bueno

1. © Dentro de un tanque cónico está entrando agua a razón constante de 3w / .veg .El radio
del cono es de 5m. y su altura de 4m. encontrar:
a) La velocidad con que asciende la superficie libre de agua.
b) La razón de cambio (0 variaciones) respecto al tiempo de la velocidad de subida
cuando la profundidad del agua es de 2m. (considere el vértice del cono hacia
abajo).
Solución
Datos del problema: = 3m ' / seg.
V t = (está aumentando).; H = 4 r = 5
a) El volumen del cono: V = -
3
por semejanza del triángulo AABC = AADE
/• 5 5h , 2 5 ^,3
—= — => r = — entonces V = ----- h
h 4 4 48
derivando implícitamente con respecto a t.
1 1

2. 646 Eduardo Espinoza Ramos
dV 75/r , -> dh _ 15n ^ dh
— -= ----- r — => 3= ------ ( 2 ) '—
di 48 dt 48 di
dh 12 / ,, u o— = ----- m / seg. cuando h = 2.
di 25n
b) Ahora calcularemos — (— ) =— ^-, cuando h = 2m
di di dl2
, dV 75 , , dh , 25 , , dh
como 3 — = — n Ir — => 3 = — n f r —
dt 48 di 16 dt
dh 48
di 257r/r
d-h 96 _ 96 12
d i2 ~ 25n h 3 ' d l ~ (25tt)(8) ' 25tt
dt- 25n
^5) Una lampara está a 15 pies sobre una recta horizontal. Si un hombre de 6 pies de altura
camina alejándose de la luz a razón de 5 pies/seg. ¿Con qué rapidez se alarga su sombra?
Solución
Datos del problema: h = 15 pies
dx
di
= 5pies/seg.
por semejanza de triángulos: AADE = AABC
V 6 2x . . . .
—:— = — => v = — derivando se tiene:
v +x 15•3
dv 2 dx dy 2 10 .
— = ------=> — = —(5 = — pies/seg.
di 3 di di 3 3
(T ) En una pila cónica se está dejando caer arena a razón de 10 pies Vmin. Si la altura de la
pila es siempre el doble del radio de la base. ¿En que razón aumenta la altura cuando la
pila tiene 8 pies de altura?

3. Aplicaciones de la Derivada 647
Solución
dV ,
Datos del problema: = lOpies /m in.
tcr 2h
h = 2r, Volumen de la pila cónica V =
implícitamente con respecto a t.
— f,2 — reemplazando cuando h = 8
di A di
1A 64;r dh dh 5 . , .
10 = ----------=> — = — pies/mia
4 di di 87r
© Un punto se mueve sobre la parte superior de la parábola semicúbica y 2 = .y3 de tal
manera que hace que su abscisa aumente 5 unidades por segundo cuando x = 4. ¿Con qué
rapidez cambia la ordenada?
Solución
Datos del problema: = 5u/seg. y = ?
como y2 = jr3derivando implícitamente con
respecto al tiempo t
2 — = 3x2 — , ahora para x = 4, y= 8 y — = 5
di dt dt
dv 7 dy
al reemplazar en la ecuación se tiene: 2(8) = — = 3(4) *(5) => — = 15 pies/seg.
dt dt
(ü) Un punto se mueve la parábola y 2 =12 x , de manera que la abscisa aumenta
uniformemente 2 cm/seg. En qué punto aumenta la abscisa y la ordenada a la misma
razón?

