Modelos matematicos

1. CÁLCULO DIFERENCIAL
BLOQUE I

2. MODELO MATEMÁTICO
Es una descripción matemática (con frecuencia
mediante una función o una ecuación), de un
fenómeno del mundo real.

3. Ejemplos de modelos matemáticos
El tamaño de una población.
La demanda por un producto.
La rapidez de la caída de un objeto.
La concentración de un producto en una reacción
química.
La expectativa de vida de una persona cuando
nace.
La variación del área de un terreno de acuerdo a
sus dimensiones.

4. Propósito de un modelo
Entender el fenómeno y quizá hacer
predicciones con respecto al comportamiento
futuro.

5. Proceso de un modelo matemático
Problema en
el mundo real
Modelo
matemático
Conclusiones
matemáticas
Predicciones
en el mundo
real
formular
resolver
Interpretar
test

6. Un modelo matemático nunca es una
representación totalmente precisa de una
situación física, es una idealización.
Un buen modelo simplifica la realidad lo
suficiente como para permitir cálculos
matemáticos pero es lo suficientemente
preciso para proveer conclusiones valiosas.

7. Las funciones en un modelo
Existen diferentes tipos de funciones que
pueden usarse para modelar
correspondencias que se observan en el
mundo real.

8. Modelos
lineales
TIPOS DE MODELOS
Modelos
Cuadráticos
Modelos
polinomiales
Modelos
trigonométricos
Modelos
exponenciales
Modelos
cúbicos

9. Modelos lineales
• Llamamos modelos lineales a aquellas situaciones
que después de haber sido analizadas
matemáticamente, se representan por medio de
una función lineal. En algunos casos nuestro
modelo coincide precisamente con una recta; en
otros casos, a pesar de que las variables que nos
interesan no pertenecen todas a la misma línea, es
posible encontrar una función lineal que mejor se
aproxime a nuestro problema, ayudándonos a
obtener información valiosa.

10. • Nuestro modelo lineal se puede determinar
de manera gráfica o bien, por medio de una
ecuación.
• Existen ocasiones en que a una de nuestras
variables le pedimos que cumpla varias
condiciones a la vez, entonces surge un
conjunto de ecuaciones donde el punto de
intersección de dichas ecuaciones representa
la solución de nuestro problema.

11. Ejemplo de modelo lineal
• Supone que observamos como un hombre y
una mujer se despiden y empiezan a alejarse
uno del otro. A continuación mostramos una
lista de las distancias que han recorrido cada
uno de ellos en el mismo tiempo.
Hombre Mujer
2 m 1 m
4 m 2 m
10 m 4.85 m
13 m 6.75 m
18.5 m 9 m
20 m 10 m
27 m 13.4 m

12. La forma geométrica que mejor aproxima los datos
es una recta. Para determinar la ecuación de dicha
recta, haremos el siguiente análisis.
* Representaremos por medio de y la distancia
recorrida por el hombre y por medio de la x la
distancia recorrida por la mujer.
*Escogeremos dos parejas de datos de la lista, por
ejemplo (1,2) y (2,4)
* sustituiremos cada una de estas parejas en la
ecuación y=mx+b y resolveremos el sistema de
ecuaciones, encontrando los valores constantes m y
b.

13. • Solución:
Nuestro modelo está representado,
analíticamente, por medio de la recta
y=2x
Su solución gráfica es la que a continuación
muestra el dibujo

15. • Observaciones:
Notemos que, a pesar de que existen puntos
que no satisfacen la ecuación (por ejemplo
(9,18.5) ), hay una mayoría de puntos que si
satisfacen la ecuación.
Podemos predecir que, si ambas personas
siguen avanzando de manera similar, la mujer
no va a poder haber caminado 56 metros,
mientras que el hombre hubiera caminado
únicamente 50.

16. Función lineal
Decimos que una función es lineal si se puede expresar
de la forma:
f(x)= mx+b
Donde m y b son constantes.
La gráfica de una función lineal es una recta que tiene
pendiente m e intersecta al eje y en el punto (0, b).
A continuación se muestran tres funciones lineales con
sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las
parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones
lineales.

