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Actividad 5. Pronósticos a través del modelo de regresión.

Objetivos de la actividad

En esta actividad serás capaz de:

 Conocer cómo evaluar si un modelo de regresión es correcto.
 Obtener pronósticos adecuados utilizando el modelo de regresión lineal múltiple.

Instrucciones

Apoyo visual

Lee con atención las siguientes instrucciones y realiza lo que se te pide:

1. Revisa el material de apoyo que se te presenta para esta actividad.
2. Lee el capítulo 5 de tu libro de texto (y el ejemplo del capítulo 3) ahí encontrarás la información básica
que permitirá trabajar esta actividad.
3. Realiza los problemas 11 al 15 del capítulo 3 del libro de texto para que adquieras la habilidad de
utilizar el software y reafirmes los conceptos estudiados.
4. Lee el siguiente caso que servirá como base para la realización de esta actividad:

Caso 5. Publicidad, un buen camino hacia las ventas.

El gerente de mercadotecnia de una cadena de tiendas de computadoras necesita información acerca de
la efectividad de los tres tipos de publicidad que la cadena emplea, los cuales son correo directo, anuncios
en el periódico y anuncios locales de televisión. Para determinar cuál de estos es más efectivo, el gerente
recopiló los datos de una semana de 25 tiendas seleccionadas aleatoriamente. Se emplearon las
siguientes variables de cada tienda:

 Utilidades por semana.
 Gastos por semana en correo directo.
 Gastos por semana en anuncios de periódico.
 Gastos por semana en anuncios de televisión.

Todas las variables se registraron en millones de dólares.

Un consultor, utilizando la información antes mencionada, fue el encargado de analizar la información y le
proporcionó al gerente la salida del software estadístico con los resultados del análisis, sin embargo, el
gerente no sabe interpretarlos, por lo que pidió al consultor que se los explicara, éste, le dijo que, por
cada millón de dólares que invierta en anuncios de periódico, se tendrá un incremento de 3.43 millones
de dólares en las utilidades de la cadena. El gerente, con la información proporcionada por el analista,
invirtió un millón de dólares adicional en anuncios por el periódico para el siguiente mes, y se preparó
para incrementar sus utilidades en 3.32 millones de dólares, sin embargo, las utilidades registradas
tuvieron un incremento de 5.8 millones, esto entusiasmó al gerente, quien repitió la estrategia, pero en
esta ocasión el incremento apenas alcanzó los 0.5 millones.



La información que el gerente le proporcionó al analista es la siguiente:

Utilidades Correo Periódico Televisión
15.98 1.05 1.35 1.55
21.59 1.29 2.25 1.97
25.47 0.96 1.79 1.64
16.02 1.51 1.73 1.73
16.58 1.30 1.71 1.61
20.10 1.06 1.61 1.82
17.49 0.86 1.62 1.97
22.53 0.78 2.20 1.61
23.98 1.20 1.77 1.13
18.96 0.83 1.17 1.77
24.64 1.01 1.76 2.04
19.52 1.34 1.81 1.63
19.97 0.55 2.25 1.93
18.86 1.06 1.98 1.63
22.79 0.90 1.54 2.27
20.38 1.88 1.15 1.45
16.51 0.51 1.19 1.93
18.32 0.53 1.75 1.44
16.04 1.21 1.01 1.46
18.91 0.90 1.68 1.66
20.09 0.97 1.72 1.59
19.83 1.01 1.72 1.42
18.42 1.29 1.47 2.05
21.99 1.35 1.94 2.28
20.57 1.07 2.31 1.77

Harvard Business School, How increase the sales, Enero, 1998.

5. Realiza las siguientes actividades:

 Elabora una propuesta para utilizar los intervalos de confianza como herramientas de análisis inferencial
para los parámetros del modelo y para la variable de respuesta, y explica cómo, a través de ellos, se
pueden conocer los valores que, con una probabilidad predefinida, podrán tomar las diferentes variables.



 Realiza una propuesta para utilizar las pruebas de hipótesis como herramientas de análisis inferencial
para los parámetros del modelo y para la variable de respuesta, con la intención también de pronosticar el
comportamiento de la relación entre las variables en la problemática planteada.
 ¿Por qué razón, si el pronóstico del incremento en las ventas fue de 3.32 millones de dólares, los
resultados variaron de 5.8 a 0.5 millones de dólares de incremento?
 ¿El consultor estará equivocado en su análisis?

6.
Envía tus resultados en forma de reporte de ejercicios.

Actividad 6. Pronósticos empleando variables cualitativas como variables independientes.



