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Planteamiento del problema
La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis
Semicl´asico
Juliho David Castillo Colmenares
Depto. de Matem´aticas, CINVESTAV
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Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
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1 Planteamiento del problema
2 La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
3 Soluciones de viscosidad
4 La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
5 Demostraci´on del teorema
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La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
Los resultados que a continuaci´on se presentan pueden encontrarse en el
art´ıculo de exposici´on “Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis
Semicl´asico”, publicado en Aportaciones Matem´aticas, Memorias 45
(2012) pag. 69-96.
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La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
En este art´ıculo, discutimos el l´ımite de las soluciones diferenciables de la
ecuaci´on de Hamilton-Jacobi con viscosidad, caracterizadas por la
F´ormula estoc´astica de Lax, que converjen a una soluci´on de viscosidad
de la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi. Las soluciones de la ecuaci´on de
Hamilton-Jacobi con viscosidad est´an relacionadas con las soluciones del
la ecuaci´on de Schr¨odinger y determinan el comportamiento cl´asico a
partir del cu´antico.
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La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
Consideremos el operador de Schr¨odinger
H(λ) : L2
(Rn
) → L2
(Rn
),
definido por
H (λ) = −
1
2
∆ + λ2
V (x), (2.1)
donde λ es un parametro (real) y ∆ es el operador de Laplace. Para
ψ ∈ L2
(Rn
),
[H(λ)ψ](x) = −
1
2
(∆ψ)(x) + λ2
V (x)ψ(x).
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La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
Supondremos que el potencial V : Rn
→ R cumple las siguientes
hip´otesis:
(1) V es C∞
y no negativa;
(2) l´ım x →∞ V (x) = ∞;
(3) V se anula exactamente en dos puntos a, b y ∂2
V /∂xi ∂xj es una
matriz no singular para x = a, b.
(4)
l´ım inf
λ→∞
( ja(Ω0)(λ) 2 jb(Ω0(λ)) 2) > 0,
donde · 2 es la norma en L2
(Rn
) y para k = a, b, jk : Rn
→ R es
una funci´on caracter´ıstica.
(5) ∆V esta acotado, lo que es equivalente a que V : Rn
→ R sea
semiconcavo.
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Planteamiento del problema
La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
El conjunto de todos los eigenvalores de H(λ), llamado espectro y
denotado por σ(H(λ)), es puramente discreto.
E0(λ) ≡´ınf σ(H(λ)) es un eigenvalor, al cual llamaremos nivel m´ınimo de
energ´ıa, mientras que al primer eigenvalor E1(λ) > E0(λ) le llamaremos
energ´ıa del primer estado excitado.
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Planteamiento del problema
La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
El nivel m´ınimo de energ´ıa tiene asociada una ´unica eigenfunci´on
Ω0(λ) : Rn
→ Rn
, que se conoce como estado base. Dicha eigenfunci´on
es positiva y no degenerada. Por lo que E0 tambien es conocida como
“energ´ıa del estado base”.
Observaci´on
Pediremos Ω0(λ) este normalizado, es decir, Ω0(λ) 2 = 1, donde · 2 es
la norma en L2
(Rn
).
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Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
Definici´on (M´etrica de Agmon)
∀x, y ∈ Rn
, definimos la m´etrica de Agmon como
ρ(x, y) = ´ınf
γ∈Γx,y
1
2
T
0
|˙γ(s)|2
ds +
T
0
V (γ(s))ds (2.2)
donde
Γx,y := {γ : [0, T] → Rn
|T > 0, γ ∈ AC[0, T], γ(0) = x, γ(T) = y} ,
y AC[0, T] es el conjunto de funciones absolutamente continuas en [0, T].
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La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
El resultado principal del art´ıculo es una demostraci´on alternativa del
siguiente teorema
Teorema
Si se satisfacen las hip´otesis (1)-(4), y si suponemos que el potencial V
es semiconcavo, entonces para cualquier x
l´ım sup
λ→∞
1
λ
ln |Ω0(λ; x)| = − m´ın {ρ (x, a) , ρ (x, b)} ,
siendo este l´ımite uniforme en subconjuntos compactos.
