Clase 4 de ingenieria de materiales

1. INGENIERIA DE LOS MATERIALES
ESTRUCTURA CRISTALINA DE LOS SOLIDOS
POSICIONES DEL ATOMO EN UNA CELDA
UNITARIA
Dr. Ingº FORTUNATO ALVA DAVILA
Lima, Abril del 2013

2. POSICIONES DEL ATOMO EN CELDAS UNITARIAS
CUBICAS
Para situar las posiciones atómicas en las celdas unitarias
cúbicas se utilizan los ejes cartesianos x, y, z. La zona
positiva del eje x es la situada hacia afuera del papel, la
zona positiva del eje y es la situada hacia la derecha
del papel, y la zona positiva del eje z es la situada
hacia arriba del papel (ver.fig.). Las zonas negativas son
las opuestas a las que se han descrito.

3. POSICIONES DEL ATOMO
Las posiciones de los átomos en la celda
unitaria se localizan mediante distancias
unitarias a lo largo de los eje x, y, z, como se
indica en la figura(a). Por ejemplo, las
coordenadas de posición para los átomos en la
celda unitaria BCC se muestran en la
figura(b). Las posiciones atómicas para los
átomos situados en los vértices de la celda
unitaria BCC, son:
(0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)
(1, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1)

4. POSICIONES DEL ATOMO
El átomo central de la celda unitaria BCC
tiene las coordenadas en posición (1/2, 1/2,
1/2). Por sencillez, suelen especificarse sólo
dos posiciones atómicas en la celda unitaria
BCC, que son (0, 0, 0) y (1/2, 1/2, 1/2).
Las posiciones atómicas restantes de la celda
unitaria BCC se consideran sobreentendidas.
De forma análoga se pueden localizar las
posiciones atómicas en la celda unitaria FCC.

5. DIRECCIONES EN LAS CELDAS
UNITARIAS CUBICAS
Para los cristales cúbicos, los índices de las
direcciones cristalográficas son los componentes
del vector de dirección descompuesto sobre cada
eje de coordenada y reducidos a mínimos enteros.
Para indicar una dirección en una celda unitaria cúbica,
se dibuja un vector de dirección desde un origen,
que generalmente es un vértice de la celda cúbica, hasta
que emerge a la superficie del cubo (figura 1.11).
Las coordenadas de posición de la celda unitaria donde el
vector de dirección emerge de la superficie del cubo
después de convertirlas en enteros, son los índices de
dirección. Estos índices se colocan entre corchetes
sin separación por comas.

6. Ejemplo
Las coordenadas de posición del vector de dirección
OR de la figura 1.11a, son (1, 0, 0), y los índices de
dirección para el vector de dirección OR son [100.
]
Las coordenadas de posición del vector de dirección OS
(figura 1.11a) son (1, 1, 0), los índices de dirección
para OS son
[110]
Las coordenadas de posición del vector de dirección OT
(figura 1.11b), son (1, 1, 1), y los índices de dirección
para OT son .
[111]

7. continuación
Las coordenadas de posición del vector de
dirección OM (figura 1.11c), son (1, 1/2, 0), y
los índices de dirección deben ser números
enteros, estas coordenadas de posición deben
multiplicarse por 2 para obtener los enteros.
Así, los índices de dirección de OM pasan a ser
2(1, 1/2, 0) = [210]
.
Las coordenadas de posición del vector de
dirección ON (figura 1.11d), son (-1, -1, 0).
Un índice de dirección negativo se escribe
con una barra encima del índice. Así, los
índices de dirección para ON son
ù
úû
é--
110
êë

8. Observación
Se observa, que para dibujar la dirección ON
en el cubo, el origen del vector de dirección
ha tenido que trasladarse al vértice inferior
derecho del cubo unidad (figura 1.11d).
En general, se utilizan las letras u, v, w como
índices de dirección en las direcciones x, y, z,
respectivamente, y se escriben como
[uvw]
También es muy importante mencionar, que
todos los vectores de dirección paralelos
tienen el mismo índice de dirección.

9. Ejemplos
Dibujar los siguientes vectores de dirección en celdas
unitarias cúbicas:
a) [100] [110] [112]
ù
úû
é-
100
êë
é - -
321
ù
ú ú
û
ê ê
ë
d)
b)
c)
Solución
a) Las coordenadas de posición para las direcciones son:
[100]
[110]
son (1, 0, 0)
son (1, 1, 0).

10. Ejemplos
b) Las coordenadas de posición para la dirección [112]
se obtienen dividiendo los índices de dirección entre 2,
para que queden dentro del cubo unidad. Así, serán
(1/2, ½, 1).