 Conocer el uso y aplicación de las variables indicadoras en el modelo de regresión lineal.
 Determinar cuándo es significativa una variable indicadora y la forma de evaluarla.

Instrucciones


1. Revisa el material de apoyo que se te presenta para esta actividad.

2. Lee el capítulo 8 de tu libro de texto, ahí encontrarás información básica que permitirá trabajar esta
actividad.

3. Realiza los problemas 1 al 6 del capítulo 8 del libro de texto para que adquieras la habilidad de utilizar
el software y reafirmes los conceptos.

4. Lee el siguiente caso:

Caso 6. Seguros de vida.

Una compañía de seguros de vida está interesada en predecir la longevidad de sus clientes, debido a que
su compensación y sus beneficios dependen de esta variable. Un actuario de una compañía de seguros
obtuvo datos de 100 clientes hombres que murieron recientemente. Se obtuvieron los registros de la
edad de muerte del cliente, las edades de muerte de su padre y madre, y también la edad media de
muerte de sus abuelos y abuelas. Un cero en la variable fumador indica que la persona no fumaba, y un
uno significa que se trataba de un fumador considerable.

El actuario supone que las personas que fuman tienen una longevidad menor, sin embargo, para cobrar
precios más altos a personas fumadoras necesita pruebas que sustenten el hecho de que un fumador vive
menos años.



Los datos obtenidos por el actuario son los siguientes:

Longevidad Madre Padre Abuela Abuelo Fumador
80 85 78 72 71 0
73 88 63 76 66 1
70 66 75 67 57 1
72 72 67 68 55 1
79 88 73 64 73 0
83 90 72 74 62 0
70 67 65 70 59 1
72 72 67 68 55 1
79 88 73 64 73 0
83 90 72 74 62 0
70 67 65 70 59 1
72 76 71 74 61 1
72 66 75 71 63 1
71 78 64 76 61 1
67 69 66 61 69 1
74 71 76 73 60 0
80 74 77 69 68 0
63 68 66 67 67 1
71 70 70 71 67 1
66 64 66 63 57 1
74 82 71 75 65 0
71 71 71 68 62 1
65 75 60 63 62 1
74 76 66 66 69 0
66 69 68 61 65 1
71 76 67 63 71 1
73 69 80 64 71 1
73 69 80 64 61 1
74 79 70 77 60 0
68 74 62 59 63 1
77 81 78 73 62 0
77 85 69 80 65 0
74 77 69 75 69 1
68 72 71 72 66 1
68 75 63 65 65 1



74 82 66 72 62 0
71 73 72 68 71 1
80 84 73 77 68 0
72 75 61 77 61 1
77 82 76 71 63 0
76 88 69 75 67 0
62 65 57 68 57 1
70 75 57 67 57 1
71 72 67 67 64 1
69 72 63 68 67 1
73 79 71 74 65 1
72 77 69 72 65 1
84 80 90 72 71 0
73 76 74 69 65 1
70 78 70 78 54 1
78 75 74 58 70 0
82 83 78 77 65 0
77 75 66 72 60 0
67 68 69 73 62 1
72 69 72 69 68 1
67 67 67 72 66 1
72 78 64 67 66 1
75 73 69 71 61 0
72 71 66 68 68 1
75 73 73 66 59 0
80 84 75 71 74 0
72 78 64 66 61 1
71 76 61 74 61 1
71 77 70 73 61 1
89 86 77 74 69 0
74 79 71 70 77 0
72 72 77 71 68 1
74 78 68 67 72 0
77 85 77 77 71 0
77 72 72 63 64 0
73 67 71 65 69 1
72 74 64 74 62 1



65 66 63 72 60 1
81 82 77 73 69 0
76 80 70 61 60 0
61 71 67 66 66 1
72 73 69 64 67 1
69 75 67 60 62 1
59 59 62 68 56 1
69 73 69 72 53 1
76 82 65 72 69 0
63 71 56 61 53 1
66 74 64 72 63 1
72 85 60 67 67 1
68 72 66 65 68 1
73 80 75 67 67 1
78 82 72 71 72 0
83 82 82 76 72 0
78 82 70 76 64 0
67 73 62 65 59 1
70 77 60 69 67 1
68 74 79 72 65 1
66 80 63 75 59 1
75 76 72 69 64 0
71 71 60 71 66 1
72 77 64 70 69 1
71 76 67 66 64 1
77 79 74 73 70 0
67 68 68 70 57 1
68 71 61 66 64 1
67 76 62 66 62 1
74 77 64 66 69 0
70 66 68 63 66 1
72 78 70 71 64 1
69 73 60 74 60 1

José Ríos, “Seguros de Vida”, Departamento de Matemáticas, ITESM, Monterrey, NL.
5 de septiembre de 2001, pp 23-42.



