Material educativo para el taller de Geometría de la Universidad Técnica Nacional

1. GEOMETRÍA
INTRODUCCIÓN
Este material didáctico está dirigido a
estudiantes de las carreras de ingeniería
de la UTN. Su propósito es que el
estudiante nivele los conocimientos
básicos adquiridos en la secundaria y
otros conocimientos necesarios
relacionados con estas temáticas que son
imprescindibles en cursos superiores de
matemáticas y de la vida cotidiana.
Mario Padilla Murillo

2. SOLIDOS GEOMETRICOS
Un sólido o cuerpo es una porción cerrada de espacio, limitada por
superficies planas o alabeadas.
Los cinco sólidos o cuerpos que estudiaremos son los siguientes:
Prismas Pirámides
Cilindro
Cono Esfera
Poliedro
Se llama poliedro a un cuerpo limitado exclusivamente por superficies
planas. Las superficies que imitan un poliedro se llaman caras del mismo, las
intersecciones de las caras se llaman aristas y los puntos donde estas se
cortan, se llaman vértices.
De los cinco sólidos o cuerpos citados, el prisma y la pirámide son poliedros.
El cilindro, cono y esfera no lo son, ya que en parte o totalmente están
limitados por superficies curvas.

3. Prisma
Es un poliedro con polígonos congruentes en dos planos distintos y paralelos.
Estos polígonos y su interior, forman dos de sus caras, las otras caras están
formadas por segmentos paralelos que se forman al unir los
correspondientes vértices de los polígonos.
Elementos de un prisma:
• Base: corresponde a la figura geométrica sobre la cual se apoya el
prisma.
• Cara lateral: son los rectángulos que forman los costados del prisma.
• Vértice: son los puntos donde coinciden tres caras.
• Arista lateral: corresponde a los segmentos que unen los vértices
correspondientes.
El polígono correspondiente a la base del prisma es el que determina su
nombre. Por ejemplo:
Base Nombre
Triángulos Prisma triangular
Rectángulos Prisma rectangular (Paralelepípedo)
Cuadrados Prisma cuadrangular (Cubo)
Pentágonos Prisma pentagonal
Hexágonos Prisma hexagonal

4. Los prismas se clasifican en rectos (las aristas laterales son perpendiculares a
los planos de las bases) y oblicuos (las aristas laterales no son
perpendiculares a los planos de las bases).
Prisma recto Prisma oblicuo
Fórmulas para prismas regulares
Área lateral:
Se determinan las áreas de cada rectángulo
que conforman las caras y luego se suman.
Área basal:
Se determinan las áreas que conforman las
bases y luego se suman.
Área total: 𝐴! = 𝐴" + 𝐴#
Fórmulas para el cubo
Diagonal: 𝑑 = 𝑎√3
Área lateral: 𝐴" = 4𝑎$
Área total: 𝐴! = 6𝑎$
Fórmulas para paralelepípedo
Diagonal: 𝑑 = *ℓ$ + 𝑎$ + ℎ$
Área lateral: 𝐴" = 2(ℓ + 𝑎) ∙ ℎ
Área basal: 𝐴% = 2 ∙ ℓ ∙ 𝑎
Área total: 𝐴! = 𝐴" + 𝐴#

5. Ejemplos
1. La base de un prisma recto es
un triángulo equilátero. Si el
área de la base es 𝟏𝟎√𝟐 𝒄𝒎𝟐
y
la altura del prisma es 𝟕√𝟐 𝒄𝒎,
entonces, ¿cuál es el área del
prisma?
𝐴% = 2 ∙ Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐴% = 2 ∙ 10√2
𝐴% = 20√2 𝑐𝑚$
Con el área de la base obtenemos
la medida del lado:
𝐴 = 10√2
ℓ$
√3
4
= 10√2
ℓ$
=
4 ∙ 10√2
√3
ℓ = B
40√6
3
ℓ ≈ 5,71
Como la base es un triángulo
equilátero, obtenemos el área de
una cara y la multiplicamos por 3.
𝐴 = ℓ ∙ 𝑎
𝐴 ≈ 7√2 ∙ 5,71
𝐴 ≈ 56,53
𝐴" = 3 ∙ Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎
𝐴" ≈ 3 ∙ 56,53
𝐴" ≈ 169,59 𝑐𝑚$
𝐴! = 𝐴" + 𝐴%
𝐴! ≈ 169,59 + 20√2
𝑨𝑻 ≈ 𝟏𝟗𝟕, 𝟖𝟕 𝒄𝒎𝟐
2. Determine el área total de un
prisma rectangular con
dimensiones 𝒉 = 𝟗 𝒄𝒎, de la
base 𝓵 = 𝟓 𝒄𝒎 y 𝒂 = 𝟑.
Como es un prisma rectangular,
calculamos el área lateral de la
siguiente manera:
Cara frontal y posterior
𝐴 = ℓ ∙ 𝑎
𝐴 = 9 ∙ 5
𝐴 = 45
𝐴 = 45 ∙ 2 (dos caras)
𝐴 = 90
Caras de costado
𝐴 = ℓ ∙ 𝑎
𝐴 = 9 ∙ 3
𝐴 = 18
𝐴 = 18 ∙ 2 (dos caras)
𝐴 = 36
𝐴" = 90 + 36
𝐴" = 126 𝑐𝑚$
Calculamos el área basal:
𝐴% = 2 ∙ ℓ ∙ 𝑎
𝐴% = 2 ∙ 5 ∙ 3
𝐴% = 30 𝑐𝑚$
𝐴! = 𝐴" + 𝐴%
𝐴! = 126 + 30
𝑨𝑻 = 𝟏𝟓𝟔 𝒄𝒎𝟐

