Matemáticas aplicadas en ingeniería química

Matem´ticas Aplicadas en Ingenier´ Qu´
a ıa ımica
Introducci´n
o

Dr. Javier Alvarado
javier@iqcelaya.itc.mx

Instituto Tecnol´gico de Celaya
o
Departamento de Ingenier´ Qu´
ıa ımica

Ciencias B´sicas de la Ingenier´ Qu´
a ıa ımica

• Cin´tica Qu´
e ımica
Mecanismos de Reacciń
o
Velocidades de Reacciń
o
Modelos de Reactores Qu´
ımicos
• Fen´menos de Transporte
o
Mecńica de Fluidos
a
Transferencia de Calor
Difusiń de Masa
o
• Termodin´mica
a
Leyes de Conservaciń
o
Equilibrio y Estabilidad
Propiedades Termodin´micas
a

* ´
Matematicas Aplicadas

Formulaciń Matem´tica
o a

Procedimiento
1. Descripciń F´
o ısico-Qu´
ımica del Proceso.
• Identificaciń de las Variables Relevantes
o
• Establecimiento de las Relaciones Causa-Efecto
• Determinaciń de las Condiciones Limitantes
o
2. Abstracciń a un Modelo Simb´lico.
o o
• Diagramas, Dibujos
• Perturbaciń (Causas) → Respuesta (Efectos)
o
• Asignaciń de S´
o ımbolos a Variables y Par´metros
a

Fuentes
A. Leyes F´
ısico-Qu´
ımicas. (Universales)
• Leyes de Conservaciń
o
• Ley de Acciń de Masas
o
B. Ecuaciones Descriptivas. (Locales)
• Ecuaciones de Estado
• Ecuaciones de Transporte
C. Condiciones Limitantes. (Restricciones)
• Condiciones Iniciales (tiempo o espacio)
• Condiciones Frontera (espacio)

Formulaciń Matem´tica
o a

Ingredientes
A. Ecuaciń:
o
Variables: Escalares: (T, ρ), Vectores: (v), Funciones: y(x)
Par´metros: Constantes conocidas: (π, g, R)
a
Operadores: Aritm´ticos (+), Integro-Diferenciales ( ), Vectoriales ( )
e
B. Condiciones Limitantes:
Frontera: Espaciales
Iniciales: Temporales (Espaciales)

´
Modelo Matematico
F (x; α) = h; x ∈ Sn
B(xo ) = k; xo ∈ ∂

F : Operador B: Condiciones L´
ımite
x: Variables (n) k: Constantes conocidas
α: Par´metros
a Sn: Espacio Vectorial
h: Funciń conocida
o ∂: Frontera

Ejemplo

Transferencia de Calor en Estado Estacionario a (o desde) un Fluido que desarrolla
un Perfil de Velocidad Parab´lico a trav´s de un Tubo (Problema de Graetz):
o e
• Ecuaciń:
o
r 2 ∂T kR ∂ ∂T ∂2T
2v0 ρ Cp 1 − = r + kL
R ∂z r ∂r ∂r ∂z 2
• Condiciones L´
ımite:
∂T
T (R, z) = Tw , = 0, T (r, 0) = T0
∂r (0,z)

El modelo se construye a partir de:
• Ecuaciń de Conservaciń: Balance de Energ´
o o ıa.
• Ecuaciń Constitutiva: Ley de Fourier de Conducciń de Calor “efectiva”
o o
en direcciones radial y axial.
• Condiciones L´
ımite: Condiciones Frontera e Inicial.

Modelo Lineal

Principio de Superposiciń
o
Modelo Matem´tico:
a

x y
H y = H(x)

• Considerar las respuestas y1 y y2 respectivas de las perturbaciones x1 y x2
tales que:
x
y1 = H(x1 ); y
y2 = H(x2 )
H
• El modelo es LINEAL si satisface el principio de superposiciń:
x y o
1 1

HH(αx1 + βx2 ) = αH(x1 ) + βH(x2 ) = αy1 + βy2
x2 y2
donde α y β son constantes arbitrarias.
x1 y1

H
x2 y2

• Si el modelo no satisface el principio de superposiciń es NO LINEAL
o

Clasificaciń
o
A. Problemas de Equilibrio:
• Configuraciones invariables en el tiempo.
• Minimizaciń de Funciones de Energ´
o ıa.
• Problemas de Valor en la Frontera.
Ecuaciones Matriciales:

Ax = b, y AT Ax = AT b

Problema de Sturm-Liouville:
d dy
p(x) + q(x)y(x) = λρ(x)y(x) x ∈ (a, b)
dx dx
con: α1 y(a) + α2 y (a) = k1 y β1 y(b) + β2 y (b) = k2

Ecuaciones El´
ıpticas:

∂2u ∂2u x ∈ (a, b)
+ = f (x, y, z),
∂x 2 ∂y 2 y ∈ (c, d)
con: ux (a, y) = A, u(x, c) = C
u(b, y) = B, uy (x, d) = D

Clasificaciń
o
B. Problemas de Valor Inicial:
• Configuraciones Variables con el tiempo
• Problemas de Valor Inicial
• Evolucionan a un Estado de Equilibrio
Iteraciones (Series de tiempo)

x(n+1) = Gx(n) + k; con: x(0) = x0 n = 0, 1, 2, . . .