5. Realiza las siguientes actividades:

 Propón como variable independiente la condición de fumador y codifícala para incluirla en el
modelo de regresión.
 Realiza, con el modelo de regresión, las inferencias necesarias que ayuden a determinar si un
fumador vivirá menos años que una persona no fumadora.
 ¿Podrá el actuario obtener evidencias suficientes para incrementar el costo de un seguro de vida
para una persona fumadora?
 ¿Cómo se puede demostrar estadísticamente que una persona que fuma tiene una esperanza de
vida menor que una persona que no fuma?

Actividad 9. Series de tiempo con patrón tendencia.



 Conocer e identificar una serie de tiempo con patrón tendencia.
 Conocer el método para suavizar las series de tiempo con patrón tendencia.

Instrucciones


1. Lee el capítulo 5 del libro de Hanke y Reitsch, Pronósticos en los negocios, particularmente el tema que
se refiere a series de tiempo con patrón tendencia a través del método de suavización exponencial doble.

2. Examina el material de apoyo que se te presenta para esta actividad, revisa a detalle el ejemplo que
está resuelto, el cual te servirá para entender el procedimiento con el cual podrás obtener un pronóstico
para una serie de tiempo con patrón tendencia, utilizando Excel y utilizando un software estadístico.

3. Resuelve el problema 14 del capítulo 5 del libro de de Hanke y Reitsch, Pronósticos en los negocios, el
cual te servirá para que ejercites esta metodología de análisis.



4. Resuelve el problema utilizando solamente el método de Holt.

5. Envía tus resultados al tutor en forma de reporte de ejercicios.

Actividad 10. Series de Tiempo con Patrón Estacional con Tendencia.



 Conocer e identificar una serie de tiempo con patrón estacional con tendencia.
 Conocer el método para suavizar las series de tiempo con patrón estacional con tendencia.

Instrucciones


1. Lee el capítulo 5 del libro de Hanke y Reitsch, Pronósticos en los negocios, particularmente el tema que
se refiere a series de tiempo con patrón estacional con tendencia a través del método de suavización
exponencial triple.

2. Examina el material de apoyo que se te presenta para esta actividad, revisa con detalle el ejemplo que
está resuelto, el cual te servirá para entender el procedimiento, con el cual podrás obtener un pronóstico
para una serie de tiempo con patrón tendencia, utilizando Excel y utilizando un software estadístico.



3. Resuelve el problema 15 del capítulo 5 del libro de Hanke y Reitsch, Pronósticos en los negocios, el cual
te servirá para que ejercites la metodología de análisis.

4. Resuelve el problema utilizando el método de Winters. Al finalizar, envía a tu tutor un reporte de
ejercicios, no te olvides de integrar los procesos de la resolución.



Avance del proyecto:

Emplea los métodos tabulares y gráficos de la estadística descriptiva para resumir los datos de la muestra
de la siguiente tabla. Debe redactarse en forma de reporte y debe contener al menos los siguientes
aspectos:

1. Resúmenes tabulares y gráficos para:
a. El tipo de régimen
b. El estado
c. Los ingresos anuales
d. La rentabilidad
2. Para los datos cuantitativos un resumen de estadísticos que incluya:

a. Resumen de cinco datos
b. Media
c. Desviación estándar
3. Una comparación tabular y gráfica de los ingresos anuales por tipo de régimen.
4. Una comparación tabular y gráfica de la rentabilidad por estado.
5. ¿Qué probabilidad hay de que si se toman 6 empresas elegidas al azar de la muestra, al menos 2
de ellas sean del D.F.?
6. Supón que los ingresos de las empresas se distribuyen normalmente, ¿Qué probabilidad hay de
que si se toma una empresa al azar, ésta tenga un ingreso anual superior a los $70, 000,000?
7. Supón que la rentabilidad de las empresas se distribuye normalmente, ¿Qué probabilidad hay de
que si se toma una empresa al azar, ésta tenga una rentabilidad por debajo del 40%?