4. 648 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Se tiene: — = 2cm/seg
di
Hallar p(x, y) tal que — = —
di di
como y~ = 12x derivando implícitamente con
respecto a t.
~ dv dx dx dv
2 y — = 12-— com o— = —
" di dt dt dt
2 — = 12 —
di dt
•2y = 12 => y = 6 de donde x = 3 P(3, 6)
Se tiene un reloj de arena de 3 cm. de radio y 6cm. de altura. Se pasa la arena a un solo
lado y se voltea para que la arena comience a fluir a razón de 2cm3 / seg . Suponga que la
arena en la parte inferior forma un tronco de cono. Cuál es la velocidad de aumento de h
para una altura dada?
Solución
Haciendo un gráfico de los datos del problema:
Sea r el radio del cono como indica la figura
u-- • dV . 3 ..
también se tiene — = 2cm .seg. Ahora
dt
mediante la regla de la cadena: dV__dV^ dh^^
dt dh dt
para calcular — es necesario hallar una función
dt
que relacione V y h, y esto se obtiene por la
fórmula de la diferencia de los dos volúmenes de
conos.

5. Aplicaciones de la Derivada 649
V^K(3)26-^(Tc)r2(6-h) => V = 1 8 t t - ^ —(6-h)
, . . . . . . r 6 - h 6 - h
ahora por semejanza de triángulos se tiene: —= ------ => r =-------
3 6 2
F = 1 8 ;r - - ( — - ) 2 ( 6 - / ; ) = 18;r- — ( 6 - / i ) 3
3 2 12
dV n i k ■> dV dV dh - n 2 dh
— = ()+—(6 -//) = —(6-A ) com o:— = — .— => 2 = —(6- h ) —
dh 4 4 di dh di 4 di
dh 8 ,
— = ---------- - cm/seg.
dt 7T(6 —//)~
10J Un jugador golpea una bola de billar, haciéndola moverse en línea recta. Si “s” cm. es la
distancia de la bola desde su posición inicial a los t seg. entonces s = 100/2 +100/, si la
bola da en una banda que se encuentra a 39 cm. de su posición inicial. ¿A qué velocidad
pega en la banda?
Solución
Como s = 100/2 -i-100/ por datos del problema s = 39
=> 100/2 +100/ = 39 => tx =0.3, /2 =-1.3
el valor t2 = -1.3 por ser negativo no es para nuestro problema.
Además se conoce V =— = 200/ +100
dt
V(t) = 200t + 100 => V(0.3) = 60 + 100 = 160
Si una pelota es empujada hacia abajo en un cierto plano inclinado de manera que tenga
una velocidad inicial de 24 pies/seg. Entonces s = 24/ +10/2 , donde s pies es la distancia
de la pelota desde el punto inicial a los t seg. y el sentido positivo es hacia abajo del plano
inclinado.

6. 650 Eduardo Espinoza Ramos
a) ¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota a los /, seg.?
b) ¿Cuánto tarda la pelota en llegar a los 48 pies/seg.?
Solución
Como V0 = 24 pies/seg. velocidad inicial, además:
.v(/) = 24/ + 10/2 => F(/) = .v'(/) = 24 + 20/ por lo tanto la velocidad instantánea de la
pelota a los /, seg. será: (20/, + 24)pies/seg. según el problema se tiene:
20t + 24 = 48 l = - seg. = l.2seg.
por lo tanto la velocidad tarda —seg. en llegar a los 48 pies/seg.
Rpta: a) (20/, +24)pies/seg. b) —seg. = 1.2seg.
En un instante dado la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es de 10 pies. Y
está aumentando a razón de 1 pie/min. Y el otro cateto es de 12 pies y esta disminuyendo
a razón de dos pies/min. Hallar la razón de cambio respecto al tiempo del ángulo agudo
opuesto al cateto que en ese instante mide 12 pies.
Solución
Datos del problema: para x = 10, y = 12
— = 1pie/ min. y — = -2 pies / min.
di dt
tg 6 = —=> 0 = are. tg(—)
-V x
derivando implícitamente:
, dy dx. . i
i + £)'-
x
dy dx
X dt '* di
■) 1
x- + y