Modelos Din´micos
a
dx
= Ax + Bu, y = Cx con: x(0) = x0
dt
Ecuaciones Parab´licas (Difusiń)
o o

∂u ∂2u ∂2u  t ∈ (0, ∞)
=α 2
+ ; x ∈ (a, b)
∂t ∂x ∂x2 
y ∈ (c, d)
con: u(0, x, y) = F (x, y)
u(t, a, y) = A, u(t, x, c) = C
u(t, b, y) = B, u(t, x, d) = D

Distribuci´n Espacial
o

I. Par´metros Agrupados:
a
• Propiedades espaciales homog´neas.
e
• Aplicable a procesos con respuesta r´pida a perturbaciones.
a
• Modelos: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

jo de líquido Flujo de vapor
Flujo de líquido Flujo de vapor

(

~
[~~
~
Flujo de vapor Flujo de líquido

(a)
)
~
(b)

Distribuci´n Espacial
o

II. Par´metros Distribuidos:
a
• Propiedades variables en el espacio.
• Aplicable a procesos con respuesta lenta a perturbaciones
• Modelos: Ecuaciones Diferenciales Parciales

Flujo de líquido Flujo de vapor
Flujo de líquido Flujo de

(

~
[~~
~

(a)

~
Flujo de vapor Flujo
(b)

Principio de Conservaciń
o
Ecuaciń de Continuidad Global
o

Ecuaciń de Continuidad (Masa)
o
     
Flujo de Flujo de Rapidez de cambio
 Masa hacia  −  Masa desde  =  de la Masa dentro 
el Sistema el Sistema del Sistema

o
o

Tanque perfectamente mezclado:
Variables

F - Flujo Volum´trico (volumen/tiempo)
e
ρ - Densidad m´sica (masa/volumen)
a
V - Volumen del fluido en el tanque

Flujo de entrada: Fo ρo
Flujo de salida: F ρ
d(ρV )
Variaciń en el tanque:
o
dt

Balance Macrosc´pico (Ecuaciń de Continuidad)
o o

d(ρV )
= Fo ρo − F ρ (1)
dt

o
o

o e e ´
Flujo Pist´n en r´gimen turbulento a trav´s de un tubo con Area
transversal uniforme A:

Para el elemento de volumen
• Flujo de entrada: (vA)ρ|z , • Flujo de salida: (vA)ρ|z+∆z
∂(ρA∆z) ∂ρ
• Variaci´n en el elemento de volumen:
o = A∆z
∂t ∂t
sustituyendo en el balance de masa

∂ρ
(v A)ρ|z − (v A)ρ|z+∆z = A∆z
∂t
ımite cuando ∆z → 0
dividiendo entre A∆z y tomando el l´

∂ρ ∂(ρv)
+ =0
∂t ∂z

o
Sistemas con reacciones qu´
ımicas

Ecuaciń de Continuidad por Componente
o
       
Flujo de Flujo de Rapidez de Rapidez de cambio
 Componente j  −  Componente j  +  Formaciń  =  del Componente j 
o
hacia el Sistema desde el Sistema de j dentro del Sistema

Reactor Continuo Perfectamente Mezclado (CSTR)

• Reacciń de primer orden reversible
o

A −→ B

• Velocidades de reacciń
o

rA = −k CA , rB = k CA

• Concentraciń de j
o

Moles de j
Cj =
Volumen

o
o

Balance de Materia del Componente A:
• Flujo molar de A en la Entrada al reactor: Fo CAo
• Flujo molar de A a la Salida del reactor: F CA
• Rapidez de formaciń de A en el reactor:
o −V k CA
• Variaciń molar de A en el reactor:
o d(V CA )/dt
Ecuaciń de Continuidad de A:
o

d(V CA )
= Fo CAo − F CA − V kCA
dt

de forma similar, para el componente B:

d(V CB )
= Fo CBo − F CB + V kCA
dt

Empleando la relaciń: MA CA + MB CB = ρ donde Mi es la masa molecular del
o
componente i, resulta en que la suma de los dos balances anteriores es el balance
total de masa (1)

o
o

Reactor de Flujo Pistń en R´gimen Turbulento
o e

Debido al gradiente de concentraciń en direcciń axial, se presenta un proceso de
o o
difusiń que puede modelarse con una expresiń similar a la ley de Fick
o o

∂CA
NA = −DA , DA − coeficiente de difusiń efectivo.
o
∂z
Balance Molar del componente A en el volumen A∆z:
• Flujo molar de A en la entrada: [v A CA + NA A]z
• Flujo molar de A a la salida: [v A CA + NA A]z+∆z
• Formaciń de A en el elemento: −k CA A∆z
o
∂CA
• Variaciń molar de A en el elemento:
o (A∆z)
∂t

o
o

sustituyendo en la ecuaci´n de continuidad
o

∂CA
[vACA + NA A]z − [vACA + NA A]z+∆z − k CA A∆z = (A∆z)
∂t
ımite cuando ∆z → 0
dividiendo entre A∆z y tomando l´

∂CA ∂(vCA ) ∂NA
+ + + kCA = 0
∂t ∂z ∂z

sustituyendo la ley de Fick efectiva:

∂CA ∂(vCA ) ∂ ∂CA
+ − DA + kCA = 0
∂t ∂z ∂z ∂z

Clasificaciń por Escala
o

Clasificaciń propuesta por Himmelblau y Bischoff1 de acuerdo al nivel de detalle
o
o escala:

A. Molecular y At´mico
o
• Nivel microsc´pico fundamental.
o
• Basados en Mecńicas Cuńtica y Estad´
a a ıstica.
• Modelos: Funciones de Particiń, Integrales de Colisiń.
o o
• Par´metros: Di´metros Moleculares, Energ´ de Interacciń.
a a ıas o

B. Microsc´pico
o
• El medio es considerado continuo
• Basados en Fen´menos de Transporte
o
• Modelos: Ecuaciones Diferenciales
• Par´metros: Propiedades de Transporte
a

1
Process Analysis and Simulation., J. Wiley & Sons, 1968

Escala

C. Gradiente M´ ltiple
u
• Extensiń de Nivel Microsc´pico.
o o
• Casos: Flujo Turbulento, Flujo en medios porosos.
• Par´metros: Coeficientes de Transporte Efectivos.
a

D. Gradiente M´ximo
a
• Sistemas de Flujo Continuo (Flujo Pistń)
o
• T´rminos de dispersiń despreciables
e o
• Casos: Reactores Catal´
ıticos de Lecho Fijo
• Par´metros: Coeficientes de Interfase, Constantes Cin´ticas
a e

E. Macrosc´pico
o
• Termodin´mica, Operaciones Unitarias
a
• Detalles internos despreciables
• Modelos: Algebraicos y Ecuaciones Diferenciales
• Par´metros: Propiedades Macrosc´picas
a o

Descripciń Microsc´pica.
o o
Ecuaciones de Conservaciń
o

Aproximaciń Unificada de Fen´menos de Transporte:2
o o
Consideraciones:
• Equivalencia de Principios Fundamentales de Conservaciń
o
• Similitud de las Ecuaciones Descriptivas (Constitutivas)
• Conservaciń de una propiedad gen´rica intensiva P (Por unidad de volumen)
o e
• Masa
• Energ´
ıa
• Momentum
• Carga Elćtrica
e
• Empleo de coordenadas Cartesianas
• Notaciń Vectorial
o
Objetivo:
• Balance de Materia (Total y por Componente)
• Balance de Energ´
ıa
• Balance de Momentum

2
G.D. Fulford y D.C.T. Pei, I&EC, 61 (5), 47, 1969

Ecuaci´n de Conservaci´n
o o

Elemento de volumen ∆V = ∆x∆y∆z dentro de un medio cont´
ınuo

z [F, v z , Π ]
z +Δ z

[F, vy , Π ] y +Δ y (x +Δ x, y + Δy, z +Δ z)

Δz

[F, vx, Π ] [F, vx, Π ] x + Δx
x

y Δy
(x, y, z) Δx
[F, vy , Π ]y

[F, v z , Π ]
z

x

o o

ısica que se conserva P (Masa, Momentum, Energ´ en
Balance de una cantidad f´ ıa)
el elemento de volumen ∆V :

(Acumulaciń de P) = (Entrada de P) − (Salida de P)
o

Tomando en cuenta la variaciń con respecto al tiempo:
o
 
Rapidez de
Rapidez de Rapidez de
 Acumulaciń  =
o −
Entrada de P Salida de P
de P

Rapidez Neta de
=
Intercambio de P

Las posibles “fuentes” de la propiedad P al elemento de volumen son:
• Flujo global (Convecciń)
o
• Flujo Molecular (Difusiń)
o
• Producciń en las fronteras del elemento
o
• Producciń interna en el elemento
o

o o

Para el elemento de volumen ∆V :
   
  Rapidez Neta de Rapidez Neta de
Rapidez de
 Acumulaciń  =  Transferencia al  +  Transferencia al
   
o  Elemento por   Elemento por


en el Elemento
Flujo Global Flujo Molecular
 
Rapidez Neta de  
 Producciń en  Rapidez Neta de
o   Producciń en 
+
 la Superficie del  + o (2)
el Elemento
Elemento

A. Rapidez de Acumulaciń en ∆V :
o

∂P
(∆x∆y∆z) (3)
∂t

B. Transferencia por Flujo Global en direcciń x:
o
Entrada por cara ∆y∆z: P|x con velocidad vx |x
Salida por cara ∆y∆z: P|x+∆x con velocidad vx |x+∆x

o o

D. Definiendo a F como la rapidez de generaciń de P por unidad de ´rea de
o a
superficie del elemento de volumen, la generaciń en la Superficie en direcciń
o o
x es :
Entrada por cara ∆y∆z: F |x
Salida por cara ∆y∆z: F |x+∆x
agregando direcciones y y z:
 
Rapidez Neta de
 Producciń en  (∆y∆z)(F |x − F |x+∆x ) +
o
 la Superficie del  = (∆x∆z)(F |y − F |y+∆y ) + (6)
 
(∆x∆y)(F |z − F |z+∆z )
Elemento

E. Definiendo a G como la rapidez de generaciń de P por unidad de volumen
o
donde G puede consistir de varias aportaciones: G = G1 + G2 + · · · , la
generaciń en el elemento de volumen:
o
 
Rapidez Neta de
 Producciń en  = (∆x∆y∆z) G
o (7)
el Elemento

o o

En notaciń de operadores diferenciales
o

∂P
=− · (P v) − ·Π− F +G (8)
∂t

T´rminos en la Ecuaciń (8) para casos espec´
e o ıficos de Transporte

Masa Masa de i
T´rmino
e Total en Mezcla Momentum Energ´
ıa
P ρ ρi ρv ˆ
ρ(U + 1 v 2 )
2

Π 0 ji τ q
F 0 0 p (pδ + τ ) · v
G 0 ri ρg ρ(v · g)

El t´rmino G en la columna correspondiente a Energ´ solo toma en cuenta la
e ıa
energ´ potencial debido al campo gravitatorio.
ıa

o

• Balance de Masa Total (Ecuaci´n de Continuidad):
o

∂ρ
=− · (ρv) = − ρ · v − ρ( · v)
∂t
• Balance de Masa de especie i en mezcla:

∂ρi
=− · (ρi v) − · ji + ri = − · ni + ri
∂t

∂ρv
=− · (ρvv) − ·τ − p + ρg
∂t
ıa:

∂ ˆ 1 ˆ 1 2
ρ(U + v 2 ) = − · ρ(U + v )v − ·q− · (pδ · v)
∂t 2 2

− · [τ · v] + ρ(v · g)

o
Coordenadas Cartesianas (x, y, z)

• Ecuaciń de Continuidad
o
∂ρ ∂ ∂ ∂
+ (ρvx ) + (ρvy ) + (ρvz ) = 0
∂t ∂x ∂y ∂z
• Ecuaciń de Continuidad para especie i en mezcla
o

∂ρi ∂ ∂ ∂ ∂jix ∂jiy ∂jiz
+ (ρi vx ) + (ρi vy ) + (ρi vz ) = − + + + ri
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

• Ecuaciń de movimiento (Componente x)
o

∂ρvx ∂ρvx ∂ρvx ∂ρvx ∂p ∂τxx ∂τyx ∂τzx
+ + + =− − + + + ρgx
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂z

• Ecuaciń de Energ´ Interna3
o ıa

ˆ ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂qx ∂qy ∂qz
ρCp + vx + vy + vy + vz =− + +
∂t ∂x ∂y ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
∂ ln ρ Dp
− − (τ · · · v)
∂ ln T p Dt

