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Republica Bolivariana de Venezuela.
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño.
Extensión – Barcelona
Escuela de Ingeniería Electrónica
Ecuaciones Paramétricas
Bachiller:
Fereira, Kenny
C.I: 27943253
Introducción
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones
lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas
como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones,
gráficas computacionales, entre otras.
Estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y
un conjunto de escalares que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra
de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades
Otra de las áreas que ha adoptado el álgebra lineal es la física, ya que a través de esta se ha logrado
desarrollar el estudio de fenómenos físicos, describiéndolos mediante el uso de vectores. Esto ha hecho
posible una mejor comprensión del universo.
Generalidades del algebra
vectorial
Esta rama de la matemática a través de tres fundamentos:
 Geométricamente: Representados por rectas que tienen una orientación y las
operaciones por números reales se hacen a travéz de métodos geométricos.
 Analíticamente: Se hace uso de números llamados componentes el cual es
resultado de una representación geométrica usando un sistema de
coordenadas.
 Axiomáticamente: Se hace una descripción de los vectores,
independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de
representación geométrica.
Generalidades del algebra
vectorial
El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un
sistema de referencia, que puede ser en una o más dimensiones. Entre los principales
sistemas se encuentran:
 Sistema unidimensional
 Sistema de coordenadas rectangulares (bidimensional)
 Sistema de coordenadas polares (bidimensional)
 Sistema tridimensional rectangular
Generalidades del algebra
vectorial
 Sistema unidimensional
Se trata de una recta donde un
punto (O) representa el origen y otro
punto (P) determina la escala
(longitud) y el sentido de esta:
 Sistema de coordenadas
Está compuesto por dos rectas
perpendiculares llamadas eje x y eje y, que pasan
por un punto origen; el plano queda divido en 4
regiones llamadas cuadrantes:
Generalidades del algebra
vectorial
 Sistema de coordenadas polares
(bidimensional).
En este caso el sistema es compuesto por un
punto O (origen) que es llamado polo y una
semirrecta con origen en O llamada eje polar.
En este caso el punto P es dado por el ángulo
(Ɵ), que se forma por la distancia que existe
entre el origen y el punto P.
 Sistema tridimensional rectangular.
Formado por tres rectas perpendiculares (x, y, z)
que tienen como origen un punto O en el espacio.
Se forman tres planos coordenados: xy, xz y yz; el
espacio quedará dividido en ocho regiones llamadas
octantes. La referencia de un punto P del espacio es
dada por las distancias que existen entre los planos y
P.
Generalidades del algebra
vectorial
 Magnitudes
Una magnitud es una cantidad física que puede ser contada o medida a través de un valor
numérico, como en el caso de algunos fenómenos físicos; sin embargo, muchas veces es
necesario poder describir esos fenómenos con otros factores que no sean numéricos. Por eso
las magnitudes son clasificadas en dos tipos:
 Magnitud escalar
Son aquellas cantidades que se definen y
representan de forma numérica; es decir, por un
módulo junto con una unidad de medida. Por
ejemplo:
-Tiempo: 5 segundos.
 Magnitud vectorial
Son aquellas cantidades que son
definidas y representadas por un módulo
junto con una unidad, así como también por
un sentido y dirección. Por ejemplo:
-Velocidad: (5ȋ – 3ĵ) m/s.
 Vectores
Los vectores son representaciones gráficas de una magnitud vectorial; es decir, son segmentos de
recta en los que su extremo final es la punta de una flecha.
Los vectores se ven determinados por tres factores, su modulo, sentido y dirección:
Generalidades del algebra
vectorial
 Modulo
Es la distancia que hay desde
el origen hasta el extremo de un
vector.
 Dirección
Es la medida del ángulo que
existe entre el eje x (a partir del
positivo) y el vector.
 Sentido
Es dado por la punta de flecha
ubicada en el extremo del vector,
indicando hacia dónde se dirige.
Representación grafica de un vector con su modulo, sentido y
dirección.
Generalidades del algebra
vectorial
Ecuaciones Paramétricas
En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o
superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números
reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un
punto como una función dependiente del parámetro.
Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para
determinar la posición y la velocidad de un móvil.