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La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
En nuestro problema, trabajamos con un Lagrangiano L : Rn
× Rn
→ R
de la forma
L(x, v) =
1
2
|v|2
+ V (x)
con el Hamiltoniano H : Rn
× Rn
→ R asociado
H(x, p) =
1
2
|p|2
− V (x)
donde V : Rn
→ R.
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Soluciones de viscosidad
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Demostraci´on del teorema
La ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = 0 (3.1)
tiene soluciones φ : Rn
→ R, las cuales no son soluciones cl´asicas, y que
en este contexto llamaremos soluciones de viscosidad que, de hecho,
dependen de los valores en a y b.
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La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
Consideremos ahora la
Definici´on (Ecuaci´on de Hamilton Jacobi con viscosidad)
ε∆φ(x) +
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = c(ε), (3.2)
donde el parametro ε es el coeficiente de viscosidad.
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Soluciones de viscosidad
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Demostraci´on del teorema
Si φε es una soluci´on de (3.2), entonces exp(φε/2ε) es una soluci´on de la
Definici´on (Ecuaci´on de Schr¨ondinger)
2ε2
∆ψ − V (x)ψ = c(ε)ψ. (3.3)
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Soluciones de viscosidad
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Demostraci´on del teorema
Considere ahora la sustituci´on ε = 1/2λ, de la cual obtenemos (con
algunas manipulaciones algebraicas)
−
1
2
∆ + λ2
V (x) ψ1/2λ = −λ2
c
1
2λ
ψ1/2λ,
y como ψ1/2λ es positiva, si escogemos c( ) de manera que
c
1
2λ
= −
E0(λ)
λ2
,
concluimos que es el estado base de nuestro problema.
Por [6], teorema 1.1, c(ε) → 0, cuando ε → 0.
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Demostraci´on del teorema
Observaci´on
A partir de ahora, por los argumentos anteriores, trabajaremos con la
notaci´on ψε(x), para referirnos al estado base Ω(λ; x). Debemos tener
presente las relaciones 2ε = 1
λ y ψε = eφε/2ε
.
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Demostraci´on del teorema
Para obtener la demostraci´on del teorema 2.1, estudiaremos el
comportamiento de las soluciones φε de la ecuaci´on con viscosidad (3.2),
cuando ε → 0, de manera que podamos obtener subsucesiones que
convergen uniformemente a una soluci´on de viscosidad φ de la ecuaci´on
(3.1).
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Demostraci´on del teorema
Definici´on
Una funci´on continua φ : Rn
→ R se dice soluci´on de viscosidad (hacia el
futuro) de la ecuaci´on (3.1) si satisface las siguientes propiedades:
1 Si v ∈ C1
y φ − v tiene un m´aximo local en x0 entonces
1
2
|Dv(x0)|
2
− V (x0) ≤ 0. (4.1)
2 Si v ∈ C1
y φ − v tiene un m´ınimo local en x0 entonces
1
2
|Dv(x0)|
2
− V (x0) ≥ 0. (4.2)
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Demostraci´on del teorema
Proposici´on ([1], Proposici´on 1.3)
1 Si φ ∈ C(Rn
) es una soluci´on cl´asica de (3.1), es decir, es
diferenciable en todo x ∈ Rn
y satisface
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = 0,
entonces es una soluci´on de viscosidad de (3.1).
2 Si φ ∈ C1
(Rn
) es una soluci´on de viscosidad de (3.1), entonces es
una soluci´on cl´asica de (3.1).
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Demostraci´on del teorema
Proposici´on
Si φ ∈ C(Rn
) es una soluci´on de viscosidad de (3.1), entonces
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = 0
en cualquier punto x ∈ Rn
donde φ es diferenciable.
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Demostraci´on del teorema
Una ´ultima caracterizaci´on de las soluciones de viscosidad es la siguiente:
Proposici´on
Una funci´on φ es una soluci´on de viscosidad hacia el futuro de (3.1) si y
solo si resuelve el siguiente problema de punto fijo, para toda
x ∈ Rn
, t ≥ 0,
φ(x) = sup
γ:[0,t]→Rn,γ(0)=x
{φ(γ(t)) −
t
0
1
2
|˙γ(s)|
2
+ V (γ(s))ds} (4.3)
donde el supremo se toma sobre las curvas C1
a trozos.
