1. ” Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso
Climático
UNIVERSIDAD NACIONAL
DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS
NATURALES Y MATEMÁTICA
TEORÍA SEMICLÁSICA DE LA RADIACIÓN
TEMA DE EXPOSICIÓN:
“FÓRMULA DE BETHE-BLOCH”
CURSO: FÍSICA NUCLEAR
ALUMNO:
MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
ESCUELA PROFESIONAL DE:
FÍSICA
Ciudad universitaria, 20 de Noviembre del 2014
INTRODUCCIÓN:

2. Vamos a abordar la interacción entre las partículas (átomos) y el campo
electromagnético (CEM). Esta interacción se puede dividir en tres tipos de procesos
diferentes. El primero de estos procesos se produce cuando un átomo pasa de un estado
excitado a un estado de menor energía. Durante este proceso de relajación se emite un
fotón. Este tipo de interacción se denomina emisión espontánea. Por otra parte, un
átomo, sometido a radiación de CEM, puede absorber un fotón haciendo que el átomo
pase a un estado de mayor energía, este proceso se denomina absorción. Por último, un
átomo sometido a radiación de CEM también puede emitir un fotón. Este último tipo de
proceso se denomina emisión estimulada y a diferencia de la emisión espontánea
depende de la intensidad de la radiación incidente.
El CEM se estudia desde un punto de vista clásico mientras que los átomos se estudian
desde un punto de vista cuántico. Esta aproximación clásica del CEM es válida cuando
la densidad de fotones es muy alta, es decir, cuando la distribución del CEM se puede
considerar como continua y el CEM puede describirse por medio de las ecuaciones de
Maxwell. Esta aproximación es válida incluso para el caso de campos débiles.
Una partícula cargada incidente puede interactuar ya sea con la nube de electrones del
átomo o directamente con el núcleo. La diferencia en el tamaño, en la masa y en la
energía de enlace del núcleo y de los electrones determina el tipo de interacción que
experimentará la partícula incidente. En cada colisión la energía es intercambiada entre
el blanco y la partícula incidente pero la energía antes y después de la colisión debe
conservarse (ley de conservación de la energía). Hay dos tipos de colisiones:
dispersiones elásticas e inelásticas que difieren en la distribución de energía después de
la colisión. La partícula incidente lleva la energía cinética al sistema y la colisión es
elástica si ninguna de esta energía es transferida al blanco. Estas colisiones son
conceptualmente similares a las colisiones entre las bolas de billar. Sin embargo, si una
parte de la energía cinética incidente es impartida en el blanco del átomo entonces, la
colisión se considera como inelástica
MARCO TEÓRICO
Teoría clásica de la pérdida de energía por colisión de partículas masivas cargadas.

3. Para una partícula incidente de masa mp, de velocidad , de número de carga Z
(denominado también número atómico) y, por lo tanto, de carga , la expresión teórica
de la pérdida de energía por colisión, , está dada por la fórmula de pérdida de
energía:
(1.1), donde m es la masa
del electrón (como se indicará a lo largo de esta exposición en vez de la notación
acostumbrada me), n es el número de electrones por cm3 del material por el que
atraviesa, es la energía media de excitación de los átomos del material, Wm es la
máxima energía transferible de la partícula incidente a los electrones atómicos, es la
corrección por efecto densidad, y, finalmente, U es el término relacionado con la no
participación de los electrones de capas internas (K, L, ...) para muy bajas energías
cinéticas incidentes (es decir, el término corrección de capa). El número de electrones
por cm3 (n) del material por el que atraviesa está dada por [es decir
], donde es la densidad del material en , N es el número de
Avogadro, Z y A son el número atómico y el peso atómico del material, respectivamente.
El número atómico Z es el número de protones dentro del núcleo de ese átomo.
El signo menos de , en la ecuación (1.1), indica que la energía se pierde por la
partícula. Para una partícula pesada, la pérdida de energía por colisión, , también
se le conoce como el poder de frenado.
La ecuación (1.1) (es decir, la fórmula de pérdida de la energía) se puede rescribir de
una manera equivalente como
(1.2) o
(1.3), donde L es un parámetro adimensional llamado el número
de frenado, la que contiene la física esencial del proceso. En la ecuación (1,3), L está
dada por el término entre paréntesis en la ecuación. (1.2). El número de frenado puede
ser modificado mediante la adición de términos de corrección la que también depende
de la velocidad de la partícula , del número de carga z, número atómico del blanco Z y
de la energía de excitación . La ecuación (1.1) y su expresión equivalente dada por la
ecuación (1.2) también se denomina fórmula de Bethe-Bloch. En la literatura, la fórmula
de Bethe-Bloch también se puede encontrar sin el término de corrección de capas. En
esta última forma, se describe la pérdida de energía de una partícula masiva cargada
semejante a un protón con una energía cinética mayor que unos cuantos MeV.
Vamos a estudiar una deducción aproximada, es decir, sin entrar en cálculos complejos,
de la fórmula de la pérdida de energía siguiendo cercanamente los enfoques aprendidos.
De esta manera, el significado físico de los términos que aparecen en la fórmula y su
comportamiento como una función de la velocidad incidente se hacen más evidentes.
Nos restringimos a los casos donde sólo una pequeña fracción de la energía cinética
incidente se transfiere a los electrones atómicos, de modo que la trayectoria de la
partícula incidente no se desvía.
Ahora, introducimos el parámetro de impacto b describiendo cuán cercano de la colisión
está (ver Figura 1.1): b es la mínima distancia de la partícula incidente al electrón del
blanco. En general, valores grandes de b corresponden a las denominadas colisiones
distantes, por lo contrario valores pequeños de b tenemos colisiones próximas. Ambos

