Aplicaciones del Control Estocástico al Análisis Semiclásico

Índice
Planteamiento del problema
La Ecuación de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La Fórmula Estocástica de Lax y Estimaciones
Demostración del teorema
Aplicaciones del Control Estocástico al Análisis
Semiclásico
Juliho David Castillo Colmenares
Depto. de Matemáticas, CINVESTAV
Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estocástico al Análisis Semiclásico

Índice
Índice
1 Planteamiento del problema
2 La Ecuación de Hamilton-Jacobi
3 Soluciones de viscosidad
4 La Fórmula Estocástica de Lax y Estimaciones
5 Demostración del teorema

Índice
Los resultados que a continuación se presentan pueden encontrarse en el
art´ıculo de exposición “Aplicaciones del Control Estocástico al Análisis
Semiclásico”, publicado en Aportaciones Matemáticas, Memorias 45
(2012) pag. 69-96.

Índice
En este art´ıculo, discutimos el l´ımite de las soluciones diferenciables de la
ecuación de Hamilton-Jacobi con viscosidad, caracterizadas por la
Fórmula estocástica de Lax, que converjen a una solución de viscosidad
de la ecuación de Hamilton-Jacobi. Las soluciones de la ecuación de
Hamilton-Jacobi con viscosidad están relacionadas con las soluciones del
la ecuación de Schrödinger y determinan el comportamiento clásico a
partir del cuántico.

Índice
Consideremos el operador de Schrödinger
H(λ) : L2
(Rn
) → L2
(Rn
),
definido por
H (λ) = −
1
2
∆ + λ2
V (x), (2.1)
donde λ es un parametro (real) y ∆ es el operador de Laplace. Para
ψ ∈ L2
(Rn
),
[H(λ)ψ](x) = −
1
2
(∆ψ)(x) + λ2
V (x)ψ(x).

Índice
Supondremos que el potencial V : Rn
→ R cumple las siguientes
hipótesis:
(1) V es C∞
y no negativa;
(2) l´ım x →∞ V (x) = ∞;
(3) V se anula exactamente en dos puntos a, b y ∂2
V /∂xi ∂xj es una
matriz no singular para x = a, b.
(4)
l´ım inf
λ→∞
( ja(Ω0)(λ) 2 jb(Ω0(λ)) 2) > 0,
donde · 2 es la norma en L2
(Rn
) y para k = a, b, jk : Rn
→ R es
una función caracter´ıstica.
(5) ∆V esta acotado, lo que es equivalente a que V : Rn
→ R sea
semiconcavo.

´Indice
El conjunto de todos los eigenvalores de H(λ), llamado espectro y
denotado por σ(H(λ)), es puramente discreto.
E0(λ) ≡´ınf σ(H(λ)) es un eigenvalor, al cual llamaremos nivel m´ınimo de
energ´ıa, mientras que al primer eigenvalor E1(λ) > E0(λ) le llamaremos
energ´ıa del primer estado excitado.

Índice
El nivel m´ınimo de energ´ıa tiene asociada una única eigenfunción
Ω0(λ) : Rn
→ Rn
, que se conoce como estado base. Dicha eigenfunción
es positiva y no degenerada. Por lo que E0 tambien es conocida como
“energ´ıa del estado base”.
Observación
Pediremos Ω0(λ) este normalizado, es decir, Ω0(λ) 2 = 1, donde · 2 es
la norma en L2
(Rn
).

Índice
Definición (Métrica de Agmon)
∀x, y ∈ Rn
, definimos la métrica de Agmon como
ρ(x, y) = ´ınf
γ∈Γx,y
1
2
T
0
|˙γ(s)|2
ds +
T
0
V (γ(s))ds (2.2)
donde
Γx,y := {γ : [0, T] → Rn
|T > 0, γ ∈ AC[0, T], γ(0) = x, γ(T) = y} ,
y AC[0, T] es el conjunto de funciones absolutamente continuas en [0, T].

Índice
El resultado principal del art´ıculo es una demostración alternativa del
siguiente teorema
Teorema
Si se satisfacen las hipótesis (1)-(4), y si suponemos que el potencial V
es semiconcavo, entonces para cualquier x
l´ım sup
λ→∞
1
λ
ln |Ω0(λ; x)| = − m´ın {ρ (x, a) , ρ (x, b)} ,
siendo este l´ımite uniforme en subconjuntos compactos.

´Indice
En nuestro problema, trabajamos con un Lagrangiano L : Rn
× Rn
→ R
de la forma
L(x, v) =
1
2
|v|2
+ V (x)
con el Hamiltoniano H : Rn
× Rn
→ R asociado
H(x, p) =
1
2
|p|2
− V (x)
donde V : Rn
→ R.

Índice
La ecuación de Hamilton-Jacobi
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = 0 (3.1)
tiene soluciones φ : Rn
→ R, las cuales no son soluciones clásicas, y que
en este contexto llamaremos soluciones de viscosidad que, de hecho,
dependen de los valores en a y b.

Índice
Consideremos ahora la
Definición (Ecuación de Hamilton Jacobi con viscosidad)
ε∆φ(x) +
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = c(ε), (3.2)
donde el parametro ε es el coeficiente de viscosidad.

