Este documento introduce el concepto de suma de Riemann y cómo puede usarse para estimar el área bajo una curva dividiendo el intervalo en rectángulos más pequeños. Luego explica cómo el límite de esta suma cuando el ancho de los rectángulos tiende a cero es igual a la integral definida de la función en ese intervalo. También resume el teorema fundamental del cálculo y algunas propiedades de la integral definida.

1. Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETE
SUMA DE RIEMANN
Para dar una introducción a este concepto matemático comenzaremos analizando unas graficas
donde se está sobre estimando y subestimando el área bajo una curva, mediante rectángulos de
altura f(x) y de ancho ∆x, con estos datos las áreas de los rectángulos se obtendrían mediante el
siguiente calculo A= f(x)(∆x), en las graficas se están utilizando puntos extremos izquierdos y
derechos, los puntos extremos izquierdos nos dan una altura f(x) que nos sirve para estimar el
área por defecto, lo que es decir, estamos subestimando el área, por otra parte los puntos
extremos derechos nos dan una altura f(x) que nos sirve para estimar el área por exceso, es decir
estamos sobre estimando el área bajo la curva.
En estas graficas vemos que el área del
rectángulo amarrillo mide 76cm2 (sobre
estimación) y el área del rectángulo rojo
mide 12 cm2 (sub estimación), ambos
tienen la misma base (∆x=4cm) pero
diferente altura, en el primer caso la
altura es de 19cm y en el segundo de
3cm. Entonces podemos decir que el
área bajo la curva (s), la podemos
estimar dentro del siguiente intervalo:

2. Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETE
En estas graficas vemos que el área total
estimada está conformada por la suma de
dos áreas en ambos casos, en el primer
caso los rectángulos tienen alturas de
7cm(morado) y 19 cm(azul), en este caso
tenemos un nuevo valor para la base(∆x),
y es de 2cm, entonces las áreas son 14cm2
y de 38cm2 respectivamente, para los
rectángulos de subestimación tenemos
algo similar pero con distintas alturas y
son de 3cm para el rectángulo verde y de
7cm para el rectángulo crema, entonces
las áreas para estos rectángulos son de
6cm2 y de 14cm2 respectivamente.
Entonces la nueva sobre estimación la
calculamos sumando las áreas de los
primeros rectángulos y la subestimación la
obtenemos sumando las áreas de los
últimos rectángulos, con lo cual podemos
decir que el área bajo la curva (s), la
podemos estimar dentro del siguiente
intervalo:

3. Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETE
En estas graficas podemos observar que
tenemos cuatro rectángulos para la
sobreestimación y 4 rectángulos para la
subestimación, la nueva base (∆x) tiene un
valor de 1cm, las alturas de los rectángulos
(f(x)) de sobreestimación son:
Rosa =4cm, morado=7cm, verde=12cm y
naranja=19cm. con lo cual las ares de estos
rectángulos son: 4cm2, 7cm2, 12cm2 y
19cm2 respectivamente.
Las alturas de los rectángulos (f(x)) de
subestimación son:
Crema=3cm, verde=4cm, morado=7cm y
azul=12cm, como tienen la misma base
que los otros rectángulos tenemos que sus
áreas son: 3cm2, 4cm2, 7cm2 y 12cm2
respectivamente. Entonces la nueva sobre
estimación la calculamos sumando las
áreas de los primeros rectángulos y la
subestimación la obtenemos sumando las
áreas de los últimos rectángulos, con lo
cual podemos decir que el área bajo la
curva (s), la podemos estimar dentro del
siguiente intervalo:
Observe por favor que los cálculos que se hicieron para obtener las áreas de todos los rectángulos
fue utilizando la fórmula del área de un rectángulo escrita en el primer párrafo como:
A= f(x) (∆x, donde altura es igual a f(x) y base es igual a ∆x, con lo cual el primer cálculo se realizo
de la siguiente manera A= (19cm) (4cm)=76cm2, procedimiento que se realizo con cada uno de los
rectángulos utilizando su altura y su base correspondiente.

4. Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETE
Si bien pudiste notar en cada caso la base se fue haciendo más pequeña lo cual traía consigo mas
rectángulos de aproximación y mayor exactitud en la estimación del área, podemos ahora
imaginar que entre más pequeño sea ∆x, mejor será nuestra estimación.
Entonces si nosotros generalizamos el proceso anterior , tomando en cuenta n rectángulos de
bases iguales ∆x y alturas f(x), siendo f(x) la ordenada correspondiente al valor de un punto de la
curva, en donde “x” es la abscisa, misma que se va obteniendo sumando ∆x a el valor inicial para x
en el intervalo, podemos entonces aproximar el área bajo la curva en un intervalo que parte desde
x=x1 hasta x=xn, como la suma de esos rectángulos que se van generando con alturas f(x) y bases
∆x, escrito en notación sigma tendríamos:
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆
Donde ∆ y n es el numero de rectángulos que deseamos
Las expresiones anteriores son conocidas como sumas de Riemann, en honor al matemático
alemán Bernhard Riemann (1826-1866.)
Integral Definida
Si f(x) es una función continua en un intervalo , y dividimos a este intervalo en n
sub-intervalos de igual ancho ∆ , elegimos como puntos muestra para
calcular respectivamente, entonces, la integral definida de f(x), desde
, es un límite de sumas de Riemann cuando ∆ tiende a cero, o sea la base se
reduce infinitamente. La expresio matematica para una integral definida es:
∆
Teorema Fundamental del Cálculo
El teorema fundamental del Cálculo establece una conexión entre las dos ramas del Cálculo y se
divide en dos partes:

5. Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETE
donde F es cualquier anti-derivada de f, esto es F´=f.
La segunda parte del teorema fundamental del Cálculo es conocido como teorema de evaluación
Propiedades de la integral definida
con c= a una constante
con c= a una constante
Ejemplos:
Bibliografía:
Jiménez, R. (2011). Matemáticas VI. Cálculo Integral. México: Pearson Educación.
Stewart, J. (2001). Cálculo de una variable. Trascendentes Tempranas. México:
Thomson Learning.