Relaciones

Unidad 4.- Relaciones
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 1
Relaciones entre conjuntos
Parejas ordenadas
El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo:
{3, 5} = {5, 3}
Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de los cuales uno designa el
primer elemento, y el otro, el segundo. Tal pareja ordenada se escribe (a, b), en donde a es el
primer elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y
solamente si a = c y b = d.
Producto cartesiano
Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en
donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B.
La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos
conjuntos.
Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de
pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo
elemento al segundo conjunto. Es decir:
A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}
El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.
Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.
EJEMPLO
Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}
Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a
continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de números reales y
viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x en a, y la línea horizontal a través de P
encuentra el eje y en b. A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano.
a b c A
B
4
3
2
1

Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica, donde se
destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los puntos que pertenecen a B. Se trazan
flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su
correspondiente en el conjunto B. A esta representación gráfica se le conoce como un diagrama
de flechas.
Correspondencias y aplicaciones entre conjuntos1
A partir de la definición de producto cartesiano, introduciremos las relaciones más importantes
que se pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos dados.
Correspondencias
Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia ƒ entre A y B a un subconjunto del
producto cartesiano de A por B.
Al conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y se representa
por G.
Se definen también los siguientes conjuntos:
• El conjunto A es el conjunto inicial o conjunto de partida, que es del que salen las
flechas.
• El conjunto B es el conjunto final o conjunto de llegada, que es al que llegan las
flechas.
• El conjunto original es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial de
los que parte alguna flecha. Por tanto, el conjunto original está incluido en el conjunto
inicial.
• El conjunto imagen es el conjunto formado por los elementos del conjunto final a los
que llega alguna flecha. Por tanto, el conjunto imagen está incluido en el conjunto
final.
1
El símbolo ∇ se lee “para cada”, “para toda” o “para cualquier”
El símbolo ∃ se lee “existe” o “para alguna”
El símbolo ∴ se lee “por lo tanto” igualmente que el símbolo ├
El símbolo ≡ se lee “lógicamente equivalente” o “sencillamente iguales”
• 1
• 2
• 3
• 4
a•
b•
c•
A B

EJEMPLO
Si A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, y un grafo G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos que
G es un subconjunto de A x B, es decir, G ⊂ (A x B).
La correspondencia está representada gráficamente en:
a) un diagrama cartesiano.
b) Un diagrama de flechas.
• El conjunto inicial es el conjunto A.
• El conjunto final es el conjunto B.
• El conjunto original es: Orig (ƒ) = {a, b, c}.
• El conjunto imagen es: Im (ƒ) = {2, 3, 4}.
Dados dos conjuntos A y B, y una correspondencia ƒ entre ellos, se denomina correspondencia
inversa o recíproca de ƒ, y se representa por ƒ-1
, a la correspondencia que asocia a los elementos
del conjunto final con los del conjunto inicial de ƒ; es decir, tiene como conjunto original el
conjunto imagen de ƒ, y como conjunto imagen el conjunto original de ƒ.
• 1
• 2
• 3
• 4
a•
b•
c•
A B
a b c A
B
4
3
2
1

EJEMPLO
Tipos de correspondencia
1. Correspondencia en o inyectiva: Una correspondencia ƒ es inyectiva cuando cada
elemento del conjunto imagen es imagen de un solo elemento del conjunto original; es decir,
a cada elemento del conjunto final puede llegarle una o ninguna flecha.
ƒ inyectiva ⇔ ∇ y1, y2 ∈ B, donde y1 = ƒ(x1), y2 = ƒ(x2), si y1 = y2 ⇒ x1 = x2, ∇ x1, x2 ∈ A
Ejemplo:
2. Correspondencia sobre o suprayectiva o exhaustiva: Una correspondencia ƒ es sobre
cuando el conjunto imagen coincide con el conjunto final; es decir, cuando todo elemento
del conjunto final es imagen de al menos uno del inicial.
1 •
2 •
3 •
4 •
• a
• b
• c
A B
ƒ
• 1
• 2
• 3
• 4
a•
b•
c•
B A
ƒ-1
1 •
2 •
3 •
4 •
• a
• b
• c
A B
ƒ
1 •
2 •
3 •
4 •
• a
• b
• c
A B
ƒ

