + 15 8. 3x – 3 9. 1 + 4x + 4x2
10. Volumen paralelepípedo (x + 2) · 3 · 6 = 18x + 36. Luego, es (18x + 36) unidades cúbicas.
Volumen total vol. paralelepípedo + vol. pirámide (3x2
+ 18x + 24) unidades cúbicas.
1. Sí. Cada columna, fila y diagonal suman 3c – 6.
2. Sumar alguna de las filas (o columnas); luego, comparar los resultados mediante una ecuación, cuya solución es x = 3.
1. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
(a + b + c + d)2
= a2
+ b2
+ c2
+ d2
+ 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
El cuadrado de un polinomio puede expresarse como la suma de los cuadrados de cada término del polinomio, más el doble
de cada uno de los productos de dos términos que puedan formarse.
Expresados geométricamente se tiene que:
1
15
7
6
a
2
a
a b c
b
c
a
a b c d
b
c
d
b2
c2
ab
ba
ca
bc
cb
ac a
2
b2
c2
ab
ba
ca
da db dc d2
bc bd
cb cd
ac ad
Volumen pirámide · 3(x + 2)(3x – 6) = 3x2
– 12. Luego, es (3x2
– 12) unidades cúbicas.
1
3
14. –3a4
– 4a3
+ 3a2
+ 3a 15. p – p2
4
15
7
4

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