Cristalografia

1. CRISTALOGRAFÍAzz
Primer capítulo de curso
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
FC UNI
Marzo 2014
Lima, Perú
ARTURO TALLEDO
Doctor en Física

2. Introducción
• Sólidos cristalinos (ordenados) y sólidos
amorfos (desordenados)
• Lo que actualmente se conoce como FES es
básicamente la física de los cristales o sólidos
cristalinos. La Física de sólidos amorfos se
explica en base a los conceptos de la Física de
cristales.
• Los cristales son una disposición periódica de
átomos en el espacio real tridimensional
(longitudes).

3. CRISTAL = RED + BASE
Un sólido cristalino se puede describir
definiendo un conjunto ordenado de
puntos y asignando a cada punto un
conjunto de (1,2, 3...n) átomos en
posiciones bien definidas

4. Definición de red cristalina
ntesindependieelinealment
vectoressondonde 321 ,, aaa
 1 1 2 2 3 3 1 2 3
/ ; , ,RED P P n n n n n n    a a a
Conjunto de puntos descrito por tres vectores linealmente
independientes y todo el conjunto de ternas de enteros Z3

5. Vectores Primitivos y celdas primitivas
• Se dice que una terna de vectores L.I es una
terna de vectores primitivos si junto con el
conjunto Z define dicha red cristalina.
• El paralepípedo definido por la terna
primitiva se llama celda primitiva
• La terna primitiva no es única
• Todas las celdas primitivas tienen el mismo
volumen

6. Red cristalina y vectores
primitivos
a2
a1

7. La terna (dupla) primitiva no es única
a2
a1
b1
b2
c1
c2
d1
d2
u1
u2

8. Diferentes celdas primitivas de una red. Todas
tienen igual área (volumen)
a2
a1
b1
b2
c1
c2
d1
d2

9. CLASIFICACIÓN DE LAS REDES
CRISTALINAS
• Se clasifican por sus propiedades de
simetría
• Hay 5 tipos de redes bidimensionales
• Hay 14 tipos de redes 3D (redes de Bravais)

10. CELDA UNITARIA
• Cada tipo de red cristalina se identifica con
una celda convencional o celda unitaria, no
necesariamente celda primitiva.
• Los tres vectores l.i. que definen la celda
unitaria se llaman ejes cristalinos o
vectores convencionales.

11. Redes Bidimensionales
• Oblicua
• Rectangular
• Rectangular centrada
• Cuadrada
• Hexagonal

12. Redes de Bravais 3D (1)

13. Redes de Bravais 3D (2)
Cúbico
Hexagonal
Trigonal

14. Redes de Bravais 3D (3)

15. Vectores primitivos y ejes cristalinos
en una red sc
a
b
c
Ejes cristalinos
a = a i
b = a j
c = a k
Vectores Primitivos
a1 = a
a2 = b
a3 = c

16. Vectores primitivos y ejes cristalinos
en una red bcc
• Ejes cristalinos
• a = a i
• b = a j
• c = a k
• Vectores Primitivos
• a1 = 1/2 a (i + j - k)
• a2 = 1/2 a (- i + j + k)
• a3 = 1/2 a (i - j + k)
a
b
c
a1
a2
a3

17. Vectores primitivos y ejes cristalinos
en una red bcc
• Ejes cristalinos
• a = a i
• b = a j
• c = a k
• Vectores Primitivos
• a1 = a’ = 1/2 a (i + j - k)
• a2 = b’ = 1/2 a (- i + j + k)
• a3 = c’ = 1/2 a (i - j + k)

18. Vectores primitivos y ejes cristalinos
en una red fcc
• Ejes cristalinos
• a = a i
• b = a j
• c = a k
• Vectores Primitivos
• a1 = 1/2 a (i + j)
• a2 = 1/2 a ( j + k)
• a3 = 1/2 a ( k + i)
b
c
a
a1
a3
a2

19. Vectores primitivos y ejes cristalinos
en una red fcc
• Ejes cristalinos
• a = a i
• b = a j
• c = a k
• Vectores Primitivos
• a1 = a’ = 1/2 a (i + j)
• a2 = b’ = 1/2 a ( j + k)
• a3 = c’ = 1/2 a ( k + i)

20. Ejercicio
• Demostrar que el volumen de una celda
primitiva de una red bcc es la mitad del
volumen de la correspondiente celda
unitaria
• Demostrar que el volumen de una celda
primitiva de una red fcc es un cuarto del
volumen de la correspondiente celda
unitaria

21. El volumen de una celda primitiva es la cuarta
parte de una celda unitaria fcc

22. El volumen de una celda primitiva es la mitad
de una celda unitaria bcc

23. PLANOS CRISTALINOS
Un plano cristalino puede ser definido por:
• Tres puntos no colineales de una red
cristalina
• los vectores que van de uno de los puntos a
los otros dos.
• la normal al plano
• En FES se usa una convención especial para
designar a los planos: Los índices de Miller