6. Pirámide
Es un sólido geométrico en el cual una de sus caras es un polígono
cualquiera llamado base y las otras son triángulos que tienen un vértice o
cúspide de la pirámide.
Elementos de un pirámide:
• Caras: cada uno de los polígonos que conforman la pirámide.
• Base: es la cara en que se apoya la pirámide.
• Aristas: son los lados de las caras, dos caras tienen una arista en común.
• Vértices: son los puntos en donde coinciden tres caras.
• Cúspide o ápice: es el punto donde se unen las aristas laterales, también
conocido como vértice de la pirámide.
• Altura: es la distancia que hay entre la base y la cúspide de la pirámide.
• Apotema: es la altura de la cara lateral (triángulo isósceles).
Las pirámides se nombran de acuerdo al polígono de la base del prisma. Por
ejemplo:
Base Nombre
Triángulo Pirámide triangular
Rectángulo Pirámide rectangular
Cuadrado Pirámide cuadrangular
Pentágono Pirámide pentagonal
Hexágono Pirámide hexagonal

7. Las pirámides se clasifican en regulares (la base es un polígono regular y las
aristas laterales son congruentes) y no regulares (la base no es un polígono
regular o las aristas laterales no son congruentes).
Fórmulas para pirámide regular
Teorema de Pitágoras ℎ$
= 𝑐$
+ 𝑐$
Área lateral: 𝐴" =
𝑏 ∙ ℎ
2
Área basal: 𝐴% = Área del polígono regular de la base.
Área total: 𝐴! = 𝐴" + 𝐴%
Ejemplo
Halle el área total de una pirámide triangular recta con aristas laterales de 6
cm y con base un triángulo equilátero de 4 cm de lado.
Para calcular el área lateral, primero determinamos la apotema de la
pirámide por medio de la formula Pitágoras:
ℎ$
= 𝑐$
+ 𝑐$
6$
= 𝑎(
$
+ 2$
36 − 4 = 𝑎(
$
√32 = 𝑎(
4√2 = 𝑎(

8. Segundo, determinamos el perímetro de una cara lateral:
𝐴 =
𝑏 ∙ ℎ
2
=
4 ∙ 4√2
2
= 8√2
Son tres las caras laterales de una pirámide:
𝐴" = 3 ∙ 8√2
𝐴" = 24√2
Determinamos el área basal, cuya base es un triángulo equilátero:
𝐴% =
ℓ$
∙ √3
4
=
4$
∙ √3
4
= 4√3
Por último, determinamos el área total de la pirámide triangular:
𝐴! = 𝐴" + 𝐴%
𝐴! = 24√2 + 4√3
𝑨𝑻 ≈ 𝟒𝟎, 𝟖𝟕𝒄𝒎𝟐
Cilindro
A la porción de espacio limitada por la superficie engendrada por el giro de
un segmento de recta alrededor de un eje y dos planos perpendiculares al
eje que contienen los extremos del segmento, se llama cilindro circular recto
o cilindro de revolución.
Elementos de un cilindro:

