Este documento introduce las propiedades de las desigualdades e inecuaciones. Explica que las inecuaciones son desigualdades que incluyen una o más incógnitas. Cubre cómo resolver inecuaciones de primer grado, fraccionarias y con valor absoluto. También presenta propiedades del valor absoluto como que es siempre no negativo y que la magnitud de una suma es menor o igual a la suma de las magnitudes individuales.
2. Propiedades de las desigualdades
1.- Dados a , b R se satisface una y sólo una de las siguientes relaciones:
a = b ; a b ; a b
2.- Siendo a,b,c R , si a b a + c b + c
3.- Siendo a , b , R, c 0 si a b ac bc.
4.- Siendo a , b R, c 0, si a b ac bc.
5.- Si a b y b c a c ; a , b , c R
3. INECUACIONES
Son desigualdades en las que figuran una o más incógnitas o variables
Ejemplos
■ 2+3x<x+3 es una inecuación de 1er grado en la variable x
■ es una inecuación fraccionaria
■ es una inecuación con valor absoluto.
Más adelante veremos
■ Inecuaciones de segundo grado en x: Ej: x2 -x- 3>0
■ Inecuaciones lineales en dos variables: Ej: 2x+y+3≤0
1
1
1
x
x
4.
5.
6. Resolver el sistema:
x + 2 3x – 1 ( 1 )
2x + 3 7 + x ( 2 )
( 1 ) x + 2 3x – 1 x – 3x -1 –2 -2x -3 x
2
3
1
S =
2
3
/ x
x =
,
2
3
(2) 2x + 3 7 + x 2x – x 7 –3 x 4
2
S = x / x 4 = (- , 4 )
2
1 S
S
S
Gráficamente
0
2
3
1
S
0 2
S 4
2
1 S
S
S
=
4
2
3
/ x
R
x =
4
,
2
3
0
2
3
4
7.
8.
9. Inecuaciones fraccionarias
Ejemplo:
Debemos razonar a partir del signo de la fracción. ¿Cuándo una fracción es positiva o cero?
Sabemos que si el numerador y el denominador de la fracción tienen el mismo signo la fracción es
positiva (>0) y la fracción solamente es igual a cero si su numerador es cero.
Resultan dos sistemas de inecuaciones
S1 x≥0 S2 x≤0
x+2>0 x+2<0
S=S1 U S2
Verificar la solución S: [0;+∞) U (- ∞;- 2)
0
2
x
x
10. Otro ejemplo de inecuación fraccionaria
Resolver:
-5 < 0
3x+2>0
3x+2>0
3x > -2
x>-2/3
S= (-2/3; +∞)
11. Concepto previo
Valor absoluto de un número real:
|x|=x sii x≥0
|x|= - x sii X<0
Ejemplo
|3|=3 ; |-5|=5 ; |0|=0
Observación: el valor absoluto de un número real es siempre no
negativo. Además |x|=|-x|
12. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
x a ; a 0 -a x a
En este caso S = -a , a .
0
x a ; a 0 x a ó x -a
En este caso:
S = ( - , -a a, + )
0
-a a
14. x + 2 5
Ejemplo
x + 2 5 ó x + 2 -5 es decir:
x 3 ó x -7
S = { x R / x 3 ó x -7 } = ( 3, + ) ( - , -7 )
-7 0 3
15. Propiedades del valor absoluto
2
x = x
a b = a b
b
a
=
b
a
; b 0
a+b a + b , v a , b R
Introducción a la Matemática. Ana M. Craveri