Ecuaciones Paramétricas de la
recta en el espacio
Desarrollamos la ecuación vectorial de la recta r expresada en
componentes:
Y entonces separando por componentes
obtenemos:
Que son las conocidas como
ecuaciones paramétricas de la
recta.
Ecuaciones Paramétricas de la
recta en el espacio
Ejemplo:
Grafica ecuación vectorial de
la recta en R3
Dado un vector V=Vx,Vy,Vz. Y un
punto P(Xo,Yo,Zo.) Se hallará la
ecuación de la recta r que pasa por el
centro de P y es paralela al vector V.
Se comienza considerando un vector X
(x,y,z) que será perteneciente a la recta r, y así
crear con ambos puntos el vector PX, que
será paralelo al vector V.
Grafica ecuación vectorial de
la recta en R3
Luego se coloca un origen (O) que
tendrá coordenadas (0,0,0). De los
cuales irán un vector en dirección Al
Punto P y otro en dirección al Punto X.
Estos vectores recibirán el nombre
OP y OX, el vector OX será igual a la
suma del vector OP con el vector PX
Y este vector PX tiene la misma
dirección que el vector V, siendo así V=
t.V siendo t un valor real quedaría:
OX= OP + t . V
(x,y,z)= (Xo,Yo,Zo) + t (Vx,Vy,Vz)
Esta seria la ecuación vectorial de la recta.
Ecuación vectorial de la recta
en R3
Se tiene un punto P(-1,2,1) y tiene por vector director V (2,1,3) hallar la
ecuación vectorial.
Usamos la formula:
(x,y,z)= (-1,2,1) + t . (2,1,3) Esto seria la ecuación vectorial.
Si desea hallar un punto que pertenezca a esa recta sustituye el valor t
por el valor que quiera.
(x,y,z)= (-1,2,1) + t . (2,1,3)= (1,3,4) Pertenecería a la recta.
Ecuación paramétrica de la
recta en R3
Las ecuaciones paramétricas son básicamente el mismo concepto que la ecuación vectorial de
la recta a diferencia de que cada coordenada va por separado.
Ecuación paramétrica de la
recta en R3
Ejemplo:
Dado los puntos y el vector director
calcular la ecuación paramétrica de la recta
Si te piden un punto que pertenezca a dicha
recta se le da un valor a t como por ejemplo
5
Entonces dicho punto seria:
Representación de una curva
plana con ecuaciones
paramétricas
Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de
puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se
usa el término curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta
noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de
forma suave, es decir, sin formar ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las
quebradas. Estarían fuera de esta noción los casos de movimiento rectilíneo.
Curva: Es el caso límite de poligonal en que los saltos discretos de los segmentos son
infinitesimales. También en este caso se dice curva plana, también llamada de simple
curvatura por el ángulo de contingencia, si tiene todos sus puntos en un mismo plano; y
curva alabeada, llamada de doble curvatura por los dos ángulos el de contingencia y el de
torsión, en caso que todos sus puntos no estén en un mismo plano.
Definición de una curva plana Si f y g son funciones continuas de t en un
intervalo I, entonces a las ecuaciones
Se les llama ecuaciones paramétricas y a t se le llama el parámetro. Al
conjunto de puntos (x, y) que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I
se le llama la gráfica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones
paramétricas y a la gráfica, juntas, es a lo que se le llama una curva plana,
que se denota por C
Representación de una curva
plana con ecuaciones
paramétricas
Ecuación paramétrica de la
recta en R3
Considérese la trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45°.
Si la velocidad inicial del objeto es 48 pies por segundo, el objeto recorre la trayectoria
parabólica dada por
Se obtienen las ecuaciones
paramétricas
A partir de este conjunto de ecuaciones, se
puede determinar que en el instante el objeto se
encuentra en el punto (0, 0). De manera
semejante, en el instante el objeto está en el
punto y así sucesivamente.
Ecuación de la recta en el
plano cartesiano
Transformación de ecuaciones
paramétricas a cartesianas
Longitud de arco de una
curva en ecuaciones
paramétricas
Para encontrar la longitud de arco de
una curva, construimos una integral de la
forma
Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está
dada en forma paramétrica; es decir, cuando (x) y (y) son
funciones de una nueva variable, el parámetro t. Para
poder usar la integral de longitud de arco, primero
calculamos las derivadas de ambas funciones y
obtenemos dx, x y dy, y en términos de dt.
