Material educativo para estudiantes del curso Matemática General de la Universidad Técnica Nacional en Costa Rica

1. GEOMETRÍA
UNIVERSIDAD TÉCNICA NACIONAL
ÁREA DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
TG-01: TALLER DE GEOMETRÍA
Unidad II: Sólidos Geométricos

2. pág. 1
ÍNDICE
RESULTADOS DE APRENDIZAJE .......................................................................................................................2
SOLIDOS GEOMÉTRICOS.......................................................................................................................................3
POLIEDRO........................................................................................................................................................................3
Prisma.......................................................................................................................................................................4
Pirámide..................................................................................................................................................................7
Cilindro.................................................................................................................................................................10
Cono.......................................................................................................................................................................12
Esfera.....................................................................................................................................................................14
CONCLUSIÓN.............................................................................................................................................................15
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................................................................15

3. pág. 2
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Para desarrollar el tema de Sólidos geométricos, se detalla a continuación los
objetivos y contenidos definidos para dicho fin, esperando abarcar todo lo necesario
con el propósito de que usted como aprendiente comprenda la importancia del
presente tema.
Objetivos de aprendizaje:
 Identificar los elementos de un prisma recto, pirámide recta, cilindro circular
recto, cono circular recto y esfera.
 Calcular la medida del área en sólido geométrico en diferentes contextos.
Para el cumplimiento adecuado de los objetivos anteriores se trabajará en los
siguientes contenidos:
 Sólidos geométricos y clasificación.
 Elementos y área del prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera.

4. pág. 3
SOLIDOS GEOMÉTRICOS
Un sólido o cuerpo es una porción cerrada de espacio, limitada por superficies planas
o alabeadas.
Los cinco sólidos o cuerpos que estudiaremos son los siguientes:
Prismas Pirámides
Cilindro
Cono Esfera
Poliedro

5. pág. 4
Se llama poliedro a un cuerpo limitado exclusivamente por superficies planas. Las
superficies que imitan un poliedro se llaman caras del mismo, las intersecciones de
las caras se llaman aristas y los puntos donde estas se cortan, se llaman vértices.
De los cinco sólidos o cuerpos citados, el prisma y la pirámide son poliedros. El
cilindro, cono y esfera no lo son, ya que en parte o totalmente están limitados por
superficies curvas.
Prisma
Es un poliedro con polígonos congruentes en dos planos distintos y paralelos. Estos
polígonos y su interior, forman dos de sus caras, las otras caras están formadas por
segmentos paralelos que se forman al unir los correspondientes vértices de los
polígonos.
Elementos de un prisma:
 Base: corresponde a la figura geométrica sobre la cual se apoya el prisma.
 Cara lateral: son los rectángulos que forman los costados del prisma.
 Vértice: son los puntos donde coinciden tres caras.
 Arista lateral: corresponde a los segmentos que unen los vértices
correspondientes.
El polígono correspondiente a la base del prisma es el que determina su nombre.
Por ejemplo:
Base Nombre

6. pág. 5
Triángulos Prisma triangular
Rectángulos Prisma rectangular (Paralelepípedo)
Cuadrados Prisma cuadrangular (Cubo)
Pentágonos Prisma pentagonal
Hexágonos Prisma hexagonal
Los prismas se clasifican en rectos (las aristas laterales son perpendiculares a los
planos de las bases) y oblicuos (las aristas laterales no son perpendiculares a los
planos de las bases).
Prisma recto Prisma oblicuo
Fórmulas para prismas regulares
Área lateral:
Se determinan las áreas de cada rectángulo que
conforman las caras y luego se suman.
Área basal:
Se determinan las áreas que conforman las bases y
luego se suman.
Área total: 𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝑏
Fórmulas para el cubo
Diagonal: 𝑑 = 𝑎√3
Área lateral: 𝐴𝐿 = 4𝑎2
Área total: 𝐴𝑇 = 6𝑎2

7. pág. 6
Fórmulas para paralelepípedo
Diagonal: 𝑑 = √ℓ2 + 𝑎2 + ℎ2
Área lateral: 𝐴𝐿 = 2(ℓ + 𝑎) ∙ ℎ
Área basal: 𝐴𝐵 = 2 ∙ ℓ ∙ 𝑎
Área total: 𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝑏
Ejemplos
1. La base de un prisma recto es un
triángulo equilátero. Si el área
de la base es 𝟏𝟎√𝟐 𝒄𝒎𝟐
y la
altura del prisma es 𝟕√𝟐 𝒄𝒎,
entonces, ¿cuál es el área del
prisma?
𝐴𝐵 = 2 ∙ Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐴𝐵 = 2 ∙ 10√2
𝐴𝐵 = 20√2 𝑐𝑚2
Con el área de la base obtenemos la
medida del lado:
𝐴 = 10√2
ℓ2
√3
4
= 10√2
ℓ2
=
4 ∙ 10√2
√3
ℓ = √
40√6
3
ℓ ≈ 5,71
Como la base es un triángulo equilátero,
obtenemos el área de una cara y la
multiplicamos por 3.
2. Determine el área total de un
prisma rectangular con
dimensiones 𝒉 = 𝟗 𝒄𝒎, de la base
𝓵 = 𝟓 𝒄𝒎 y 𝒂 = 𝟑.
Como es un prisma rectangular,
calculamos el área lateral de la
siguiente manera:
Cara frontal y posterior
𝐴 = ℓ ∙ 𝑎
𝐴 = 9 ∙ 5
𝐴 = 45
𝐴 = 45 ∙ 2 (dos caras)
𝐴 = 90
Caras de costado
𝐴 = ℓ ∙ 𝑎
𝐴 = 9 ∙ 3
𝐴 = 18
𝐴 = 18 ∙ 2 (dos caras)
𝐴 = 36
𝐴𝐿 = 90 + 36
𝐴𝐿 = 126 𝑐𝑚2