Anexo

Proyecto Final
Análisis Económico-Financiero de Empresas

Régime Ingresos Rentabilidad
Nombre Estado
n anuales %
Facmex aviación SA SA Colima $ 43,245,476 54
Desarrollos Turísticos de Manzanillo SA Colima $ 53,248,699 101
Grupo AYES SA Jalisco $ 46,348,130 34
Corporación SEDES SC Nuevo León $ 30,127,797 82
Inversiones del Bajío SA Guanajuato $ 53,637,890 84
Aguascalient
Parque tecnológico de Aguascalientes SA $ 55,500,680 67
es
DROLUCE, SA SA Jalisco $ 69,388,501 66
San Luis
Fruticio, SA SA $ 16,006,473 74
Potosí



Carrión y Hermanos SA SA Guanajuato $ 43,464,164 65
Auxiliar de servicios Marketing SA SA D.F. $ 48,518,367 33
Gestión de cobros y asesoramiento SA SA Jalisco $ 62,332,859 81
Mediafora, SC SC Nuevo León $ 36,165,878 77
Intec Bajío SC SC Guanajuato $ 30,646,100 50
San Luis
Corporación DELTA SA $ 22,724,983 62
Potosí
San Luis
Services Manager de Matehuala, SA SA $ 32,808,287 78
Potosí
Sotolimpio, SA SA Jalisco $ 62,073,762 49
Aguascalient
Notificaciones y Requerimientos SA SA $ 43,784,815 59
es
Servican, SA SA Yucatán $ 27,549,052 26
Hierros del Sur, SA SA Morelos $ 56,110,687 44
Distribuidora de Prensa del Sur AC Morelos $ 45,446,707 74
Idetecnia, SC SC Colima $ 70,397,931 56
ACT Sistemas SA SA Guanajuato $ 40,055,659 72
San Luis
ASTER Sistemas de Control SC $ 38,778,592 61
Potosí
AYNOVA SA SA Nuevo León $ 58,008,976 71
Talleres la Buena Imprenta AC D.F. $ 51,709,656 70
Soluciones Urbanas SC SC D.F. $ 44,823,276 36
Manufacturas Novomex SA Nuevo León $ 59,620,227 46
Centro de Innovación y Transferencia de
SC Nuevo León $ 52,733,042 33
Tecnología
Donanana Norte AC Nuevo León $ 55,452,304 66
Proclase 2000 AC D.F. $ 25,281,791 51
San Luis
Infoestudios, SC SC $ 46,208,718 59
Potosí
Focus estacionamientos urbanos SA D.F. $ 37,470,352 63
Nuevas formas de comunicación AC AC D.F. $ 44,265,615 53
Contimex Corporación SA Guanajuato $ 37,892,708 60
Aguascalient
Eugenia Cervera y Asociados SC $ 38,967,895 59
es
OCUPA SA D.F. $ 35,572,378 94
GP Publicidad SA Nuevo León $ 27,791,287 58
Adame construcciones SA Jalisco $ 44,369,516 74



Administración Portuaria Integral SC Colima $ 48,305,204 62
Orvico System AC Jalisco $ 57,064,729 65
Afinity Servi-Port SA Nuevo León $ 57,563,632 47
Alianza Estratégica de Manzanillo SA Colima $ 43,420,658 46
ALPE Proyectos SA Nuevo León $ 13,642,951 52
San Luis
Althimex SA $ 2,942,883 70
Potosí
Control Cargo SC Guanajuato $ 33,754,744 80
Asesoría Fiscal Integral AC Guanajuato $ 40,563,007 79
El Volcán SA Jalisco $ 49,194,117 50
Estamex SA D.F. $ 37,124,053 88
Excelencia Corporation SC D.F. $ 51,369,933 81
Mas Transportación SA Jalisco $ 59,361,376 68
Ferretería Sánchez SA Jalisco $ 68,483,190 71
Materiales Colima SA Colima $ 50,986,321 78
Despachos aduanales del Norte AC Nuevo León $ 41,493,134 22
Materiales y Tabicones SA D.F. $ 57,767,123 80
Mex Bajío AC Guanajuato $ 23,733,322 71
San Luis
Restaurante Los Vitrales SA $ 43,170,279 64
Potosí
Compras Center SA Nuevo León $ 51,067,548 93
Hotel Puerto Angel SC Colima $ 33,231,366 70
Beef corporation SA Nuevo León $ 52,815,702 82
San Luis
Supervisiones en Calidad AC $ 44,477,959 58
Potosí

Actividad integradora 3
Instrucciones:

Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que revises y
comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir todo el procedimiento
necesario para llegar a la respuesta.

1. El IQ (cociente de inteligencia) de una persona cuya edad mental es de x años y edad



cronológica es c años se define por la función .

a. Determina el IQ de una persona de 30 años de edad con una edad mental de
35 años.
b. Determina el valor de y menciona qué significa este resultado.
2. Encuentra el dominio de cada una de las siguientes funciones:

a.

b.