7. Aplicaciones de la Derivada 651
reemplazando se tiene:
dd 10(—2)—12(1) -32 8
dt 100 + 144 244 61
de8 . . .
— = ----- pies/min.
dt 61
13) Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba y está a Sp sobre el suelo, t seg. después de
ser encendido. Donde .v= 560? -1 6 /2 y la dirección positiva hacia arriba. Encontrar:
a) La velocidad del cohete 2seg. después de haber sido encendido.
b) Cuánto tardará en alcanzar m altura máxima.
Solución A
La ecuación del movimiento es: S(t) = 560/ -1 6 /2
La velocidad del cohete, /¡seg. después de haber sido
encendido será: V(/,) = S' (/,)
como ^(z) = 560/ —16/2 entonces: S '(/) = 560-32/
:.V(tx) = 560-32/,
a) V(2) = 560 —64 = 496 seg.
b) Como V(/¡) = 0, es para que alcance su altura máxima crece.
0 = 560-32 t => t = 17.5 seg.
£ _ A'(lll'l'IM'l'IIIM'lllll
ini i ni i ni i lintI III I¡111*1 III I III H
li •ii 111ii ■11li 11111••i ii
5.24 PROBLEMAS PROPUESTOS.-
© Un depósito de agua, en forma de un cono invertido, es vaciado a razón de 6ny / min. La
altura del cono es de 24m. y el radio de su base es de 12m. Calcule la rapidez con la que
el nivel de agua desciende cuando el agua tiene lOm. de profundidad.

8. 652 Eduardo Espinoza Ramos
(T ) Cierta cantidad de aceite fluye hacia el interior de un depósito en forma de cono invertido
a razón de 3n w3 / min. Si el depósito tiene un radio de 2.5m. en su parte superior y una
profundidad de l()m. ¿Qué tan rápido cambia dicha profundidad cuando tiene 8m?
Rpta. — = 0.75m / min.
di
( 3) Un automóvil que se desplaza a razón de 30 pies/seg. se aproxima a un crucero, cuando
el auto está a 120 pies de la intersección, un camión que viaja a razón de 40 pies/seg.
cruza la intersección. El auto y el camión se encuentran en carreteras que forman un
ángulo recto entre sí. ¿Con qué rapidez se separan 2 seg. después de que el camión pasa
dicho crucero? Rpta. — = 14 pies/seg.
di
(7) Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60°. Una locomotora dista
160m. del cruce y se aleja de él a la velocidad de lOOkm/hora, un automóvil dista del
cruce 160m. y se acerca a él a la velocidad de 50km/hora. ¿A que razón se altera la
distancia entre los dos? Rpta. Aumenta 25 km/hora ó 25-j3km/h.
© El radio de la base de cierto cono aumenta a razón de 3cm. por hora y la altura disminuye
a razón de 4cm por hora. Calcule como varía el área total del cono cuando el radio mide
7cm. y la altura 24 cm. Rpta. Aumenta 96n cm1 / h
© Un aeroplano que vuela en dirección norte a 640 millas por hora pasa sobre cierta ciudad
a mediodía; un segundo aeroplano que va a dirección oeste a 600 millas por hora está
verticalmente sobre la misma ciudad 15 minutos más tarde, si los aeroplanos están
volando a la misma altura, ¿con qué rapidez se estarán separando a la 1.15 p.m.?
Rpta. 872 millas por hora.
(2 ) Un tendedor de alambres trepa a un poste telefónico a razón de 2.5 pies por segundo,
mientras su jefe está sentado a la sombra de un árbol vecino observando. Si el terreno es
llano y el jefe está a 36 pies de la base del poste. ¿Cuántos segundos tiene que trepar el
tendedor de alambres para que la distancia entre él y el jefe crezca a razón de un pie por
segundo? Rpta. 6.2847 segundos.