4. tipos de colisiones son importantes al determinar la pérdida de energía media [Ecuación
(1.1)], la dispersión de energía (es decir, la distribución de la pérdida de energía) y la
pérdida de energía más probable.
FIGURA 1.1
Cuando una partícula de carga Ze interactúa con un electrón casi en reposo, se supone
que, en una primera aproximación, el electrón saldrá sólo después del paso de partículas
de modo que podemos considerar al electrón esencialmente en reposo a lo largo de la
interacción. De esta manera, por razones de simetría (ver figura 1.2), el momento
transferido será casi a lo largo de la dirección perpendicular de la trayectoria de la
partícula. Además, el orden de magnitud de la máxima intensidad de la fuerza
Coulombiana, que actúa a lo largo de la dirección perpendicular es .
FIGURA 1.2
Por lo tanto, la máxima intensidad de campo eléctrico, a la que el campo Coulombiano
afecta al electrón del blanco, disminuye a medida que el parámetro de impacto aumenta.
Asimismo, el tiempo de interacción entre las dos partículas es inversamente proporcional
a la velocidad de la partícula incidente, , y directamente proporcional a b, es decir, el
tiempo de interacción es . En consecuencia, el momento transferido está dada
por:
.
Esta estimación difiere por un factor de 2 a partir de un cálculo más refinado, en la que
también se consideran correcciones relativistas mientras se estima el campo eléctrico
perpendicular. Por lo tanto, podemos escribir finalmente:

5. (1.4).
Debido a que el electrón antes de la interacción se supone que estaba en reposo, su
momento de retroceso es . Su energía cinética W, que usualmente es tan pequeña que
no es necesario tratar con la fórmula relativista, viene dada por:
(1.5)
(1.6).
La ecuación (1.6) muestra la relación entre el parámetro b impacto y la energía
transferida W: la energía transferida de las colisiones distantes son típicamente suaves,
mientras que en las colisiones cercanas permiten grandes transferencias de energía
cinética, lo que va como . Como una consecuencia, para los valores de b
suficientemente grandes las energías de enlace de electrones de las capas tienen que
ser tomadas en cuenta. Las colisiones cercanas pueden ocurrir con las transferencias de
energía muy grandes, es decir, con la emisión de rápidos rayos δ salientes. De la
ecuación
, vemos que, como la energía cinética del
rayo aumenta, el ángulo de emisión (de la formada con la dirección de partícula
incidente) disminuye: muy rápido los rayos son emitidos cerca de la trayectoria de la
partícula. Finalmente, debemos considerar que la pérdida de energía fluctúa a partir de
una colisión a otra, dependiendo de las distancias de colisión.
Asimismo, la energía transferida a los núcleos en retroceso usualmente se puede ignorar
con respecto a la energía de los electrones en retroceso: su relación es, típicamente, del
orden de unos cuantos . Para cualquier valor dado de b la energía cinética (W)
adquirida por un electrón en retroceso se expresa por la ecuación. (1.6), mientras que,
si la interacción se produce en un núcleo con carga Ze y masa mA, tenemos que volver
a escribir la ecuación (1.4) como: .
(1.7).
Usando la ecuación (1.7), podemos volver a expresar la ecuación (1.5) para estimar la
energía nuclear de retroceso como:
.
La relación entre las dos energías de retroceso es
.
Cuando una partícula interactúa con un átomo, el parámetro de impacto es casi la misma
para los electrones atómicos Z y para el núcleo. La energía transferida total a los
electrones del medio es aproximadamente ZW y tenemos
.
Para el hidrógeno (Z = 1), esta relación es de aproximadamente , para
núcleos más pesados como el Pb y el U se vuelve aproximadamente y
, respectivamente. Es necesario observar que la energía acumulada depositada