Representa gráficamente cada superficie y determina el rango de cada una de las funciones
anteriores. Utiliza el paquete sugerido en el curso.

Winplot http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

4. Calcula las derivadas parciales indicadas y evalúa en el punto asignado, si se indica.

a.

b.

c.

5. La producción de cierto país se lleva a cabo a través de la
función: al utilizar x unidades de mano de obra y yunidades de
capital.

a. Determina y .
b. ¿Cuál es la productividad marginal de la mano de obra y la productividad
marginal del capital cuando las cantidades gastadas en mano de obra y
capital son 512 y 64 unidades, respectivamente?

6. Obtén los puntos críticos de las funciones dadas. Luego utiliza el criterio de la
segunda derivada para clasificarlos como máximos, mínimos, ninguno de los dos, o
si la prueba no da información.

a.
b.
c.

7. Investiga en la Biblioteca digital, en otras fuentes electrónicas confiables o textos, la
información siguiente: el método de multiplicadores de Lagrange.

Elabora un reporte para presentar esta información.

8. Para las siguientes matrices dadas, lleva a cabo las operaciones indicadas, si es



posible.

a.
b.
c.
d.

II. Responde a las preguntas y ejemplifica.

a. ¿Qué es una función polinomial?
b. ¿Qué establece el teorema fundamental del cálculo?
c. ¿Qué establece el teorema del factor?
d. En la representación gráfica de una función polinomial, ¿cómo se interpretan los puntos en
que la gráfica intercepta al eje horizontal?

III. Resuelve los siguientes ejercicios.

1. Indica el grado y el número máximo de soluciones para cada una de las siguientes ecuaciones
polinomiales.

2
a. x + 7x + 10 = 0
2
b. x + 16 = 0
3 2
c. x - x - 6x = 0
4 2
d. x + 4x - 12 = 0

2. Determina la ecuación cuyas raíces se indican. Expresa la ecuación como el producto de factores
de la forma ( x - c )

a. x = 3, x = -2
b. x = 0, x = 1, x = -1
c. x = + 3 , x = -3
d. x= 4, x = -2

3. A partir de la representación gráfica, obtén la función. En todos los casos la función tiene
solamente raíces reales. Expresa la ecuación como el producto de factores ( x - c )



4. Resuelve los siguientes problemas.

a. Un granjero tiene 2400 m de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita
con un río recto, de modo que no necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las
dimensiones del campo que tiene el área más grande?
b. La altura de un triángulo es cuatro unidades menor que su base. ¿Qué dimensiones
debe tener el triángulo para que su área sea la menor posible?
c. Una pelota es lanzada con una rapidez inicial de 12 m/s, la función que describe la
altura del cuerpo conforme el tiempo transcurre es: ¿Cuánto tiempo tarda la pelota
en llegar al punto más alto de su trayectoria?

La empresa Edison Power Ltd., vende energía eléctrica a varios condados de Estados
Unidos. Sus ingresos trimestrales (en millones de USD) se presentan en la siguiente tabla:

Ingresos trimestrales para la Edison Power Ltd.
(millones de USD).
Año Mar.31 Jun.30 Sep.30 Dic.31
1985 1,441 1,209 1,526 1,321
1986 1,414 1,187 1,411 1,185
1987 1,284 1,125 1,493 1,192
1988 1,327 1,102 1,469 1,213
1989 1,387 1,218 1,575 1,371
1990 1,494 1,263 1,613 1,369
1991 1,479 1,330 1,720 1,344
1992 1,456 1,280 1,717 1,480
1993 1,586 1,396 1,800 1,483



1994 1,697 1,392 1,822 1,461
1995 1,669 1,460 1,880 1,528
1996 1,867 1,540 1,920 1,632
1997 1,886 1,504 2,011 1,720
1998 1,853 1,561 2,062 1,617
1999 1,777 1,479 2,346 1,889
2000 2,318 2,042 2,821 2,250
2001 2,886 2,112 2,693 1,943
2002 2,099 1,900

Conteste las siguientes preguntas usando la rúbrica PRÁCTICA DE EJERCICIOS:
a). Elabore una gráfica e indique los componentes presentes en la serie de tiempo.

b). Determine la técnica de pronósticos más adecuada, justificando su selección.

c). Con la técnica seleccionada, pronostique los valores que faltan de 2002 y los 4
valores del 2003

d). Emplee Minitab para realizar los pronósticos según el Método de Winters y
compare contra los resultados obtenidos en (b) y (c) – obligatorio para quienes
han entregado tareas en Minitab.