24. Índices de Miller
• Desde cualquier punto de la
red no contenido en el plano
se trazan los ejes cristalinos.
• Se observan las
intersecciones del plano con
los ejes cristalinos.
• Se invierten los coeficientes
• Se multiplican por el entero
que los convierte en la terna
de enteros más pequeña,
(hkl) , en esa proporción

25. Índices de Miller

26. El entero por el que hay que multiplicar a los interceptos
invertidos para obtener los índices de Miller es 1 si se
toma origen en el plano paralelo vecino inmediato
X
y
x
y
a
2 bO
O'
(1/2) a
b

27. Algunos planos cristalinos de redes
cúbicas

29. Familias de planos paralelos
• Dado un plano cristalino (hkl) por cualquier punto
de la red se puede trazar un plano paralelo.
• Un cristal puede considerarse como la
superposición de una familia de planos paralelos
(cualquier punto de un cristal está contenido en
una familia de planos)
• Planos equivalentes por operaciones de simetría
{hkl}

30. Algunos planos en redes cúbicas

31. ALGUNOS ÍNDICES DE MILLER
VÁLIDOS
• Cúbico simple
• (100), (110), (111), (120), (121), (221), (130)
• BCC
• (110), (200), (121),
• (h+k+l) = entero par
• FCC
• (111), (200), (220)
• (hkl) todos pares o todos impares

32. Distancia interplanar en redes
ortorrómbicas
xa
d
cos
x
y
z
d
plano (hkl)
a
d
hcos
yb
d
cos
zc
d
cos
222
1



















c
l
b
k
a
h
d
cúbicasredespara,
222
lkh
a
d


b
d
kcos
c
d
lcos

33. Estructuras cristalinas
(sc monoatómica)
• Cristal = Red + base
• Red: cúbico simple
• base: un átomo
• en origen (cualquier
punto de red)
• Polonio

34. Estructuras cristalinas
(bcc monoatómica)
• Cristal = Red + base
• Red: bcc
• base: un átomo
• en origen (cualquier
punto de red)
• Li, Na, K, Rb, Cs, Ba,
Ta, W, Nb, Mo, Fe, Eu

35. Estructuras cristalinas
(fcc monoatómica)
• Cristal = Red + base
• Red: fcc
• base: un átomo
• en origen (cualquier
punto de red)
• Ca, Sr, Ni, Cu, Al, Ag,
Au, Pd, Pt, Ir, Ne, Ar,
Kr, Xe, Pb

36. Estructuras cristalinas (CsCl)
• Cristal = Red + base
• Red: cúbico simple
• base: dos átomos
• Cs en origen (cualquier
punto de red)
• Cl en (1/2, 1/2, 1/2)a
• TlBr, TlI, CuPd,
CuZn (bronce beta),
AgMg, LiHg, AlNi, BeCu

37. Estructuras cristalinas (CsCl)

38. Perovskita

39. Estructuras Cristalinas (NaCl)
• Cristal = Red + base
• Red: fcc
• base: dos átomos
• Cl en origen (cualquier
punto de red)
• Na en (1/2, 0, 0)a
• LiH, NaCl, KCl, PbS,
AgBr, MgO, MnO, KBr.

40. Estructuras Cristalinas (NaCl)

41. Estructuras Cristalinas (NaCl)

42. • Cristal = Red + base
• Red: fcc
• base: dos átomos
• C en origen (cualquier
punto de red)
• C en (1/4, 1/4, 1/4)a
• C, Si, Ge, estaño gris.
Estructuras cristalinas (diamante)

43. Estructuras cristalinas (diamante)

44. Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)
• Cristal = Red + base
• Red: fcc
• base: dos átomos
• Zn en origen (cualquier
punto de red)
• S en (1/4, 1/4, 1/4)a
• ZnS, ZnSe, CuF, CuCl,
AgI.

45. Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)

46. Estructuras cristalinas (hexagonal
compacta)
• Cristal = Red + base
• Red: Hexagonal
simple
• base: dos átomos
• Uno en origen (cualquier
punto de red)
• otro en (2/3) a + 1/3 b + (1/2) c
• He, Be, Mg, Tl, Zn, Cd,
Co,Y.