3. Correspondencia unívoca: Una correspondencia ƒ es unívoca cuando cada elemento del
conjunto original tiene como máximo una imagen; es decir, de cada elemento del conjunto
inicial puede partir una o ninguna flecha al conjunto final.
4. Correspondencia multívoca: Una correspondencia ƒ es multívoca cuando existe algún
elemento del conjunto inicial con dos o más imágenes.
5. Correspondencia biunívoca: Una correspondencia unívoca ƒ entre dos conjunto A y B es
biunívoca cuando su correspondencia inversa ƒ-1
también es unívoca.
1 •
2 •
3 •
4 •
• a
• b
• c
A B
ƒ
1 •
2 •
3 •
4 •
• a
• b
• c
A B
ƒ
• 1
• 2
• 3
• 4
a•
b•
c•
B A
ƒ-1
1 •
2 •
3 •
4 •
• a
• b
• c
A B
ƒ

Aplicaciones
Una aplicación es una correspondencia unívoca donde el conjunto original coincide con el
conjunto inicial. Es decir, de cada elemento del conjunto inicial parte una y solo una imagen al
final.
Simbólicamente podemos expresarlo diciendo que una aplicación es una correspondencia
que cumple las dos condiciones siguientes:
1. ∇ x ∈ A, ∃ y ∈ B / ƒ(x) = y
2. ∇ x1, x2 ∈ A, si x1 = x2 ⇒ ƒ(x1) = ƒ(x2)
Luego el concepto de aplicación es una condición más restrictiva que el concepto de
correspondencia.
♦Clases de aplicaciones
1. Aplicación inyectiva: Es aquella en la que a cada elemento del conjunto imagen le
corresponde a uno y sólo a un elemento del conjunto original; es decir, cada elemento del
conjunto final es imagen de al menos un elemento del conjunto original.
2. Aplicación suprayectiva o exhaustiva: Es la aplicación que verifica que el conjunto
final es igual a su conjunto imagen.
1 •
2 •
3 •
• a
• b
• c
• d
A B
ƒ
1 •
2 •
3 •
4 •
• a
• b
• c
A B
ƒ

3. Aplicación biyectiva: Es la aplicación que a la vez es inyectiva y suprayectiva.
Obsérvese que en este caso, si los dos conjuntos son finitos, deben tener el mismo
cardinal.
Relaciones
Una relación puede pensarse como una tabla que enumera la relación de algunos elementos con
otros.
Estudiante Curso
Guillermo Ciencias de la computación
Mary Matemáticas
Guillermo Historia del arte
Beatriz Administración
Beatriz Ciencias de la computación
David Matemáticas
La tabla anterior muestra cuáles estudiantes están asistiendo a cuáles cursos. Por ejemplo,
Guillermo está cursando Ciencias de la computación e Historia del arte, y Mary está cursando
Matemáticas. En la terminología de las relaciones, podríamos decir que Guillermo está
relacionado con Ciencias de la computación e Historia del arte, y que Mary está relacionada con
Matemáticas.
Por supuesto, la tabla nos muestra tan sólo un conjunto de pares ordenados. De manera abstracta,
definimos una relación como un conjunto de pares ordenados. En este contexto, consideramos
que el primer elemento del par ordenado se relaciona con el segundo elemento del par ordenado.
Si una relación se indica mediante una tabla, el dominio está formado por los miembros de la
primera columna y el rango consta de los miembros de la segunda columna.
Una relación R de un conjunto X en un conjunto Y es un subconjunto del producto
cartesiano X x Y. Si (x, y) ∈ R, escribimos x R y y decimos que x está relacionado con
y.
Si X = Y, decimos que R es una relación binaria sobre X.
1 •
2 •
3 •
• a
• b
• c
A B
ƒ

Relación binaria
La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A x A.
EJEMPLO
Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relación binaria
definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A x A.
Se dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, “a está relacionado con b
mediante la relación binaria R”, cuando el par ordenado (a, b) pertenece al subconjunto del
producto cartesiano que define la relación.
Si dos elementos a y b no están relacionados mediante R en algún sentido, escribiremos a R b o
b R a o ambas cosas.
Propiedades de una relación binaria
Las principales propiedades que puede presentar una relación binaria R definida en un conjunto A
se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones.
Propiedad Condición
1. Reflexiva ∇ a ∈ A, a R a
2. Antireflexiva ∇ a ∈ A, a R a
3. Simétrica ∇ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a
4. Antisimétrica en sentido amplio ∇ a, b ∈ A, ( a R b y b R a) ⇒ a = b
5. Antisimétrica en sentido estricto ∇ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a
6. Transitiva ∇ a, b, c ∈ A, (a R b y b R c) ⇒ a R c
En un diagrama de flechas las propiedades anteriores pueden observarse fácilmente atendiendo a
los siguientes criterios:
x
yz