ACTIVIDAD 4:
La firma Atracciones Atayde, S.A. de C.V. que produce equipo recreativo, presenta las
siguientes ventas por trimestre:
Atracciones Atayde, S.A. de C.V.
Ventras por trimestre (x 10,000 MN)
Trimestre
Año 1 2 3 4
1995 16.98 18.47 17.63 20.65
1996 21.95 23.85 20.44 19.29
1997 22.75 23.94 24.84 16.70
1998 18.04 19.19 18.97 17.03
1999 18.23 19.80 22.89 21.41
2000 21.50 25.05 20.33 20.60
2001 25.33 26.06 28.89 30.60
2002 27.44 26.69 28.71 28.56
2003 25.87 24.96 27.61 24.75
2004 23.32 22.61 24.08 22.31
2005 22.67 23.52 25.41 23.94
2006 25.68

Conteste las siguientes preguntas usando la rúbrica PRÁCTICA DE EJERCICIOS:
a). Descomponga la serie de tiempo y obtenga valores desestacionalizados y sin
tendencia.

b). Emplee la técnica de su preferencia, para pronosticar los valores faltantes de
2006



ACTIVIDAD 5 (obligatoria para quienes han entregado tareas en Minitab):
Desarrolle paso a paso el Ejemplo 9-4 del libro de texto (Hanke; Pronósticos en los
negocios; 8ª. y 9ª. ed), relacionado con una aplicación de la Metodología Box-Jenkins.
La serie de datos es la siguiente:
Atron Corp.
Lecturas de un proceso industrial.
60.0 99.0 75.0 79.5 61.5 88.5 72.0 90.0
81.0 25.5 78.0 64.5 81.0 51.0 66.0 78.0
72.0 93.0 66.0 99.0 76.5 85.5 73.5 87.0
78.0 75.0 97.5 72.0 84.0 58.5 66.0 99.0
61.5 57.0 60.0 78.0 57.0 90.0 73.5 72.0
78.0 88.5 97.5 63.0 84.0 60.0 103.5
57.0 76.5 61.5 66.0 73.5 78.0 60.0
84.0 82.5 96.0 84.0 78.0 66.0 81.0
72.0 72.0 79.5 66.0 49.5 97.5 87.0
67.5 76.5 72.0 87.0 78.0 64.5 73.5

Para ello emplee la rúbrica REPORTE.

Tema 15. Solución de sistemas de ecuaciones lineales aplicando Gauss
Objetivos del tema
Al finalizar el tema, serás capaz de:

 Identificar las características que deben cumplirse para resolver sistemas de
ecuaciones, a través del uso del método de Gauss.
 Resolver problemas aplicados a la vida cotidiana, que requieren del
planteamiento y la solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Introducción



El método de Gauss-Jordan o
eliminación Gaussiana, es
aplicable únicamente a
sistemas de ecuaciones
lineales. Es un algoritmo que
consiste en triangular la matriz
aumentada del sistema de
transformaciones elementales,
hasta obtener ecuaciones que
contienen una sola incógnita.

En general, las aplicaciones
directas de los sistemas de
ecuaciones lineales no son
fáciles de encontrar. Sin
embargo, varios problemas
interesantes están directamente relacionados con este tipo de sistemas. Un
caso notable es el de las matrices de insumo-producto desarrolladas por
Wassily W. Leontief. Éste ganó el premio Nobel de economía en 1973 por la
aplicación de tal concepto en problemas económicos.
El análisis de insumo-producto permite estimar la producción total de cada
sector industrial si existe un cambio en la demanda final. Esto será siempre y
cuando la estructura básica de la economía permanezca igual.

Referencia: Estructura de la economía mundial. Bosquejo de una formulación.
Recuperado el 30 mayo 2009, en: http://www.bing.com/

Contenido
 Explicación del tema
Información sobre los contenidos principales del tema.

 Bibliografía
Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la
página de bibliografía.

 Recursos de apoyo
Presentación que incluye las ideas principales del tema.

Actividad colaborativa en el aula

Instrucciones:

Para complementar tu aprendizaje acerca del los temas matrices,
determinantes y la solución de sistemas de ecuaciones lineales, aplicando
los métodos de la matriz inversa, Cramer y Gauss, llevarás a cabo la
siguiente actividad.

Justifica cada una de tus respuestas.

