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FUNCIONES IMPLICITAS

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Derivada, Funciones implicitas.

Publicado en: Educación
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FUNCIONES IMPLICITAS

  1. 1.  La derivada de la función implícita definida mediante la ecuación puede calcularse: o bien despejando la y , o bien, mediante la siguente formula: y`= __-Fx__ Fy, siempre que Fy =0  Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.  Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables definida mediante la ecuación puede calcularse mediante las fórmulas: _az_=_-Fx _ _az= _-fy_ ax Fz . Ay Fz siempre que
  2. 2.   Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.  Derivadas de funciones implícitas  Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar  miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:  x'=1.  En general y'≠1.  Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
  3. 3.  1. 6X-2Y=0 6-2Y`=0 Y`=3  2. x2+y2=0 2x+2yy=0 y`=_x_ y
  4. 4.  En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de varias variables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.  Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).  Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de entre las variables x e y:  Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática
  5. 5.  Sean f: ACRm+nRn una función (a,b) ER m+n continuamente diferenciable y cualquier vector tal que (a,b)=0. Considere (x,y)ERm+n y defina la matriz jacobiana y sobre esta considere que la submatriz que define (Dxf(a,b), es invertible. Entonces existen los conjuntos abiertos VCRm+n y WCRm con (a,b)EV y aEWtales que para cada uno existe un único tal que y lo que define una función que es continua y diferenciable.
  6. 6.  Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:  Dada una función de manera implícita en la ecuación F(x,y)=0 , si queremos calcular l  a derivada de y respecto de x , debemos considerar a y=f(x) como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la ecuación F(x,y)=0 queda, en virtud de la Regla de la Cadena:

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