17. Para determinar la ecuación de una recta es necesario
encontrar los valores de m y b. Para ello podemos plantear
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando
dos parejas ordenadas distintas que pertenecen a la recta
que estamos buscando.

18. Modelo cuadrático
Decimos que el modelo es cuadrático si lo
podemos expresar por medio de una función
cuadrática.
Un modelo cuadrático se puede determinar a
través de una ecuación o bien, por medio de
una gráfica que mejor aproxime los datos.

19. En algunos casos puede ocurrir que nuestro
modelo coincida precisamente con una
parábola, mientras que habrá otras ocasiones
en las que no todos los datos pertenecen a la
misma curva. En dicha situación trataremos de
encontrar aquella parábola que mejor
represente el modelo que estamos analizando.

20. Ejemplo de Modelo Cuadrático:
Un arquitecto debe construir un puente colgante y, para ello
requiere que todo el peso del puente esté bien distribuido a
lo largo de los cables de los cuales debe colgar el puente. Las
observaciones que ha hecho son las siguientes:
Distancia del puente al
cable
Largo del puente
100 m 1 m
82.9 m 2 m
10 m 4.85 m
24.4 m 6.75 m
100 m 9 m

21. • La forma geométrica que mejor aproxima los datos es
una parábola. Para determinar la ecuación de dicha
curva, haremos el siguiente análisis.
• Representaremos por medio de Y la altura a la cual se
debe colocar el cable en la distancia X del puente.
• Escogeremos tres datos de la lista, por ejemplo
(1,100), (2,82.9) y (4.85,10)
• Sustituiremos cada una de estas parejas en la ecuación
y=ax²+bx+c y resolveremos el sistema de ecuaciones,
encontrando los valores constantes a, b y c.

22. Solución.
• Nuestro modelo está representado,
analíticamente, por medio de la parábola
y=- 0.00144x²- 0.72x+100
• La solución gráfica es la que a continuación
muestra el dibujo.

24. Función cuadrática
Decimos que una función es cuadrática si se puede
expresar de la forma
f(x)= ax2+bx+c
donde a,b y c son constantes y a # 0
La gráfica de una función cuadrática es una
parábola y su dominio es el conjunto de los
números reales.
Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este
caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es
negativa y abre hacia abajo.

25. A continuación se muestran tres funciones
cuadráticas con sus respectivas gráficas y una
lista de algunas de las parejas ordenadas que
pertenecen a dichas funciones cuadráticas.
f(x)= x² - 5x + 4
f(x)= - x² - 5x + 4
f(x)= - 2x² - 5x + 4

27. Modelos cuadráticos

28. Un modelo cuadrático
El número y en millones de aparatos de video en uso en EUA,
de 1984 a 1993 se muestran en la tabla, donde t= 4 representa el
año 1984.
t 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
y 9 18 31 43 51 58 63 67 69 72
La gráfica
de estos
datos se
ve así:

29. Si ajustamos un modelo lineal obtenemos lo siguiente:
Que no es aceptable pues el comportamiento de los datos parece
diferente.

30. Ajustando un modelo cuadrático se obtiene lo siguiente:
Este modelo se ajusta mucho mejor a los datos. Podemos afirmar
que estos datos tienen un comportamiento cuadrático.

31. La gráfica de este modelo “cuadrático” es la siguiente:
Esta curva se llama parábola y se ajusta muy bien a nuestros datos en el intervalo
4 t 13.

32. Modelos Exponenciales
Llamamos modelos exponenciales a aquellas
situaciones que después de haber sido
examinadas matemáticamente, se representan
por medio de una función exponencial.
Un modelo exponencial se puede determinar a
través de una ecuación o bien, por medio de una
gráfica que mejor aproxime los datos de nuestro
problema, aunque es preferible el primer
método, ya que el tipo de información que
obtenemos es más preciso

33. Los modelos exponenciales son muy frecuentes
en el estudio de crecimientos poblacionales,
en el cálculo de intereses bancarios, así como
también diversos fenómenos físicos.