Índice
Si φε es una solución de (3.2), entonces exp(φε/2ε) es una solución de la
Definición (Ecuación de Schröndinger)
2ε2
∆ψ − V (x)ψ = c(ε)ψ. (3.3)

´Indice
Considere ahora la sustituci´on ε = 1/2λ, de la cual obtenemos (con
algunas manipulaciones algebraicas)
−
1
2
∆ + λ2
V (x) ψ1/2λ = −λ2
c
1
2λ
ψ1/2λ,
y como ψ1/2λ es positiva, si escogemos c( ) de manera que
c
1
2λ
= −
E0(λ)
λ2
,
concluimos que es el estado base de nuestro problema.
Por [6], teorema 1.1, c(ε) → 0, cuando ε → 0.

Índice
Observación
A partir de ahora, por los argumentos anteriores, trabajaremos con la
notación ψε(x), para referirnos al estado base Ω(λ; x). Debemos tener
presente las relaciones 2ε = 1
λ y ψε = eφε/2ε
.

Índice
Para obtener la demostración del teorema 2.1, estudiaremos el
comportamiento de las soluciones φε de la ecuación con viscosidad (3.2),
cuando ε → 0, de manera que podamos obtener subsucesiones que
convergen uniformemente a una solución de viscosidad φ de la ecuación
(3.1).

Índice
Definición
Una función continua φ : Rn
→ R se dice solución de viscosidad (hacia el
futuro) de la ecuación (3.1) si satisface las siguientes propiedades:
1 Si v ∈ C1
y φ − v tiene un máximo local en x0 entonces
1
2
|Dv(x0)|
2
− V (x0) ≤ 0. (4.1)
2 Si v ∈ C1
y φ − v tiene un m´ınimo local en x0 entonces
1
2
|Dv(x0)|
2
− V (x0) ≥ 0. (4.2)

Índice
Proposición ([1], Proposición 1.3)
1 Si φ ∈ C(Rn
) es una solución clásica de (3.1), es decir, es
diferenciable en todo x ∈ Rn
y satisface
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = 0,
entonces es una solución de viscosidad de (3.1).
2 Si φ ∈ C1
(Rn
) es una solución de viscosidad de (3.1), entonces es
una solución clásica de (3.1).

Índice
Proposición
Si φ ∈ C(Rn
) es una solución de viscosidad de (3.1), entonces
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = 0
en cualquier punto x ∈ Rn
donde φ es diferenciable.

Índice
Una última caracterización de las soluciones de viscosidad es la siguiente:
Proposición
Una función φ es una solución de viscosidad hacia el futuro de (3.1) si y
solo si resuelve el siguiente problema de punto fijo, para toda
x ∈ Rn
, t ≥ 0,
φ(x) = sup
γ:[0,t]→Rn,γ(0)=x
{φ(γ(t)) −
t
0
1
2
|˙γ(s)|
2
+ V (γ(s))ds} (4.3)
donde el supremo se toma sobre las curvas C1
a trozos.

Índice
Observación
Esta fórmula es conocida como de Lax-Oleinik, el cual se obtiene del
método de programación dinámica.(Veasé [5], [2] cap´ıtulo 3, [1] sección
1.5)

´Indice
Lema ([4], [7])
φ(x) = − m´ın {ρ(x, a), ρ(x, b)} .

Índice
La solución a la ecuación de Hamilton-Jacobi con viscosidad (3.2) puede
ser caracterizada por una fórmula variacional análoga a (4.3).
En el caso viscoso, necesitamos introducir un espacio de probabilidad
(Ω, F, P) dotado de un un movimiento Browniano W (t) : Ω → Rn
.
Denotaremos por E la esperanza con respecto a la medida de
probabilidad P.

Índice
La solución a la ecuación (3.2) satisface la
Definición (Fórmula Estocástica de Lax)
φε(x)
= sup
v
E φε(Xε(τ)) −
τ
0
1
2
|v(s)|
2
+ V (Xε(s))ds − c(ε)τ ,
donde v es un control admisible progresivamente medible, τ es un tiempo
de paro finito y Xε es la solución de la ecuación diferencial estocástica
dXε(t) = v(t)dt + (2ε)dW (t)
Xε(0) = x
(5.1)
que se deduce del lema 3.1 en [3].

Índice
El siguiente lema se demuestra usando la Fórmula de Lax y la última
hipotesis que introdujimos, es decir, que V es semiconcavo.
Lema
Existe una subsuceción {φεn
}
∞
n=0 , de manera que
εn∆φεn (x) +
1
2
|Dφεn (x)|
2
− V (x) = c(εn),
de manera que
l´ım
εn→0
φεn
(x) = φ(x). (5.2)

Índice
Ahora bien, por el lema 5.1, sabemos que para alguna subsucesión {εn}
φ(x) = l´ım
εn→0
φεn(x).
Pero
φεn(x) = 2εn ln ψεn
.
Recordemos que ψεn
es, en este contexto, igual el estado base Ω(λ; x) del
operador de Schrödinger, dado por la ecuación (2.1).

´Indice
Entonces
φεn
=
1
λ
Ω(λ; x).
Como εn → 0 es equivalente a λn = 1
2εn
→ ∞, sabemos que existe una
subsucesi´on {λn} , de manera que,
l´ım
λn
1
λn
Ω(λn; x) = φ(x).

Índice
Usando el lema 4.4, obtenemos
l´ım
λn→∞
1
λn
Ω(λn; x) = − m´ın {ρ(x, a), ρ(x, b)} .
Pero esto quiere decir, bajo las hipotesis (A1)-(A4), además de suponer
que la función V : Rn
→ R es semiconcava, hemos demostrado que
l´ım sup
λ→∞
1
λ
Ω(λ; x) = − m´ın (ρ(x, a), ρ(x, b)) .

Índice
Bardi, Mario; Capuzzo-Dolcetta, Italo; Optimal Control and
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