1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Ingeniería Civil
Vectores en R3
Profesora:
Ingrid Barrios
Bachilleres:
Rafael Aponte C.I.: 27.226.785
Fecha, Junio de 2019
2. Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano)
son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la
representación gráfica de una relación matemática (funciones
matemáticas y ecuaciones de geometría analítica), o
del movimiento o posición en física, caracterizadas por tener como referencia
ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto origen. En las coordenadas
cartesianas se determinan las coordenadas al origen como la longitud de cada una
de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La
denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien las
utilizó por primera vez de manera formal.
El sistema en sí es un sistema bidimensional, que se denomina plano cartesiano.
El punto de intersección de las rectas, por definición, considera como el punto cero
de las rectas y se conoce como origen de coordenadas. Al eje verticales o de las
abscisas se le asigna los números reales de las equis ("y':); y al eje vertical o de
las ordenadas se le asignan los números reales de las yes ("y"). Al cortarse las
dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el
nombre de cuadrantes:
Primer cuadrante "I": Región superior derecha
Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
Cuarto cuadrante "IB": Región inferior derecha
El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el
plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El
conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar
otros puntos.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema
cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta),
respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio),
perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto
llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se
denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se
representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la
coordenada vertical y se representa por la y.
3. Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650),
el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento
filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que
edificaría todo el conocimiento.
Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un
«punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para
poder representar la geometría plana, que usa solo dos rectas perpendiculares
entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas».
4. Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en
que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata
de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría
analítica plana.
Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ, ), donde:
ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto al eje ,
o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano
φ: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el
eje la proyección del radiovector sobre el plano .
: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo,
desde el punto P al plano .
5. Los rangos de variación de las tres coordenadas son
La coordenada azimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La
coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a
alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o
disminuye en π radianes.
Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las
coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas,
éstas son:
Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje .
Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
Líneas coordenadas : Rectas verticales.
Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente
cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:
Superficies ρ=cte.: Semiplanos verticales.
Superficies φ=cte.: Cilindros rectos verticales.
Superficies =cte.: Planos horizontales.
Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a
dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.
6. Coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que
las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un
punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda
representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo
polar o colatitud θ y el azimut φ.
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen
es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También
puede variar la medida del azimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o
contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -180° a +180° (-π a π).
Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.
7. La mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos escriben:
φ ,el azimut : de 0° a 360°
θ ,la colatitud : de 0° a 180°
Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional,
los rangos de variación de las tres coordenadas son:
La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de llega a
alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer
π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.
Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las
coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas,
estas son:
Líneas coordenadas : Semirrectas radiales partiendo del origen de
coordenadas.
Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).
8. Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijando sucesivamente
cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:
Superficies =cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.
Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.
Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.
Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a
dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.
Funciones de varias variables
Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del
primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la
definición matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen una
variable independiente (x) que cambia libremente sin depender de ningún
parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a x. El cambio que
sufre y está definido por una expresión algebraica que funge como regla.
Se puede entender a una función como una máquina por la que entra algo y sale
algo diferente, procesado:
9. La imagen anterior lo ilustra perfectamente. La función genera resultados para y =
f(x) dependiendo el valor que tome x. En el mundo real, estas funciones describen
fenómenos que dependen de solo una variable. Por ejemplo, en cinemática, la
rama de la física que estudia el movimiento sin preocuparse por las causas que lo
provocan, la posición de un objeto se define por funciones que varían respecto al
tiempo t. Son funciones de una única variable dependiente. Sin embargo, existen
fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no depende únicamente de un
solo factor. Estas son funciones de varias variables.
Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la
misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable
dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy
común trabajar con funciones de tres variables, generalmente
llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor
de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que
les corresponde un valor de z.
10. Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su
comportamiento y entenderlo con más claridad. Las funciones de varias variables
no están exentas de ello. El problema es que no todas las funciones de varias
variables se pueden graficar. De hecho, el máximo número de variables que
permite graficar es de tres variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente
no se pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al menos no
gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres variables es el
siguiente:
Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias superficies
tridimencionales son funciones de tres variables. Los planos, paraboloides,
etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión son funciones. ¿Cómo
saberlo? Aplicando la prueba de la recta vertical. Tanto en funciones de dos
variables como de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es
función. Una esfera, por ejemplo, no es función puesto que no pasa dicha prueba;
esto significa que a un mismo punto coordenados (x, y) le corresponden dos
valores de z. Rompe con la definición de función.
11. Rango y dominio
Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y
como ocurre en funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El
dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la función sin
que esta se indefina. El rango es el conjunto de valores reales que toma la
función z en función del dominio.
El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos
variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las
variables del argumento. Es decir, el dominio depende de como interactuan estas
variables. Por ejemplo:
Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal
que ambas variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto
que la función f jamás se indefinirá. La manera formal de escribirlo es:
De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que
en realidad son todos los reales, pues nunca se indefine:
12. En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea
de los valores que toman x y y en un plano, en el caso de una función de tres
variables. Para la función anterior, el gráfico del dominio es el siguiente:
Lo anterior se entiende como que un tapiz de puntos. Todos los valores de x y
de y son permitidos, y es por eso que se marca todo el plano cartesiano, en dos
dimensiones solamente.
Para el siguiente ejemplo de función:
Esta función es algo más compleja. Existe una raíz que afecta al argumento. El
método para encontrar dominios no es siempre el mismo. En este caso, se sabe
13. que argumento de una raíz cuadrada no puede ser negativo, por lo que el dominio
queda de la siguiente forma:
Es bastante simple de anotar para cualquier caso. Este dominio es el conjunto de
puntos que simplemente no indefinen a la función f. La imagen se encuentra
evaluando a la función desde el punto en que comienza a definirse y el punto
donde se alcanza el valor máximo de f, si es que lo hay:
Valor máximo
Valor mínimo
Ahora se escribe la imagen:
14. El dominio gráfico de la función se haya encontrando una gráfica bidimensional
que sirva de frontera para la indefinición y evaluando un punto por dentro y otro
por fuera y así determinar que región indefinie a f y cual no.
Esta función resulta ser una semiesfera que abarca al eje z positivo. La
circunferencia que describe a la mitad es justamente la frontera del dominio.
El último dominio que se puede graficar es el de una función de cuatro variables.
En estos caso, el dominio es una gráfica tridimensional. Por ejemplo:
15. El dominio se encuentra de la misma forma. Aunque la función tenga tres variables
en su argumento, existe un conjunto de valores que probablemente indefinan a f.
La raíz cuadrada del denominador no puede ser igual a 0. Así mismo, su
argumento no puede ser negativo. Por la conjunción de ambas condiciones se
tiene que el dominio es:
La gráfica del dominio está en tres dimensiones:
16. El gráfico es pues una esfera. Es importante notar que la superficie está punteada
pues solo el "contenido" es parte del dominio. Si las variables del argumento de la
función tomaran valores de un punto de la superficie, f se indefiniría.
Superficie esférica
Una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de
todos los puntos del espacio que equidistan de un punto llamado centro.
Para los puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio, se dice que
forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie
esférica se llama bola cerrada en topología, o esfera, como en geometría
elemental del espacio.1Obviamente, la esfera es un sólido geométrico.
La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una
superficie semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14).
Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para
jugar). Coloquialmente hablando, se emplea la palabra bola, para describir al
cuerpo delimitado por una esfera.
Como superficie
La esfera (superficie esférica) es el conjunto de los puntos del espacio
tridimensional que tienen la misma distancia a un punto fijo denominado centro;
tanto el segmento que une un punto con el centro, como la longitud del segmento,
se denomina radio. En este caso se genera al rotar una semicircunferencia ,
usando como eje de rotación su diámetro. Este concepto se usa al definir la esfera
en geometría analítica del espacio.
Como sólido
La esfera (sólido esférico) es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que
están, respecto del centro, a una distancia igual o menor que la longitud de su
radio. Este concepto coincide con la definición de bola cerrada en el análisis real
de ℝ3. Se genera al rotar un semicírculo, teniendo como eje de rotación su
diámetro.
En esta situación, topológicamente, se puede hablar de frontera( Fr) el conjunto de
puntos de la esfera de distancia igual al radio; interior ( Int), el conjunto de puntos
de distancia menor que el radio; exterior (Ext), el conjunto de puntos de distancia
mayor que el radio. Cumpliéndose que estos tres conjuntos forman una partición
del espacio, de modo que son disjuntos dos a dos y la unión de los tres es el
mismo espacio.
17. Propiedades
Cualquier segmento que contiene el centro de la esfera y sus extremos
están en la superficie esférica, es un diámetro.
Cualquier sección plana de una esfera es un círculo.
Cualquier sección que pasa por el centro de una esfera es un círculo
mayor, y si la sección no pasa por el centro es un círculo menor.
Si se da un círculo de una esfera, los extremos del diámetro perpendicular a
aquel se llaman polos de dicho círculo.
Superficie cilíndrica
Las superficies cilíndricas son superficies generadas por una recta, cuando se
desplaza a través de una curva plana, manteniéndose siempre paralela a sí
misma.
A dicha recta se la llama generatriz de la superficie y a la curva, directriz.
18. La ecuación de una superficie cilíndrica de directriz G y generatriz d (paralela
a u → (u1, u2, u3) y que corta a la directriz en P0(x0, y0, z0)) se obtiene
reemplazando en la ecuación de la curva directriz las coordenadas de P0,
despejadas de la ecuación de d. Entonces, si las ecuaciones de G y d son:
despejando las coordenadas de P0 y reemplazándolas en la ecuación de G se
obtiene:
Eliminando t de las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación de la superficie
cilíndrica.
19. Paraboloide
En la Geometría analítica, un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie
tridimensional que se describe mediante ecuaciones cuya forma canónica es del
tipo:
Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos, según sea que sus términos
cuadráticos (los que contienen variables elevadas al cuadrado, aquí indicadas
como x e y) tengan igual o distinto signo, respectivamente.
