Este documento explica los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, así como las transformaciones entre ellos. También cubre la simetría y las funciones de varias variables, incluido su dominio. Finalmente, concluye que las funciones de varias variables son importantes para la arquitectura e ingeniería.

1. FUNCIONES DE
VARIASVARIABLES
Paola PeñaCI. 29.617.354
CarreraArquitectura
Matemática III Prof. Pedro Beltrán
Noviembre 2020

2. ÍNDICE
• Sistema de coordenadas.
 CoordenadasCartesianas.
 CoordenadasCilíndricas.
 Coordenadas Esféricas.
• Transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas.
• Simetría.
• Funciones de varias variables
 Dominio de funciones de varias variables.

3. INTRODUCCIÓN
La materia de matemática al englobar entre sus carreras la arquitectura presenta
entre sus contenidos el tema de las funciones de varias variables, necesitaremos
una pequeña iniciación a la topología del espacio euclídeo que nos permita
conocer los conceptos de conjunto abierto, conjunto cerrado, interior de un
conjunto. En la presente actividad se busca entender en totalidad el tema de una
manera fácil y educativa en la cual se planteen cada una de las interrogantes
ofreciendo ejemplos y definiciones.

4. • SISTEMA DE COORDENADAS
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten
definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo.
Podemos observar que:
1. 'x', 'y' y 'z', son las coordenadas rectangulares que ya conocemos y que
representan longitudes medidas sobre cada uno de los ejes 'X', 'Y' y 'Z'
respectivamente.
2. ¨p¨es la longitud de la proyección del radio vector 'r' sobre el plano 'X-Y.
3. ¨o¨es el ángulo azimutal y está descrito sobre el plano 'X-Y', se mide
desde eje 'X' positivo y hasta la línea ¨p¨, siempre en sentido positivo (es
decir, en contra de las manecillas del reloj). ¨o¨ puede tomar valores
desde 0 y hasta 2 TT, es decir, 0 ≤ g ≤ 2TT) Cuestión de fuentes: será
indistinto poner 0 o g).
4. 'x', 'y', ‘p' forman un triángulo rectángulo, donde ‘p' es la hipotenusa, 'x'
el cateto adyacente a ‘o' y 'y' el cateto opuesto a ‘o'.

5. SISTEMA DE COORDENADAS
Coordenadas
cartesianas
Coordenadas
cilíndricas
Coordenadas
esféricas

6.  COORDENADAS CARTESIANAS.
Un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos ejes
ortogonales en un sistema bidimensional y tres ejes ortogonales en un
sistema tridimensional, que se cortan en el origen 0.

7.  COORDENADAS CARTESIANAS.
En este sistema de coordenadas, la posición
de un punto p en el plano queda determinada
mediante una pareja de números reales ( x, y)
de los cuales el primero, x , representa la
distancia del punto p al eje coordenado y, en
tanto que el segundo, y , representa la
distancia del punto p al eje x. esto se
representa en la forma.
La distancia de un punto al eje y se le llama
abscisa del punto, la distancia de un punto al
eje x se le llama ordenada del punto.

8. GRAFICA EN LOS EJES DE
COORDENADAS
Los ejes de coordenadas dividen al plano en
cuatro partes iguales y a cada una de ellas se
les llama cuadrante.

9.  COORDENADAS
CILÍNDRICAS.La primera coordenada es la distancia (r) existente entre el origen y el punto, la
segunda es el ángulo (ϕ) que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, y
la tercera es la coordenada (z) que determina la altura del cilindro.
Se definen tres vectores
unitarios, y perpendiculares
entre sí que forman una base
orto normal
u u ur zo

10. APLICACIÓN DEL SISTEMA DE
COORDENADAS CILINDRICAS
■ Calcular el área de un círculo de radio r

11.  COORDENADAS ESFÉRICAS.
Un sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios
euclídeos tridimensionales. Este sistema de
coordenadas esféricas está formado por tres ejes
mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen.
La primera coordenada (r) es la distancia entre el origen
y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es
necesario girar para alcanzar la posición del punto. Se
definen tres vectores unitarios perpendiculares entre sí
que forman una base orto normal.

12. APLICACIÓN DEL SISTEMA DE
COORDENADAS ESFERICAS
Determinar la formula del volumen
de una esfera

13. • TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS
DIFERENTES SISTEMAS DE
COORDENADAS.
Después de definir el sistema de coordenadas coincidente con los
datos, es posible que quiera usar los datos en otro sistema de
coordenadas. Aquí es donde resultan útiles las transformaciones. Las
transformaciones convierten datos entre distintos sistemas de
coordenadas geográficas o entre diferentes sistemas de coordenadas
verticales. Si los datos no están alineados, le resultará complicado llevar
a cabo análisis y representaciones cartográficas precisos sobre los datos
no coincidentes.

14. • TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS
DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS.

15. • TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS
DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS.

16. • SIMETRÍA.
Dos figuras son
simétricas si al
cortarlas por la mitad
con una recta resultan
2 partes exactamente
iguales pero
invertidas.

17. •SIMETRÍA
El eje que marca la mitad de la
figura se denomina “eje de
simetría”.
El punto simétrico de un punto
(A) respecto a una recta es aquel
punto (B) que se encuentra a la
misma distancia de la recta y que
si se unen ambos puntos con un
segmento, éste sería
perpendicular a la recta.

18. Hasta ahora se han estudiado funciones de la forma y = f (x), f :D⊂ →
Estas funciones recibían el nombre de funciones reales de variable real ya que
su valor y dependía de una sola variable x. En este apartado se estudian
funciones cuyo valor depende de más de una variable. Estas funciones reciben
el nombre global de funciones de varias variables o funciones de variable
vectorial. Algunos ejemplos de las mismas son:
• FUNCIONES DEVARIASVARIABLES

19. • FUNCIONES DEVARIASVARIABLES
La importancia de la utilización de las funciones en Economía (como en
muchas otras disciplinas) radica en que gracias a ellas podemos describir
cualquier variación o cambio de una cantidad. En la mayoría de los casos
nos encontraremos con funciones que dependen de varias magnitudes.
trataremos con funciones de dos variables, ya que así podremos dibujarlas en un
espacio tridimensional. Estas funciones serán del tipo f(x,y)=z, de modo que a cada
par de números reales (x,y) le asignaremos un único valor real (z=f(x,y)).

20. • FUNCIONES DE
VARIASVARIABLES

21.  DOMINIO DE FUNCIONES DEVARIAS
VARIABLES.
Normalmente no se específica cual es el dominio de la función. Cuando éste es el
caso tenemos que considerar el dominio implícito. El dominio implícito de una
función de dos variables es el conjunto más amplio de (x, y) donde tiene sentido
evaluar la fórmula, y el resultado es un número real. Muchas veces este dominio
se representa gráficamente. En el caso de dos variables la representación es una
región en el plano.
Definiremos el dominio de una función de varias
variables f(x1,x2,x3,…,xn) como el conjunto de puntos
(x1,x2,x3,…,xn) para los que la función está definida.

22. MÉTODO PARA HALLAR EL DOMINIO
Hallar el dominio despejamos (y) y analizamos el comportamiento de (x). Al hacer este despeje podemos
considerar tres casos:
1. La (x) hace parte del denominador de una fracción. Dé un ejemplo .R: Sea la relación R = {(x, y) / 2xy -
3y - 5 = 0} definida en los Reales.
2. Despejar (y)
¿Qué valores debe tomar (x) (en el denominador) para que sea diferente de cero?
R/:
Cómo se halla el dominio de una relación, cuando la (x) queda en el denominador al despejar (y).R: Si al
despejar (y) en una expresión (en una relación), encontramos que la (x) hace parte del denominador de una
fracción, entonces para determinar el dominio de dicha relación hay que hacer que el

23. CONCLUSIÓ
N
En la materia de matemática es muy importante hacer un estudio profundo
entendiendo y aplicando en practica cada uno de los temas. Las funciones
de varias variables no son la excepción al ser extenso y diversificado se
debe tomar en cuenta cada uno de los conceptos. Es funcional tanto para la
arquitectura como para la ingeniería.

24. ANEXOS
• https://youtu.be/tSdOSAe16e8
• https://youtu.be/mNh-0nMN3Tw
• https://youtu.be/XkKXfu3PDw8

25. BIBLIOGRAFIA
■ https://portal.uah.es/portal/page/portal/GP_EPD/PG-MA-ASIG/PG-ASIG-
32395/TAB40335/VariasVariables01Naturales.pdf
■ http://ri.uaemex.mx/bitstream/handle/20.500.11799/63801/secme-
;jsessionid=884BCCE2D13728C31F231E4C5E6C4D3E?sequence=1
■ https://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIV/UT1/sistemas_de_coordenadas.ht
m
■ https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/05/03-Sistemas-de-Coordenadas-en-3D-
AHE.pdf
■ https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas-secundaria-eso/matematicas-primero-
eso/simetria-l7631
■ https://webs.um.es/mira/FVVR/DiaporamaPreliminares-Papel.pdf
■ https://www.cartagena99.com/recursos/alumnos/apuntes/DYCRE_1_T1_MaEm_U4L01.pd
f