1. Reflexiva. Cada elemento tiene un bucle.
Ejemplo:
Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser igual que”, se tiene:
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
2. Anterreflexiva. Ningún elemento tiene un bucle.
Ejemplo:
Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser menor que”, se tiene:
R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
3. Simétrica. Cada flecha de ida tiene otra de vuelta.
Ejemplo:
Si A = {-1, 2, -3, 4} y R es tal que ∇ a, b ∈ A, a R b ⇔ a ⋅ b > 0, se tiene:
R = {(-1, -1), (-1, -3), (2, 2), (2, 4), (-3, -1), (-3, -3), (4, 2), (4, 4)}
1
3
2
4
1 2
3 4
2-1
-3
4

4. Antisimétrica en sentido amplio. Ninguna flecha de ida tiene otra de vuelta, salvo en el
caso de los bucles, que están permitidos.
Ejemplo:
Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser menor o igual que”, se tiene:
R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
5. Antisimétrica en sentido estricto. Ninguna flecha de ida tiene otra de vuelta, y no están
permitidos los bucles.
Ejemplo:
Si A = {5, 7, 10} y R es la relación “ser menor que”, se tiene:
R = {(5, 7), (5, 10), (7, 10)}
6. Transitiva. Siempre que haya dos
flechas consecutivas, debe haber
otra que una el primer elemento con el tercero.
Ejemplo:
Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser mayor que”,
se tiene:
R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
21
3
4
5
107
1 2
3 4

Relación de equivalencia
Una relación binaria R es una relación de equivalencia definida en un conjunto A, si cumple las
propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Así, en el plano euclídeo considerando el conjunto de todas las rectas, la relación R “ser
paralela a” es una relación de equivalencia. Comprobémoslo:
a) Reflexiva: a || a, puesto que cualquier recta es paralela a sí misma.
b) Simétrica: si a || b, entonces b || a.
c) Transitiva: si a || b y b || c, entonces a || c.
Luego por cumplir las tres propiedades anteriores es una relación de equivalencia.
Clases de equivalencia, conjunto cociente
Dada una relación de equivalencia R definida en un conjunto A, si a ∈ A se llama clase de
equivalencia de a y se denota por [ a ], al subconjunto formado por todos los elementos de A
relacionados con a por la relación de equivalencia R.
[ a ] = {x / x ∈ A y x R a}
♦Propiedades de las clases de equivalencia
a) Ninguna clase equivalencia es vacía. Porque a cualquier clase [ a ] pertenece al menos el
elemento a. Simbólicamente:
∇ [ a ] ⊂ A, a ∈ A ⇒ a ∈ [ a ]
b) Las clases de equivalencias son disjuntas de dos a dos. Lo demostraremos por reducción
al absurdo. Supongamos dos clases no disjuntas y diferentes [ a ] y [ b ], con lo que:
x ∈ [ a ] x R a (1) a R x (2)
[ a ] ∩ [ b ] ≠ ∅ ⇒ ∃ x ∈ [ a ] ∩ [ b ] ⇒ ⇒ ⇒ a R b ⇒ [ a ] = [ b ]
x ∈ [ b ] x R b x R b
Donde en (1) hemos aplicado la propiedad simétrica y en (2) la propiedad transitiva, ya
que es una relación de equivalencia.
Y hemos llegado a que ambas clases son iguales, en contra de la hipótesis. Luego han de
ser [ a ] y [ b ] disjuntas, con [ a ] ≠ [ b ].
c) Todo elemento de A pertenece a alguna clase de equivalencia. Esto es porque todo
elemento de x de A pertenece al menos a su propia clase. Simbólicamente:
∇ x ∈ A ⇒ x ∈ [ a ]

d) La unión de todas las clases de equivalencia en un conjunto A es el propio conjunto A:
clase1 ∪ clase2 ∪ … ∪ clasen = A
Una relación de equivalencia clasifica al conjunto en el que está definida, en clases de
equivalencia.
Se llama conjunto cociente de A respecto a la relación R, y se representa por A / R, al
conjunto formado por todas sus clases de equivalencia.
Ejemplo
Sea el conjunto A = {a, b, c, d, e, f} con
la relación de equivalencia R, dada en el
grafo de la derecha:
Hallamos la clase de equivalencia de cada elemento:
[ a ] = {a} [ d ] = {d, e, f}
[ b ] = {b, c} [ e ] = {d, e, f}
[ c ] = {b, c} [ f ] = {d, e, f}
Y las clases de equivalencia resultan:
clase1 = {a}, clase2 = {b, c} y clase3 = {d, e, f}
Obsérvese que cualquier elemento de la clase puede ser elegido como representante de la misma,
lo que gráficamente se puede comprobar en la figura a continuación.
a
ed
F
c
b
ed
F
c
b
a
Clase1
Clase2
Clase3

Luego el cociente es:
A / R = {clase1, clase2, clase3} = {{a}, {b, c}, {d, e, f}} = {[ a ], [ b ], [ d ]}
Relaciones de orden
Una relación binaria R es una relación de orden amplio si cumple las propiedades reflexiva,
antisimétrica en sentido amplio y transitiva.
Una relación binaria R es una relación de orden estricto si cumple las propiedades
antirreflexiva, antisimétrica en sentido estricto y transitiva.
Una relación binaria R es una relación de orden total si dos elementos cualesquiera están
relacionados en cualquier sentido.
Es decir:
∇ a, b ∈ A, a R b o b R a
Si una relación no es de orden total, se dice que es de orden parcial.
Ejemplo1:
La relación R “ser menor o igual que” definida en un conjunto numérico A, es una relación de
orden amplio, y además de orden total.
Si tomamos:
A = {1, 3, 4, 8}
La relación está formada por:
R = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 8), (3, 3), (3, 4), (3, 8), (4, 4), (4, 8), (8, 8)}
Cuya representación en un diagrama de flechas viene dada en la siguiente figura.
31
4
8

Ejemplo2:
La relación R “ser divisor de” definida en un conjunto numérico A, es una relación de orden
amplio, y también de orden parcial.
Si tomamos:
A = {1, 3, 4, 8}
Como a es divisor de b, si el cociente de b/a es entero, la relación está formada por:
R = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 8), (3, 3), (4, 4), (4, 8), (8, 8)}
Cuya representación en un diagrama de flechas viene dada en la siguiente figura.
Veamos los ejercicios siguientes:
Ejercicio 1: Dados los conjuntos:
A = {1, 3} ; B = {a, b, 3} ; C = {b}
Encontrar.
a) A x B.
b) (A ∪ B) x C.
c) A x B x C (como ejemplo de generalización del producto cartesiano que hemos definido).
a) A x B = {(1, a), (1, b), (1, 3), (3, a), (3, b), (3, 3)}.
b) (A ∪ B) x C = {1, 3, a, b} x {b}= {(1, b), (3, b), (a, b), (b, b)}
c) A x B x C = {(1, a), (1, b), (1, 3), (3, a), (3, b), (3, 3)} x {b} =
= {(1, a, b), (1, b, b), (1, 3, b), (3, a, b), (3, b, b), (3, 3, b)}
Ejercicio 2: Dado C = {a, b, c} y la relación R = {(a, a), (a, b), (b, a)}, se pide:
a) Dibujar su diagrama de flechas.
b) Dibujar su diagrama cartesiano.
c) Determinar qué propiedades cumple.
d) ¿Es una relación de equivalencia?
e) Encontrar el conjunto cociente.
31
4
8

a) Dibujar su diagrama de flechas.
b) Dibujar su diagrama cartesiano.
c) Determinar qué propiedades cumple.
• Reflexiva: No es, puesto que b R b y c R c.
• Antirreflexiva: No es, pues a R a.
• Simétrica: Sí es, pues toda flecha de ida tiene otra de vuelta.
• Antisimétrica: No es, ni en sentido amplio ni estricto, pues en el caso de a R b,
también b R a y a ≠ b.
• Transitiva: No es, pues aunque a R b, y b R a implicaría a R a, y efectivamente, a
está relacionado con a, sin embargo, también ocurre que b R a y a R b ⇒ b R b.
d) ¿Es una relación de equivalencia?
No es una relación de equivalencia, pues únicamente cumple la propiedad simétrica,
pero no así la reflexiva ni la transitiva.
e) Encontrar el conjunto cociente.
El conjunto cociente no puede hallarse en este caso, ya que la relación no es de
equivalencia y, por tanto, carece de sentido este concepto.
a
c
b
a b c C
C
c
b
a

Ejercicio 3: Dada la relación binaria de la figura siguiente, se pide:
a) Estudiar sus propiedades.
b) Hallar el conjunto cociente.
a) Propiedades:
• Reflexiva: Sí es, ya que cualquier elemento está relacionado consigo mismo.
• Antirreflexiva: No es, puesto que a R a, por ejemplo.
• Simétrica: Sí es, pues toda flecha de ida tiene otra de vuelta.
• Antisimétrica: No es, ni en sentido amplio ni estricto, pues en el caso de b R c,
también c R b y b ≠ c.
• Transitiva: Sí es, pues dentro del triángulo b, c, d, dos flechas consecutivas de ida
tienen otra que une el punto de origen y el final.
Por tanto, es relación de equivalencia.
b) Puesto que es relación de equivalencia, podemos hallar su conjunto cociente. Hallando la
clase de equivalencia de cada elemento tenemos:
[ a ] = {a} [ d ] = {b, c, d}
[ b ] = {b, c, d} [ e ] = {e}
[ c ] = {b, c, d}
Y las clases de equivalencia resultan ser las tres siguientes:
clase1 = {a}, clase2 = {b, c, d} y clase3 = {e}
Luego el conjunto cociente es:
A / R = {clase1, clase2, clase3} = {{a}, {b, c, d}, {e}} = {[ a ], [ b ], [ e ]}
d
cb
a
e
Clase1
Clase2
Clase3

Ejercicio 4: Estudiar las propiedades de la relación R “ser perpendicular a” definida en el
conjunto P de las rectas del plano.
• Reflexiva: No, cualquier recta no es perpendicular a sí misma.
• Antirreflexiva: Sí, puesto que ninguna recta es perpendicular a ella misma.
• Simétrica: Sí, pues si a ⊥ b, entonces, b ⊥ a.
• Antisimétrica: No es, ni en sentido amplio ni estricto, pues en el caso a ⊥ b, también,
b ⊥ a (con a ≠ b).
• Transitiva: No, pues si (a ⊥ b) y (b ⊥ a), no se cumple (a ⊥ c), ya que las rectas a y c
serían paralelas.
Obsérvese que cuando una relación binaria no cumple la propiedad antisimétrica en sentido
amplio, ya no es necesario probar la antisimétrica en sentido estricto, pues si se cumpliera esta
última implicaría el cumplimiento de la primera.

Ejercicios de repaso para la unidad 4
1. Sea R la siguiente relación de A = {1, 2, 3} en B = {a, b}. R = {(1, a), (1, b), (3, a)};
Representar R como un diagrama cartesiano, un diagrama de flechas y como una tabla
binaria.
2. Sea R = {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (3,2), (3, 4), (4, 1), (4, 3)}; dibuje un grafo considerando
que el conjunto A = {1, 2, 3, 4}.
3. Considere las siguientes relaciones en el conjunto A = {1, 2, 3}
f = {(1, 3), (2, 3), (3, 1)}
g = {(1, 2), (3, 1)}
h = {(1, 3), (2, 1), (1, 2), (3, 1)}
Indique en cada una de ellas si es una aplicación o no y porqué.
4. Sea A = {1, 2, 3} y la relación R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3,2), (3,3)};
determinar si es una relación de equivalencia.
5. Dado A = {1, 2, 3, 4} y B = {x, y, z}. considere la siguiente relación de A en B.
G = {(1, y), (1, z), (3, y), (4, x), (4, z)}
a) Grafique G en un diagrama de coordenadas.
b) Dibuje el diagrama de flechas de G.
c) Encuentre la relación inversa ƒ-1
de G.
6. Sean A = {1, 2, 3, 4, 6} y R la relación definida por “x divide a y”, indicada como:
x⏐y. ( x⏐y si y solo si existe un entero z tal que xz = y).
a) Escriba R como un conjunto de parejas ordenadas.
b) Grafique R en un diagrama de flechas (A x A), y dibuje su grafo dirigido.
c) Encuentre la relación inversa R-1
de R y describa R-1
en palabras.
7. Considere las siguientes cinco relaciones en el conjunto A = {1, 2, 3}
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)}
S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}
T = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)}
∅ = la relación vacía
A x A = la relación universal
Determine si es verdadero o no que cada una de las relaciones anteriores es:
(a) reflexiva, (b) simétrica, (c) transitiva, (d) una relación de equivalencia.

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