11. r U
ù
é-
110
c) Las coordenadas de posición para la dirección son
(-1, 1, 0). Se observa, que el origen para el vector dirección
debe moverse al vértice inferior izquierdo del cubo.
r U
úû
êë
Ejemplos

12. ù
ú ú
d) Las coordenadas de posición para la dirección 3 2 1 se han
û
obtenido dividiendo primero todos los índices entre 3, que
es índice mayor. Así, se obtiene (-1, 2/3, -1/3).
é- -
ê ê
ë
- Ejemplos

13. ÍNDICES DE MILLER PARA LOS PLANOS
CRISTALOGRAFICOS EN CELDAS UNITARIAS CUBICAS
Los índices de Miller de un plano cristalino se definen como el
recíproco de las fracciones de intersección que el plano
presenta con los ejes cristalográficos x, y z de las 3
aristas no paralelas de la celda unitaria cúbica. Las aristas
del cubo en la celda unitaria representan longitudes unidad y
las intersecciones de los planos reticulares se miden con base
en estas longitudes.
El procedimiento para determinar los índices de Miller para un
plano cristalográfico cúbico es como sigue:
1.- Se elige un plano que no pase por el origen de coordenadas
(0, 0, 0).
2.- Se determinan las intersecciones del plano en la función
de los ejes cristalográficos x, y, z para un cubo unidad.
3.- Se obtiene el recíproco de las intersecciones.

14. ÍNDICES DE MILLER PARA LOS PLANOS
CRISTALOGRAFICOS EN CELDAS UNITARIAS CUBICAS
4.- Se simplifican las fracciones y se determina el conjunto
más pequeño de números enteros que estén en la misma
proporción que las intersecciones. Este conjunto de
números enteros son los índices de un plano
cristalográfico y se encierran en paréntesis sin utilizar
comas. La notación (hkl) se utiliza para indicar los índices de
Miller en un sentido general, donde h, k, y l son los índices
de Miller de un plano cristalino cúbico para los ejes x, y,
z, respectivamente.

15. Ejemplos
Las intersecciones del primer plano son:1, 1,
y los recíprocos de estos números son: 1, 1, 0 no
involucran fracciones, siendo los índices de Miller (1 1 0).
Para la segunda figura, las intersecciones son:1, ,
a los ejes x, y, z respectivamente, por lo tanto los recíprocos
son: 1, 0, 0. Los índices de Miller para ese plano son:(1 0 0
).
El tercer plano, tiene las intersecciones 1, 1, 1 que nos dan un
índice de Miller (1 1 1).

16. Ejemplos
En el plano cúbico cristalino presentado en la fig.1.14
que tiene las intersecciones 1/3, 2/3, 1. Los
recíprocos de estas intersecciones son 3, 3/2, 1: como
las intersecciones no son enteros, estas intersecciones
debemos multiplicar por 2 para simplificar la fracción
3/2, obteniéndose 6, 3, 2 y los índices de Miller son
(632).
Fig.1.14 Plano del cristal cúbico
(632), que tiene intersecciones
fraccionarias

17. CALCULO DE LA DENSIDAD VOLUMETRICA, PLANAR Y
LINEAL DE LAS CELDAS UNITARIAS
o A
g
q DENSIDAD VOLUMETRICA
Aplicando el modelo de esferas rígidas para la estructura
cristalina de la celda unitaria de un metal y el valor del
radio atómico, se obtiene el valor de la densidad
volumétrica, con la ecuación:
Densidad volumétrica masa celdaunitaria v
volumen /
celda unitaria
= r = /

18. CALCULO DE LA DENSIDAD VOLUMETRICA,
PLANAR Y LINEAL DE LAS CELDAS UNITARIAS
DENSIDAD VOLUMETRICA
Aplicando el modelo de esferas rígidas para la
estructura cristalina de la celda unitaria de un metal y
el valor del radio atómico, se obtiene el valor de la
densidad volumétrica, con la ecuación:
Densidad volumétrica masa celdaunitaria v
volumen /
celda unitaria
= r = /

19. CALCULO DE LA DENSIDAD VOLUMETRICA, PLANAR
Y LINEAL DE LAS CELDAS UNITARIAS
DENSIDAD ATOMICA PLANAR
La densidad planar es simplemente la relación del
área del plano cristalográfico ocupada por átomos
(representados como círculos); el plano debe pasar a
través del centro del átomo para que éste se pueda
incluir. Se calcula con la relación:
Núm equivalente de átomos cortados por el área seleccionada
área seleccionada
p r =

20. DENSIDAD ATOMICA LINEAL
La densidad lineal corresponde a la relación de longitud
de línea, de una dirección cristalográfica particular, que
pasa a través de los centros de los átomos. Se Calcula
con:
Núm de diámetros atómi cortados por la longitud seleccionada
de la línea en la dirección de erés
longitud seleccionada de la línea
l
int
cos
r =