Sustituye estas expresiones en la integral
y factoriza el término dt^2, t, fuera del
radical.
Longitud de arco de una
curva en ecuaciones
paramétricas
Una curva definida por:
Considera la porción de esta curva
que está entre los puntos dados por t
= -2 y t = 2t
¿Cuál es su longitud?
Ya que nuestra curva está descrita en
términos de (x) y (y), la integral de
longitud de arco comienza viéndose
como:
Para expresar esta integral en términos
de ttt, escribimos dx y dy como
funciones de t.
Longitud de arco de una
curva en ecuaciones
paramétricas
Luego sustituye las expresiones en la integral:
El problema nos dice que la curva va de -2,
a 2. Con estos límites, resuelve la integral.
Conclusiones
 Gracias a un punto y un vector podemos calcular la ecuación de la recta que utilizamos
para calcular las ecuaciones paramétricas en el espacio.
 La longitud de una curva crea la posibilidad de calcular cada uno de los puntos que crea
una trayectoria de un objetivo en un trazo.
 Las ecuaciones paramétricas pueden ser transformadas en ecuaciones cartesianas
utilizando un método de eliminación.
 La rama de la matemáticas algebra vectorial tiene un conjunto de fundamentos
para el análisis de los problemas que facilitan la comprensión de los mismos, con
diferentes sistemas de coordenadas.
Anexos
https://www.youtube.com/watch?v=1x5zGY9DOdg
https://www.youtube.com/watch?v=rx65AJYaxg8&list=PLpbLLqs33gIm7HW6laaErbP
dXGPXiv5kS&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=s36aSg4ucbg&list=PLpbLLqs33gIm7HW6laaErb
PdXGPXiv5kS&index=1
Bibliografía
 Vincenzo J. Álgebra Vectorial: Fundamentos, Magnitudes, Vectores. Lifeder.com. Recuperado
de: https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-magnitudes-
vectores/#Fundamentos
 Sangaku S.L. (2019) Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio. sangakoo.com.
Recuperado de https://www.sangakoo.com/es/temas/ecuaciones-parametricas-de-la-recta-
en-el-espacio
 Marcos S. (2013) Curvas planas y ecuaciones paramétricas. Slideshare.com. Recuperado de
https://es.slideshare.net/marcossaenz35/capitulo-muestra-10
 Sofía R. (2016) Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Docplayer.es.
Recuperado de: https://docplayer.es/21099509-2-curvas-planas-ecuaciones-parametricas-y-
coordenadas-polares.html
 Khan Academy (2017) La longitud de arco de curvas parametrizadas. Khanacademy.org.
Recuperado de: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-
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Ecuaciones parametricas

  • 1. Republica Bolivariana de Venezuela. Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño. Extensión – Barcelona Escuela de Ingeniería Electrónica Ecuaciones Paramétricas Bachiller: Fereira, Kenny C.I: 27943253
  • 2. Introducción El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas computacionales, entre otras. Estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades Otra de las áreas que ha adoptado el álgebra lineal es la física, ya que a través de esta se ha logrado desarrollar el estudio de fenómenos físicos, describiéndolos mediante el uso de vectores. Esto ha hecho posible una mejor comprensión del universo.
  • 3. Generalidades del algebra vectorial Esta rama de la matemática a través de tres fundamentos:  Geométricamente: Representados por rectas que tienen una orientación y las operaciones por números reales se hacen a travéz de métodos geométricos.  Analíticamente: Se hace uso de números llamados componentes el cual es resultado de una representación geométrica usando un sistema de coordenadas.  Axiomáticamente: Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica.
  • 4. Generalidades del algebra vectorial El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un sistema de referencia, que puede ser en una o más dimensiones. Entre los principales sistemas se encuentran:  Sistema unidimensional  Sistema de coordenadas rectangulares (bidimensional)  Sistema de coordenadas polares (bidimensional)  Sistema tridimensional rectangular
  • 5. Generalidades del algebra vectorial  Sistema unidimensional Se trata de una recta donde un punto (O) representa el origen y otro punto (P) determina la escala (longitud) y el sentido de esta:  Sistema de coordenadas Está compuesto por dos rectas perpendiculares llamadas eje x y eje y, que pasan por un punto origen; el plano queda divido en 4 regiones llamadas cuadrantes:
  • 6. Generalidades del algebra vectorial  Sistema de coordenadas polares (bidimensional). En este caso el sistema es compuesto por un punto O (origen) que es llamado polo y una semirrecta con origen en O llamada eje polar. En este caso el punto P es dado por el ángulo (Ɵ), que se forma por la distancia que existe entre el origen y el punto P.  Sistema tridimensional rectangular. Formado por tres rectas perpendiculares (x, y, z) que tienen como origen un punto O en el espacio. Se forman tres planos coordenados: xy, xz y yz; el espacio quedará dividido en ocho regiones llamadas octantes. La referencia de un punto P del espacio es dada por las distancias que existen entre los planos y P.
  • 7. Generalidades del algebra vectorial  Magnitudes Una magnitud es una cantidad física que puede ser contada o medida a través de un valor numérico, como en el caso de algunos fenómenos físicos; sin embargo, muchas veces es necesario poder describir esos fenómenos con otros factores que no sean numéricos. Por eso las magnitudes son clasificadas en dos tipos:  Magnitud escalar Son aquellas cantidades que se definen y representan de forma numérica; es decir, por un módulo junto con una unidad de medida. Por ejemplo: -Tiempo: 5 segundos.  Magnitud vectorial Son aquellas cantidades que son definidas y representadas por un módulo junto con una unidad, así como también por un sentido y dirección. Por ejemplo: -Velocidad: (5ȋ – 3ĵ) m/s.
  • 8.  Vectores Los vectores son representaciones gráficas de una magnitud vectorial; es decir, son segmentos de recta en los que su extremo final es la punta de una flecha. Los vectores se ven determinados por tres factores, su modulo, sentido y dirección: Generalidades del algebra vectorial  Modulo Es la distancia que hay desde el origen hasta el extremo de un vector.  Dirección Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a partir del positivo) y el vector.  Sentido Es dado por la punta de flecha ubicada en el extremo del vector, indicando hacia dónde se dirige.
  • 9. Representación grafica de un vector con su modulo, sentido y dirección. Generalidades del algebra vectorial
  • 10. Ecuaciones Paramétricas En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
  • 11. Ecuaciones Paramétricas de la recta en el espacio Desarrollamos la ecuación vectorial de la recta r expresada en componentes: Y entonces separando por componentes obtenemos: Que son las conocidas como ecuaciones paramétricas de la recta.
  • 12. Ecuaciones Paramétricas de la recta en el espacio Ejemplo:
  • 13. Grafica ecuación vectorial de la recta en R3 Dado un vector V=Vx,Vy,Vz. Y un punto P(Xo,Yo,Zo.) Se hallará la ecuación de la recta r que pasa por el centro de P y es paralela al vector V. Se comienza considerando un vector X (x,y,z) que será perteneciente a la recta r, y así crear con ambos puntos el vector PX, que será paralelo al vector V.
  • 14. Grafica ecuación vectorial de la recta en R3 Luego se coloca un origen (O) que tendrá coordenadas (0,0,0). De los cuales irán un vector en dirección Al Punto P y otro en dirección al Punto X. Estos vectores recibirán el nombre OP y OX, el vector OX será igual a la suma del vector OP con el vector PX Y este vector PX tiene la misma dirección que el vector V, siendo así V= t.V siendo t un valor real quedaría: OX= OP + t . V (x,y,z)= (Xo,Yo,Zo) + t (Vx,Vy,Vz) Esta seria la ecuación vectorial de la recta.
  • 15. Ecuación vectorial de la recta en R3 Se tiene un punto P(-1,2,1) y tiene por vector director V (2,1,3) hallar la ecuación vectorial. Usamos la formula: (x,y,z)= (-1,2,1) + t . (2,1,3) Esto seria la ecuación vectorial. Si desea hallar un punto que pertenezca a esa recta sustituye el valor t por el valor que quiera. (x,y,z)= (-1,2,1) + t . (2,1,3)= (1,3,4) Pertenecería a la recta.
  • 16. Ecuación paramétrica de la recta en R3 Las ecuaciones paramétricas son básicamente el mismo concepto que la ecuación vectorial de la recta a diferencia de que cada coordenada va por separado.