Paraboloide hiperbólico
Superficie que ilustra un paraboloide hiperbólico
Un paraboloide será hiperbólico cuando los términos cuadráticos de su ecuación
canónica sean de signo contrario:
El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por lo que se
puede construir a partir de rectas. Por su apariencia, también se lo denomina
superficie de silla de montar.
20. Paraboloide elíptico
Horno solar cuya superficie reflectora es un paraboloide de revolución.
Un paraboloide será elíptico cuando los términos cuadráticos de su ecuación
canónica sean del mismo signo:
Si además es a = b, el paraboloide elíptico será un paraboloide de revolución, que
es la superficie resultante de girar una parábola en torno a su eje de simetría.
Las antenas parabólicas son paraboloides de revolución, y tienen la propiedad de
reflejar los rayos paralelos entrantes hacia su foco, punto donde se ubica el
receptor.
Elipsoide.
Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres
secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por
planos que contienen dos ejes cartesianos.
En matemática, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.
Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una
transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales.
Ecuación cartesiana de un elipsoide
La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes
coincidentes con los cartesianos, es:
𝑥²
𝑎²
+
𝑦2
𝑏²
+
𝑧2
𝑐²
= 1
donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes
x, y , z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos
21. de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales,
se trata de una esfera.
Otras características
La intersección de un elipsoide con un plano suele ser una elipse. También puede
ser una circunferencia.
Se puede definir un elipsoide en espacios de más de tres dimensiones.
Hiperboloide.
La hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de
una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje
elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.
Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de
referencia, cuya ecuación es
,
en el sistema de coordenadas (ver el esquema siguiente).
La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo,
mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la
hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.
Hiperboloide de una hoja.
22.
Hiperboloide de dos hojas.
Si el centro de simetría es C(0, 0, 0), y el eje del hiperboloide es el eje z, entonces
la ecuación del hiperboloide de una hoja es:
y la ecuación del hiperboloide de dos hojas es:
Si el centro fuera C(x0, y0, z0), entonces las ecuaciones se escribirían:
Características de los hiperboloides
Hiperboloide de una hoja
Sea el hiperboloide de una hoja de ecuación:
El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto al origen de coordenadas.
El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto a los ejes de coordenadas.
23. El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto a los planos coordenados.
Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del hiperboloide son hipérbolas.
El hiperboloide de una hoja se extiende infinitamente.
Una ecuación paramétrica de este hiperboloide de una hoja es es:
Hiperboloide de dos hojas
Sea el hiperboloide de dos hojas de ecuación:
El hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto al origen de coordenadas.
El hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto a los ejes de coordenadas.
El hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto a los planos coordenados.
Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del hiperboloide son hipérbolas.
El hiperboloide de dos hojas se extiende en -∞ ≤ x ≤ ∞; -∞ ≤ y ≤ ∞; |z| ≥ c.
Una ecuación paramétrica de este hiperboloide de dos hojas es:
Ejemplos
Ejemplo 1. Analizar la superficie de ecuación:
Ge) x2 - y2 + z2 = 1
ü Es un hiperboloide de una hoja
ü El hiperboloide corta a los ejes de coordenadas en los siguientes puntos:
24. eje x: A1(-1, 0, 0), A2(1, 0, 0)
eje y: el hiperboloide no corta al eje y
eje z: C1(0, 0, -1), C2(0, 0, 1)
ü Las secciones con planos paralelos a los coordenados son:
con planos paralelos al x - y (z = k): hipérbolas de la forma:
Ge) x2 - y2 = 1 - k2, z = k
en las que k puede asumir cualquier valor real y que cambian de eje focal en z = ±
1.
con planos paralelos al x - z (y = k): circunferencias de la forma:
Ge) x2 + z2 = 1 + k2, y = k
en las que k puede asumir cualquier valor real.
con planos paralelos al z - y (x = k): hipérbolas de la forma:
Ge) - y2 + z2 = 1 - k2, x = k
en las que k puede asumir cualquier valor real y que cambian de eje focal en x = ±
1.
ü El gráfico de este hiperboloide de una hoja es:
Ejemplo 2. Analizar la superficie de ecuación:
Ge) x2 - y2 - z2 = 1
25. ü Es un hiperboloide de dos hojas
ü El hiperboloide corta a los ejes de coordenadas en los siguientes puntos:
eje x: A1(-1, 0, 0), A2(1, 0, 0)
eje y: el hiperboloide no corta al eje y
eje z: el hiperboloide no corta al eje z
ü Las secciones con planos paralelos a los coordenados son:
con planos paralelos al x - y (z = k): hipérbolas de la forma:
Ge) x2 - y2 = 1 + k2, z = k
en las que k puede asumir cualquier valor real.
con planos paralelos al x - z (y = k): hipérbolas de la forma:
Ge) x2 + z2 = 1 + k2, y = k
en las que k puede asumir cualquier valor real.
con planos paralelos al z - y (x = k): circunferencias de la forma:
Ge) y2 + z2 = -1 + k2, x = k
en las que k puede asumir cualquier valor real tal que |k| ≥ 1.
ü El gráfico de este hiperboloide de dos hojas es:
