Este documento presenta una introducción a los conceptos de integral indefinida y métodos de integración. Explica que la integral indefinida es el conjunto de todas las primitivas de una función y representa la función antiderivada más una constante. Luego, describe métodos como las integrales inmediatas, integración por partes, sustitución, y racionales para calcular integrales indefinidas.

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Integrales
Bachiller:
Rafael Aponte
C.I.: 27.226.785
Fecha, Marzo de 2019

2. Introducción
Llamaremos primitiva de una función respecto de la variable , a una
función que cumpla que
Es el proceso inverso a obtener la función derivada:
Derivada: a partir de una función obtenemos su función derivada
Primitiva: a partir de la función derivada obtenemos la función primitiva de la que
procede
Si tenemos la función podemos comprobar que una primitiva
sería (al derivar 5x obtenemos 5).
Pero también serían primitivas las
funciones , , , etc. (al
derivar cualquiera de ellas obtendríamos 5).
Tendríamos infinitas primitivas de la forma (siendo C una
constante que podría representar cualquier número)
Llamaremos integral indefinida de f(x) al conjunto de todas las primitivas de
dicha función y lo representaremos por:
En la expresión anterior tenemos (de izquierda a derecha):
: símbolo de integral
: integrando (la función que queremos integrar)

3. : diferencial de x (x es la variable respecto de la que queremos integrar)
: primitiva
: constante de integración
Integración: podemos llamar integración al proceso mediante el cual obtenemos
la integral indefinida de una función. Para ello existen varios métodos:
Integrales Inmediatas. Consiste en aplicar fórmulas de manera semejante al
cálculo de derivadas.
Integración por partes
Integración por cambio de variable (o sustitución)
Integración de funciones racionales
etc.

4. Integrales indefinidas
Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x),
busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro
modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas
ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Integral indefinida
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una
función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, f(x) dx es una
conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número.
La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama
la variable de integración.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

5. Integrales inmediatas.
Se llaman integrales inmediatas aquellas que están en la tabla de integrales, su
solución es inmediata pues se trata sólo de poner el resultado que aparece en la
tabla (desgraciadamente a los profesores no nos gusta mucho ponerlas como
ejercicios del exámen ).
Ejemplo 1: Hallemos la integral:
Solución: Sin más que consultar la tabla de integrales:
En ocasiones una integral es inmediata, aunque a algunos no les parezca en
principio así, como en el caso siguiente:
Ejemplo 2: Hallemos la integral:

6. Solución: Hay que tener en cuenta que el integrando no es más que , por lo
tanto tenemos:
También suele llamarse "inmediata" a una integral a la que ha de hacerse un
cambio de variable simple tal como x + a = t, como en el ejemplo siguiente:
Ejemplo 3: Hallemos la integral:
Solución: Hacemos (x + 5) = t , y diferenciando los dos miembros de la
igualdad: dx=dt. A continuación sustituimos:
* Integración por descomposición.
Se trata de aprovechar la propiedad de linealidad:
De esta manera, siempre que podamos descomponer una integral en varios
sumandos lo haremos así.
Ejemplo 5: Hallemos la integral,
Solución: Esta integral puede ser descompuesta en sumandos más simples,

7. Métodos de Integración
Integrales por cambio de variables.
Método de sustitución
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la
derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con
una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º Se vuelve a la variable inical:
Ejemplo

8. Integracion por partes
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de
dos funciones aplicando la fórmula:
Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen
como v'.
Caso 1
En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando
la x como u.

9. Caso 2
Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos
como u y se repite el proceso n veces.
Caso 3
Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por
partes tomando: v' = 1.

10. Caso 4
Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay
que calcular, se resuelve como una ecuación.
Pasamos la integral del 2º miembro al 1º.

11. Sumamos las integrales y multiplicamos en los dos miembros por 4/13.
Sacamos factor común e3x.
Integrales trigonométricas.
Se trata de integrales en la que aparecen las funciones trigonométricas: sen x,
cos x, tan x. Estas funciones pueden aparecer dentro de una expresión racional
P/Q, para este caso hay una cambio siempre válido, es el llamado cambio
general que las transforma en integrales racionales.
CAMBIO GENERAL:
Según esto para expresar el seno y el coseno como funciones de t, podemos
considerar:
expresiones que se obtienen de: sen 2A = 2 sen A cos A; cos 2A = cos²A - sen²A,
haciendo 2A = x. Con lo cual, podemos poner:
Ejemplo 1: Hallemos la integral,

12. Solución: Haciendo el cambio general, tan x/2 = t, no tenemos más que sustituir
directamente,
para transformarla en racional:
Finalmente debemos sustituir el valor de t:
El alumno puede practicar con este método general haciendo los siguientes
ejercicios:
Las integrales trigonométricas que estamos viendo suelen ser expresadas en los
libros como: , donde por R nos referimos a una
expresión racional. Ahora vamos a ver que ciertas integrales de la
forma: , en las que aparece
sen x ó cos x multiplicando a dx aunque pueden ser hechas por el método
general, suele ser más fácil realizarla por una simple
sustitución: sen x = t ó cos x = t. Como en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2: Hallemos la integral,
Solución: Realizamos el cambio indicado,

13. con lo que nos queda:
una integral racional cuyo resultado es:
El alumno puede practicar (utilizando el cambio general o éste visto aquí) las
integrales:
* * *
CAMBIO ALTERNATIVO:
En ocasiones nos aparecen integrales en las que (1) aparece la función tangente
y/o (2) aparecen las funciones seno y coseno elevadas a potencias pares, en
estos casos conviene realizar un cambio que llamaremos "trigonométrico
alternativo":
Apoyándonos en una circunferencia
trigonométrica, cuyo radio es 1, hacemos el
cambio:
Por la gráfica, observamos un triángulo
rectángulo cuyos catétos miden 1 y t (el
segmento rojo es la tangente de x), entonces la
hipotenusa es la raiz de estos valores al cuadrado. Entonces podemos poner:

14. con este cambio las integrales trigonométricas se convierten a racionales, pero se
exige que en ellas el seno y al coseno estén elevados a potencias pares para que
al sustituir desaparezcan los radicales del denominador.
Ejemplo 3: Hallemos la integral,
Solución: Como aparece sólo la función tangente hacemos este cambio
alternativo: tg x = t
finalmente en t sustituimos tg x.
Ejemplo 4: Hallemos la integral,
Solución: En esta integral aparece tg x y la función sen x elevada a una
potencia par, por tanto puede ser adecuado este cambio, tg x = t, x = arc tg t:
sustituyendo la convertimos en racional:
finalmente sustituimos la t por tg x.
Otras integrales para que el alumno practique:

15. * Integrales de la forma: , donde P es una expresión
polinómica en senos y cosenos.
Siempre podremos desarrollarla en sumas de integrales de la forma:
en la que dependiendo de cuál sean m y n hay dos posibilidades:
i) m ó n impares o ambos impares.
Sea por ejemplo m impar, es decir m = 2p+1, entonces la integral queda:
que puede expresarse en la forma:
y ahora hacerse por sustitución: sen x = t, -> cos x dx = dt, y la integral se
convierte en inmediata.
Ejemplo 32: Hallemos la integral,
Solución: la función coseno está elevada a una potencia impar, por lo tanto
podemos expresar la integral en la forma:
y ahora con la sustitución sen x = t, tenemos:
ii) m y n son ambos pares.
En este caso la integral tendrá la forma:

16. entonces podemos expresar por ejemplo: , y por
tanto al desarrollarla en sumandos nos aparecen varias integrales de la
forma: .
En definitiva, todo se reduce a realizar integrales de la forma:
a) Cuando el exponete es par se pueden hacer por partes, como ya hemos visto
para el caso de sen²x, y de cos²x.
Ejemplo 5: Hallemos la integral,
Solución: Esta integral podemos expresarla:
que hacemos por partes:
entonces tenemos,
por lo tanto,
La integral del seno al cuadrado ya la conocemos (recordarla):
Y pr lo tanto podemos concluir:

17. Fórmulas
Ejercicios
1
2

18. 3
4
5
6
7

19. 8
9

20. 10
11
12
13
14

21. 15
16
Integrales racionales
En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que
del denominador, si no fuera así se dividiría.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador,
descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los
siguientes tipos de integrales racionales:
Caso 1: Integrales racionales con raíces reales simples
La fracción puede escribirse así:
Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e
identificando coeficientes o dando valores a x.

22. Ejemplo
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de
ser iguales:
Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al
denominador.
Caso 2: Integrales racionales con raíces reales múltiples
La fracción puede escribirse así:

23. Ejemplo
Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al
denominador y otro más.
Caso 3: Integrales racionales con raíces complejas simples
La fracción puede escribirse así:

24. Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de
tipo arcotangente.
Ejemplo
Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:
Integrales irracionales.
Son aquella integrales que contienen funciones irracionales (raíces), la cantidad
subradical lineal repetida o no.
El artificio consiste en realizar un cambio de variable que permita simplificar las
raíces presentes, esto se logra elevando la nueva variable al índice de la raíz o el
m cm de las raíces presentes. (siempre que sean de la misma cantidad
subradical).
Ejemplo:

25. Integrales binómicas
Se trata de integrales de la forma:
que incluye integrales de raíces cuadradas (p = 1/2), de raíces cúbicas (p = 1/3),
etc.. Nosotros por comodidad al referirnos a ellas, vamos a hablar de dos tipos:
Obsérvese que las integrales de tipo I son las de tipo general pero
con a=b=n=1. Toda integral binómica tipo general debe ser transformada
a binómica tipo I para ser integrada.
En concreto, toda integral binómica tipo general se convirte en tipo I con el
cambio:
b xn
= a t
Esto lo vamos a ver con un ejemplo, tranformemos a tipo I la integral:

26. para ello hacemos el cambio:
ahora despejamos x y hallamos dx:
y sustituimos en la integral:
donde hemos extraido un 2 del parentesis (2 + 2t)¹/², la integral es de tipo I.
* Forma de integrar una integral binómica tipo I.
Se procede según los exponentes a y b sean números enteros o no , de acuerdo
a los tres casos:
i) b: entero. Entonces se desarrolla el binomio de Newton, y se desarrolla
en integrales inmediatas.
ii) b=p/q (no entero), a: entero. En este caso se utiliza el cambio:
siendo el exponente de z el denominador del cociente p/q.
iii) b=p/q (no entero), a: no entero, pero a + b: entero, en este caso se multiplica
y divide a la integral por , entonces ésta puede ser expresada:
y a continuación se realiza el cambio:
siendo el exponente de z, al igual que ántes, el denominador del cociente p/q.
Veamos algunos ejemplos:

27. Ejemplo 26: Hallemos la integral indefinida:
Solución: Se trata del ejemplo que hemos comenzado anteriormente, y que
como hemos dicho, con el cambio , queda transformada en integral tipo I:
Esta integral tiene la forma del caso (ii) b=1/2 (no entero), a=2 (entero), por lo
tanto el cambio indicado es:
1 + t = z²
es decir, , con lo que la integral se convierte en
inmediata:
finalmente sustituiremos el valor de z, y en éste el valor
de t:
Ejemplo 27: Hallemos la integral indefinida:
Solución: Se trata de una integral que podemos expresar en la forma
en la que claramente se ve que es binómica tipo general, con m=-4, n=½, p=-½.
Para transformarla en tipo I hacemos el cambio:
lo que conduce a:

28. integral binómica tipo I, en la que tanto a como b son no enteros pero a + b es -3,
entero (el signo es indeferente), y por tanto la podemos hacer según el caso (iii):
como b=-1/2, lo primero que hacemos es multiplicar y dividir al integrando por t-1/2,
es decir:
ahora realizamos el cambio:
con lo que la integral resultante es:
finalmente debemos sustituir el valor de z y el correspondiente a t, y el resultado
es:
* * *
Algunos ejercicios que puede realizar el alumno:

29. Conclusión
En conclusión vemos como el calculo nos enseña muchas cosas pero no solo en
números si no también en la vida diaria los integrales o derivabas es un tema muy
extenso que nos ayuda a resolver problemas que involucran magnitudes cuyos
valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de
otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media.

30. Bibliografía
https://www.ecured.cu/Integral_Indefinida
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/int_inmediatas.htm
https://www.vitutor.com/integrales/metodos/integrales_sustitucion.html
https://www.vitutor.com/integrales/metodos/integral_partes.html
https://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integrales_trigonometricas.html
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/int_trigonomet.htm
https://www.vitutor.com/integrales/metodos/integrales_racionales.html
http://www.calculointegrales.com/p/blog-page_7.html
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/int_binomicas.htm