9. Aplicaciones de la Derivada 653
( ? ) Un objeto que se lanza verticalmente hacia abajo desde la azotea de un edificio, con una
velocidad inicial de Vfí pies/seg. Viaja aproximadamente según la ecuación
S = K,,/ + 16/2 pies en t segundos. Si toca el suelo a los 2.5seg. con una velocidad de 110
pies/seg. ¿Cuál es su altura del edificio? Rpta. 175 pies.
Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada en una casa. Si la base de la escalera se
separa de la pared de la casa a razón de 2 pies por segundo. ¿A qué velocidad está
bajando el extremo superior cuando la base de la escalera está a
a) 7 pies de la pared? b) 15 pies de la pared? c) 24 pies de la pared?
7 3 48
Rpta. a) pies/seg. b) pies/seg. c)— —pies/seg.
(ío) En una planta de arena y grama, la arena está cayendo de una cinta transformadora
formando una pila cónica a razón de 10pies1/ min. El diámetro de la base del cono es
aproximadamente tres veces la altura. ¿A qué razón está cambiando la altura de la pila
g
cuando tiene 15 pies de altura? Rpta. ------- pies/min.
4057T
© La arista de un cubo se expande a razón de 3cm/seg. ¿A qué velocidad cambia el volumen
cuando cada arista tiene:
a) lcm. b) lOcm.
Rpta. a) 9cm3 / seg. b) 900cwi3 / seg.
( í ^ Al caer una gota esférica de lluvia, alcanza una capa de aire más seco en los niveles más
bajos de la atmósfera y comienza a evaporarse. Si esta evaporación se produce a una
velocidad proporcional al área de la superficie (s = 4n r 2) de la gota, probar que el radio
se contrae a la velocidad constante.
( u ) Un avión vuela a 31,680 pies de altura, pasando la trayectoria de vuelo exactamente sobre
una antena de radar. El radar detectael avión y calcula que la distancia s al avióncambia
a razón de 4 millas/min.Cuando tal distancia es de 10 millas, calcular la velocidad del
avión en millas por hora. Rpta. 300 millas/hora.

10. 654 Eduardo Espinoza Ramos
Un barco A navega hacia el sur a una velocidad de 16 millas por hora, y otro B, situado
32 millas al sur de A, lo hace al este con una velocidad de 12 millas por hora. Hallar la
velocidad a la que dichos barcos se aproximan o separan al cabo de una hora de haber
iniciado el movimiento. Rpta. Se aproxima a razón de 5.6 millas/hora
©
©
En que punto de la parábola y~ =18.v, la ordenada crece dos veces más deprisa que la
abscisa?
9 9
Rpta. ( - , - )
8 2
Un peso W está unido a una cuerda de 50 metros de
longitud que pasa por una polea P situada a una altura
de 20 metros con respecto al suelo. El otro extremo de
la Cuerda, se encuentra unido a un vehículo en el punto
A, situado a una altura de 2 metros como indica la
figura, sabiendo que el vehiculo se mueve a una
velocidad de 9 metros por segundo, calcular la
velocidad a la que se eleva el cuerpo cuando se halle a
una altura de 6 metros. Rpta. — = —-</3m/seg.
di 2 5
Un tren que sale a las 11 horas de la mañana se dirige hacia el este a una velocidad de 45
kilómetros por hora, mientras que otro, que sale al medio día desde la misma estación, se
dirige hacia el sur a una velocidad de 60 kilómetros por hora. Hallar la velocidad a que se
separan ambos trenes a las tres de la tarde.
V2
Rpta. 150-y - Km/hora
Un hombre en un muelle tira de una soga atada al nivel del agua a una bola a razón 50
pies/min. Si las manos del hombre están a 16 pies sobre el nivel del agua. ¿Con qué
rapidez se acerca el bote al muelle cuando la cantidad de soga suelta es de 20 pies?
Rpta. Se aproxima a razón de
250
pies/min.
19) Se bombea aire a un globo, de modo que su volumen se incrementa en 200c'»!'1 / seg.
Despreciando la comprensión del aire. ¿A qué ritmo crece el radio cuando el diámetro
llega a 30cm? Rpta. — cm/seg.
9n