3
No incluye Energ´ Cin´tica ni Potencial
ıa e

o
Coordenadas Cartesianas (x, y, z)

Los ultimos dos t´rminos que aparecen en la ecuaciń de energ´ son:
´ e o ıa

• Derivada Sustancial: Variaciń, con respecto al tiempo, de la propiedad de
o
un fluido medida en un punto gen´rico que se mueve a la velocidad del fluido
e
v = (vx , vy , vz ).
Dp ∂p ∂p ∂p ∂p
≡ + vx + vy + vz
Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
• Disipaciń viscosa: Energ´ (Calor) liberada por el efecto de fricciń entre
o ıa o
las molćulas.
e
∂vx ∂vx ∂vx
τ · · · v = τxx + τxy + τxz
∂x ∂y ∂z
∂vy ∂vy ∂vy
+ τyx + τyy + τyz
∂x ∂y ∂z
∂vz ∂vz ∂vz
+ τzx + τzy + τzz
∂x ∂y ∂z

Leyes de Transporte

Similitud de Procesos de Transferencia.
Ecuaciń Constitutiva (Flujo Molecular de P)
o
 
Gradiente de Concentraciń
o
Flux de Difusividad
=− × de P en direcciń
o 
P de P
de la Transferencia

Leyes de Transferencia

Flux Difusividad Gradiente Ley de Transferencia
qx k ˆ
d(ρCp T ) d(ρCp T )
α= qx = −α
Calor ˆ
ρCp dx dx
(jA )x d(ρwA ) d(ρwA )
DAB (jA )x = −DAB
Masa dx dx
(τy )x µ d(ρvx ) d(ρvx )
ν= (τy )x = −ν
Momentum ρ dy dy

o

Ecuaciones en Funciń de Fuerzas Impulsoras (Leyes de Newton, Fourier y Fick) y
o
Propiedades Constantes (ρ, Cp )

• Continuidad:
·v=0
• Balance de Masa de A en mezcla binaria con B:

∂wA 2
ρ = −ρ(v · wA ) + ρDAB wA + rA
∂t
• Balance de Momentum (Ecuaciń Navier-Stokes):
o

∂v 2
ρ = −ρ[v · v] + µ v− p + ρg
∂t
ıa:

ˆ ∂T = −ρCp (v ·
ρ Cp ˆ T) + k 2
T + µΦv
∂t
donde µΦv es el la Disipaciń Viscosa.4
o

4
Bird, Stewart, Lighfoot, Transport Phenomena. 2002, J Wiley & Sons. N.Y

o

• Continuidad
∂vx ∂vy ∂vz
+ + =0
∂x ∂y ∂z
• Balance de Masa de A en mezcla binaria con B
∂wA ∂wA ∂wA ∂wA ∂ 2 wA ∂ 2 wA ∂ 2 wA
ρ + vx + vy + vz = ρDAB + + + rA
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

• Ecuaci´n de Navier-Stokes. (Componente x)
o
∂vx ∂vx ∂vx ∂vx ∂p ∂ 2 vx ∂ 2 vx ∂ 2 vx
ρ + vx + vy + vz =− +µ + + + ρgx
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

• Ecuaci´n de Energ´ Fluido Newtoniano, k y ρ constantes.
o ıa.

ˆ ∂T ∂T ∂T ∂T ∂2T ∂2T ∂2T
ρCp + vx + vy + vz =k + + + µΦv
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

2 2 2 2 2
∂vx ∂vy ∂vz ∂vy ∂vx ∂vz ∂vy
Φv = 2 + + + + + +
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂y ∂z
2 2
∂vx ∂vz 2 ∂vx ∂vy ∂vz
+ + − + +
∂z ∂x 3 ∂x ∂y ∂z

Ecuaciones de Conservaciń. Simplificaciones
o

• Flujo Potencial. Fluido Ideal (Viscosidad despreciable), Isot´rmico, Puro.
e

Dρ
ρ = − p + ρg = − (p + ρgh) = − P, (Ecuaciń de Euler)
o
Dt
• Flujo Reptante. Fluido Puro, Isot´rmico.
e

∂v 2
ρ =− p+µ v, (Ecuaciń de Stokes)
o
∂t
• Convecciń Forzada sin Reacciń Qu´
o o ımica. Se desprecian fuerzas de
campo, calor de mezclado y disipaciń viscosa.
o

Dv
ρ = − p + µ 2v
Dt
DT k 2
= T
Dt ˆ
ρCp
DwA
= DAB 2 wA
Dt

Difusiń en una pel´
o ıcula descendente
Himmelblau y Bischoff5 , Ejemplo 2.2-3

Considerar la absorciń isot´rmica en estado es-
o e
tacionario de un gas en una pel´ ıcula de l´ıquido
que fluye en r´gimen laminar hacia abajo sobre
e x
una placa plana vertical. El gas A se difunde en el z v=0
l´
ıquido B y el campo de velocidad no es afectado
por el proceso de absorciń (ver Figura). Se desea
o
establecer el modelo de ecuaciń diferencial m´s
o a
simple posible que pueda ser resuelto para obte-
ner el perfil de concentraciń. Ignorar los efectos
o
terminales en la parte superior de la placa.
vmax
Soluciń
o
El modelo se obtiene del balance molar del gas A cA
bajo las siguientes consideraciones:
1. El movimiento es en direcciń z (vertical)
o cA = 0
con variaciń de velocidad v y concentraciń
o o
CA en direcciń x.
o δ
2. Estado estacionario.
3. No hay reacciń qu´
o ımica.

5
Process Analysis and Simulation. Deterministic Systems, J.Wiley & Sons, 1967

Himmelblau y Bischoff, Ejemplo 2.2-3

El balance molar del gas A en soluciń con B es
o

∂CA 2
= −v · CA + DAB CA + R A
∂t
en estado estacionario, sin reacciń qu´
o ımica y sin movimiento en direcciń y, el
o
balance de A se simplifica a

∂CA ∂CA ∂ 2 CA ∂ 2 CA
vx + vz = DAB +
∂x ∂z ∂x2 ∂z 2

la velocidad en direcciń x es cero (vx = 0) y el t´rmino de difusiń en direcciń z
o e o o
puede ser despreciado pues el flujo convectivo en esa direcciń es mucho mayor.
o

∂CA ∂ 2 CA
vz = DAB
∂z ∂x2

Para determinar la velocidad vz (x) se emplea la ecuaciń de momentum en
o
direcciń z
o
∂vz ∂p
ρ = −ρ(v · vz ) + µ 2 vz − + ρgz
∂t ∂z

Himmelblau y Bischoff, Ejemplo 2.2-3

En estado estacionario, velocidades en direcciones x y y iguales a cero vx = 0 y
vy = 0 y ca´ de presiń nula (ca´ libre), la ecuaciń de momentum se reduce
ıda o ıda o

∂ 2 vz
µ + ρgz = 0
∂x2

esta ecuaciń se convierte en una ecuaciń diferencial ordinaria con condiciones
o o
frontera: vz (δ) = 0 y vz (0) = vmax . La soluciń es
o

x 2
vz (x) = vmax 1 −
δ

resultando, finalmente el modelo de difusiń en la pel´
o ıcula:

x 2 ∂CA ∂ 2 CA
vmax 1 − = DAB
δ ∂z ∂x2

Descripciń de Gradiente M´ltiple.
o u
Caracter´
ısticas.
• Ecuaciones de Conservaciń con par´metros efectivos.
o a
• Todas las variables son entendidas como promedios en tiempo.
• Aplicaciones generales implican sistemas heterogńeos:
e
• Flujo en Medios Porosos.
• Flujo en Lechos S´lidos.
o
• Flujo Turbulento.

Caso: Flujo Turbulento.
• Variables dependientes: valor promedio temporal mas perturbaciń
o

¯
v(x, t) = v(x) + v (x, t)

• Fluxes con coeficientes efectivos

dvx ˜ dT , ˜ dCA
τyx = −˜yx
µ , qy = −ky nAy = −DAy
dy dy dy

˜ ˜ (t)
µyx = µ + µ(t) ,
˜ ky = k + k(t) , DAy = DA + DA

Efectivo = Molecular + Turbulento

Descripciń de Gradiente M´ltiple.
o u
Ecuaciones de Conservaciń en Coordenadas Cil´
o ındricas

• Balance de Masa de especie A

∂CA 1 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ ˜ ∂CA
+ (rvr CA ) + (vθ CA ) + (vz CA ) = DAr r
∂t r ∂r r ∂θ ∂z r ∂r ∂r
1 ∂ ˜ ∂CA ∂ ˜ ∂CA
+ 2 DAθ + DAz + RA
r ∂θ ∂θ ∂z ∂z
ıa

ˆ ∂T ∂T vθ ∂T ∂T 1 ∂ ˜ ∂T
ρCp + vr + + vz = kr r
∂t ∂r r ∂θ ∂z r ∂r ∂r
1 ∂ ˜ ∂T ∂ ˜ ∂T
+ 2 kθ + kz + SR
r ∂θ ∂θ ∂z ∂z

• Balance de Momentum (Direcciń z)
o

∂vz ∂vz vθ ∂vz ∂vz ∂p 1 ∂ ∂vz
ρ + vr + + vz =− + µzr r
˜
∂t ∂r r ∂θ ∂z ∂z r ∂r ∂r
1 ∂ ∂vz ∂ ∂vz
+ 2 µzθ
˜ + µzz
˜ + ρgz
r ∂θ ∂θ ∂z ∂z

Reactor Catal´
ıtico de Lecho Fijo Tubular.

Considerar el esquema de un reactor catal´ıtico de lecho fijo mostrado en la Figura.
El radio del cilindro es R y se supone que el perfil de velocidad vz es constante
(flujo pistń) y uniforme a lo largo de todo el reactor. Se requiere determinar el
o
perfil de temperatura en estado estacionario cuando ocurre una reacciń simple
o
con velocidad RA y entalp´ de reacciń ∆HR . La temperatura de la pared
ıa o
cil´
ındrica permanece constante a Ts .

Ts

r Perfil de
Perfil de
Velocidad R
Temperatura
vz = constante T(r,z)
T0 z

Reactor Catal´

Solo se considera el balance de energ´ pues el perfil de velocidad es conocido y se
ıa
supone que solo existe un componente.

ˆ ∂T ∂T vθ ∂T ∂T 1 ∂ ˜ ∂T
ρCp + vr + + vz = kr r
∂t ∂r r ∂θ ∂z r ∂r ∂r
1 ∂ ˜ ∂T ∂ ˜ ∂T
+ 2 kθ + kz + RA ∆HR
r ∂θ ∂θ ∂z ∂z

las simplificaciones que se pueden hacer son las siguientes
1 Perfil de velocidad uniforme (vr = vθ = 0). El perfil de velocidad es constante
en la secciń transversal del ducto.
o
2 Estado estacionario: (∂T /∂t = 0).
3 Las propiedades f´ısicas son independientes de T y son constantes en todo el
˜
lecho de catalizador (ki puede ser extra´ de los operadores diferenciales).
ıda
4 La distribuciń de temperatura es sim´trica alrededor del eje del cilindro
o e
(∂T /∂θ = ∂ 2 T /∂θ2 = 0).
5 Se desprecia la transferencia de energ´ axial por dispersiń en comparaciń a
ıa o o
la de flujo convectivo (despreciar ∂ 2 T /∂z 2 ).