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Demostraci´on del teorema
Observaci´on
Esta f´ormula es conocida como de Lax-Oleinik, el cual se obtiene del
m´etodo de programaci´on din´amica.(Veas´e [5], [2] cap´ıtulo 3, [1] secci´on
1.5)
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Soluciones de viscosidad
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Demostraci´on del teorema
Lema ([4], [7])
φ(x) = − m´ın {ρ(x, a), ρ(x, b)} .
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Demostraci´on del teorema
La soluci´on a la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi con viscosidad (3.2) puede
ser caracterizada por una f´ormula variacional an´aloga a (4.3).
En el caso viscoso, necesitamos introducir un espacio de probabilidad
(Ω, F, P) dotado de un un movimiento Browniano W (t) : Ω → Rn
.
Denotaremos por E la esperanza con respecto a la medida de
probabilidad P.
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Demostraci´on del teorema
La soluci´on a la ecuaci´on (3.2) satisface la
Definici´on (F´ormula Estoc´astica de Lax)
φε(x)
= sup
v
E φε(Xε(τ)) −
τ
0
1
2
|v(s)|
2
+ V (Xε(s))ds − c(ε)τ ,
donde v es un control admisible progresivamente medible, τ es un tiempo
de paro finito y Xε es la soluci´on de la ecuaci´on diferencial estoc´astica
dXε(t) = v(t)dt + (2ε)dW (t)
Xε(0) = x
(5.1)
que se deduce del lema 3.1 en [3].
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Demostraci´on del teorema
El siguiente lema se demuestra usando la F´ormula de Lax y la ´ultima
hipotesis que introdujimos, es decir, que V es semiconcavo.
Lema
Existe una subsuceci´on {φεn
}
∞
n=0 , de manera que
εn∆φεn (x) +
1
2
|Dφεn (x)|
2
− V (x) = c(εn),
de manera que
l´ım
εn→0
φεn
(x) = φ(x). (5.2)
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Demostraci´on del teorema
Ahora bien, por el lema 5.1, sabemos que para alguna subsucesi´on {εn}
φ(x) = l´ım
εn→0
φεn(x).
Pero
φεn(x) = 2εn ln ψεn
.
Recordemos que ψεn
es, en este contexto, igual el estado base Ω(λ; x) del
operador de Schr¨odinger, dado por la ecuaci´on (2.1).
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Demostraci´on del teorema
Entonces
φεn
=
1
λ
Ω(λ; x).
Como εn → 0 es equivalente a λn = 1
2εn
→ ∞, sabemos que existe una
subsucesi´on {λn} , de manera que,
l´ım
λn
1
λn
Ω(λn; x) = φ(x).
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Demostraci´on del teorema
Usando el lema 4.4, obtenemos
l´ım
λn→∞
1
λn
Ω(λn; x) = − m´ın {ρ(x, a), ρ(x, b)} .
Pero esto quiere decir, bajo las hipotesis (A1)-(A4), adem´as de suponer
que la funci´on V : Rn
→ R es semiconcava, hemos demostrado que
l´ım sup
λ→∞
1
λ
Ω(λ; x) = − m´ın (ρ(x, a), ρ(x, b)) .
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Demostraci´on del teorema
Bardi, Mario; Capuzzo-Dolcetta, Italo; Optimal Control and
Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations; Modern
Birkh¨auser Classics, 1997.
Evans, Lawrence; Partial Differential Equations; American
Mathematical Society.
Fleming, W., Soner, M.; Controlled Markov Processes and Viscosity
Solution; Springer, 1993.
Ichihara, Naoyuki; Ishii, Hitoshi; Long-time Behavior of Solutions of
Hamilton-Jacobi Equations with Convex and Coercive Hamiltonians;
Arch. Rational Mech. Anal. 194 (2009) 383-419.
S´anchez-Morgado, H´ector, et.al.; Physical solutions of the
Hamilton-Jacobi Equation; Discrete and Continuous Dynamical
Systems- Series B, Vol. 5, No. 3; 2005, pag 513-528.