9. La estructura del cilindro consiste en dos círculos y un rectángulo.
Fórmulas para el cilindro circular recto
Área lateral: 𝐴" = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ
Área basal: 𝐴% = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟$
Área total:
𝐴! = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ + 2 ∙ 𝜋
∙ 𝑟$
Ejemplos
1. Determine el área lateral, área
basal y área total de una lata
cuyo radio mide 8 cm y su altura
mide 13 cm.
𝐴" = 2𝜋𝑟ℎ
𝐴" = 2𝜋 ∙ 8 ∙ 13
𝐴" = 208𝜋
𝐴% = 2𝜋𝑟$
𝐴% = 2𝜋 ∙ 8$
𝐴% = 128𝜋
𝐴! = 𝐴" + 𝐴%
𝐴! = 208𝜋 + 128𝜋
𝑨𝑻 = 𝟑𝟑𝟔𝝅 𝒄𝒎𝟐
2. Halle el área total de un cilindro
circular recto de 31 cm de altura
y 10 cm de diámetro.
𝒓 =
𝒅
𝟐
→ 𝒓 =
𝟏𝟎
𝟐
→ 𝒓 = 𝟓
𝐴! = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟$
𝐴! = 2𝜋 ∙ 5 ∙ 31 + 2𝜋 ∙ 5$
𝐴! = 310𝜋 + 50𝜋
𝑨𝑻 = 𝟑𝟔𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟐

10. Cono
La porción de espacio limitado por una superficie cónica circular y de un
plano perpendicular al eje, se llama cono circular recto o cono de
revolución.
Elementos de un cono:
• Eje: es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo rectángulo.
• Generatriz: es la distancia del vértice a un punto de la circunferencia.
• Base: es el circulo que se forma con la rotación del otro cateto.
Corresponde a la cara plana.
• Altura: es la distancia del vértice al centro de la base en forma
perpendicular.
• Superficie lateral: corresponde a la superficie del sector circular.

11. Fórmulas para el cono circular recto
Teorema de Pitágoras 𝑔$
= 𝑐$
+ 𝑐$
Área lateral: 𝐴" = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑔
Área basal: 𝐴% = 𝜋 ∙ 𝑟$
Área total: 𝐴! = 𝐴" + 𝐴%
Ejemplos
1. Un cono tiene una altura de 4
cm y 3 cm de radio. Calcule la
medida de su generatriz.
Utilizando el Teorema de Pitágoras:
𝑔$
= 𝑐$
+ 𝑐$
𝑔$
= 4$
+ 3$
𝑔$
= 25
𝑔 = √25
𝒈 = 𝟓 𝒄𝒎
2. Un cono circular recto posee 16
cm de diámetro de la base y su
altura mide 25 cm. Calcule el
área total.
Encontramos la medida de la
generatriz:
𝑔$
= 25$
+ 8$
𝑔 = √689
Determinamos el área lateral:
𝐴" = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑔
𝐴" = 𝜋 ∙ 8 ∙ √689
𝐴" ≈ 659,70
Determinamos el área basal:
𝐴% = 𝜋 ∙ 𝑟$
𝐴% = 𝜋 ∙ 8$
𝐴% ≈ 201,06
Determinamos el área total:
𝐴! ≈ 659,70 + 201,06
𝑨𝑻 ≈ 𝟖𝟔𝟎, 𝟕𝟔 𝒄𝒎𝟐

12. Esfera
El conjunto de todos los puntos del espacio cuya distancia a un punto fijo O
es un número real r, se llama superficie esférica de centro O y radio r.
Elementos de un cono:
Fórmulas para la esfera
Área 𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟$
Ejemplos
1. Determine el radio de una
esfera cuya área corresponde a
𝟏𝟐𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟐
.
𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟$
120𝜋 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟$
120𝜋
4𝜋
= 𝑟$
30 = 𝑟$
√𝟑𝟎 𝒄𝒎 = 𝒓
2. Determine el área del planeta
Tierra considerándolo esférico, si
el radio es aproximadamente 6
370 km.
𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟$
𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 6370$
𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 6370$
𝑨 = 𝟏𝟔𝟐 𝟑𝟎𝟕 𝟔𝟎𝟎𝝅 𝒌𝒎𝟐

13. Referencias bibliográficas
Cambronero, F. (2017). Matemática 10. Un enfoque práctico.
Jiménez, R. (2006). Geometría y Trigonometría.
Publicaciones Porras y Gamboa. (2015). Matemática 10.
Publicaciones Porras y Gamboa. (2015). Matemática 11.
Rojas, C. (2017). Geometría para diseño gráfico.
https://issuu.com/am12211049/docs/geometria_para_disen_o_grafico_carl
os_javier_rojas