Reactor Catal´

Una vez que se aplican las simplificaciones, la ecuaciń que permite determinar el
o
perfil de temperatura es

∂T 2
ˆ
ρCp vz ˜ ∂ T + 1 ∂T
= kr + RA ∆HR
∂z ∂r2 r ∂r

Las condiciones frontera son:

T = T0 en z = 0, y r≥0
T = Ts en r = R, y z>0
∂T /∂r = 0 en r = 0, y z>0

La ecuaciń obtenida es una Ecuaciń Diferencial Parcial de Segundo Orden de
o o
tipo Parab´lico.
o

Descripciń de Gradiente M´ximo.
o a

Caracter´
ısticas.
• M´
ınimo nivel de detalle interno (microsc´pico).
o
• Los t´rminos de dispersiń son generalmente despreciados.
e o
• Solo se mantienen, en los balances, los componentes de mayor peso de los
gradientes de las variables dependientes.
• Balances de Masa de la especie A y de Energ´ (direcciń z)
ıa o

∂CA ∂CA (t) ˆ ∂T ∂T
+ vz = RA + MA , ρCp + vz = SR + E (t)
∂t ∂z ∂t ∂z
• Se ignora el balance de Momentum pues se asume que la velocidad es
constante o funciń simple de la coordenada de inter´s.
o e
(t)
• El t´rmino MA
e representa la tasa neta de transferencia molar de A por
unidad de volumen que atraviesa las fronteras del sistema.
• El t´rmino E (t) es la rapidez neta de transferencia de energ´ que atraviesa
e ıa
las fronteras del sistema, por unidad de volumen. (Conducciń, Convecciń,
o o
Radiaciń, Trabajo Mecńico, por Transferencia de Masa).
o a
• La concentraciń y temperatura no representan valores puntuales sino valores
o
promediadas espacialmente (secciones transversales).

o a
Balance de Masa de especie i en un reactor tubular

Considerar el balance de materia de una especie i en un reactor tubular de radio R
en estado transitorio. Flujo en direcciń z (vr = vθ = 0) y simetr´ con respecto a
o ıa
la coordenada angular θ.

∂Ci ∂Ci 2
+ vz ˜ ∂ Ci + D R 1 ∂
= DL ˜ ∂Ci
+ Ri
∂t ∂z ∂z 2 r ∂r ∂r

Promediando con respecto al ´rea de secciń transversal del tubo (A = πR2 )
a o

1 R ∂Ci (r, z) vz R ∂Ci (r, z) ˜
DL R ∂ 2 Ci (r, z)
2πr dr + 2πr dr = 2πr dr
A 0 ∂t A 0 ∂z A 0 ∂z 2
˜
DR R 1 ∂ ∂Ci (r, z) 1 R
+ r 2πr dr + Ri 2πr dr
A 0 r ∂r ∂r A 0

el promedio de la concentraciń respecto al ´rea de secciń transversal, es por
o a o
definiciń
o
1 R
¯
Ci (z) ≡ Ci (r, z)2πr dr
A 0

o a

tomando el resto de los promedios se obtiene
¯
∂ Ci (z) ¯
∂ Ci (z) 2¯
+ vz ˜ ∂ Ci (z) + (2πR)DR ∂Ci (r, z)
= DL ˜ ¯
+ Ri
∂t ∂z ∂z 2 ∂r r=R

el t´rmino intermedio del lado derecho es evaluado en la pared del tubo y como tal
e
representa una condici´n frontera. Las posibles alternativas son:
o
• Flux cero debido a pared impermeable

˜ ∂Ci (r, z)
−DR =0
∂r r=R

• Flux igual a un t´rmino de transferencia de interfase (pared permeable).
e

˜ ∂Ci (r, z) ¯ ¯∞
−DR = kC [Ci (z) − Ci (z)]
∂r r=R

• Flux igual a un t´rmino cin´tico
e e

˜ ∂Ci (r, z) ¯
−DR = K Ci (z)
∂r r=R

Conversiń en un Reactor Qu´
o ımico Tubular
Considerar el reactor qu´ımico tubular (o reactor catal´
ıtico de lecho fijo) mostrado
en la Figura donde ocurre una reacciń de primer orden A → B. Suponer que el
o
perfil de velocidad es plano, constante y uniforme a lo largo del reactor. Que no
existen dispersiń radial ni axial y que opera en estado estacionario.
o

R
Sección de
z Reacción
Flujo

0 L

El balance de materia de la especie A es

dCA
vz = RA = −kCA , CA (0) = CA0 [CA (L) = CAL ]
dz
resolviendo

CA (z) CAL
= e−kz/vz → = e−kL/vz = e−kτ
CA0 CA0

o ımico Tubular

Si se considera que existe dispersiń axial, el balance de materia es
o

dCA 2
vz ˜ d CA − kCA
= Dz
dz dz 2
siendo ahora las condiciones frontera
˜
Dz dCA dCA
CA − = CA0 y =0
vz dz dz z=L
z=0+

La concentraciń de A, que se obtiene al resolver la ecuaciń, es
o o

CA (z) 2[m2 exp [m2 L + m1 z] − m1 exp [m1 L + m2 z]]
=
CA0 (1 − a)m2 exp (m2 L) − (1 + a)m1 exp (m1 L)

donde
vz vz
m1 = (1 + a), m2 = (1 − a), con a= 1 + 4kτ /Pe
˜
2Dz ˜
2Dz

τ = L/vz , ˜
Pe = vz L/Dz
τ es el tiempo nominal de residencia en el reactor y Pe el n´mero de Peclet.
u

o ımico Tubular

A la salida de la secciń de reacciń, en z = L, la concentraciń de A es
o o o

CA 4a
=
CA0 L (1 + a)2 exp [− 2 Pe(1 − a)] − (1 − a)2 exp [− 1 Pe(1 + a)]
1
2

el efecto de la dispersiń axial en la conversiń alcanzada en el reactor se puede
o o
obtener expandiendo la expresiń anterior en serie de Maclaurin para un valor de
o
˜
Dz pequeõ (Pe grande) que es cuando se aproxima a la condiciń de flujo pistń.
n o o
El resultado obtenido es
∗
CA (kτ )2 −kτ
= 1+ e
CA0 L Pe

la relaciń con el resultado obtenido del modelo de flujo pistń es
o o
∗
CA (kτ )2
fp
=1+
CA Pe
L

fp
donde CA es la concentraciń en z = L para el reactor de flujo pistń. El modelo
o o
de dispersiń predice, por lo tanto, una menor conversiń pues la concentraciń
o o o
de A es mayor a la salida del reactor comparada a la de flujo pistń.
o

Descripciń Macrosc´pica
o o
Caracter´
ısticas:
• Se ignoran detalles internos del sistema.
• No se involucran gradientes espaciales.
• Solo el tiempo permanece como variable diferencial independiente.
• Las variables dependientes representan promedios volum´tricos o superficiales.
e

Ecuaciones de Conservaciń: o
Obtenidas, normalmente, integrando las ecuaciones de balance microsc´picas.
o
• Balance de Masa Total

dmt
= ρ1 v1 S1 − ρ2 v2 S2 = −∆w
dt

donde mt = ρdV es la masa total del sistema y w ≡ ρ v S es el flujo
m´sico. La notaciń · significa promedio sobre area transversal S
a o
2π R
v(r, θ)r dr dθ
1 0 0
v ≡ v dS, p. ej.: v = 2π R
S S
r dr dθ
0 0

o o
o

• Balance de Masa de A

dmA,t (b)
= −∆(ρA v S) + wA + rA Vt
¯
dt
(b)
wA es el flujo m´sico de A a trav´s de las fronteras del sistema y rA es la
a e ¯
rapidez de reacciń de A promediada en volumen.
o
(b) 1
wA = − ρA vi · ni dSi , y rA =
¯ rA dV
S V V


dPi,t (b)
= −∆(ρ v 2 Si + p Si ) − Fi + mt g + Fi
dt

el momentum total es
Pi,t = ρvi dV
V
(b)
Fi representa la transferencia de momentum a trav´s de las fronteras y Fi
e
la fuerza del fluido ejercida sobre las fronteras del sistema por fricciń.
o
(b)
Fi =− (ρvi vi ) · ni dS
S

o o
o

ıa

dEt ˆ 1 v3 ˆ
= −∆ H+ + Φ (ρ v S) + Q + W + SR
dt 2 v

donde la energ´ total es la suma de las energ´ interna, cin´tica y potencial
ıa ıas: e
ˆ
Et = Ut + Kt + Φt : con Ut = ρU dV , Kt = 1 ρv 2 dV y Φt = ρΦdV . ˆ
2
Hˆ = U + pV es la Entalp´ del fluido por unidad de masa, Q la rapidez de
ˆ ˆ ıa
transferencia de calor a trav´s de la superficie del sistema, W el trabajo
e
mecńico por unidad de tiempo y SR la tasa de energ´ liberada por
a ıa
reacciones qu´ımicas.
• Ecuaciń de Bernoulli
o
1 v3 p2 1
∆ ¯
+Φ + dp + W = 0
2 v p1 ρ

ecuaciń de energ´ en estado estacionario a condiciones isot´rmicas sin
o ıa e
reacciń qu´
o ımica y sin transferencia de calor.

o o

Llenado de un cilindro vac´ ıo:
Suponer un cilindro aislado, vac´ que ser´ llenado con un gas desde una fuente
ıo a
ilimitada a presiń constante. Derivar las ecuaciones que relacionan la cantidad de
o
gas entrante al cilindro con la temperatura.
Simplificaciones
• No hay corriente de salida: (ρ v S)s = 0
• No reacciń qu´
o ımica: rA = 0 y SR = 0
¯
ˆ
• No hay cambios de energ´ potencial: ∆Φ = 0
ıa
• No hay transferencia de masa en interfase: w (b) = 0
• Tanque r´
ıgido: W = 0
• Tanque aislado: Q = 0

Balance de masa
dmt
= (ρ v S)e (9)
dt
Balance de energ´
ıa
dEt ˆ ˆ
= [(H + K)(ρ v S)]e
dt

o o

ıa e ˆ
Se desprecia el t´rmino de energ´ cin´tica (K) pues no se tiene informaciń de la
e o
naturaleza de la v´lvula de entrada. La energ´ total se reduce a la energ´ interna
a ıa ıa
pues no hay contribuciń de eneg´ potencial ni cin´tica. Introduciendo las
o ıas e
propiedades t´rmicas en el balance de energ´
e ıa

d(Tt mt ) dmt dTt
Cv,t = Cv,t Tt + mt = (Cp T ρ v S)e
dt dt dt

sustituyendo el balance de masa

dTt
Cv,t mt + [Cv,t (ρ v S)e ] Tt = (Cp T ρ v S)e (10)
dt
Conociendo Te y v e se pueden resolver las ecuaciones (9) y (10) de forma
simultńea con la condiciones iniciales:
a

mt (0) = 0 y Te (0) = T0

Modelaciń Emp´
o ırica: An´lisis Dimensional
a

Aplicaciń: Obtenciń de relaciones emp´
o o ıricas (modelos) entre las variables de
un proceso aplicando principio de homogeneidad dimensional de las leyes f´ısicas
que lo describen.

• Formulaciń matem´tica general de una “ley f´
o a ısica”

f (q1 , q2 , q3 , . . . , qm ) = 0

donde q1 , q2 , . . . , qm son las variables relevantes del proceso.
• Las variables qj son expresables en t´rminos de las dimensiones
e
fundamentales: L1 , L2 , . . . , Ln con n < m:
a a a
[qj ] = L1 1j L2 2j · · · Lnnj , j = 1, 2, . . . , m

donde [qj ] significa “dimensiones de qj ” y los valores de los exponentes aij
dependen de la dimensionalidad de la variable.
• Las dimensiones fundamentales son: masa (M ), longitud (L), tiempo, (T ),
temperatura (θ), carga elćtrica (Q), entre otras.
e
• Ejemplos: Las dimensiones de la Fuerza y la Entrop´ son
ıa

[F ] = M LT −2 y [S] = M L2 T −2 θ−1

An´lisis Dimensional
a

• La matriz (n × m)

a11 a12 ··· a1m
 
 a21 a22 ··· a2m 
A= . . . (11)
 
 . . .

