1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Ecuaciones Paramétricas
Bachiller:
Francis Marcano
C.I.: 28.394.914
Fecha, Noviembre de 2019
2. En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una
curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un
intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro,
considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del
parámetro.
Ecuaciones paramétricas. Sistema de ecuaciones paramétricas permite representar
una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren
un intervalo de números reales, mediante una variable , llamada parámetro,
considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del
parámetro.
En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo
de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como
variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con
el valor de esta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los
restantes valores son sus parámetros.
Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t)
para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
En el caso de una función real de una variable real, y =f(x), en algunos casos es
preferible, tratándose del par ordenado (x,y) , expresar cada una de las coordenadas
como una función; esto es x= g(t) , y = h(t). De tal manera que a t se le denomina
parámetro' y al sistema formado por x= g(t) , y = h(t) se denomina ecuaciones
paramétricas.de la función. Extendiendo este concepto para el caso de curvas se
puede hablar que las ecuaciones x= g(t) , y = h(t) definen una curva recorriendo
algún intervalo de números reales.
Las ecuaciones paramétricas x = 2t-5, y = 4t - 7, que corresponden a la recta de
ecuación y=2x+3.
Las de la cicloide son x = a(t-sent), y = a( 1-cost); siendo a el radio de la
circunferencia rodante sin resbalamiento por una recta horizontal; t el ángulo central
de la circunferencia , cuyo uno de los lados pasa por un punto de la cicloide y el
otro, por el punto de contacto de la circunferencia con la recta donde rueda.
3. En el espacio
En el espacio R3 cada punto de una curva se puede definir por un sistema de tres
ecuaciones x= x(t), y = y(t), z= z(t).
Como ejemplo , la hélice circular tiene l estas ecuaciones paramétricas x = a cos t,
y = a sen t, z = bt
Para describir una superficie en el espacio R3 se emplean dos parámetros.: s, t. y
el correspondiente sistema de tres ecuaciones paramétricas es x = x(s,t), y = y(s,t),
z = z(s,t), resolviendo para s y t el sistema formado por las dos primeras ecuaciones
y reemplazando en la ecuación z= z(s,t) se puede obtener z= f(x,y) o bien F(x,y,z) =
0
Por ejemplo para la esfera, el sistema de ecuaciones paramétricas es x = a cos s
sent, y = asen s sen t , z = a cos t.
Se aplica en el estudio de la curvatura, radio de curvatura de una curva plana, la
curvatura y la torsión de una curva en el espacio; plano tangente de una superficie.,
etc. y da motiva a la llamada derivación de ecuaciones paramétricas con resultados
peculiares.
Representación paramétrica de una curva
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste
en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o
parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos
del espacio n-dimensional están representados por n coordenadas reales), de la
forma e_i=f_i(t),,f_i:[a,b] rightarrow {mathbb R}, donde ei representa la i-ésima
coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por
ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y =
y(t), z = z(t)
Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto a leq t < b le
corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al
hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina
cerrada.
4. Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un
punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son
continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de curva está
compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.