49. DISTANCIA ENTRE VECINOS MÁS CERCANOS
SC 6 a
BCC 8 2/3 a
FCC 12 2/2 a
HCP 12 ¿?
DIAMANTE 4 4/3 a

50. Factor de empaquetamiento de una
estructura fcc monoatómica
a
R
Ra 42 
3
3
)
3
4
(4
a
R
f


6
2
f
74,0f

51. Encontrar la relación c/a en una
estructura hcp ideal
ac
3
8

h
a
c/2
a
43
22
2 ca
a 






2
3
3
2
ah 

52. CELDA WIGNER SEITZ
• Desde cualquier punto de la
red
• Se trazan segmentos a los
puntos vecinos más
cercanos, segundos más
cercanos, y así...
• Se bisecan dichos
segmentos con planos
perpendiculares.
• La celda WS es el sólido
más pequeño formado por
las intersecciones de los
planos.

53. Construcción de una celda WS

54. Una red cristalina como una
superposición de celdas WS
(Hay una celda WS por punto de red)

55. Celda Wigner Seitz

56. Celda Wigner-Seitz de una red cuadrada

57. Celda Wigner-Seitz de una red cúbica
cuerpo centrado (octaedro truncado)

58. Celda Wigner-Seitz de una red cúbica
cara centrada (dodecaedro regular)

59. Imperfecciones de un cristal
• Efectos de superficie
• Impurezas
• Vacancias
• fracturas

60. OPERACIONES DE SIMETRÍA DE
REDES CRISTALINAS
• Operaciones de simetría de un objeto son aquellas que lo
dejan invariante.
• Cualquier rotación respecto a un eje que pasa por su centro
es una operación de simetría de una esfera.
• Una operación de simetría de una red cristalina es
cualquier traslación de una red cristalina por un vector:
• Otras operaciones de simetría son la inversión, reflexiones
y rotaciones ; n = 1, 2, 3, 4, 6.
332211 aaaT nnn 
n/2 

61. TEORÍA DE GRUPOS
• Grupo es un conjunto con una operación
(producto) que :
• es cerrado
• es asociativo
• hay un elemento identidad
• hay un elemento inverso para cada elemento
• conmutativo = abeliano

62. Operaciones de simetría de un
triángulo equilátero
• E, identidad
• A, B, C, rotaciones de 180
respecto a los ejes A, B y C,
respectivamente
• D, rotación de 120 en sentido
horario respecto a eje
perpendicular por el centro del
triángulo
• F, rotación de 120 en sentido
antihorario respecto a eje
perpendicular por el cenro del
triángulo A
B
C
1
2 3

63. Tabla de multiplicación del triángulo
equilátero
E A B C D F
E E A B C D F
A A E F D C B
B B D E F A C
C C F D E B A
D D B C A F E
F F C A B E D

64. Operaciones de simetría de un tetraedro
regular ( T )
• Identidad
• C2x, C2y, C2z
• 8 rotaciones de 120
(C3) alrededor de las
diagonales de un cubo.
a
b
c
d

65. Algunos grupos de simetría

66. REDES CRISTALINAS Y GRUPOS DE SIMETRÍA
Sistema Celda unitaria Grupos Número de
operaciones de
simetría
Triclínico
 
 cba C1 ,
S2 (Ci)
1
2
Monoclínico
 

2/
cba C1h
C2
C2h
2
2
4
Ortorrómbico
2/ 
 cba C2v
D2 (V)
D2h ( Vh)
4
4
8
Tetragonal
2

 
 cba C4
S4
C4h
D2d
C4v
D4
D4h
4
4
8
8
8
8
16
Romboedral
23
2 
 
 cba C3
S6
C3v
D3
D3d
3
6
6
6
12
Hexagonal
3
2
,
2



 
 cba C3h
C6
C6h
D3h
C6v
D6
D6h
6
6
12
12
12
12
24
Cúbico
2

 
 cba T
Th
Td
O
Oh
12
24
24
24
48

67. Redes imposibles
(Simetría de orden5 )
Un eje de simetría de orden 5 es incompatible con el concepto
de red. Considere que T es el vector de
traslación de longitud más pequeño
T
T´
T´´
Nótese que T`+ T`` es de
menor longitud que T

68. Redes imposibles
(Simetría de orden 7 o mayor)
Un eje de simetría de orden n, donde n es 7 o mayor que 7, es
incompatible con el concepto de red.
T
T´
Supongamos que T es el vector de traslación
Más pequeño.
7nsi,T/n)(SenT2`  TT

69. Ejercicio: Estructura cristalina del grafito

70. Ejercicio: Estructura cristalina del grafito

71. Ejercicio: Estructura cristalina del grafito

72. Ejercicio: Estructura cristalina del grafito
altura c/2
altura c y 0
12 atomos por celda unitaria o celda primitiva

74. esfera negra altura c/2
esfera roja altura 0 y c 4 átomos por celda unitaria
A1 : (0,0,0)
A2: 1/3 a +1/3 b
A3: 2/3 a +2/3 b +1/2 c
A4: (0,0,c/2)