. . . 
an1 an2 ··· anm

es llamada matriz de dimensiones. Los elementos de la j-´sima columna son
e
los exponentes de las dimensiones Li que definen a la variable qj .
• Las unidades de cualquier dimensiń fundamental Li puede ser modificada
o
mediante la multiplicaciń por factores de conversiń apropiados λi > 0.
o o
¯
Li = λi Li

• Las unidades de las variables q pueden ser cambiadas en forma similar

[q] = Lb1 Lb2 · · · Lbn
1 2 n

por lo tanto
q = λb1 λb2 · · · λbn q
¯ 1 2 n

a

Definiciń
o
Una ley f´ ısica f (q1 , q2 , . . . , qm ) = 0 se dice ser libre de unidades si para
cualquier conjunto de n´ meros reales λ1 , λ2 , . . . , λn , con λi > 0, se tiene
u
f (¯1 , q2 , . . . , qm ) = 0, si y solo si f (q1 , q2 , . . . , qm ) = 0, donde
q ¯ ¯

q = λb1 λb2 · · · λbn q
¯ 1 2 n

Ejemplo: La distancia x de un cuerpo que cae en un campo gravitacional g
durante el tiempo t est´ dada por
a

x= 1
2
gt2 o bien f (x, t, g) ≡ x − 2 gt2 = 0
1

ımetros y t en segundos entonces g debe estar en cm/seg2 .
si x se da en cent´
Cambiando las unidades de x y t a pulgadas y minutos, en el nuevo sistema

x = λ1 x
¯ y ¯
t = λ2 t
1 1
donde λ1 = 2.54 (pulg/cm) y λ2 = 60
(min/seg). Puesto que [g] = L θ−2 , se tiene:
−2
g = λ1 λ2 g. Entonces
¯

f (¯, t, g ) = x − 2 g t2 = λ1 x − 1 (λ1 λ−2 g)(λ2 t)2 = λ1 (x − 1 gt2 ) = 0
x ¯¯ ¯ 1¯¯ 2 2 2

por lo tanto, la expresiń f es libre de unidades.
o

a

Teorema Pi (Buckingham)
Considerar la ley f´
ısica libre de unidades

f (q1 , q2 , . . . , qm ) = 0 (12)

que relaciona a las cantidades q1 , q2 , . . . , qm y sean L1 , L2 , . . . , Ln (n < m) las
dimensiones fundamentales involucradas, esto es:
a a a
[qj ] = L1 1j L2 2j · · · Lnnj , j = 1, 2, . . . , m

Sea r el rango de la matriz de dimensiones A. Entonces, existen n = m − r
cantidades adimensionales independientes π1 , π2 , . . . , πn que pueden ser
construidas con las cantidades qj y que transforman a la ley f´ ısica (12) en una
ecuaci´n equivalente
o
F (π1 , π2 , . . . , πn ) = 0
expresada solo en t´rminos de las cantidades adimensionales. Esto es
e

[πk ] = 1, k = 1, 2, . . . , n

a
Ejemplo

Determinar una expresiń funcional para la ca´ de presiń en t´rminos de las
o ıda o e
variables relevantes en el flujo de un fluido incompresible en una tuber´ recta,
ıa
cil´
ındrica, de longitud dada, horizontal y secciń transversal constante.
o

Variable S´
ımbolo Dimensiń
o
Ca´ de Presiń
ıda o ∆P M L−1 t−2
Di´metro de la tuber´
a ıa D L
Longitud de la tuber´ıa L L
Rugosidad de la tuber´ ıa L
Velocidad v Lt−1
Densidad del fluido ρ M L−3
Viscosidad del fluido µ M L−1 t−1

Ley f´
ısica:
f (∆P, D, L, , v, ρ, µ) = 0

Matriz de dimensiones A:
∆P D L v ρ µ
M 1 0 0 0 0 1 1
L -1 1 1 1 1 -3 -1
t -2 0 0 0 -1 0 -1

a
Ejemplo

Resumen:

Variables: m=7
Rango de A: r=3
Grupos Adimensionales: n=m−r =4

Expresi´n funcional:
o
F (π1 , π2 , π3 , π4 ) = 0

En general, cualquier grupo adimensional debe ser expresado como

π = (∆P )α1 Dα2 Lα3 α4 α5 α6
v ρ µα7

y en t´rminos de las dimensiones de las variables
e

[π] = (M L−1 t−2 )α1 (L)α2 (L)α3 (L)α4 (Lt−1 )α5 (M L−3 )α6 (M L−1 t−1 )α7

puesto que π debe ser adimensional, [π] = 1, resulta

α1 + α6 + α7 = 0
−α1 + α2 + α3 + α4 + α5 − 3α6 − α7 = 0
−2α1 − α5 − α7 = 0

a
Ejemplo

Para el sistema de ecuaciones que se obtiene se pueden determinar cuatro
soluciones independientes:
1. α1 = 1, α2 = α3 = α4 = 0, α5 = −2, α6 = −1, α7 = 0

∆P
π1 = (∆P )v −2 ρ−1 → π1 =
v2 ρ

2. α1 = 0, α2 = −1, α3 = 0, α4 = 1, α5 = α6 = α7 = 0

π2 = D−1 → π2 =
D

3. α1 = 0, α2 = 1, α3 = −1, α4 = α5 = α6 = α7 = 0

L
π3 = LD−1 → π3 =
D

4. α1 = α2 = 0, α3 = 1, α4 = 0, α5 = 1, α6 = 1, α7 = −1

Dvρ
π4 = Dvρµ−1 → π4 =
µ

a
Ejemplo

Resultado
∆P L Dvρ
F , , , =0
v2 ρ D D µ
En los grupos adimensionales se reconoce al n´mero de Reynolds
u

Dvρ
Re ≡
µ

resolviendo para la ca´ de presiń
ıda o

∆P L
=g , , Re
v2 ρ D D

Mediante experimentaciń se ha encontrado6
o

∆P L
= φ , Re
v2 ρ D D

donde φ denota a una funciń.
o

6
Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa. C.R. Welty, C.E. Wicks y R.E.
Wilson, Limusa Wiley 2a. Ed. 2005

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