1. El profesor formará equipos de cuatro integrantes.



2. Designará a todos los equipos el ejercicio I y II y un ejercicio del punto
III.
3. Los equipos solucionarán los ejercicios asignados por el profesor y
llegarán a un consenso de sus respuestas. Además designarán a un
miembro de su equipo para que presente los resultados en el pizarrón.
4. El maestro subdividirá el pizarrón en varias partes, para que los
estudiantes presenten sus respuestas y expongan su mapa
conceptual.
5. Se revisarán y evaluarán las respuestas a dichos ejercicios tanto por
los estudiantes como por el profesor.
6. El profesor llevará a cabo el cierre de esta actividad.

Ejercicios:

1. Elabora un mapa conceptual donde presentes los temas del módulo 4:
matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.

2. Resuelve el siguiente problema:

Una compañía produce tres tipos de televisores a color: los modelos
X, Y, Z. Cada modelo X requiere 2 horas de trabajo electrónico y 2
horas de trabajo de ensamble; cada modelo Y requiere 1 hora de
trabajo electrónico y 3 horas de trabajo de ensamble; cada modelo Z
requiere 3 horas de trabajo electrónico y 2 horas de trabajo de
ensamble. Se dispone de 100 horas para cada tipo de trabajo
electrónico y de ensamble, por semana.

a. Construye una matriz para representar la información anterior.
b. Construye un sistema de ecuaciones lineales.
c. Determina cuántos televisores de cada modelo deben
producirse cada semana si debe usarse todo el tiempo
disponible.
d. Interpreta los resultados obtenidos.

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, aplicando el
método de la inversa, la regla de Cramer o el método de Gauss-
Jordan, según lo consideres más pertinente.



Al finalizar la clase envía a tu profesor los resultados de tu actividad
colaborativa.

TAREA
Actividad integradora 4
Instrucciones:

Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que
revises y comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides
incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.

1. Investiga en la Biblioteca digital, en otras fuentes electrónicas o
textos, la información siguiente: las propiedades de los determinantes
y ejemplifícalas.

2. Encuentra el determinante para cada una de las siguientes matrices, si
es posible.

3. En cada uno de los problemas anteriores determina, si la matriz dada
es invertible y si lo es, encuentra su inversa.

4. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:



i.

ii.

a. Representa el sistema de ecuaciones lineales en su
forma matricial.
b. Distingue si la solución del sistema es única.
c. Aplica al menos dos de los siguientes métodos para
corroborar tus respuestas: método de la matriz inversa,
regla de Cramer o el método de Gauss Jordan.

5. La farmacia El Baratero necesita preparar una mezcla de 60L que
tenga 40% de ácido utilizando tres concentraciones de ácido. La
primera concentración tiene 15% de ácido, la segunda 35% y la tercera
el 55%. Debido a las cantidades de soluciones ácidas a la mano,
necesita utilizar el doble de la solución al 35% que la solución al 55%.
¿Cuánto deben utilizar de cada solución?

Envía la actividad a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios.

Examen rápido. Prepárate para el examen rápido de este módulo.



Ejercicio 1 Velocidad en el cambio en los costos

Se determinó que en una fábrica de ropa la cantidad de tela que se tiene que comprar por
semana sigue la siguiente función:

Donde C representa la cantidad de tela en cientos de metros y t es el tiempo en que se tarda
en hacer el pedido de tela en SEMANAS. Determina la función que representa la velocidad
con la que se compra la tela para hacer ropa por semana.

Ejercicio 3. Incremento de utilidad

Una fábrica de cajas de cartón calcula que sus utilidades están dadas por la siguiente
función:

En dólares, mensualmente, si actualmente su nivel de producción es de 200 cajas por mes,
determina ¿cómo serán los ingresos si su producción aumenta en un 25 porciento?

Ejercicio 4 Elasticidad de la demanda

La demanda de un nuevo modelo de un dispositivo de audio está dada por:

En donde es el número de artículos demandados, con y donde está dado en miles

de pesos. Determina la función de elasticidad de la demanda del nuevo modelo.

10
Respuesta: para 1  p  10 la función de elasticidad está dado por: 
10  p

o Ejercicio 5: Aplicación de reglas de derivación el cual consiste en
desarrollar las derivadas utilizando las formulas y reglas de derivación.
Desarrolla las siguientes derivadas utilizando las fórmulas y reglas de derivación:



o Ejercicio 6: Ingreso real a partir del ingreso marginal, en el que deberás
analizar y elaborar el problema que se te presenta en el documento.
Apóyate del editor de fórmulas que tienes en tu computadora.

Resuelve el siguiente problema.