6. en procesos que resultan de interacciones con núcleos es el mecanismo dominante para
el (permanente) daño por radiación mediante el desplazamiento en dispersiones
Coulombianas; aunque, usualmente, es despreciable con respecto a la pérdida de
energía total por las colisiones al atravesar un medio. Vamos a considerar (véase la
figura 1.3) una partícula de carga ze que atraviesa un material, en la que el número de
electrones por cm3 es n. El número de electrones encontrados por la partícula a lo largo
de una trayectoria dx con parámetro de impacto entre b y es . A
partir de la ecuación (1.6), la energía cinética total transferida a los electrones atómicos
es
.
FIGURA 1.3
Por lo tanto, para los parámetros de impacto entre b y , la pérdida de energía en
una longitud dx se convierte en:
, y la pérdida de energía total por colisiones calculado
mediante la integración desde hasta , es decir, sobre el rango del parámetro de
impacto para la que este planteamiento es válido, se vuelve
(1.8).
El límite superior puede estimarse al considerar que el tiempo de colisión no
puede exceder al período de tiempo representativo asociado con electrones ligados, es
decir, , donde es la frecuencia media característica para la excitación de
electrones. De hecho, si el tiempo de colisión fuera mucho mayor que el período de
revolución representativo, el paso de la partícula podría ser considerado como similar a
un proceso adiabático la cual no afecta a la energía del electrón. Además, a energías
relativistas la región del espacio en intensidad máxima de campo eléctrico está contraída
por el factor de Lorentz y, en consecuencia, el tiempo de colisión se convierte en
. Por lo tanto, para tenemos:
y .

7. Al introducir la energía media de excitación , obtenemos:
(1.9).
El límite inferior se evalúa considerando que la extensión en la que el tratamiento
clásico puede emplearse. En el sistema de referencia para el enfoque clásico, las ondas
características de las partículas son ignoradas. Esta hipótesis es válida en tanto el
parámetro de impacto sea mayor que la longitud de onda de de Broglie del electrón en
el sistema del centro de masa (CoMS) para la interacción. Por ejemplo, podemos
suponer
(1.10), donde es el momento de los electrones en el sistema del
centro de masa. Debido a que la masa del electrón es mucho menor que la masa de la
partícula pesada incidente, el sistema del centro de masa está aproximadamente
asociada con la partícula incidente y por el contrario la velocidad del electrón en el
sistema del centro de masa es opuesta y casi igual en valor absoluto a la de la partícula
incidente, . Por lo tanto, tenemos que
, y la ecuación (1.10) se convierte en
(1.11).
Sustituir los valores de y en la ecuación (1.8), obtenemos:
.
Finalmente, utilizando el valor de la transferencia máxima de energía Wm a partir de la
ecuación
, se obtiene:
(1.12).
Esta ecuación es equivalente a la fórmula de pérdida de energía [véase la ecuación (1.1)]
a excepción de los términos debido al efecto densidad y al término corrección
de capa (-U). Cuando el primero de estos últimos términos se suma a la ecuación (1.12),
y usando la ecuación
, se obtiene la expresión (denominada fórmula
relativista Bethe)
, (1.13), deducida por el tratamiento
cuántico de pérdida de la energía por colisiones de una partícula pesada incidente de
espín cero. Asimismo, es necesario observar que el espín desempeña un papel
importante cuando la energía transferida es casi igual a la energía incidente (esto ocurre
con una probabilidad estadística muy limitada).