  • 17. Ecuación paramétrica de la recta en R3 Ejemplo: Dado los puntos y el vector director calcular la ecuación paramétrica de la recta Si te piden un punto que pertenezca a dicha recta se le da un valor a t como por ejemplo 5 Entonces dicho punto seria:
  • 18. Representación de una curva plana con ecuaciones paramétricas Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin formar ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Estarían fuera de esta noción los casos de movimiento rectilíneo. Curva: Es el caso límite de poligonal en que los saltos discretos de los segmentos son infinitesimales. También en este caso se dice curva plana, también llamada de simple curvatura por el ángulo de contingencia, si tiene todos sus puntos en un mismo plano; y curva alabeada, llamada de doble curvatura por los dos ángulos el de contingencia y el de torsión, en caso que todos sus puntos no estén en un mismo plano.
  • 19. Definición de una curva plana Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las ecuaciones Se les llama ecuaciones paramétricas y a t se le llama el parámetro. Al conjunto de puntos (x, y) que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I se le llama la gráfica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, juntas, es a lo que se le llama una curva plana, que se denota por C Representación de una curva plana con ecuaciones paramétricas
  • 20. Ecuación paramétrica de la recta en R3 Considérese la trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45°. Si la velocidad inicial del objeto es 48 pies por segundo, el objeto recorre la trayectoria parabólica dada por Se obtienen las ecuaciones paramétricas A partir de este conjunto de ecuaciones, se puede determinar que en el instante el objeto se encuentra en el punto (0, 0). De manera semejante, en el instante el objeto está en el punto y así sucesivamente.
  • 21. Ecuación de la recta en el plano cartesiano
  • 23. Longitud de arco de una curva en ecuaciones paramétricas Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma paramétrica; es decir, cuando (x) y (y) son funciones de una nueva variable, el parámetro t. Para poder usar la integral de longitud de arco, primero calculamos las derivadas de ambas funciones y obtenemos dx, x y dy, y en términos de dt. Sustituye estas expresiones en la integral y factoriza el término dt^2, t, fuera del radical.
  • 24. Longitud de arco de una curva en ecuaciones paramétricas Una curva definida por: Considera la porción de esta curva que está entre los puntos dados por t = -2 y t = 2t ¿Cuál es su longitud? Ya que nuestra curva está descrita en términos de (x) y (y), la integral de longitud de arco comienza viéndose como: Para expresar esta integral en términos de ttt, escribimos dx y dy como funciones de t.
  • 25. Longitud de arco de una curva en ecuaciones paramétricas Luego sustituye las expresiones en la integral: El problema nos dice que la curva va de -2, a 2. Con estos límites, resuelve la integral.
  • 26. Conclusiones  Gracias a un punto y un vector podemos calcular la ecuación de la recta que utilizamos para calcular las ecuaciones paramétricas en el espacio.  La longitud de una curva crea la posibilidad de calcular cada uno de los puntos que crea una trayectoria de un objetivo en un trazo.  Las ecuaciones paramétricas pueden ser transformadas en ecuaciones cartesianas utilizando un método de eliminación.  La rama de la matemáticas algebra vectorial tiene un conjunto de fundamentos para el análisis de los problemas que facilitan la comprensión de los mismos, con diferentes sistemas de coordenadas.
  • 28. Bibliografía  Vincenzo J. Álgebra Vectorial: Fundamentos, Magnitudes, Vectores. Lifeder.com. Recuperado de: https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-magnitudes- vectores/#Fundamentos  Sangaku S.L. (2019) Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio. sangakoo.com. Recuperado de https://www.sangakoo.com/es/temas/ecuaciones-parametricas-de-la-recta- en-el-espacio  Marcos S. (2013) Curvas planas y ecuaciones paramétricas. Slideshare.com. Recuperado de https://es.slideshare.net/marcossaenz35/capitulo-muestra-10  Sofía R. (2016) Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Docplayer.es. Recuperado de: https://docplayer.es/21099509-2-curvas-planas-ecuaciones-parametricas-y- coordenadas-polares.html  Khan Academy (2017) La longitud de arco de curvas parametrizadas. Khanacademy.org. Recuperado de: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating- multivariable-functions/line-integrals-for-scalar-functions-articles/a/arc-length-part-2- parametric-curve