Los ingresos en una tienda de abarrotes por la venta de productos de limpieza
están dados por la siguiente función:

En miles de pesos, semanalmente, determine los ingresos reales por la venta del
artículo 101.

Resuelve los siguientes problemas. Justifica cada una de tus respuestas.

1. Encuentra el valor presente de un flujo de ingreso continuo de dólares por año

c(t) si donde to es el tiempo en años y r es la tasa de interés
anual compuesto continuo. Considera que c (t)=50,000+5000t, r = 10% y
a. to=10.
b. Para siempre (a perpetuidad).
c. Representa gráficamente estos resultados.

2. El modelo de epidemias asume que la enfermedad se extiende a un ritmo
proporcional al producto del número total infectado y al número no infectado
todavía. Sea x el número de individuos recientemente infectados en un momento
t de una comunidad de n individuos susceptibles. Así el modelo matemático
para representar esta epidemia está dado a través de la siguiente ecuación

diferencial

Encuentra el número de individuos recientemente infectados. Considera una
comunidad de 100 individuos en un tiempo de 5 días y a un ritmo de crecimiento
de la epidemia del 10%. Representa gráficamente la función.

3. Un programa gubernamental que actualmente cuesta a los contribuyentes $2 mil
millones por año, se va a reducir 10 por ciento por año.
a. Escribe una expresión para la cantidad presupuestada para este
programa después de n años.
b. Calcula los presupuestos durante los primeros 5 años.
c. Determina la convergencia o divergencia de la sucesión de presupuestos
reducidos. Si la sucesión converge, encuentra su límite.

4. La función de ingresos de una compañía está dada por I(x,y)= 100x-6x2+192y-4y2,
mientas que su función de costo es C(x,y)=2x2+2y2+4xy-8x+30, en donde x y y
denotan el número de artículos vendidos de dos productos. Determina la utilidad
máxima (Sugerencia: utilidad=ingreso-costo).



5. Una compañía produce tres artículos: X, Y y Z, que requieren se procesen en
tres máquinas A, B y C. El tiempo en horas requerido para el procesamiento de
cada producto por las tres máquinas está dado en la siguiente tabla:

X Y Z
A 3 1 2
B 1 2 1
C 2 4 1
Considera que la máquina A está disponible 490 horas, la B durante 310 horas y la C
durante 560 horas. Encuentra cuántas unidades de cada artículo deben producirse para
utilizar todo el tiempo disponible de las máquinas. Deberás aplicar el método de la
matriz inversa, Cramer o Gauss-Jordan, según lo consideres pertinente.

1. La edad promedio de una población de 350 socios de un club deportivo se quiere
obtener mediante una muestra de 10 socios.
a. ¿Es necesario utilizar el factor de corrección para calcular la desviación estándar
de la distribución muestral?
b. Si la desviación estándar de la población es de 10 años, ¿cuál es la probabilidad
de que la edad promedio de la muestra tenga una aproximación de 2 años (por
exceso o por defecto) de la media verdadera de la edad de la población?

2. La media del precio del kilogramo de tortilla es de $9.90 con una desviación de 0.25
pesos. Si seleccionas una muestra aleatoria de 50 tortillerías, y calculas el precio
medio con los datos reunidos.
a. ¿Qué probabilidad hay de que la muestra produzca una media de $10.50 o
mayor?
b. ¿Qué probabilidad hay de que la muestra produzca una media que esté a
menos de un peso de diferencia respecto al precio promedio verdadero?
c. ¿Cómo cambiarían los resultados anteriores si la muestra hubiera sido de 50
tiendas?

3. El promedio nacional en un examen de admisión a la universidad fue de 1085 puntos
con una desviación estándar de 110 puntos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 50 egresados que
presentaron el examen produzca una media de la muestra en la calificación
que quede a menos de 10 puntos de la media de la población?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 50 egresados que
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 200 egresados que

4. El pago mensual promedio por telefonía celular de un mexicano es de $305 con una
desviación estándar de $45.
a. Haz un comparativo de las gráficas de la distribución para valores
individuales y la de las medias muestrales para 30 y 100 suscriptores.



b. ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo promedio obtenido en una
muestra aleatoria de tamaño 50 quede a $30 o menos que la media
verdadera?

5. El salario medio para un grupo de administradores recién egresados es de $11,000
mensuales. Si se supone que la desviación estándar es de $2,000.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple de
administradores recién egresados tengan en promedio un salario mayor a
$15,000 si la muestra se toma de tamaño 50?
b. ¿Cómo cambia el resultado anterior si la muestra se toma de tamaño 250?


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