8. pág. 7
𝐴 = ℓ ∙ 𝑎
𝐴 ≈ 7√2 ∙ 5,71
𝐴 ≈ 56,53
𝐴𝐿 = 3 ∙ Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎
𝐴𝐿 ≈ 3 ∙ 56,53
𝐴𝐿 ≈ 169,59 𝑐𝑚2
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵
𝐴𝑇 ≈ 169,59 + 20√2
𝑨𝑻 ≈ 𝟏𝟗𝟕,𝟖𝟕 𝒄𝒎𝟐
Calculamos el área basal:
𝐴𝐵 = 2 ∙ ℓ ∙ 𝑎
𝐴𝐵 = 2 ∙ 5 ∙ 3
𝐴𝐵 = 30 𝑐𝑚2
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵
𝐴𝑇 = 126 + 30
𝑨𝑻 = 𝟏𝟓𝟔 𝒄𝒎𝟐
Pirámide
Es un sólido geométrico en el cual una de sus caras es un polígono cualquiera
llamado base y las otras son triángulos que tienen un vértice o cúspide de la
pirámide.
Elementos de un pirámide:
 Caras: cada uno de los polígonos que conforman la pirámide.
 Base: es la cara en que se apoya la pirámide.
 Aristas: son los lados de las caras, dos caras tienen una arista en común.
 Vértices: son los puntos en donde coinciden tres caras.
 Cúspide o ápice: es el punto donde se unen las aristas laterales, también
conocido como vértice de la pirámide.

9. pág. 8
 Altura: es la distancia que hay entre la base y la cúspide de la pirámide.
 Apotema: es la altura de la cara lateral (triángulo isósceles).
Las pirámides se nombran de acuerdo al polígono de la base del prisma. Por ejemplo:
Base Nombre
Triángulo Pirámide triangular
Rectángulo Pirámide rectangular
Cuadrado Pirámide cuadrangular
Pentágono Pirámide pentagonal
Hexágono Pirámide hexagonal
Las pirámides se clasifican en regulares (la base es un polígono regular y las aristas
laterales son congruentes) y no regulares (la base no es un polígono regular o las
aristas laterales no son congruentes).
Fórmulas para pirámide regular
Teorema de Pitágoras ℎ2
= 𝑐2
+ 𝑐2
Área lateral: 𝐴𝐿 =
𝑏 ∙ ℎ
2
Área basal: 𝐴𝐵 = Área del polígono regular de la base.
Área total: 𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵

10. pág. 9
Ejemplo
Halle el área total de una pirámide triangular recta con aristas laterales de 6 cm
y con base un triángulo equilátero de 4 cm de lado.
Para calcular el área lateral, primero determinamos la apotema de la pirámide por
medio de la formula Pitágoras:
ℎ2
= 𝑐2
+ 𝑐2
62
= 𝑎𝑝
2
+ 22
36 − 4 = 𝑎𝑝
2
√32 = 𝑎𝑝
4√2 = 𝑎𝑝
Segundo, determinamos el perímetro de una cara lateral:
𝐴 =
𝑏 ∙ ℎ
2
=
4 ∙ 4√2
2
= 8√2
Son tres las caras laterales de una pirámide:
𝐴𝐿 = 3 ∙ 8√2
𝐴𝐿 = 24√2
Determinamos el área basal, cuya base es un triángulo equilátero:
𝐴𝐵 =
ℓ2
∙ √3
4
=
42
∙ √3
4
= 4√3
Por último, determinamos el área total de la pirámide triangular:
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵
𝐴𝑇 = 24√2 + 4√3
𝑨𝑻 ≈ 𝟒𝟎,𝟖𝟕𝒄𝒎𝟐

11. pág. 10
Cilindro
A la porción de espacio limitada por la superficie engendrada por el giro de un
segmento de recta alrededor de un eje y dos planos perpendiculares al eje que
contienen los extremos del segmento, se llama cilindro circular recto o cilindro de
revolución.
Elementos de un cilindro:

12. pág. 11
La estructura del cilindro consiste en dos círculos y un rectángulo.
Fórmulas para el cilindro circular recto
Área lateral: 𝐴𝐿 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ
Área basal: 𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2
Área total: 𝐴𝑇 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ + 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2
Ejemplos
1. Determine el área lateral, área
basal y área total de unalata cuyo
radio mide 8 cm y su altura mide
13 cm.
𝐴𝐿 = 2𝜋𝑟ℎ
𝐴𝐿 = 2𝜋 ∙ 8 ∙ 13
𝐴𝐿 = 208𝜋
𝐴𝐵 = 2𝜋𝑟2
𝐴𝐵 = 2𝜋 ∙ 82
𝐴𝐵 = 128𝜋
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵
𝐴𝑇 = 208𝜋 + 128𝜋
𝑨𝑻 = 𝟑𝟑𝟔𝝅 𝒄𝒎𝟐
2. Halle el área total de un cilindro
circularrecto de 31 cm de altura y
10 cm de diámetro.
𝒓 =
𝒅
𝟐
→ 𝒓 =
𝟏𝟎
𝟐
→ 𝒓 = 𝟓
𝐴𝑇 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟2
𝐴𝑇 = 2𝜋 ∙ 5 ∙ 31 + 2𝜋 ∙ 52
𝐴𝑇 = 310𝜋 + 50𝜋
𝑨𝑻 = 𝟑𝟔𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟐

13. pág. 12
Cono
La porción de espacio limitado por una superficie cónica circular y de un plano
perpendicular al eje, se llama cono circular recto o cono de revolución.
Elementos de un cono:
 Eje: es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo rectángulo.
 Generatriz: es la distancia del vértice a un punto de la circunferencia.
 Base: es el circulo que se forma con la rotación del otro cateto. Corresponde a la
cara plana.
 Altura: es la distancia del vértice al centro de la base en forma perpendicular.

14. pág. 13
 Superficie lateral: corresponde a la superficie del sector circular.
Fórmulas para el cono circular recto
Teorema de Pitágoras 𝑔2
= 𝑐2
+ 𝑐2
Área lateral: 𝐴𝐿 = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑔
Área basal: 𝐴𝐵 = 𝜋 ∙ 𝑟2
Área total: 𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵
Ejemplos
1. Un cono tiene una altura de 4 cm
y 3 cmde radio. Calculelamedida
de su generatriz.
Utilizando el Teorema de Pitágoras:
𝑔2
= 𝑐2
+ 𝑐2
𝑔2
= 42
+ 32
𝑔2
= 25
𝑔 = √25
𝒈 = 𝟓 𝒄𝒎
2. Un cono circular recto posee 16
cm de diámetro de la base y su
altura mide 25 cm. Calcule el área
total.
Encontramos la medida de la generatriz:
𝑔2
= 252
+ 82
𝑔 = √689
Determinamos el área lateral:
𝐴𝐿 = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑔
𝐴𝐿 = 𝜋 ∙ 8 ∙ √689
𝐴𝐿 ≈ 659,70

15. pág. 14
Determinamos el área basal:
𝐴𝐵 = 𝜋 ∙ 𝑟2
𝐴𝐵 = 𝜋 ∙ 82
𝐴𝐵 ≈ 201,06
Determinamos el área total:
𝐴𝑇 ≈ 659,70 + 201,06
𝑨𝑻 ≈ 𝟖𝟔𝟎,𝟕𝟔 𝒄𝒎𝟐
Esfera
El conjunto de todos los puntos del espacio cuya distancia a un punto fijo O es un
número real r, se llama superficie esférica de centro O y radio r.
Elementos de un cono:

16. pág. 15
Fórmulas para la esfera
Área 𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2
Ejemplos
1. Determine el radio de una esfera
cuya área corresponde a
𝟏𝟐𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟐
.
𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2
120𝜋 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2
120𝜋
4𝜋
= 𝑟2
30 = 𝑟2
√𝟑𝟎 𝒄𝒎 = 𝒓
2. Determine el área del planeta
Tierra considerándolo esférico, si
el radio es aproximadamente 6
370 km.
𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2
𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 63702
𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 63702
𝑨 = 𝟏𝟔𝟐 𝟑𝟎𝟕 𝟔𝟎𝟎𝝅 𝒌𝒎𝟐
CONCLUSIÓN
Al finalizar la Unidad II, el aprendiente desarrolló habilidades y destrezas
matemáticas mediante el análisis, interpretación y resolución de problemas de
aplicación sobre los sólidos geométricos y sus áreas para utilizarlos como lenguaje y
herramientas, en la construcción de conocimiento en las diversas áreas profesionales
y de su vida cotidiana.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Cambronero, F. (2017). Matemática 10. Un enfoque práctico.
Jiménez, R. (2006). Geometría y Trigonometría.

17. pág. 16
Publicaciones Porras y Gamboa. (2015). Matemática 10.
Publicaciones Porras y Gamboa. (2015). Matemática 11.
Rojas, C. (2017). Geometría para diseño gráfico.
https://issuu.com/am12211049/docs/geometria_para_disen_o_grafico_carlos_javier_
rojas