Simon, Barry; Semiclassical analysis of low lying eigenvalues, II.
Tunneling; Annals of Mathematics, 120(1984), pag 89-118.
Wong, R.; Asymptotic Approximations of Integrals; SIAM, 2001.Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico

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Aplicaciones del Control Estocástico al Análisis Semiclásico

  • 1. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico Juliho David Castillo Colmenares Depto. de Matem´aticas, CINVESTAV Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 2. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema ´Indice 1 Planteamiento del problema 2 La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi 3 Soluciones de viscosidad 4 La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones 5 Demostraci´on del teorema Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 3. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Los resultados que a continuaci´on se presentan pueden encontrarse en el art´ıculo de exposici´on “Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico”, publicado en Aportaciones Matem´aticas, Memorias 45 (2012) pag. 69-96. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 4. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema En este art´ıculo, discutimos el l´ımite de las soluciones diferenciables de la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi con viscosidad, caracterizadas por la F´ormula estoc´astica de Lax, que converjen a una soluci´on de viscosidad de la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi. Las soluciones de la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi con viscosidad est´an relacionadas con las soluciones del la ecuaci´on de Schr¨odinger y determinan el comportamiento cl´asico a partir del cu´antico. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 5. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Consideremos el operador de Schr¨odinger H(λ) : L2 (Rn ) → L2 (Rn ), definido por H (λ) = − 1 2 ∆ + λ2 V (x), (2.1) donde λ es un parametro (real) y ∆ es el operador de Laplace. Para ψ ∈ L2 (Rn ), [H(λ)ψ](x) = − 1 2 (∆ψ)(x) + λ2 V (x)ψ(x). Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 6. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Supondremos que el potencial V : Rn → R cumple las siguientes hip´otesis: (1) V es C∞ y no negativa; (2) l´ım x →∞ V (x) = ∞; (3) V se anula exactamente en dos puntos a, b y ∂2 V /∂xi ∂xj es una matriz no singular para x = a, b. (4) l´ım inf λ→∞ ( ja(Ω0)(λ) 2 jb(Ω0(λ)) 2) > 0, donde · 2 es la norma en L2 (Rn ) y para k = a, b, jk : Rn → R es una funci´on caracter´ıstica. (5) ∆V esta acotado, lo que es equivalente a que V : Rn → R sea semiconcavo. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 7. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema El conjunto de todos los eigenvalores de H(λ), llamado espectro y denotado por σ(H(λ)), es puramente discreto. E0(λ) ≡´ınf σ(H(λ)) es un eigenvalor, al cual llamaremos nivel m´ınimo de energ´ıa, mientras que al primer eigenvalor E1(λ) > E0(λ) le llamaremos energ´ıa del primer estado excitado. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 8. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema El nivel m´ınimo de energ´ıa tiene asociada una ´unica eigenfunci´on Ω0(λ) : Rn → Rn , que se conoce como estado base. Dicha eigenfunci´on es positiva y no degenerada. Por lo que E0 tambien es conocida como “energ´ıa del estado base”. Observaci´on Pediremos Ω0(λ) este normalizado, es decir, Ω0(λ) 2 = 1, donde · 2 es la norma en L2 (Rn ). Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 9. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Definici´on (M´etrica de Agmon) ∀x, y ∈ Rn , definimos la m´etrica de Agmon como ρ(x, y) = ´ınf γ∈Γx,y 1 2 T 0 |˙γ(s)|2 ds + T 0 V (γ(s))ds (2.2) donde Γx,y := {γ : [0, T] → Rn |T > 0, γ ∈ AC[0, T], γ(0) = x, γ(T) = y} , y AC[0, T] es el conjunto de funciones absolutamente continuas en [0, T]. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 10. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema El resultado principal del art´ıculo es una demostraci´on alternativa del siguiente teorema Teorema Si se satisfacen las hip´otesis (1)-(4), y si suponemos que el potencial V es semiconcavo, entonces para cualquier x l´ım sup λ→∞ 1 λ ln |Ω0(λ; x)| = − m´ın {ρ (x, a) , ρ (x, b)} , siendo este l´ımite uniforme en subconjuntos compactos. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 11. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema En nuestro problema, trabajamos con un Lagrangiano L : Rn × Rn → R de la forma L(x, v) = 1 2 |v|2 + V (x) con el Hamiltoniano H : Rn × Rn → R asociado H(x, p) = 1 2 |p|2 − V (x) donde V : Rn → R. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 12. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema La ecuaci´on de Hamilton-Jacobi 1 2 |Dφ(x)| 2 − V (x) = 0 (3.1) tiene soluciones φ : Rn → R, las cuales no son soluciones cl´asicas, y que en este contexto llamaremos soluciones de viscosidad que, de hecho, dependen de los valores en a y b. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 13. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Consideremos ahora la Definici´on (Ecuaci´on de Hamilton Jacobi con viscosidad) ε∆φ(x) + 1 2 |Dφ(x)| 2 − V (x) = c(ε), (3.2) donde el parametro ε es el coeficiente de viscosidad. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 14. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Si φε es una soluci´on de (3.2), entonces exp(φε/2ε) es una soluci´on de la Definici´on (Ecuaci´on de Schr¨ondinger) 2ε2 ∆ψ − V (x)ψ = c(ε)ψ. (3.3) Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 15. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Considere ahora la sustituci´on ε = 1/2λ, de la cual obtenemos (con algunas manipulaciones algebraicas) − 1 2 ∆ + λ2 V (x) ψ1/2λ = −λ2 c 1 2λ ψ1/2λ, y como ψ1/2λ es positiva, si escogemos c( ) de manera que c 1 2λ = − E0(λ) λ2 , concluimos que es el estado base de nuestro problema. Por [6], teorema 1.1, c(ε) → 0, cuando ε → 0. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 16. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Observaci´on A partir de ahora, por los argumentos anteriores, trabajaremos con la notaci´on ψε(x), para referirnos al estado base Ω(λ; x). Debemos tener presente las relaciones 2ε = 1 λ y ψε = eφε/2ε . Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 17. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Para obtener la demostraci´on del teorema 2.1, estudiaremos el comportamiento de las soluciones φε de la ecuaci´on con viscosidad (3.2), cuando ε → 0, de manera que podamos obtener subsucesiones que convergen uniformemente a una soluci´on de viscosidad φ de la ecuaci´on (3.1). Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 18. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Definici´on Una funci´on continua φ : Rn → R se dice soluci´on de viscosidad (hacia el futuro) de la ecuaci´on (3.1) si satisface las siguientes propiedades: 1 Si v ∈ C1 y φ − v tiene un m´aximo local en x0 entonces 1 2 |Dv(x0)| 2 − V (x0) ≤ 0. (4.1) 2 Si v ∈ C1 y φ − v tiene un m´ınimo local en x0 entonces 1 2 |Dv(x0)| 2 − V (x0) ≥ 0. (4.2) Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 19. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Proposici´on ([1], Proposici´on 1.3) 1 Si φ ∈ C(Rn ) es una soluci´on cl´asica de (3.1), es decir, es diferenciable en todo x ∈ Rn y satisface 1 2 |Dφ(x)| 2 − V (x) = 0, entonces es una soluci´on de viscosidad de (3.1). 2 Si φ ∈ C1 (Rn ) es una soluci´on de viscosidad de (3.1), entonces es una soluci´on cl´asica de (3.1). Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 20. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Proposici´on Si φ ∈ C(Rn ) es una soluci´on de viscosidad de (3.1), entonces 1 2 |Dφ(x)| 2 − V (x) = 0 en cualquier punto x ∈ Rn donde φ es diferenciable. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 21. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Una ´ultima caracterizaci´on de las soluciones de viscosidad es la siguiente: Proposici´on Una funci´on φ es una soluci´on de viscosidad hacia el futuro de (3.1) si y solo si resuelve el siguiente problema de punto fijo, para toda x ∈ Rn , t ≥ 0, φ(x) = sup γ:[0,t]→Rn,γ(0)=x {φ(γ(t)) − t 0 1 2 |˙γ(s)| 2 + V (γ(s))ds} (4.3) donde el supremo se toma sobre las curvas C1 a trozos. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 22. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Observaci´on Esta f´ormula es conocida como de Lax-Oleinik, el cual se obtiene del m´etodo de programaci´on din´amica.(Veas´e [5], [2] cap´ıtulo 3, [1] secci´on 1.5) Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 23. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Lema ([4], [7]) φ(x) = − m´ın {ρ(x, a), ρ(x, b)} . Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 24. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema La soluci´on a la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi con viscosidad (3.2) puede ser caracterizada por una f´ormula variacional an´aloga a (4.3). En el caso viscoso, necesitamos introducir un espacio de probabilidad (Ω, F, P) dotado de un un movimiento Browniano W (t) : Ω → Rn . Denotaremos por E la esperanza con respecto a la medida de probabilidad P. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 25. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema La soluci´on a la ecuaci´on (3.2) satisface la Definici´on (F´ormula Estoc´astica de Lax) φε(x) = sup v E φε(Xε(τ)) − τ 0 1 2 |v(s)| 2 + V (Xε(s))ds − c(ε)τ , donde v es un control admisible progresivamente medible, τ es un tiempo de paro finito y Xε es la soluci´on de la ecuaci´on diferencial estoc´astica dXε(t) = v(t)dt + (2ε)dW (t) Xε(0) = x (5.1) que se deduce del lema 3.1 en [3]. Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 26. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema El siguiente lema se demuestra usando la F´ormula de Lax y la ´ultima hipotesis que introdujimos, es decir, que V es semiconcavo. Lema Existe una subsuceci´on {φεn } ∞ n=0 , de manera que εn∆φεn (x) + 1 2 |Dφεn (x)| 2 − V (x) = c(εn), de manera que l´ım εn→0 φεn (x) = φ(x). (5.2) Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 27. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Ahora bien, por el lema 5.1, sabemos que para alguna subsucesi´on {εn} φ(x) = l´ım εn→0 φεn(x). Pero φεn(x) = 2εn ln ψεn . Recordemos que ψεn es, en este contexto, igual el estado base Ω(λ; x) del operador de Schr¨odinger, dado por la ecuaci´on (2.1). Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 28. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Entonces φεn = 1 λ Ω(λ; x). Como εn → 0 es equivalente a λn = 1 2εn → ∞, sabemos que existe una subsucesi´on {λn} , de manera que, l´ım λn 1 λn Ω(λn; x) = φ(x). Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 29. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Usando el lema 4.4, obtenemos l´ım λn→∞ 1 λn Ω(λn; x) = − m´ın {ρ(x, a), ρ(x, b)} . Pero esto quiere decir, bajo las hipotesis (A1)-(A4), adem´as de suponer que la funci´on V : Rn → R es semiconcava, hemos demostrado que l´ım sup λ→∞ 1 λ Ω(λ; x) = − m´ın (ρ(x, a), ρ(x, b)) . Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico
  • 30. ´Indice Planteamiento del problema La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Soluciones de viscosidad La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones Demostraci´on del teorema Bardi, Mario; Capuzzo-Dolcetta, Italo; Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations; Modern Birkh¨auser Classics, 1997. Evans, Lawrence; Partial Differential Equations; American Mathematical Society. Fleming, W., Soner, M.; Controlled Markov Processes and Viscosity Solution; Springer, 1993. Ichihara, Naoyuki; Ishii, Hitoshi; Long-time Behavior of Solutions of Hamilton-Jacobi Equations with Convex and Coercive Hamiltonians; Arch. Rational Mech. Anal. 194 (2009) 383-419. S´anchez-Morgado, H´ector, et.al.; Physical solutions of the Hamilton-Jacobi Equation; Discrete and Continuous Dynamical Systems- Series B, Vol. 5, No. 3; 2005, pag 513-528. Simon, Barry; Semiclassical analysis of low lying eigenvalues, II. Tunneling; Annals of Mathematics, 120(1984), pag 89-118. Wong, R.; Asymptotic Approximations of Integrals; SIAM, 2001.Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico