Sabor Matemático Show presenta en su primera edición; Produto Cartesiano

1. Producto Cartesiano.

2. Producto Cartesiano
Se atribuye a René Descartes, filósofo,
matemático y científico francés.
Fundamentó su pensamiento filosófico
en la necesidad de tomar un "punto de
partida" sobre el que edificar todo el
conocimiento. En su faceta
matemática que le lleva a crear la
geometría analítica, también comienza
tomando un punto de partida: dos
rectas perpendiculares entre sí, que se
cortan en un punto denominado
"origen de coordenadas", ideando así
las denominadas coordenadas
cartesianas.

3. Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B., se representa A x B, al conjunto
de pares ordenados (a, b), tales que el primer componente de la pareja pertenece al
primer conjunto y el segundo componente al segundo conjunto.
Simbólicamente: A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}.
El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A; sólo se
cumple la igualdad si los conjuntos A y B son coincidentes.
Por ejemplo si: A = {a, b} y B = {1, 2},
A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}
B x A = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b)},
Queda claro que los conjuntos tienen elementos (parejas ordenadas) distintos.

4. Formas de Representación
Diagrama Cartesiano
Sean los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3,
4}, su producto cartesiano resulta:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b,
3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}
Se puede representar gráficamente por medio de
puntos en un plano, como se muestra a
continuación.
Cada punto P representa una pareja ordenada
(a, b) de valores y viceversa.
En el eje horizontal representamos los elementos
del primer conjunto y en el vertical los valores
del segundo conjunto.

5. Diagrama de flechas
Otra manera de visualizar, es a través de
una representación gráfica, donde se
destaquen los elementos que pertenecen al
conjunto A y los que pertenecen a B
(diagrama de VENN).
Se trazan flechas que indican la relación
que existe entre cada elemento del
conjunto A y su pareja en el conjunto B.

6. Diagrama de árbol
Consiste en escribir los
elementos según un orden
jerárquico partiendo de un
punto inicial, al que se
subordinan los elementos del
primer conjunto y a cada uno
de éstos los del segundo.

7. Relaciones y Funciones.

8. Relaciones.
Se define como relación o
correspondencia R entre los
conjuntos A y B, a un subconjunto
del producto cartesiano A x B,
compuesto por pares de
elementos que cumplen cierta
regla definida. Este puede estar
formado por un solo par
ordenado, varios, todos o ninguno
de los que forman parte de A x B,
por lo tanto:

9. Si (x,y) ∈ R se escribe x R y y se lee "x está en relación
con y".
Ejemplo 1:
Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.
R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.
A B
1
3
5
2
4
6
8

10. En otras palabras una relación es una correspondencia o
vinculo que se establece entre elementos de dos conjuntos
atendiendo a un enunciado formal o ley de correspondencia.
Ejemplo:
Si A= {1,2,4,6} y B= {1,2,4,5}
1) R: A B ‘’X+1=Y’’
X Y
A=1+1=2
2+1=3
4+1=5
6+1=7 2
3
5
7
1
2
4
5

11. Elementos de una
Relación
El conjunto A es el conjunto
Inicial o conjunto de Partida.
Los elementos de A que forman
parte de la relación son el primer
componente de las parejas; en el
diagrama de flechas es el de
donde parten las flechas.
El conjunto B es el conjunto
Final o conjunto de Llegada.
Los elementos de B que forman
parte de la relación son el
segundo componente de las
parejas; en el diagrama de flechas
es al que llegan las flechas.

12. Es el conjunto de los primeros elementos
de cada par ordenado. De cada elemento del
dominio sale por lo menos una flecha. O sea
que el Dominio es un subconjunto del
conjunto de Partida
A B
1
2
3
4
5
6
1
4
5
7
10
13
Dominio : (1,2);(3,4);(5,6)
Dominio

13. Imagen
Es el conjunto de los
segundos elementos de
cada par ordenado. En una
relación, a cada elemento
del conjunto Imagen llega
por lo menos una flecha.
1
2
7
4
5
6
7
8

14. Una aplicación
Es una ley de asignación entre dos conjuntos, que pueden ser numéricos o no.
Usaremos la flecha para indicar el sentido de la aplicación, es decir, cuál es el conjunto
origen y cuál el destino. Lo denotaremos s: X→Y
Con ello queremos expresar que la aplicación se asocia o relaciona los elementos de X
(origen) con los elementos de Y (destino)
En este ejemplo, la aplicación
relaciona los elementos de X
(números) con los de Y (letras).
Las flechas indican los elementos
emparejados entre sí:
s: 1→ b 2→ c 3→ d 4→ b

15. Función matemática
Es una aplicación entre dos conjuntos numéricos de
forma que a cada elemento del primer conjunto le
corresponde uno y sólo un elemento del segundo
conjunto:
f : X →Y
x -→ y = f(x)
Al conjunto X se le llama Dominio y al conjunto Y se
le llama Imagen.
Se debe cumplir:
a)todos los elementos de X están relacionados con
elementos de Y
b)a cada elemento x le corresponde un único
elemento y Y.

16. Elementos de una
función
Dominio: Conjunto de valores que toma la variable
independiente X.
Codominio: Conjunto de valores que puede tomar la
variable dependiente Y.
Rango o imagen: Conjunto de valores que
efectivamente toma la variable dependiente Y.

17. Clasificación de las funciones.
Inyectiva. Cuando no existen del conjunto de partida dos
elementos que tengan la misma imagen.
X Y
1
2
3
D
B
C
A

18. Sobreyectiva
Cuando cada elemento del conjunto de llegada es
imagen de al menos un elemento del conjunto de partida
X Y
1
2
3
4
D
B
C

19. Biyectiva
Es una función que es simultáneamente Inyectiva y Sobreyectiva;
es decir, que todos los elementos del conjunto de partida van
hacia otros elementos del conjunto de llegada.